SKKN ứng dụng đạo hàm để giải toán trung học phổ thông

6, g ''(t) = 3t ln 2 3 + 5t ln 2 5 > 0. Suy ra hàm g '(t) ñồng biến
trên [0;1]. Lại có g '(0) = ln 3 + ln 5 − 6 < 0, g '(1) = 3ln 3 + 5 ln 5 − 6 > 0, g '(t) liên tục,
nên tồn tại duy nhất t 0 ∈ (0;1) sao cho g '(t 0 ) = 0. Hơn nữa
g '(t) < 0, ∀t ∈ (0; t 0 ); g '(t) > 0, ∀t ∈ (t 0 ;1). Lập bảng biến thiên ta suy ra ñược
g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [0;1], dấu “=” chỉ xảy ra khi t = 0 hoặc t = 1. Do đo (2) có nghiệm t

= 0, t = 1. Tức là (1) có nghiệm x = 0, x = 1. Thử lại thấy các cặp giá trị x = y =
0, x = y = 1 thoả mãn hệ phương trình đã cho. Vậy hệ phương trình đã cho có
hai nghiệm: (0; 0), (1; 1).
Bài tập.
 1 + x + 4 − y = m

 2 + x + 3 − y = m
, 
 1 + y + 4 − x = m  2 + y + 3 − x = m

54. Tìm m để cả hai hệ phương trình 
cùng có nghiệm.

23

Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh


Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT

24

55. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
19


y
( 3x + 4 − 5 − x).2 = 2( − 3x + 8)
b) 
;
x
y + log2 x = 1

x y
e − e = (log2 y − log2 x)(xy +1)
a) 
;
2
2
x + y = 1

2

x + x2 − 2x + 2 = 1+ 3y−1
x
2
y2 −x2 x + 2010
2009
=


e = y + y +1
2
;
c) 
; d) 

; e) 
y + 2010
y + y2 − 2y + 2 = 1+ 3x−1

ey = x + x2 +1
3log3(x + 2y + 6) = 1+ 2log2(x + y + 2)

f)

1
3

2x2 − 2x + 3

−

1
3 2

x + x +1

− x2 + 3x − 2 = 0; g)log2012(

x4 + x2 + 2x + 5

) = x2 + 2x − 3;
x + 2x + 4x + 2
4

2

h)sin11 x − cos2011 x = cos11 x − sin2011 x; i)log3(x +1) ≥ log2 x; j)e x − x ≤ 3 x + 2 − e2 x ;
k)(5x − 6)2 −

1
1
; l)2x + 3x + 4x = 6x + 3; m)ex − e−x 2.ln(x + 1+ x2 );
= x2 −
5x − 7
x −1

(4x2 +1)x + (y − 3) 5 − 2y = 0
n)tanx − tan 1− x2 = 1− x 2; o) 
.
2
2
4x + y + 2 3 − 4x = 7

56. Tìm m để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm
a)(x3 + 3x2 +1) ≤ m( x − x −1)2011;

b)log(x3 + x2 − 2m) = log(1− 2x); c) x3 − 2x x −1 = m;

4
d)2x+2 1+x − 2 1+x + 1−x +m = 1− x − 1+ x + m− x; e)3 x −1 + m x +1 = 2 x2 −1;

f) x2 + mx + 2 = 2x +1; g)m(1+ 5)x + (m+ 2)( 5 −1)x = (2m+1)2x; h)6sinx − 4sin3 x + m = 0;
2
2
3x y − 2y − m = 0  x + y = 4, x ≥ 9

x + y = 3, x ≥ 2
x + y − xy = 3
i) 
; j) 
; k) 
; l) 
;
2
2
3y2x − 2x2 − m = 0  x + 7 + y + 7 ≤ m
 x + 3 + y + 5 = m  x +1 + y +1 = m

m) x2 + x −1 − x2 − x +1 = m; n)sinx + 1−sin2x = m− cosx.

57. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình
x 2n +1 + 2011x + 2012 = 0 ln có nghiệm duy nhất.
58. a) Tìm m để bất phương trình x(4x 2 + m) ≤ 1 nghiệm ñúng với mọi
x ∈ [0;1].
2

b) Tìm m ñể bất phương trình 4log5 (5x) − 6log5 x ≤ m.3log5 (25x ) nghiệm ñúng
với mọi x > 1.
59. Chứng minh với m ≠ 0 phương trình x 4 − (m 2 + 10)x 2 + 9 = 0 ln có 4
nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm thuộc khoảng (-3; 3), 2 nghiệm cịn lại
nằm ngồi đoạn [-3; 3].
60. a) Chứng minh phương trình x − 5 x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
b) Chứng minh phương trình (x + 1) x = x x +1 có nghiệm dương duy nhất.
c) Tìm nghiệm dương của phương trình
1

1

1 1+
1 1+ 2
x ln(1 + ) x − x 3 ln(1 + ) x 1 − x.
x
x2
24

Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh


PHẦN BA ---------------------------------------------------------------------------------

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Tác giả cho rằng, việc khai thác tốt các kiến thức về ñạo hàm ñể giải toán
THPT là một yêu cầu quan trọng về cả kiến thức lẫn kĩ năng ñối với các học
sinh ôn thi ðại học và các học sinh trong ñội tuyển thi Học sinh giỏi các cấp.
Giáo viên khi dạy cũng nên chú ý tới việc hình thành thói quen phân tích bài
tốn, thói quen đặt ra địi hỏi phải giải quyết bài toán theo nhiều hướng khác
nhau, ... nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
Liên quan tới ñề tài này, hiện nay có rất nhiều tài liệu tham khảo, tuy không
phải tài liệu nào cũng trọn vẹn mọi bề, nhưng có nhiều tài liệu đã tỏ ra rất hữu
ích và rất đáng quan tâm. Vì vậy tác giả kiến nghị Nhà trường tạo ñiều kiện cho
thư viện của trường mua bổ sung một số tài liệu này (có liệt kê trong mục Tài
liệu tham khảo) ñể phục vụ cho việc dạy và học mơn Tốn trong trường, đực
biệt là phân mơn Giải tích.

25

Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh


Ứng dụng đạo hàm để giải tốn THPT

26

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[01] Bộ Giáo dục và ðào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài tập,
Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức – kĩ năng Toán 10, 11, 12, Nhà
xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.
[02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các bài giảng luyện thi mơn Tốn, tập ba,
Nhà xuất bản Giáo dục, 2001.

[03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải các dạng toán cơ bản THPT, tập
hai: Giải tích, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.

[04] Các ñề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao đẳng, thi Học
sinh giỏi các năm.

[05] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

26

Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh