Tài liệu PT SỐ PHỨC 1điểm dễ dàng

Chuyên đề: Giải phương trình trên tập số phức thi tn
A. Đề bài :
1. Giải các phương trình sau:
a) iz+2- i = 0
b) (2+3i).z = z-1
c) (2-i).
z
- 4 = 0
d)
z
- 2 +3i = 0
2. Giải phương trình tích :
a) ( (2-i).
z
+3+i).(iz+
1
2i
) = 0
b) (z-2i).(z+2i) = 0
3. Giải các phương trình sau :
a) z
2
=z+1
b) z
2
+(1-3i).z-2(1+i) = 0
c) z
2
+4 = 0
d) z
2

+2z+5 = 0
4. Giải phương trình :
z+
1
z
= k với k thứ tự bằng 1;
2
; 2i .
5. Giải các phương trình :
a) z
3
+1 = 0
b) z
3
+i = 0
c) z
4
-1 = 0
d) z
4
+4 = 0
6. Tìm các số thực b, c để phương trình ( ẩn z) :
z
2
+bz+c = 0
nhận số phức z
0
= 1+i làm nghiệm.
7. Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình :
z

3
+az
2
+bz+c = 0
Nhận z
1
=1+i và z
2
=2 làm nghiệm.
8. Tìm các số thực a, b để có phân tích :
2z
3
-9z
2
+14z-5 = (2z-1)(z
2
-az+b)
Rồi giải phương trình :
2z
3
-9z
2
+14z-5 = 0.
9. Tìm các số thực a, b để có phân tích :
z
4
-4z
2
-16z-16 =( z
2

-2z-4) (z
2
+az+b)
Rồi giải phương trình:
z
4
-4z
2
-16z-16 = 0
10. Giải phương trình :
z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ ω=z-
1
z
11. Giải các phương trình sau :
(z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z
2

= 0
12. Tìm số thực a, b để có phân tích :
f(z) =z
4
-4z
3
+7z
2
-16z+12 =(z
2
+4)(z
2
+az+b)
Từ đó giải phương trình : f(z) = 0
13. Giải phương trình :
z
4
-5z
3
+8z
2
-10z+12 = 0
14. Giải phương trình :

z
-iz = 1-2i
15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời :

1z
z i

-
-
= 1 và
3
1
z i
z i
-
=
+
16. Tìm số phức z thỏa mãn :

4
z i
z i
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
= 1

B.Hướng dẫn giải và đáp số;

1. a) đs : z= 1+2i b) z=
1
10
-
(1-3i)
1c) Cách 1 : Gọi z=x+yi với x.y ∈ R.⇒
z
=x-yi
(2-i) (x-yi) -4=0 ⇔ (2x-y-4)+(-x-2y)i = 0 ⇔
2 4
2 0
x y
x y
ì
ï
- =
ï
í
ï
+ =
ï
î
⇔
8
5
4
5
x
y
ì

ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
= -
ï
ï
ï
î
Vậy z =
8 4
5 5
i-
Cách 2 : sử dụng các kết quả : z
1
=z
2
⇔
1 2
z z=
và
1 2 1 2
. .z z z z=
, ta có :
(2-i)

z
-4=0 ⇔ (2 ). 4i z- = ⇔ (2 ).i z- =4 ⇔ (2+i).z=4⇔z=
4 8 4 8 4
2 5 5 5
i
i
i
-
= = -
+
1d)
z
-2+3i=0⇔ z=
2 3i-
⇔ z =2+3i
2a)
( (2-i) .
z
+3+i).(iz+
1
2i
) = 0 ⇔
(2 ). 3 0
1
0
2
i z i
iz
i
é

- + + =
ê
ê
ê
+ =
ê
ë

Để giải phương trình : (2-i).
z
+3+i =0 ta sử dụng kết qủa :
1 2 1 2
z z z z+ = +
(2-i).
z
+3+i =0 ⇔ (2+i).z+3-i = 0 ⇔ z =
3
2
i
i
- +
+
⇔ z =-1+i
Phương trình : iz+
1
2i
=0⇔ -z+
1
2
=0 ⇔ z =

1
2
đs : z
1
=2+3i , z
2
=
1
2
2b) đs: z=± 2i
3. a) đs : z =
1
2
±
5
2
b)
D
=(1-3i)
2
+8(1+i)=2i =(1+i)
2
. ⇒một căn bậc hai của
D
bằng 1+i
phương trình có hai nghiệm là z=
1 3 (1 )
2
i i- + ± +
hay

1
2
1
2
z i
z i
é
= - +
ê
ê
=
ê
ë

c) z
2
+4 = 0⇔ z
4
-4i
2
= 0 ⇔(z
2
-2i)(z
2
+2i) = 0⇔
2
2
2
2
z i

z i
é
=
ê
ê
= -
ê
ë
vậy z
1
=1+i, z
2
=-1-i, z
3
= 1-i, z
4
=-1+i
d) z
2
+2z+5 = 0⇔ z
2
+2z+1=-4⇔(z+1)
2
=4i
2
⇔ z
1
=- 1+2i, z
2
=- 1-2i

Có thể tính :
D
’=1-5 =-4. ∂ =z+yi là một căn bậc hai của
D
’ ⇔ả
2
=-4
⇔
2 2
4
2 0
x y
xy
ì
ï
- = -
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
⇔
2 2
2 2
4
( 4) 0
y x

x x
ì
ï
= +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î
⇔
0
2
x
y
ì
ï
=
ï
í
ï
= ±
ï
î
⇒ ả =±2i
Vậy z
1
=-1+2i, z

2
= -1-2i
4. z+
1
z
= k ⇔ z
2
-kx +1=0 ⇔ (z-
2
k
)
2
=
2
4
4
k -
⇔z=
2
k
±
2
¶

Với ả là một căn bậc hai của k
2
-4⇔ả
2
=k
2

-4
• Với k=1 thì ả
2
=-3=3i
2
ị ả=i
3
. Vậy z=
1
2
±
3
2
i
• Với k=
2
thì ả
2
=-2 =2i
2
ịả=i
2
. Vậy z =
2
2
(1±i)
• Với k=2i thì ả
2
=-8=8i
2

ịả =2
2
i. Vậy z = i±
2
i hay z = (1±
2
)i
5. a) z
3
+1 = 0 ⇔ (x+1)(z
2
-z+1) = 0 ⇔ (z+1)[ (z-
1
2
)
2
+
3
4
] = 0
1
1 3
2 2
z
z i
é
= -
ê
ê
ê

= ±
ê
ë
b) đs : z
1
=i , z
2
=
3
2
-
1
2
i , z
3
=-
3
2
-
1
2
i
c) đs : z =± 1 , z =± i
d) đs : z
1,2
=1±i , z
3,4
=-1±i
6. Giải : vì z
0

=1+i là nghiệm của phương trình , nên ta có :
(1+i)
2
+b(1+i) +c = 0 ⇔ (b+c)+(2+b)i = 0 ⇔
0
2 0
b c
b
ì
ï
+ =
ï
í
ï
+ =
ï
î
⇔b=-2; c=2
7. Xác định a, b , c từ hệ phương trình:
3 2
(1 ) (1 ) (1 ) 0
8 4 2 0
i a i b i c
a b c
ì
ï
+ + + + + + =
ï
ï
í

ï
+ + + =
ï
ï
î

Trừ từng vế hai phương trình, ta được: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b
(-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0
⇔
3 8
2 2
a b
a b
ì
ï
+ = -
ï
í
ï
+ = -
ï
î
⇔
6
10
a
b
ì
ï
= -

ï
í
ï
=
ï
î

Thay các kết quả của a, b vào phương trình 2 , ta được : c=-4
đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4.
8. a) đs : a=-4; b=5
b) phương trình :(2z-1)(z
2
-4z+5) = 0 có ba nghiệm là z=2±i và z=
1
2
9. a) đs : a=2; b=4.
b) z
4
-4z
2
-16z-16=0 ⇔(z
2
-2z-4)(z
2
+2z+4)=0 ⇔
2
2
( 1) 5 1 5
( 1) 3
1 3

z z
z
z i
é
é
- = = ±
ê
ê
Û
ê
ê
+ = -
ê
= - ±
ê
ë
ë
10. z
4
-z
3
+
2
2
z
+z+1 = 0 ⇔ (z
4
+1)-(z
3
-z)+

2
2
z
=0. Chia cả hai vế cho z
2
, ta được :
(z
2
+
2
1
z
) –(z-
1
z
) +
1
2
=0 ⇔
2
1
5
0
2
z
z
w
w w
ì
ï

ï
= -
ï
ï
ï
í
ï
ï
- + =
ï
ï
ï
î
⇔
1
2
1 3
2 2
1 3
2 2
i
i
w
w
ì
ï
ï
= +
ï
ï

ï
í
ï
ï
= -
ï
ï
ï
î
Phương trình : z-
1
z
=
1
2
+
3
2
i cho nghiệm z
1
=1+i ; z
2
=-
1
2
(1-i)
Phương trình : z-
1
z
=

1
2
-
3
2
i cho nghiêm z
3
=-
1
2
(1+i) ; z
4
= 1-i
11. (z
2
+3z+6)
2
+2z(z
2
+3z+6)-3z
2
= 0
Ta thấy z≠0 ( vì sao ?). Chia cả hai vế cho z
2
và đặt
2
2
3 6z z
t
z

+ +
=
,
Dẫn tới phương trình : t
2
+2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3.
• Với t=1 , ta có : z
2
+3z+6 = z ⇔ z
2
+2z+6 = 0 ⇔ z = -1±
5
i
• Với t=-3 , ta có : z
2
+3z+6 = -3z ⇔ z
2
+6z+6 = 0⇔ z = -3 ±
3
12. đs : a = -4 ; b = 3.
Phương trình : (z
2
-4z+3)(z
2
+4) = 0⇔
2
1 2
2
3 4
4 3 0 1; 3

2 ; 2
4 0
z z z z
z i z i
z
é
é
- + = = =
ê
ê
Û
ê
ê
= = -
+ =
ê
ê
ë
ë
13. z
4
-5z
3
+8z
2
-10z+12 = 0 ⇔ (z
4
-5z
3
+6z

2
)+(2z
2
-10z+12) = 0
⇔ z
2
(z
2
-5z+6) +2(z
2
-5z+6) = 0 ⇔(z
2
-5z+6)(z
2
+2) = 0
Phương trình có bốn nghiệm là : z
1
=2 ; z
2
=3; z
3
=1+i ; z
4
=-1-i
14.
z
-iz = 1-2i ⇔
z
= 1+(z-2)i