Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

PHẦN I

MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng
dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết
và khoa học ứng dụng. Toán học là mợt mơn học giữ mợt vai trị quan trọng trong suốt bậc học phổ
thông. Tuy nhiên, nó là mợt mơn học khó, khơ khan và địi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực
rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm
hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để
từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho
học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập
sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung
để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ
năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán
là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh
bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán
Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề
xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những bài toán “Tìm x biết ...” dành cho học sinh
lớp 6, 7 đến việc cụ thể hóa vấn đề về phương trình ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các
nội dung về phương trình đại số ở lớp 9. Đây là một nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc
THCS phải nắm bắt được và có kĩ năng giải phương trình một cách thành thạo
Trong những vấn đề về phương trình, phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho
nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này. Thực ra, đây cũng
là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì
đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà trường trực tiếp giao
trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi các cấp Huyện và Tỉnh, tôi cũng
rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các
loại phương trình vô tỉ? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có
thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 1


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương
trình vô tỉ” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS
II. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương
pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất
III. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THCS Bình Minh.
Cụ thể là những học sinh lớp 9D và 9E.
IV. Cơ sở nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Cao đẳng sư phạm, các
tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài
tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở
V. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Phương pháp khảo sát thực tiễn
– Phương pháp phân tích
– Phương pháp tổng hợp
– Phương pháp khái quát hóa
– Phương pháp quan sát
– Phương pháp kiểm tra
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
VI. Thời gian nghiên cứu
Đề tài được thực hiện từ ngày 15.08.2014 đến ngày 30.4.2015
VII. Giới hạn của đề tài
Đề tài được sử dụng trong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là
những học sinhlớp 9 bộ môn Toán

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 2


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

PHẦN II

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I. Khảo sát tình hình thực tê

Năm học 2014 – 2015, Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này, phương trình vô tỉ là
một trong những dạng phương trình khó. Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả
những học sinh tham khá thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán mới. Trước khi
bồi dưỡng học sinh, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn toán trên học sinh của lớp 9D, 9E. Kết quả
thu được như sau:
Giỏi: 10 em
Khá: 12 em
Trung bình: 11 em

II. Một số phương pháp giải phương trình vô ti
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa

a) Dạng 1:

g(x) �0
�
�
f (x)  g(x)  �
f (x)  [g(x)]2

Ví dụ. Giải phương trình:

Giải: (1) 

x  1  x  1 (1)

�x �1
�x �1
�x �1
� �2

��
�
�x  3
� x  1  x  1 �x  3x  0

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
b) Dạng 2:

f (x)  g(x)  h(x)

Ví dụ. Giải phương trình:

x  3  5  x  2 (2)

Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) 



x 3  x 2 5

2x  1  2 (x  3)(x  2)  25

(x  3)(x  2)  12  x

2 �x �12
2 �x �12
�
�
�

� x6
�2
�
2
25x

150
x

x

6

144

x

24x
�
�
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 3


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3:

f (x)  g(x)  h(x)

Ví dụ. Giải phương trình:

x  1  x  7  12  x (3)

Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
(3) 


x  1  12  x  x  7

x  1  5  2 (12  x)(x  7)

2
 2 19x  x  84  x  4

 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
 5x2 – 84x + 352 = 0
352 � � 2
42
1764 1764 352 �
� 2 84
5�
x  x



� 5 �x  2 � x 
�
5
5 � �
5
25
25
5 �
�
2

4
� 42 �
� 44 �
 5 �x  � 5 �  5  x  8  �
x  � (x  8)  5x  44 
25
� 5 �
� 5 �
44
 x1 = 5 ; x2 = 8
44
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = 8
d) Dạng 4:

f (x)  g(x)  h(x)  k(x)

Ví dụ. Giải phương trình:

x  x  1  x  4  x  9  0 (4)

Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
(4) 



x  9  x  x 1  x  4

2x  9  2 x(x  9)  2x  5  2 (x  4)(x  1)

7  x(x  9)  (x  1)(x  4)

2
2
 49  x  9x  14 x(x  9)  x  5x  4

 45 + 14x + 14

x(x  9) = 0

Với x ≥ 4  vế trái của phương trình luôn là một số dương  phương trình vô nghiệm
2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 4

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

x 2  4x  4  x  8 (1)

Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải: (1) 

(x  2) 2  8  x

Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1)  |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5
HD: Đáp số: x = 5.

x  2  2 x  1  x  10  6 x  1  2 x  2  2 x  1 (2)

Ví dụ 2. Giải phương trình
Giải: (2) 


x  1  2 x  1  1  x  1  2.3 x  1  9  2 x  1  2 x  1  1

x  1  1 | x  1  3 | 2.| x  1  1|

Đặt y =

x  1 (y ≥ 0)  phương trình đã cho trở thành:

y  1 | y  3 | 2 | y  1|
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y  y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2  y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình

x  1  5x  1  3x  2

Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái:
Vế phải:

x  1  5x  1  vế trái luôn âm
3x  2 ≥ 1  vế phải luôn dương

Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x  1  5x  1  3x  2




x  1  8x  3  2 (5x  1)(3x  2)

2  7x  2 (5x  1)(3x  2)
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 5


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1  phương trình vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình:

4�
9�
�
�
3 �x 2  2x  1  � 5 �x 2  2x  1  � (x 2  2x  1)  5
3�
5�
�
�

Giải: Ta có (1) 


3x 2  6x  7  5x 2  10x  14  4  2x  x 2 (1)

3(x  1) 2  4  5(x  1) 2  9  5  (x  1) 2

Ta có: Vế trái ≥

4  9  2  3  5 . Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra  x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)

Ví dụ 1. Giải phương trình:

x7
 8  2x 2  2x  1
x 1

1
Giải: điều kiện x ≥ 2
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
6
1
1
8  8 3
�x  2
x 1
– Nếu 2
: VT =
. Mà: VP > 8  3

– Nếu x > 2: VP = 2x2 +

2x  1 > 2.22 +

3 = 8  3 . VT < 8  3

x  2 � x 1  2 1
6
6
1
1
3
x 1
2 1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 2. Giải phương trình:

3x 2  7x  3  x 2  2  3x 2  5x  1  x 2  3x  4

Giải: Thử với x = 2. Ta có:
3.4  7.2  3  22  2  3.22  5.2  1  22  3.2  4
� 1 2  3  6
(1) 

(3x 2  5x  1)  2(x  2)  (x 2  2)  3(x  2)  3x 2  5x  1  x 2  2

Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x < 2: VT > VP
Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 6


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

6
8

6
3 x
2x

Ví dụ 3. Giải phương trình:

3
Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó

là nghiệm duy nhất. Thật vậy:
3
Tương tự với 2 < x < 2:

3
Với x < 2 :

6

2
3 x
và

8
4
2x


6
8

6
3 x
2x
.

6
8

6
3 x
2x

2
2
Ví dụ 4. Giải phương trình: 3x(2  9x  3)  (4x  2)(1  1  x  x )  0 (1)

Giải: (1)


� 3x  2 



 3   (2x  1)  2 



� 3x 2  (3x) 2  3  (2x  1) 2  (2x  1) 2  3  0
(3x) 2

Nếu 3x = –(2x + 1)  x =



(2x  1) 2  3



1
1

5 thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = 5 là

�1 �
� ; 0 �
một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng � 2 �. Ta chứng
minh đó là nghiệm duy nhất.
Với



1
1
x
2
5 : 3x < –2x – 1 < 0

 (3x)2 > (2x + 1)2 
Suy ra:

2  (3x) 2  3  2  (2x  1)2  3









3x 2  (3x) 2  3  (2x  1) 2  (2x  1) 2  3  0

 (1) không có nghiệm trong khoảng

này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi



1
1
x
2
5

d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt

Ví dụ. Giải phương trình
Giải: điều kiện

x

x
4x  1

2
x
4x  1

1
4

a b
 �2
Áp dụng bất đẳng thức b a
với ab > 0
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 7


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Với điều kiện

x

1
� x 4x  1  0
4
. Nên:

x
4x  1

�2
2
x
4x  1
. Dấu “=” xảy ra  x  4x  1 � x  4x  1  0
2
2
 x  4x  4  3  0 � (x  2)  3 � x  2  � 3 � x  2 � 3

4. Phương pháp đưa về phương trình tích

Ví dụ 1. Giải phương trình:

2x  1  x  2  x  3

Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của
phương trình:
x3 0
�
�
� 2x  1  x  2  1

(x  3)( 2x  1  x  2  1)  0 

Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) 



x  1  2(x  1)  x  1  1  x  3 1  x 2 (1)
x 1  1 x

 x1 = 0; x2 =
Ví dụ 3. Giải phương trình:

 PT vô nghiệm



2



x 1  1 x 1  0

24
25

x  1  x 3  x 2  x  1  1  x 4  1 (1)

Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1).


(1) 





x  1  1 1  x3  x2  x  1  0

x=2

5) Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng một ẩn phụ
2
Ví dụ 1. Giải phương trình: x  x  1  1 (1)

Giải. Đặt

x  1 = y (y ≥ 0)

y2 = x + 1  x = y2 – 1  x2 = (y2 – 1)2
 (2)  (y2 – 1)2 + y – 1 = 0  y(y  1)(y2 + y  1) = 0.
�
1 5 �
0;  1;
�
�
2 �
�
Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là:


Ví dụ 2. Giải phương trình:



3

x 1 1  2 x 1  2  x

(1)

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 8

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

x 1 1= y

HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt


(1) 

 
3

x 1 1 



2

x 1 1  2  0

 y3 + y2 – 2 = 0
 (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0  y = 1  x = 1
b) Sử dụng hai ẩn phụ
3
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x  1 (3)

x 1 , v =

Giải. Đặt u =

x 2  x  1 (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó:

u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1.  (3)  2(u2 + v2) = 5uv  (2u  v)(u  2v) = 0
�5  37 5  37 �
;
�
�
2
2 �
�
Giải ra, xác định x. Kết quả là: x 


Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) 
Đặt:

x  5 = u,







x  5  x  2 1  x 2  7x  10  3



(1)



x  5  x  2 1  (x  5)(x  2)  3

x  2 = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = 3. (1)  (a – b)(1 + ab) = a2 – b2

 (a – b)(1 – a + ab – b) = 0  (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt

x  1  3x  2x  1 (1)

x  1 = u,

3x = v (u, v ≥ 0): (1)  b – a = a2 – b2  (a – b)(a + b + 1) = 0

1
Mà a + b + 1 > 0  a = b  x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
4
1
5
 x   x  2x 
x
x (1)
Ví dụ 4. Giải phương trình: x

Giải. Đặt

(1) 

x

x

1
x = u,

2x 

5
x = v (u, v ≥ 0)

1 �
5� � 1�
�
5
�
�
2x  � �x  �
 2x   0
�
�
x �
x� � x�
x
�

�
 u – (v2 – u2) – v = 0

 (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2
c) Sử dụng ba ẩn phụ
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 9


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Ví dụ 1 Giải phương trình:
Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) 
Đặt:

x  1 = a,

x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3 (1)

(x  1)(x  2)  x  3  x  2  (x  x)(x  3)

x  2 = b,

x  3 = c (a, b, c ≥ 0): (1)  ab + c = b + ac  (a – 1)(b – c) = 0

 a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2. Giải phương trình : x  2  x. 3  x  3  x. 5  x  2  x. 5  x
Giải. Đặt : u  2  x ; v  3  x ; t  5  x (u ; v ; t ≥ 0)
 x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu

Từ đó ta có hệ:

(u  v)(u  t)  2 (1)
�
�
(v  u)(v  t)  3 (2)
�
�
(t  u)(t  v)  5 (3)
�

Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (u  v)(v  t)(t  u)  30 (4)
Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
�
�v  t 
�
�
�
ut 
�
�
�
uv
�

�

30
(5)
2
30
(6)
3
30
(7)
5

Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có:
2(u  v  t) 

31 30
31 30
�u v t 
30
60 (8)

Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:
�
30
�u 
60
�
2
�
� 30 � 239

� 11 30
� x  2�
�v 
�60 �
�  120
60
� �
�
� 19 30
�t 
60
�
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình

x  1  2x  1  5

Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 10


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

Cách 2: Đặt

uv5
�
u2
�
�2
�
2
u  12  x = 5.
2x  1  v . Ta có hệ: �v  2u  1  �

x  1  u �0 và

8 x  5 x  5

Ví dụ 2 Giải phương trình:

8 x = u ,

Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt

5  x  v (u, v ≥ 0):

uv5
�
u=3
�u  2 �
��
v �
�2

2
u  v  13
�v  3 �v=2 Giải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
�

25  x 2  9  x 2  2

Ví dụ 3. Giải phương trình:

25  x 2 = u,

Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt

9  x 2 = v (u, v ≥ 0)

uv2
�
u 5
�u  v  2
�
��
�2
�
2
u  v  16  �u  v  8
�v  3 . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất.
�
Ví dụ 4. Giải phương trình: 1  x  4  x  3
Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt 1  x  u ;

4  x  v (u, v ≥ 0)

�u  v  3
x0
�
�2
�
2
x  3
 �u  v  5  �
2  x  2  x  4  x2  2

Ví dụ 5. Giải phương trình:

2  x  u,

Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt

�
(u  v)2  2uv  4
�
(u  v)  uv  2
2  x  v (u, v ≥ 0)  �

Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6. Giải phương trình:
Giải. Đặt

4

97  x = u,

4

4

97  x  4 x  5 (1)

x = v (u, v ≥ 0)

uv5
�
�
�4
4
u

v

97
�
 (1) 
Ví dụ 7. Giải phương trình:
Giải. Đặt


3

x  u,

3

3

u2
�
�u  3
��
�
�
�v  3
�v  2

x  81
�
�
x  16
�

x  3 2x  3  3 12(x  1)

2x  3  v (1)

u  v  3 4(u 3  v3 ) � u 3  v 3  3uv(u  v)  4(u 3  v 3 )

u  v
�
� 3.(u  v).(u 2  2uv  v 2 )  0 � 3.(u  v).(u  v) 2  0 � �
u  v  kết quả
�

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 11


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

6) Giải và biện luận phương trình vô ti
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình:

Giải. Ta có:

x2  4  x  m

�x �m
�x �m
�
�
�
2
2
2
2mx  (m 2  4)  0
�
x 2  4  x  m  �x  4  x  4xm  m

– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
m2  4
m2  4
x
2m . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m ≥ m
– Nếu m ≠ 0:
+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2  m2 ≤ 4  0  m �2
+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2  m2 ≥ 4  m ≤ –2
Tóm lại:
– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm

x

m2  4
2m

– Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
(Đề thi học sinh giỏi cấp tinh năm học 1999 – 2000)

Giải. Ta có:

�x �m
�x �m
x2  3  x  m � �2
�
�
2
2
2mx  (m 2  3)  0

�x  3  x  m  2mx
�

– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m ≠ 0:

x

m2  3
m2  3
�m
2m . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  2m

+ Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2  m2 ≤ 3  0 �m � 3
+ Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2  m2 ≥ 3  m ≤  3
Tóm lại:
– Nếu 0 �m � 3 hoặc m � 3 . Phương trình có một nghiệm:

x

m2  3
2m

– Nếu  3  m �0 hoặc m  3 : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m
Giải. Điều kiện: x ≥ 0
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành

x ( x  1)  0  có hai nghiệm: x = 0, x = 1

1
2

– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 12


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

( x  m )( x  m  1)  0
�x  m  0
��
�x 1 m
2
+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1  m)

+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m
II. Kêt quả thực hiện
Qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn: Toán và giải toán trên máy tính cầm tay. Tôi đã áp
dụng các nội dung của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em 9D, 9E đã biết cách vận dụng trong khi
làm bài tập.

III. Bài học kinh nghiệm
Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình vô tỉ trong chương trình của cấp THCS. Bản

thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm như sau:
1. Về công tác chỉ đạo:
Đây là một công tác quan trọng hàng đầu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong năm học vừa
qua, nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và
Phịng giáo dục đào tạo. Cơng tác bời dưỡng học sinh giỏi đã và đang gặt hái được những thành
công lớn. Nhờ có sự quan tâm đó, mà ngành giáo dục Bình Minh.
2. Về phía học sinh:
Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tớ giữ vai trị qút
định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng. Vì
chính các em mới là người học.
Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành cơng, địi hỏi các em phải có
một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập trên 100% khả năng của bản thân mình. Chính vì
vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham
gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa
tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo
viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động
viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công việc học tập
của mình. Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, đây là một môn học khó,

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 13


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này. Cũng chính vì lí do này, công tác bồi dưỡng học
sinh đặc biệt môn Toán càng trở nên khó khăn hơn rất nhiều.
3. Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi:
Nếu học sinh giữ vai trị trung tâm trong cơng tác bời dưỡng học sinh đặc biệt thì vị trí của người
thầy lại giữ vai trị chủ đạo. Để thực hiện thành cơng việc đào tạo bồi dưỡng học sinh đặc biệt với
môn Toán thì khó khăn hơn rất nhiều so với các môn học khác. Thực tế đã chứng minh điều đó,
trong những năm qua.Toán học là một môn học khó, khô khan và lượng kiến thức rất rộng, vì học
sinh đã được học toán từ khi vào lớp 1, tức là các em đã được học toán 9 năm liền. Chính vì vậy,
những giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán cần phải có thời gian bồi dưỡng
nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, tiền bạc nhiều hơn so với những giáo viên tham gia bồi
dưỡng những môn học khác. Vấn đề là thời gian, vì học sinh không phải là những cái máy, chúng ta
không thể cùng một lúc nhồi nhét vào đầu các em mọi vấn đề mà chúng ta cho rằng các em nên học.
Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mới mong đạt được hiệu
quả. Bản thân tôi là giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán năm nay là năm
thứ hai, nói về kinh nghiệm thì chưa nhiều. Song tôi cũng nhận thấy rằng, để bồi dưỡng được một
đội tuyển đi thi có giải là cả một vấn đề nan giải, khó khăn. Ở đây tồn tại hai vấn đề:
Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng
quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường
xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải
vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán
Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cập nhật thường
xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được
các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công
việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao.

PHẦN III

KẾT LUẬN
Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong khuôn khổ chương trình cấp
THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp 9. Ngoài những phương

pháp mà tơi chắt lọc nêu trên, chắc chắn cịn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tơi, do năng
lực cịn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tơi khơng thể khơng cịn những

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 14


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TI
******************************

sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn
thiện hơn.
Bình Minh ngày 03 tháng 5 năm 2015
Người thực hiện

Phạm Thị Châu
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG
*******************************************

*******************************

Giáo viên thực hiện: Phạm Thị Châu

Năm học: 2014 - 2015
Trang 15