Bài soạn đề thi hsg 2010- 2011

Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 vòng 1
Năm học 2009-2010
Ngày thi: 03 tháng 11 năm 2009
(Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.5 điểm ) Chứng minh rằng:
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
+
b
ab
. Xét biểu thức P =
b
xaxa
xaxa
3
1
+
+
++
1. Chứng minh P luôn xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: ( 2.0 điểm )
a) Chng minh rng: biu thc sau cú giỏ tr khụng ph thuc vo x ( vi x

0 )
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x

9 4 5. 2 5 x
+
= +
+ +
b) Chng minh tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip cng 1 luụn l s chớnh
phng.
Bài 3: (2,.5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1980
=+
yx
b) Cho 0 < a, b,c < 1 .Chứng minh rằng :
accbbacba
222333
3222 +++<++
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC theo thứ tự ở E , F và trung tuyến AM
tại N.
a) Chứng minh :
AN
AM
AF
AC
AE
AB 2
=+
b) Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng
KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.

Họ và tên thí sinh: ..SBD:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 9 vòng 1
Năm học 2008-2009
A. Một số chú ý khi chấm bài:
Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách. Thí sinh giải cách
khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang
điểm của Hớng dẫn chấm.
Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí
sinh để cho điểm.
Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần
không làm tròn.
B. Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 2.5 điểm ) Chứng minh rằng:
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
+
b
ab
. Xét biểu thức P =
b
xaxa
xaxa
3
1
+
+
++

1. Chứng minh P luôn xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Đáp án
Thang
điểm
Ta có: a; b; x > 0

a + x > 0 (1)
Xét a x =
0
1
)1(
2
2

+

b
ba
(2)
Ta có a + x > a x 0


0
+
xaxa
(3)
Từ (1); (2); (3)

P xác định

0.5
Rút gọn:
Ta có: a + x =
1
)1(
1
2
2
2
2
+
+
=
+
+
b
ba
b
ab
a


1
)1(
2
+
+=+
b
a
bxa

a - x =
1
)1(
1
2
2
2
2
+

=
+

b
ba
b
ab
a


1
1
2
+
=
b
a
bxa

P =

bbb
bb
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
3
1
11
11
3
1
11
1
)1(
1
1
1
)1(
22
22

+
+
++
=+
+
+
+
+
+
+
+
Nếu 0 < b < 1

P =
bbb 3
4
3
1
2
2
=+
Nếu b
1



P =
b
b
b

b
3
13
3
1
2
+
=+
0.25
0.25
0.25
0.25
2. (1.0 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P =

b3
4
P
4
3
>
Nếu b
1

, a dơng tuỳ ý thì P =
3
2
3
1

33
1 b
b
b
b
b
+






+=+

Ta có:
3
2
3
1
3
+
b
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
0.25
0.25
Mặt khác:
3
2

3
2

b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P
3
4
3
2
3
2
=+
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3
4
0.25
0.25
Bài 2: ( 2.0 điểm )
a) Chng minh rng: biu thc sau cú giỏ tr khụng ph thuc vo x ( vi x

0 )
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x
9 4 5. 2 5 x
+
= +

+ +
b) Chng minh tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip cng 1 luụn l s chớnh
phng.
Đáp án
Thang
điểm
( )
( )
2
3 6
6
2
4
4
*Tính: 2 3 2 3 7 4 3
2 5 2 5 9 4 5
*Suy ra: A = 1
= =
+ = + = +
0.25
0.25
0.5
Gi 4 s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n

N). Ta cú
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)( n
2

+ 3n + 2) + 1 (*)
t n
2
+ 3n = t (t

N) thỡ (*) = t( t + 2 ) + 1 = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2

= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vỡ n

N nờn n
2
+ 3n + 1

N Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 l
s chớnh phng.
0.5
0.5
Bài 3: (2,.5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1980
=+
yx
b) Cho 0 < a, b,c < 1 .Chứng minh rằng :

accbbacba
222333
3222 +++<++
Đáp án
Thang
điểm
a)
1980
=+
yx


556
=+
yx
Vì x, y nguyên dơng nên vai trò nh nhau.
x
và
y
có dạng :

x
= a
55
và
y
=b
55
Với a + b = 6

a = 1; b = 5 hoặc a = 2; b = 4 hoặc a =3; b= 3
Vậy cặp nghiệm nguyên dơng cần tìm là: (55, 1375); (1375,55);
(220, 880); (880, 220); ( 495, 495)
0.25
0.25
0.5
Do a <1


2
a
< 1 và b < 1
Nên
( )
( )
2 2 2
1 . 1 0 1 0a b a b a b > + >
Hay
baba
+>+
22
1
(1)
Mặt khác 0 <a,b <1


32
aa
>
;

3
bb
>



332
1 baba
+>+
Vậy
baba
233
1
+<+
Tơng tự ta có

acca
cbcb
233
233
1
1
+<+
+<+



accbbacba
222333
3222 +++<++

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC theo thứ tự ở E , F và trung tuyến AM
tại N.
a) Chứng minh :
AN
AM
AF
AC
AE
AB 2
=+
b) Giả sử đờng thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng
KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.
Đáp án
Thang
điểm
a) Kẻ
EFCSBI //,

),( AMSI

Ta có:
AN
AS

AF
AC
AN
AI
AE
AB
==
,
)(
+=+
AN
AS
AN
AI
AF
AC
AE
AB

Ta có:
CSMBIM
=
(cgc)

MSIM =
Vậy:
AMMSIMAIAIASAI 2
=+++=+
Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
0.5

0.5
0.5
b) Khi
NBCEFBCd

////
là trung điểm của EF

+Từ F
kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L
Ta có:
LFEPcgcNFLNEP
==
)(

Do đó :

)1(
KB
KF
PB
LF
PB
EP
==

+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H
Ta có
)(cgcCMQBMH

=

QCBH
=
Do đó:
)2(
KB
KF
BH
FQ
QC
FQ
==
0.5
0.5
E
E
I
S
M
N
C
B
A
K
P
Q
F
L
E

N
M
CB
A
Tõ
(1) (2) //
FP FQ
va PQ BC
PB QC
⇒ = ⇒
(®pcm)
0.5