Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như môđun trên đại số steenrod và các ứng dụng1

M ụ c lục .

Lời cam đoan
Lời cả m ơn

2.

M ở đầu

6

1

Đại số Steenrod (mơđulơ 2)

6

2

Bài tốn "hit" và các ứng dụng

8

2.1

Số hạng £2 của dãy phổ Adams

2.2

Lý t huyết cobordism

li

2.3

Biểu diễn mơđula của nhóm t uyến t ính t ổng qt

12

2.4

Phân tích chẻ ra ổn định của khơng gian phân loạ i

14

2.5

Chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ Adams

17

2.6

Khơng gian khuyê n vô hạn và giả t huyết về lớp cầu 19

9

. . . .

3

Nội dung và bố cục của luận án

22

4

Các kết quả chính của luận án

23

4.1

Bài t oán "hit " cho các bất biến Dickson

23

4.2

Bài t oán "hit " cho các bất biến parabolic

25

4.3

Các phần t ử đối bất biến với k = 4

26

3

4.4

Bài toán "hit" ở bậc đủ tổng quát

4.5

SỐ chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng

4.6
5
ì

28

qt

30

Áp dụng: Đồng cấu chuyển Singer

32

Một số k ý hiệu và kiến thức chuẩn bị

B à i t o á n "hit"' cho các bất b i ế n D i c k s o n

33
35

LI

Tác động của đại số Steenrod

35

1.2

Chứng minh Đinh lý C l

39

1.3

Chứng minh Bổ đề 1.2.2

41

1.4

Chứng m inh P ổ đề 1.2.3

50

l i B à i t o á n "hit" cho các bất b i ế n parabolic
li.Ì

Các bất biến của QC • lk-n
n

52
52

li.2 Tác động của đại số Steenrod

56

IL3 Chứng minh Định lý C2

62

IL4 Chứng minh Bổ đề II.3.2

66

H I B à i t o á n "hit" ở bậc đ ủ tổng q u á t

72

IU. Ì Phát biểu các kết quả

72

111.2 Chứng minh Định lý III.l.l(i)

76

111.3 Chứng minh Định lý HI. L I (li)

82

111.4 Chứng minh Định lý IIL1.2

100

IIL5 Một số nhận xét

100

111.5.1 Các ví dụ

100

111.5.2 M ộ t tính chất số học

102

4


IIL5.3 Mô tả v(0,n)

102

K ế t luận

104

K i ế n nghị về những nghiên cứu tiếp theo

104

Danh mục cơng trình của tác giả liên quan đến luận án

105

Tài liệu tham khảo

106

5


M ở đầu
Ì

Đ ạ i số Steenrod (mơđulơ 2)
Đối đồng điều cùng với cấu trúc tí ch của nó là một bất biến cơ bản

để phân loại đồng luân các không gian tôpô (xem [88]). Tuy nhiên, trong
nhiều trường hợp, bất biến này chưa đủ tinh tế. Chẳng hạn, cái treo của
mặt phang xạ ảnh phức S C P và tổng 5 V s
2

3

5

của các mặt cầu 3 và 5

chiều có cùng vành đối đồng điều với cấu trúc tích bằng khơng, nhưng
khơng có cùng kiểu đồng ln.
Một trong những cơng cụ làm tinh tế đối đồng điều là tốn tử đối
đồng điều. Nói một cách sơ lược, một tốn tử đối đồng điều (sơ cấp) là
một họ các ánh xạ <&x : H*x —> H*x giao hoán với các đồng cấu cảm
sinh trên đối đồng điều bởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô.
Trong phá t biểu này, cá c á nh xạ $jjf không nhất thiết bảo tồn chiều đối
đồng điều và khơng nhất thiết tuyến tính, cịn H*x = H*(X\¥2)

trong

mối quan t â m của luận á n này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị mơđulơ 2
của khơng gian tơpơ X. Ví dụ đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh
xạ bì nh phương của

H*x.

Để giải quyết bài tốn phân loại đồng luân cá c á nh xạ liên tục từ
6


một phức 71 +Ì

chiều vào mặt cầu s ,

n ă m 1942 Steenrod [78] đ ư a ra

n

một lớp t o á n tử đ ố i đồng điều, ngày nay mang t ê n ông, và được ký hiệu

Sq : H*x
i

(với ị nguyên không â m ) . Các t o á n tử này s au đó

— • H* X
+i

được T h o m [101] và W u [102] sử dụng để nghiên cứu các lớp đặc t r ư n g
của p h â n thớ véctơ và của đ a tạp, và nhanh chóng t rở t h à n h một trong
những công cụ h à n g đ ầ u trong nghiên cứu t ó p ) đ ạ i số. Tác động của
các t o á n tử Steenrod lên tích đ ố i đồng điều thỏa m ã n công thức Cartan
[94]:

£

l

Sq {u )=
lU2

S^MSg^M,

i\-\-t2—i

còn liên hệ nội tại của chúng được thể hiện qua các quan hệ Adem
[61,179]:

b - 3 - l
a

J2

b

Sq Sq =

í

a+b j

!_

2

)Sq - Sj

0
nếu a < 26.
C ấ u t r ú c của tập hợp các t o á n tử đ ố i đồng điều được làm rõ bởi Serre
vào n ă m 1952. Serre [100] chứng minh rằng với p h é p cộng t h ô n g thường
và p h é p hợp t h à n h của các á n h xạ, các t o á n tử Steenrod sinh ra tất cả
các t o á n tử đ ố i đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao h o á n với đồng cấu
treo"). Ngày nay, đ ạ i số các t o á n tử đ ố i đồng điêu ỗ ì định với hệ số F

2

được gọi là đ ạ i số Steenrod m ô đ u l ô 2 và t h ư ờ n g được k ý hiệu là Ả.
N h ư vậy, đ ạ i số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần tuy

đ ạ i số n h ư là t h ư ơ n g của F - đ ạ i số kết hợp sinh t ự do bởi các ký hiệu Sq

i

2

(i nguyên k h ô n g â m ) chia cho iđêan hai p h í a sinh bởi hệ thức Sq

ữ

= Ì

và các quan hệ Adem. Đ ạ i s ố A có một cấu t r ú c p h â n bậc tự nhiên xác

7


định bởi
h

i2

ik

deg(Sq Sq

• • • Sq ) = h + h + • • • + ú

với mọi l i , Ỉ2).. - 1 ifc > 0. Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bơ sung,
nghĩa là có một tồn cấu F -đại số phân bậc tự nhiên € : A — • F2 thỏa

2

mãn
Ì nếu 1 = 0,
ỉ 0 nếu í > 0.
Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, Ả tác độ ng mộ t cách
tự nhiên lên đối đồng điều của mọi khơng gian tơpơ. Do đó, đố; đồng
điều của các khơng gian tôpô không chỉ là một F - đ ạ i số m à cịn J à mốt
2

.4-mơđun. C ấ u trúc ^4-mồđun tinh t ế hơn cấu trúc F - đ ạ i số. Chẳng
2

hạn, nhờ cấu trúc này ta có thể thấy các khơng gian E C P

2

3

và ố' V ố'

5

khơng có cùng kiểu đồng ln, vì tốn tử Sq tác động tầm thường trẽp
2

# ( S V s ) nhưng không tầm thường trên H (ECP ).
3

3

3

5

2

Nguyên nhân

của sự kiện Sq tác động không tầm thường trên # ( E C P ) là như sau
2

3

2

(xem [79]): mặt phảng xạ ảnh phức C P có thể thu được bằng cách dán
2

một ngăn 4 chiều vào mặt cầu s nhờ ánh xạ Hopf h : s —> s ; anh xạ
2

3

2

này không đồng luân tầm thường.

2

B à i t oá n "hit" và các ứng dụng
k

Gọi V = H*(RP°°)

là đại số đối đồng điều mơđulơ 2 của tích t rực

tiếp k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều. Theo công thức Kủrmeth
[77], V là một F2-đại số đa thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh),
trong đó mỗi biến có bậc bằng 1. Bài tốn chúng tơi quan tam là tìm

8


một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun

phân

bậc V. Một cách hình thức

hơn, điều này có nghĩa là tìm một cơ s cho khụng gian vộct phõn bc
Ơ đAV
2

= V P, ở đây à = ker£ là iđêan bổ sung của đại số Steenrod.

Bài toán này thường được gọi là bài toán "hit."
Để nhấn mạnh tầm quan trọng của bài toán "hit," sau đây chúng tơi
phân tích vai trị của nó trong mối liên quan với những đối tượng sau
đây: số hạng E2 của dãy phổ Adams (hội tụ đến nhóm đồng luân ổn định

của mặt cầu), lý thuy ết cobordism, biểu diễn mơđula của nhóm tuy ến
tính tổng qt, phân tích chẻ ra ổn định của khơ ng gian phân loại. chu
trình vĩnh cửu tr ong dãy phổ Adams, và không gian khuyên vô hạn.QS .
0

2.1

Sô hạng E2 của dãy phơ Adams
Để tiếp cận bài tốn nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng ln ổn

định của mặt cầu, trên cơ sở "dán các dãy phổ Ser r e vào với nhau," năm
1958 Adams [2] đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn
27rf(S°) của các nhóm này v ới số hạng E là Ext* (F ,F2).
2

việc tính Ext* (¥2,¥ )
A

2

ở
tr

A

2

Kể từ đó,

thành một trong những bài toán quan trọng

hàng đầu của lý thuy ết đồng luân ổn định.
Ý nghĩa của F <S>A V được thiết lập lần đầu tiên (có lẽ) trong mội.
2

cơng trình của Singer, trong đó õng sử dụng lý thuy ết bất biến để tìm
hiểu Ext* (¥ ,¥ )A

2

2

Singer viết cơng trình này vào quãng năm 1980 và

nó được lưu hành ở dạng tiền ấn phẩm. Ơng chính thức cơng bố [75]
vào năm 1989. Bằng những công cụ đại số đồng điều thuần túy , Singer
xây dựng một ánh xạ tuy ến tính T o r ^ ( F , F ) —> F (Su V. Ông chứng
2

9

2

2


minh rằng ảnh của ánh xạ này bất biến dưới tác động chí nh quy của
nhóm tuyến tí nh tổng quát ọc = Ợ£(k, F ) . Ánh xạ đối ngu
2

: Hom((F đ V) ,F )
C

Tr

k

2



k

>

2

Ext {Ơ ,Ơ )
A

2

2

c gi là đồng cấu chuyển Singer.
Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển bằng
cách chỉ ra rằng TTk là đẳng cấu khi k = Ì, 2, và rằng 0/-

>o

Trk l à một

đồng cấu đại số (bảo toàn phép nhân). Cơng trình của Singer phần l ớn
dựa trên những tính tốn cụ thể về khơng gian véctơ (F2 ®A V)

< Có

thể nói cơng trình của Singer l à một trong những cơng trình đầu tiên
đặt nhu cầu nghiên cứu bài toán "hit."
Một thập kỷ sau khi Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến nam 1991
Boardman một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của F2đối với nghiên cứu các nhóm Ext* {W2^i)-

Boardm n [9] chứng minh

A

rằng 7>3 cũng là một đẳng cấu. Cơng trình của ơng dựa trên những
tính tốn cụ thể về khơng gian véctơ F2 <8u V cho k = 3 của Kameko
[38]. Mục 4.6 s ẽ cho thấy hiện nay việc khảo sát dáng điệu của đồng cấu
chuyển đang được tiến hành như thế nào.
Lưu ý rằng, đồng cấu chuyển Singer, vốn được xây dựng một cách
hồn tồn đại số, chính là ánh xạ cảm s inh trẽn s ố hạng E2 của dãy phổ
Adams bởi ánh xạ chuyển hình học
A

£ ° ° ( R P ~ ) * —>

x°°s°

trong l ý thuyết đồng l uân ổn định (xem [37],[45],[58]). Tro ng Mục 2.5,
ta s ẽ thấy đồng cấu chuyển hì nh học này được sử dụng và đem lại những
kết quả thú vị trong dãy phổ Adams.
10


2.2

Lý thuyết cobordism

Bài tốn "hit" có liên hệ mật thiết với lý thuyết cobordism thông qua
những khảo sát của Peterson trong lý thuyết này.
G i ả sử M là một đa tạp ả chiều trơn, compact và không biên. G i ả sử
mọi tích của nhiều hơn k lớp Stiefel-Whitney của phân chỏ véctơ pháp
tuyến của M đều bằng 0. Điều kiện này được t hỏa m i n (chẳng hạn) nếu
M có phạm trù Lusternik-Schnirelmann khơng lớn hơn /ĩ, nghĩa là nếu
M có thể viết dưới dạng hợp của khơng q k + Ì tập con mở và co rút
được trong M. Peterson [66] khẳng định rằng khi đó, nếu a(d) > k (ở
đây a(d) là số chữ số Ì trong biểu diễn nhị phân của d), thì M là biên
của một đa tạp trơn và compact nào đó.
Để thiết lập kết q uả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói
rằng nếu a(d) > k, thì khơng gian véctơ phân bậc ¥2 (Su y bằng 0 tại
bậc ả — k. G i ả thuyết của ông được Wood [90] chứng minh năm 1988.
Sau đây chúng tôi giới t hiệu sơ lược cách Pet erson suy ra khẳng định
nói trên về đa tạp M từ định lý Wood.
Trước hết, bằng lập luận hình học, Peterson rút gọn bài toán M là
biên về việc chứng minh rằng ảnh của ánh xạ ư* : H*BO{m)

—> H*M

tại chiều đối đồng điều á là *4-phân tích được (ký hiệu BO(m)

chỉ đa

tạp Grassmann của các không gian véctơ thực m chiều trong M , với m
0 0

là số chiều của phân thớ pháp tuyến của M). Cịn V : M — • BO(m)

là

ánh xạ cảm sinh ra phân thớ pháp tuyến của M từ phân thớ véctơ phổ
dụng của BO(m).

Nhắc lại rằng H*BO(m)

= F [ ^ 1 , ^ 2 , . • . , Wm] trong
2

đó Wị là lớp St iefel—Whit ney phổ dụng t hứ ỉ (xem [53]).

li

5


Từ giả thiết về các lớp Stiefel-Whitney của phân thớ pháp t uyến của
M suy ra rằng ánh xạ ư* phân tích qua H*BO(m)/I +\
k

trong đó I

n

là iđêan sinh bởi các tích của ít nhất n phần tử thuần nhất bậc dương
của H*BO{m).
M

H*BO(m)/I

Do đó chỉ cần chứng minh rằng các phần tử bậc à của
là 4-phân tích được. Peterson khẳng định điều này là

hệ quả của giả t huyết của ông (sau này trở thành định lý Wood) nhờ
nhận xét rằng các ánh xạ t uyến t ính
s

w [xu . . . , x j —> I / I

\ x i . • .4- I— w

s +

1

2

iì+ì

•••

(với Ì < 5 < k)

đều là những tồn cấu X-mơđun.

2.3

Biêu diên mơđula của nhóm tuy ên tính tơng
qt

Sau khi chứng minh giả t huyết của Pet erson về sự kiện không gian
véctơ phân bậc ¥2 <8u V bằng 0 tại những bậc nào đó, Wood [91] t iếp
tục khai thác cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn
môđula của nhóm t uyến t ính tổng qt.
Gọi Ai là vị nhóm nhân các ma trận vng cấp k với phần tử thuộc
F . Nhóm t uyến t ính t ổng qt ọc chính là nhóm con các phần t ử khả
2

nghịch của M. G ọ i v

d

là t hành phần bậc ả của không gian véctơ phân

bậc V. K h i đó M tác động một cách t ự nhiên lên v
biến t uyến t ính. Do đó v

d

d

bằng các phép t hế

là một biểu diễn môđula của M và của ọc,

Một kết quả cổ điển của lý t huyết biểu diễn nói rằng mọi biểu diễn bất
khả quy của M hay của QC đều là một nhân tử hợp thành của v

12

d

với


ả > 0 nào đó (xem [92]).
Tác động của M v à của A lên Và. giao hoán với nhau, nên (F ®A
2

d

p)

ẼỂ (V/ẦP)

cũng là một biểu diễn mơđula của A i và của ổ £ . Wood

d

[91] có nhận xét thú vị là: mọi biểu diễn ịáí &/iả quy của M hay của ọc

đều là một nhân tử hợp thành của (F <8u *P) với d > 0 nào đó. Nhận
d

2

xét này chỉ ra v ai trị quan trọng của F <8u'P đối với nghiên cứu các biêu
'*

í

2

diễn mơđula của nhóm tuyến tính tổng qt cũng như vai trị quan trọng
của biểu diễn nhóm tuyến tính tổng q t trong nghiên cứu F2 ®A*P' Sau
đây chúng tồi chi tiết hóa chứng minh của Wood cho trường hợp biểu
diễn của Ợ £ .
G i ả sử M là một biểu diễn bất khả quy của ọc. Nói cách khác, A i
là m ột F2[ổ£]-m ơđun đơn. Ta đã biết có thể xem M như m ột nhân tử
9

d

hợp thành M /M"

của v

với ả > 0 nào đó. Hơn nữa, có thể giả thiết

rằng á nhận giá trị bé nhất có thể được.
G i ả sử M' n ÁP

1

n

ÃV)\M

đều có thể viết dưới dạng tổng

ỉn

-ị

Sq^Uị

h Sq u

với các số

n

ngun Ì < %1 < • • • < in nào đó, và các đa thức thuần nhất U i , . . . , Un G

V nào đó thỏa m ãn deg^s = ả — i . Ta hãy chọn m ột phần tử lí 6
s

(M'C\ÃV)\M

!Ỉ

il

cùng với một cá ch viết u = Sq u\

in

-ị

\-Sq u

U)

sao cho

n là bé nhất có thể được. Ký hiệu G£(u ) là F [Ợ£]-môđun con của
x

2

d

h

v~

sinh bởi phần tử Ui, và ũ là lớp tương đương của u trong M = M ' / M " .
K h i đó ánh xạ ỈM :

X

U

^9 l

Ằ eF geGC
g

được cho bởi công thức

l

—> M = M /M",

2ĩ

1

>

XI

V i
ữ

X eF ,geG£
g

2

được định nghĩa hợp lý và là một toàn cấu F [i?£]-m0dun.
13

2


Thật vậy, nếu J2x g ^g9 i
u

— 0' thì
Xí

Sqỉs

J2 \9U = J2 E
Do t ính bé nhất của 71, ta phải có J2

u

X

g ^g9

X

99Us).

e

M". Suy ra J2x g Ằ gũ =
g

0, vì thế ánh xạ iu là xác định đúng đắn. Mặt khác, vì M là F2[ổ£]mơđun đơn, nên nó được sinh bởi ũ. Suy ra jĩ4 là một t oàn cấu F2[Ễ/£]môđun.

Là m ột môđun thương của Ợ£(ui),

M do đó cũng là một nhân tử

hợp thành của mơđun này. Mặt khác, vì QC(u\) là m ột mơđun con của
ả

il

v~,

nên mọi nhân tử hợp thành của QC{u\) cũng là một nhân tử hợp
d

Do đó M là m ột nhân tử hợp thành của v ~ .

il

ả

thành của p ~ .

Điều

ix

này mâu thuẫn với t ính bé nhất của d.
Vậy M' n AV

c

M " . Từ đây suy ra rằng phối chiếu chính tắc

7T : V —> VỊ ẤP cảm sinh một đẳng cấu F [ổ£]-m ôđun Ai = M /M"
l

=

Vậy M là m ột nhân tử hợp thành của (F ®A v) .

Nhận

2

K(M')/TT(M").

d

2

xét của Wood được chứng m inh.

2.4

P h â n tích chẻ ra ổn định củ a khơng gian p h â n
loại

G i ả sử G là m ột nhóm tơpơ. lYong các G-phân thớ chính, tồn tại
một phân thớ với khơng gian tồn thể là co rút. Không gian đáy của
phân thớ ấy là không gian phân loại của G và được ký hiệu là BG (xem

[30]). Kiểu đồng luân của BG được xác định một cách duy nhất. Nếu
G là một nhóm với tơpơ rời rạc, thì BG = K(G, 1) chính là khơng gian
14


Eilenberg-MacLane t h ứ nhất của G. Nói r iêng, (RP°°)

k

k

= B{Z/2Z)

là

không gian p h â n loạ i của n h ó m ( Z / 2 Z ) .
Liên quan đ ế n k h ô n g gian p h â n loại của các n h ó m hữu hạn, chúng
tôi tập trung sự chú ý vào một định lý của Atiyah [8] (I960), và các giả
thuyết của Se gal [71], Sullivan [80] (1970). Định lý của Atiyah khẳng
định rằng K°(BG)
gian phân
của G,
iđêan

= [BG,Z

loại của nhóm

cịn R(G)Ị

=

X BU} ẼỂ R(Gf

unita

li m R ( G ) / I

Jf

vơ hạn, R(G)
N

— 7T°(BG),

là vành

là cái bổ sung I-ađíc

bổ sung I = ke r(dim : R(G)

rằng A(G)]

trong đó BU

là khơng

biêu diễn

phức

của R(G)

theo

—> Z ) . G i ả thuyết của Se gal nói

trong đó A(G)

là vành Burnside

của G,

cịn

7Ĩ®(BG) là nhóm đối đồng luân ổn định của BG. ( G i ả thuyết Se gal được
chứng minh qua nhiều bước, trong đó bước cuối c ù n g được thực hiện bởi
Carlsson [15],[16].) Còn giả thuyết của Sullivan (được chứng minh bởi
Miller [50],[51], được chứng mi nh l ạ i bởi Lannes [95],[96] trong trường
hợp G = Z2) nói r ằng không gian cá c á nh xạ liên tục bảo toàn điểm gốc
từ BG đến một CW-phức

hữu hạn là co rút y ếu. Q u á t r ì n h chứng minh

các giả thuyết Sullivan và Se gal đ ã l à m nảy sinh nhu cầu khảo sát cấc
á n h x ạ liên tục giữa khống gian p h â n loại của các n h ó m hữu hạn. Đây
là một hướng nghiên cứu thời sự, và kết q u ả đ á n g chú ý gần đây theo
hướng n à y là c ủ a Olive r [62],[63]. ( M ộ t giả thuyết của

Martino-Priddy

được Oli ver [63] chứng mi nh n ă m 2003 dựa t r ê n sự p h â n loại các n h ó m
đơn k h ơ n g giải được hữu hạn.)
V ớ i m ỗ i C W - p h ứ c X , t ồ n t ạ i duy nhất một C W - p h ứ c X(2) và một
á n h x ạ li ên tục X — > X(2)

sao cho 7T*(X(2))

—

7T*(X)(g>z^(2)>

trong đó Z(2)

là n h ó m cộng của các p h â n số a/b với a, 6 n g u y ê n và b l ẻ . K h ô n g gian
15


tơpơ Xị2) được gọi là cái 2-địa phương hóa của X (xem [5]ĩ[10],[81]).
Phân tí ch chẻ ra ổn định một CW-phức có điểm gốc X thành tổng
VieiXi là việc tìm một họ nào đó các CW-phức có điểm gốc Xi(i G /).,
sao cho các phổ treo của X và V ị / X ị là các vật tương đương đồng luân
€

trong phạm trù các CW-phỗ

(xem [4]).

G i ả sử G là một nhóm hữu hạn. Một cách p hân tích chẻ ra ổn định
của BG{2) thu được từ lý thuy ết biểu diễn môđula của G theo cách sau

(xem [67], [68]) : xét một hệ các phần tử lũy đẳng trực giao đầy đủ bất
kỳ của vành nhóm F [AutG], trong đó A u t G là nhóm các tự đẳng cấu
2

của G. Hệ này có thể được nâng thành một hệ các phần tử lũy đẳng
trực giao của vành nhóm Z [AutG], trong đó z
2

2

là vành, các số ngun

2-ađíc. Đến lượt mình, hệ vừa nêu được ánh xạ thành một hệ các phần
tử lũy- đẳng trực giao của vành [BG, BG] q ua một ánh xạ tự nhiên
Z [Autơ] -> [BG, BGị
2

trong đó [BG, BG] là vành các lớp đồng luân ổn

định của các ánh xạ liên tục từ BG{2) vào chính nó. Ký hiệu { e i , . . . ,e }
n

là hệ mới thu được. Đặt eịBG = colim{5G(2)

—> BG{2)

(các ánh xạ đều là eì) với ỉ — Ì , . . . , n . K h i đó
ổn định thành

BGị2)

—> BG(2)

—>•••}

p hân tích chẻ ra

Vf eịBG.
=l

Bằng cách áp dụng lý thuy ết biểu diễn mơđula của Ví (nửa nhóm
các ma trận vng cấp k), Wood và các tác giả khác (xem [89]) thu được
kết quả sau: tồn tại các CW-phức Yp sao cho X ^ M P ) ^ vhăn tích chẻ
0 0

ra ổn định thành V Y p
p

d p

, trong đó p chạy trên tập các biểu diễn bất khả

quy của My còn dp là số chiều của p. Hơn nữa, độ liên thông của Yp
bằng số nguyên không âm ả bé nhất sao cho p xuất hiện trong v

d

(tập

các đa thức thuần nhất bậc d) như là một nhân tử hợp thành. Số nguyên

16


này đã được xác định bởi Carlisle-Kuhn [13] và Trí [85]. số ả này và số
nguyên đ bé nhất sao cho ọ xuất hiện trong v ' như là một mơđun con
d

có "liên hệ với nhau" thơng qua các tốn tử Steen rod (xem chi tiết tron g
[86]). Bài toán tìm đ đã được Trí giải quyết [84].
T ừ phân tích trên suy ra rộng A m ơ đ u n V = H*(RP°°)

k

phân tích

thành tổng trực tiếp của các phép treo nào đó của các H*Yp. Việc giải
bài tốn "hit" cho ta những thông tin về H*Yp và cấu trúc .4-mơđun của
chúng, từ đó có thể hy vọng xác đị nh được Yp. Đây chính là ứng dụng
của bài tốn "hit" đối với lý thuyết phân tích chẻ ra ổn đị nh của không
gian phân loại.

2.5

C h u t r ì n h vĩnh cửu trong dãy phơ Adams

Việc tính 2?rf (5°) bằng dãy phổ Adams địi hỏi phải xác đị nh được
số hạng £ 2 , cá c chu trình vĩnh cửu, và các mở rộng nhóm tại thành phần
Eco. Trong mục này, chúng tôi thảo luận vấn đề tìm các chu trìn h vĩnh
cửu trong dãy phổ Adams, qua đó chỉ ra vai trị của bài tốn "hit" (chính
xác hơn, của đồng cấu chuyển Singer) đối với vấn đề n ày.

Một tron g n hữn g giả thuyết táo bạo về chu trìn h vĩnh cửu được đưa
ra bởi Joel Cohen trong nửa sau của thập kỷ 70 (xem [57]). G i ả thuyết
này được Barratt đặt tên là "ngày tận thế," và được Milgram [49] chọn
vào d anh sách các bài toán mở trong Hội nghị thường niên mang tên
Summer Research Institute lần thứ 17 của Hội toán học M ỹ được tổ
chức tại Đại học Wisconsin (Mad ison, Wisconsin) vào năm 1970. G i ả
thuyết "n gày tận thế" n ói rằn g với mọ i k, chỉ có một số hữu hạn các

17
ĐAI H Ọ C Q U Ố C G I A H À NÔI
TRUNG TẨM THÔNG TIN THI r VIÊN


phần tử của

là chu trình vĩnh cửu trong dãy phổ

Ext {¥ ,¥2)
k

A

2

Adams.

G i ả thuyết này đúng khi k = Ì, theo một kết quả nền tảng của Adams
[3] về các phần tử có bất biến Hopf bằng Ì trong 7rf (5°). (Chính từ kết
2

quả của Adams mà giả thuyết được hình thành.)
K h i k = 2, người ta đã biết rằng trong Ext (¥ ¥ )
2

A

2)

2

chỉ có hai họ

phần tử có thể là chu trình vĩnh cửu, đó là h} (với ỉ > 0) và hiht (với
ì > 3). Năm 1976, các phần tử h\hi (i > 3) được chứng minh là chu
trình vĩnh cửu trong một cơ ng trình nổi tiếng của Mahowald [44]. Như
vậy, giả thuyết "ngày tận thế" là sai trong trường hợp k — 2.
Việc tìm hiểu x em các phần tử h ị có là chu trình vinh cửu hay khơng
2

được gọi là bài toán về bất biến Kervaire. Ten gọi nàv xuât xứ từ cơng
trình của Browder [11] về các phần tử có bất biến Kervaire bằng Ì trong
27ff (5°).

Đây vần là một bài toán mở, và đến nay người ta mới chỉ biết

tiị là chu trình vĩnh cửu với ỉ < 5. Một cách truyền thống, người ta tin
rằng nếu hf là chu trình vĩnh cửu, thì phần tử tương ứng với nó trong
2 ^ ( 5 ° ) (được ký hiệu l à 9ị) được phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học
A2

X°°(RP™)

— • s ° ° 5 nói trong mục trước (xem [57]). Niềm tin truyền
0

thống này bị Minami xóa bỏ [54]. Dựa trên khảo sát của Singer [75] về
đồng cấu chuyển, cùng với các tính tốn BP-\ý thuyết của K.?^° A]RP^°,
Minami chứng minh rằng các phần tử Oi với i > 5, nếu tồn tại, không
thể bị phát hiện bởi ánh xạ chuyển hình học.
Minami tiếp tục khai thác kỹ thuật của ông trong [55] cho k = 3 và
trong [56] cho k tùy ý. Với fc = 3, ông sử dụng kết quả của Boardman
[9] về đồng cấu chuyển Singer để tìm ra một danh sách các phần tử của
Ext^(¥ ¥2)
2ì

có tính chất: chúng có thể là chu trình vĩnh cửu, và các
18


phần tử ứng với chúng trong 7rf

óc thể được phát hiện bởi ánh xạ

2

chuyển hình học. Từ đó, năm 1993 Minami đưa ra trong [55] giả thuyết
mới về "n gày tận thế." G i ả thuyết n ày n ói rằng với mọi k, tồn tạ i một
số nguyên n = n(k) sao cho tất cả các phần tử của

(Sq°) (Ext ^(F2 ¥2))

n

ỉ

ì

đều khơng phải là chu trì nh vinh cửu trong dãy phổ Adams. (Xem [43],[61]
k

về án h xạ Sq° : Ext /(¥ ¥ )
2ì

2

—> £ z í Ị f * ( F F ) . )
2 í

2

Năm 1997, vẫn sử dụng các tính to án BP-\ý

thuyết và một số kỹ

thuật liên quan đến bài toán ''hit," Min ami [56] chứn g min h được một
dạng yếu của giả thuyết mới về "n gày tận thế." Cụ thể hơn, ông chứng
minh rằng với mọi kj tồn tại Tí = n(k) sao cho mọi phần tử của
tương ứng với các chu trình vĩnh cửu thuộc (Sq ) (Extj (¥2j¥2))
ũ n

i

7Ĩ

2 *(S°)
đều

khơng bị phát hiện bởi ánh xạ chuyển hì nh học.
Có thể nói, sau cơng trình của Peterso n [66] về cobordism (xem
Mục 2.2), n ếu bài toán "hit" thu hút được sự chú ý của những người
nghiên cứu khía cạnh hình học của Tơpơ đại số, thì bài báo của Minami
[56] là một tro ng những cơng trình quan trọng góp phần tạo nên điều
đó. Một cơng trình khác của N . H . V . Hưng, cũng đã góp phần quan
trọng trong việc nâng cao ý nghĩa của bài tốn "hit" sẽ được giới thiệu
trong Mục 2.6.

2.6

Khơng gian khuyên vô hạn và giả thuyết về lớp
cầu

Không gian khuyên vơ hạn Q(-)

:= l i m ^ o c

có liên hệ chặt

chẽ với lý thuyết các phổ, cũng như với các lý thuyết đồng điều và đối
19

đồng điều suy rộng (xem [4]). Nếu X là một khơng gian tơpơ có điểm
gốc, thì các nhóm đồng ln của thành phần liên thông đường QoX của
điểm gốc trong QX chính là các nhóm đồng ln ổn định của X. Sự kiện
này có thể khiến chúng ta nghĩ rằng đồng cấu Hu rewicz của QoX chứa
những thông tin quan trọng về các nhóm đồng luân en định của X.
Tuy nhiên, trong trường hợp qu an trọng bậc nhất X = 5°, thực tế
dường như không diễn ra như vậy. Một trong những phán đoán lớn liên
quan đến điều này là giả thuyết cổ điển về lớp cầu (được đưa ra vào
qng 1970), nói r ằng đồng cấu Hurewicz mơdulơ 2
ồ

K*(QoS ) —

H*{QoS°;F )
2

chỉ phát hiện được các phần tử của TT*(QQS )
Ồ

—

nf(S°)

có bất biến Hóp/

bằng Ì hoặc bất biến Kervaire bằng 1. Một số người cho rằng giả thuyết
này là của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là cu a Madsen (xem
[32] ,[57]). Nhắc lại r ằng tr ong dây phổ Adams hội tụ về đồng luân ổn
định của 5°, các phần t ử của 7ĩf

có bất biến Ho pf bằng Ì ứng với

các chu t rình vĩnh cửu / l i , /i2, hs G Ext\(¥ ,
2

¥ ) (t heo [3]), cịn các phần
2

tử có bất biến Kervaire bằng Ì ứng với các chu t rình vĩnh cửu giả định
h% e Ext^(¥2,¥ )

(theo [li]). Do đó, nói riêng, giả thuyết cổ điển về

2

lớp cầu khẳng định rằng các phần t ử của 2?rf (5°) ứng với các chu t rình
vĩnh cửu t rong £ X Í ^ ( F , F ) với k > 2 đều nằm tro ng hạch của đồng
,

2

2

cấu Hurewicz môđulô 2 của QQS .
Ồ

G i ả thuyết này có liên quan bất ngờ

đến bài to án "hit" nhờ các công tr ình của Lannes-Zar ati, Goer ss và N .
H. V . Hưng.

Trước hết, vào năm 1983 Lannes-Zarati [97] xây dựng một ánh xạ
20


tuyến tính
F ) —» Hom (F (Su

k

LZ : Ext {¥ ,
A

2

F ).

2

2

2

Họ chứng minh trong [98] rằng ánh xạ này tương thích theo một nghĩa
thích hợp với đồng cấu Hurewicz mơđulơ 2 của QoS nói trên thơng qua
ồ

dãy phổ Adams của 5°. Muộn hơn họ một chút và bằng kỹ thuật độc
lập, Goerss [28] cũng đã chứng minh được tính chất này.
Dựa vào các kết quả đó, N . H. V . Hưng đã đưa ra một phát biểu
đại số cho giả thuyết cổ điển về lớp cầu, nói rằng ánh xạ cz

bằng 0 tại

các bậc dương nếu k > 2. ô n g đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu
của Singer Tr

k

: Hom ((F ®A V )

g c

2

, F ) —> Ext {¥ ,
k

2

1995 ơng tiên đốn [32] rằng cái hợp thành cz

A

2

chu yển

F ) , và vào năm
2

o Trỵ bằng 0 tại các bậc

dương nếu k > 2. Hơn nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về
cz

o Tru tương đương với sự kiện rằng ánh xạ F ®A V
2

được cảm sinh bởi phép nhúng v^

c

G C

— • F ®A V
2

—> V bằng 0 tại các bậc dương với

c

mọi k > 2. Đây là một ý tưởng hiệu quả: tiên đốn đó của ơng đã được
chúng tơi chứng minh [3,Danh mục] vào năm 1998. Lưu ý rằng tại thời
điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả (chẳng hạn
như Singer) (lùng miền x ác định của ánh xạ này để nghiên cứu miền giá
trị của nó khi k < 2 (x em [75]).
Như vậy, giả thuyết của N . H . V . Hưng về cz

o TTk đã chỉ rõ v ai

trò của bài tốn "hit"; quan trọng hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh
của đồng cấu chu yển. Cơng v iệc tính tốn này được chúng tơi thực hiện
trong [99].

21


3

N ộ i dung và bố cục của luận án
Luận án tổng kết một số kết quả nghiên cứu xung quanh b ài tốn

"hit" mà chúng tơi đã thu được từ năm 1998 đến nay, được công b ố
trong 5 bài b áo [Ì,2,3,4,5,Danh mục]. Một số kết quả khác đã được in
dưới dạng tiền ấn phẩm [99] của Đại học Paris 13 và đang được gửi đăng.
Hầu hết các nghiên cứu này đều đà được chúng tôi b áo cáo tại các hội
thảo trong nước và quốc tế: Hội thảo châu Âu về Lý thuyết đồng luân
hiện đại (Đại học Paris 13, 11/2002. 60 phút), Hội nghị quốc tế về Lý
thuyết bất biến và những tương tác của nó (Đại học Gõttingen, 3/2003,
45 phút), H ộ i nghị quốc tế về Tồpô đại số (Hà Nội, 8/2004, 45 p hút).
Hội nghị tồn quốc về Đại Số-Hình học-Tơpơ (Đại học Đà lạt, 11/2003),
Hội nghị tổng kết năm 2004 của Khoa Toán-Cơ-Tin học (Trường đại
học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 11/2004, báo cáo tồn
thể), Xemina ĐAHITƠ (Hà nội, 5/2004), các xemina của Phòng Đại
số thuộc Viện Toán học Hà nội (3/2000), của Khoa Toán các Đại học
Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) và của Bộ mơn Đại
Số-Hình học-Tơpơ (Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường đ ạ i học khoa học
tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 10/2004).
Về hình thức trình bày, luận án gồm 4 chương. Chương M ở đầu mang
tính giới thiệu chung; các ký hiệu dùng trong chương này áp d ụng cho

toàn luận án. B a chương cịn lại được trình bày độc lập với nhau. Các
phát biểu toán học trong các Chương ì, l i , I U được đánh số theo quy
tắc: số chương/số mục/số phát biểu. Chẳng hạn, Bổ đề li.1.5 là p hát
biểu thứ 5 của M ụ c Ì trong Chương l i .
22


Chương ì giải qu yết bài tốn "hit" cho đại số Dickson. Kết qu ả của
chương này được công bố trong các bài báo [Ì,3,Danh mục]. Chương l i
giải qu yết bài toán "hit" cho các bất biến dưới tá c động của các nhóm
con parabolic của nhóm tu yến tính tổng qu át. Kết qu ả của chương này
được công bố trong các bài báo [2,4,Danh mục]. Chương IU được viết
lại từ bài bá o [5,Danh mục]; trong chương này chúng tơi giải qu yết bài
tốn "hít" ở bậc đủ tổng qu át.

4

Các kết qu ả chính của lu ận án
về nội du ng khoa học, luận á n gồm 3 kết qu ả chính được trình bày

trong cá c Định lý C l , C2, C3.

4.1

Bài toán "hit" cho các bất biến Dickson
Cấu trúc các phần tử của V bất biến dưới tá c động tự nhiên của QC

đã được làm sá ng tỏ trong [24] bởi Dickson vào năm 1908. Vì thế người
ta ký hiệu V = v^

c

là tập hợp con của V gồm các phần tử bất biến này.

V là một .4-môđun con của V. Định lý tru ng tâm của Chương l i là
í*

Đ ị n h lý C l . Anh xạ ¥2 <8u

-ó-

V —> ¥2 <8u

V, được cảm sinh bởi phép

nhúng V <—* V, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2.

Định lý này (đồng thời là kết qu ả chính của hai bài báo [Ì ,3,Danh
mục]) khẳng định một giả thu yết của N . H . V . Hưng [32] và nằm trong
bối cảnh sau.

23


(i) Một mặt, các cơng trình Singer [76], Chen-Shen [18], Monks [59],
Silverman [72],[73],[74], Crossley [23], Karaca [41], Meyer [47],[48],
Jan-fada-Wood [36] đều có mục đích tìm càng nhiều càng tốt các
phần tử của V có ảnh bằng 0 trong ¥ <8u Ps Định lý C l chỉ ra
2

một họ lớn các phần tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson.
Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa thức phân tích
được có thể đem lại những hệ sinh của V/ẢV

[23],[91],[92,p. 502].

Tuy nhiên, những hệ sinh này không phải là cực tiểu và do đó
khơng cho lời giải của bài tốn "hit." Để có thêm thơng tin về bài
tốn này, độc giả có thể tham k hảo thêm [26],[92]; đó là những bài
báo tỏng quan xuất sắc, đặc biệt là Wood [92].
(li) Mặt khác, theo N . H . V . Hưng [32] thì ánh xạ tự nhiên ¥ ®ÁD
2

F (Su p phân tích thành Trị o c z \ trong ú cz*
2

TrÊ(F ,F )
2

2

>

: Ơ đA V —*
2

là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati [97],

còn Trị : Torỷ(¥ ,
2

¥2) —> F <8u V là ánh xạ đối ngẫu của đồng
2

cấu chuyển Singer [75]. Do đó, Định lý C l tương đương với sự kiện:
cái hạn chế của cz

trê n ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các

bậc dương nếu k > 2. Thế mà, như đã nói trong Mục 2.6, việc
cz

= 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 chính là một dạng phát

biểu đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu. Nhìn từ k hía cạnh
này, Định lý C l đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho d ạng đại
số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu.
Nói thê m rằng, sau khi đã gửi đăng [3,Danh mục], chúng tôi được
Wood và Peterson thông báo rằng họ đã giải quyết được trường hợp
24


ế = 4 và có thể cả trường hợp k = 5 của Định lý C l . Chúng tồi cũng
nhận được từ Tan-Xu một bài viết [82] chứng minh lại trường hợp k = 3
của Định lý C l . Chứng minh đầu tiên của trường hợp này đã được N . H .
V . Hưng thực hiện dựa vào cơng t rình của Boardman [9]. Đóng góp của
Tan-Xu chỉ là đưa ra một chứng minh mới, sơ cấp hơn. Tuy ỉihiên, cách
tiếp cận của N . H . V . Hưng không thể áp dụng cho trường hợp Ả: > 5.
vì ơng đã phải sử dụng các k ết quả của Hưng-Peterson [34] về F2 <8>A *D
với k < 4. Cho n nay, Ơ2 đA

mi ch c bit hồn tồn với k < 5

(xem [27]).

4.2

Bài tốn "hit" cho các bất biến parabolic
Trong mục này, chúng ta xét các bất biến của các nhóm con parabolic

của ỌC, có dạng

/ Ai,

\

\A egc ,...,A egc }

:={

Gi.

1

0

V

kl

m

km

Am ỉ

trong đó ki + • • • + k

= k. Trên cơ sở k ết quả của bài toán "hit"

m

cho các bất biến Dick son, trực giác dẫn chúng t ơi đền dự đốn rằng:
G

ánh xạ F ®A P *»
2

Gk

V *

fcm

km

—* F2 ®A V được cảm sinh bởi phép nhúng

—• V bằng 0 tại các bậc dương nếu

k\>2.

Thật ra, kỹ t huật của chúng t ôi cho phép chứng minh được một
định lý mạnh hơn thế. Với n <
Ả
k-nvầgc m
n

h-n

ký hiệu ỉk-n là ma t rận đơn vị cấp
é

\
\A e ỢCn}. G i ả sử kị > 2. Để

:= {ị
0

h-n
25


ý rằng ợc, • I*_3 c GC

• Ifc-fc c G

kì

D

pG

kl

fcm

Qị

n

t r ú c

fcl

fc . Từ đó suy ra V

Q

C

m

của pgc *i kỉ

^ D

ê
d dàng thu được từ

k kỉ

các cơng trình của Dickson và của H. Mùi [60]. Nhờ đó, chúng tôi chứng
minh trong Chương li định lý sau đây.
Định lý C 2 . Ánh xạ F «u V ** ~
GC

lk

2

phép nhỳng 7>CÊớằfc-a

z

ã F đA V, c cm sinh bi
2

P bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2.
}

Từ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: án h xạ F £ỉu'p

ơfcl

fem

2

1B*2 ®A *p được cảm sinh bởi p hép nhúng V \

Gk

—•

™ —> V bằng 0 tại các

k

bậc dương n ếu ki > 2.
Định lý C2 cũng là kết quả chín h của 2 bài báo [2,4,Dan h mục]. Vì
đại số Dickson là một trường hợp đặc biệt của V ì
Gk

m

* , từ kết quả trên

chúng tôi thu được một chứng minh mới cho Định lý C l . Điều đáng nói
là, trong khi các phần tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng
3

1

với k, thì bậc của các phần tử sinh của đại số T ^ * *

- 3

đều không vượt

quá 8 và khơng p hụ thuộc vào k. Do đó, lớp các đa thức phân tích được

đưa ra trong Định lý C2 lớn hơn rất n hiều so với lớp các đa thức phân
tích được của Định lý GI.

4.3

Các p hần tử đ ố i bất biến với k = 4

Peterson [65] khởi đầu việc giải bài toá n "hit" bằng việc tính ¥ <8>A V
2

với k = 1,2. Cũng trong [65], Peterson phá t biểu giả thuyết nổi tiến g
của ông về tính phân tích được của các đa thức với bậc nào đó có số biến
k bất kỳ (xem mục tiếp theo). G i ả thuyết n ày được Wood [90] chứng
minh năm 1988.
26


Với k = 3, k hông gian véctơ phân bậc F (Su V rất phức tạp và đà
2

được xác định bởi Kam eko trong luận án tiến sĩ của anh [38] tạ i Đại
học Johns Hopkins (Balti more, Mỹ) vào năm 1990. Khoảng 6 tháng sau,
kết quả của Kam eko được xác nhặn lại bằng một phương pháp đối ngầu
với những kỹ thuật độc lập bởi Alghamdi-Crabb-Hubbuck

[7] tại Đại

học Aberdeen. Bản thân chúng tơi cũng đã tìm lại được kết quả của
Kameko, với kỹ thuật chứng m inh độc lập, trong khóa luận tốt nghiệp
Trường đại học khoa học tự nhi ên Hà Nội năm 1999 [1].

Có thể vì những khó khăn kỹ thuật, ngoại trừ những kết quả tinh
tế hóa định lý của Wood (xem các trích dần trong Mục 4.1) và các tính
tốn cho k < 2 khi trường các hệ số có đặc số lẻ của Crossley ([20],[21]),
suốt trong thập kỷ 90 hướng nghi ên cứu do Peterson khởi xướng k hơng
có kết quả gì m ới. Chỉ rất gần đây F2 <8u V mới được tính cho k = 4
tại bậc ả = 2

p + 3

+ 2

p + 2

- 4 trong cơng trình của Brưner-Hà-Hưng [12]

(2002). Với việc tập trung vào bậc ả = 2

Í?+3

2

+ 2?+ - 4, các tác giả này

đã phủ định một giả thuyết của Minam i (1999). Mục đích của tính tốn
của các tác giả này sẽ được nói rõ trong Mục 4.6. Tại thời điểm viết luận
án này, chúng tôi được biết Kam eko đang hoàn tất bài viết m ới [40], cho
kết quả hoàn toàn về F2 (Su V khi k — 4.
Chúng tơi quan tâm đến F ® V là vì muốn sử dụng nó để xác định
2

Ả

ảnh của đồng cấu chuyển Singer. Dựa vào kết quả đã được thơng báo
của Kamek o [40] về bài tốn "hit" cho đại số đa thức 4 biến, chúng tôi
xác định không gian véctơ phân bậc Hom ( ( F 2 ® ^ P )

Ợ £
Ĩ

F ) tại những bậc
2

chẵn cho k = 4. K ế t quả này đã được trình bày trong bài [99].

27