Tài liệu pt hay

Bất Đẳng Thức
Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.
(Xem thêm: đẳng thức)
• Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và
• Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b.
Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có
• có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và
• có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một
đại lượng khác.
• Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều.
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây
ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì
bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng
thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều
hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức
đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu
cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo
chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước,
đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương
trình.
Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT
1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT
khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức...
Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :
Giải:
, bất đẳng thức này đúng do giả thiết

Đẳng thức xảy ra
2.Đưa về hàm số : khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục
Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và .
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải:
Từ giả thiết . Ta có :
Đặt với ; có
P là hàm nghịch biến trong đoạn
( đạt khi hoặc ).
( đạt khi ).
3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng
bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất
cho bài toán
Ví dụ 1:
Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:
Giải:
Do giả thiết
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có:
Giải:
bất đẳng thức cần chứng minh đúng với .
Với , đpcm (1)
Ta có :
( đpcm).
Ví dụ 3:
Cho . Chứng minh:
Giải:
Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0

4.Sử dụng tam thức bậc 2:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có:
Giải:
- Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng.
- Nếu thì với và
đpcm
Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với
nên (1) đúng ( đpcm)
5.Phương pháp quy nạp:
Ví dụ:
Chứng minh rằng với thì
Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên.
Giải:
Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây:
Với .
Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n):
- Với ( do .
- Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với .
Do khẳng định đúng với
Vì
Mà vế phải bằng
Vậy khẳng định đúng với
Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu
Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh
THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là
kĩ thuật Cô-Si ngược dấu.
Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta luôn có :

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi a=b=c=1
Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức
Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
(1)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2)
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các
phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:
Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:
Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:
Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
bất đẳng thức Schur
bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không
âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau:
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại
bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực
x, y, và z.
Chứng minh
Ta có thể giả sử một cách tổng quát rằng dựa vào tính chất đối xứng của bất đẳng

thức. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:
Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.
Bất đẳng thức cộng Chebyshev
Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được
phát biểu rằng: Nếu cho
và
thì
Tương tự, nếu
và
thì
Chứng minh
Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng
thức.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
và
Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
Cộng vế theo vế, ta có:
chia cả hai vế cho n2, ta nhận được:
(điều phải chứng minh)
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học,
chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô
hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp
phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức
Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–
Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với
bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất
đẳng thức Cauchy.
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay

phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là
chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao
(hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai
vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không
còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các
không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng
ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong
Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu
hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi
chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả
tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào
năm 1885.
Chứng minh
Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử λ là
một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:
Chọn
chúng ta được
mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
hay tương đương:
(điều phải chứng minh)
Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý
• Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành
. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều
bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức
này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: . Hơn
nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức

Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức
Lagrange có dạng:
Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức
• Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có
Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.
Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng
thức Cauchy Schwarz

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel.
Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si
Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một
trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được
bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là
phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si.
Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu =
xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn
bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong
chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được
tham số phù hợp.
Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất:
a.
b.
c.
d.
Giải:
a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho
việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất.
Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3.
Nên ta có như sau:
(dấu = xảy ra khi )

Như vậy ta áp dụng như sau:
cộng dồn lại rồi suy ra.
b. Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và
phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.
Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn
các biệt số phụ sao:
(dấu = xảy ra khi )
(dấu = xảy ra khi )
(dấu = xảy ra khi )
Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có
suy ra: (*)
Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn.
c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt
số phụ sao cho:
(dấu = xảy ra tại )
(dấu = xảy ra tại )
(dấu = xảy ra tại )
Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z