DE Dap an HSG THPT 2007

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.71 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hố

§Ị chÝnh thøc

Kú thi chän häc sinh giái tØnh

Năm học 2006-2007

Môn thi:

TOáN

Ngày thi: 28/03/2007

Lớp: 12 Trung häc phỉ th«ng.

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề thi)

Đề thi này có 4 cõu, gm 1 trang.

Câu 1: (7,0 điểm)

1. Kho sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

1

1 x

y

x

+ +

=

+

( )

1

2. Tìm để đ−ờng thẳng:

k

(

2 −

k x y

)

− + =

1

0 cắt đồ thị

( )

1 tại hai điểm phân

biệt

A B

,

sao cho các tiếp tuyến với đồ thị

( )

1 tại

A

và

B

song song với nhau.

3. Ch

ứ

ng minh r

ằ

ng ph

ươ

ng trỡnh:

x

+ + =

x

1 (

x

+

1 9

)

−

x

cú

đ

ỳng 2 nghi

ệ

m.

Câu 2: (5,0 điểm)

1. Áp d

ụ

ng khai tri

ể

n nh

ị

th

ứ

c Niut

ơ

n c

ủ

a

(

x2+x

)

100

, ch

ứ

ng minh r

ằ

ng:

0 99 1 100 99 198 100 199

100 100 100 100

1 1 1 1

100C 101C 199C 200C 0.

2 2 2 2

⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + ⋅⋅⋅ − ⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2. Cho tÝch ph©n

s 2

2cos 2

n

in nx

I

dx

a

x

=

−

∫

,

n

∈

N

. T×m sao cho

a

I

2006

, ,

I

2007

I

2008

theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng.

Câu 3: (7,0 ®iĨm)

1.

Trong mặt

ph

ẳ

ng v

ớ

i h

ệ

to

ạ

độ

Oxy

cho đ

−

ờng tròn

(

V

):

x

+

y

−

4 x

+

6 y

− =

3

0 tâm

I

và đ

−

ờng thẳng

( )

Δ

:

x by

+

− =

2 0

.

Chứng minh rằng

(

và (

V

) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

với

mọi

b

. Tìm để tam giác

có diện tích lớn nhất.

)

Δ

P Q

,

b

PIQ

2.

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

cho các điểm

A

(

2 0 0

; ;

)

,

B

(

0 8 0

; ;

)

,

(

0 0 3

; ;

)

C

v

N

là điểm tho¶ m·n:

ON

uuur uuur uuur uuur

=

OA OB OC

+

. Một mặt phẳng

( )

P

thay

i

ct cỏc on

OA

, , ,

OB OC ON

lần l−ợt tại các điểm

A B

1

, ,

1 .

Hãy xác định toạ độ điểm

sao cho:

,

C N

N

1 1 1

2007

OA

OB

OC

OA

+

OB

+

OC

=

.

Câu 4: (1,0 điểm)

Tỡm tp hp các điểm M trong khơng gian có tổng bình ph−ơng các khoảng cách

đến các mặt của một tứ diện đều

ABCD

cho tr−ớc bằng một số d−ơng không

đổi.

k

---

HÕt

---

ã

Học sinh không đ

ợc sử dụng tài liệu

gỡ.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH HOÁ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM 2007 
Mơn: TỐN. THPT

(Đáp án - Thang điểm gồm 3 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

I (7,0 điểm)

1 (3,0 điểm)
• TXĐ: \

{ }

−1

• Sự biến thiên:

(

)

2
2

2

0

2

1 '

x

, '

hc

y

x

+

=

= ⇔ = −

+

x

=

0 y

CD

=

y

( )

−

2 = −

3 ,

y

CT

=

y

( )

0 =

1

1,0

Bảng biến thiên:

1,0

•Đồ thị:

1,0

2 (3,0 điểm)

Phương trình hồnh độ giao điểm:

(

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

0

1 ...

x

k x

k

x

k

x

+ +

=

−

+ ⇔ ⇔

−

+

−

=

≠ −

+

1 )

Có 2 nghiệm phân biệt khi

k

≠

1 vµ

k

≠

2

1,5

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi:

( )

0

2

0

1 '

k

...

f

k

−

⎛

⎞

=

⎜

⎟

⇒ =

−

⎝

⎠

. 1,5

3 (1,0 điểm)

Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị các hàm số:

1

1 x

y

x

+ +

=

+

( )

1

và

9

2 2

0

2

( )

9 y

x

y

≥

⎧

=

−

⇔ ⎨

+

=

⎩

2

. Đồ thị hàm số

( )

2

là nửa đường tròn

1,0

x
y'
y

−∞

−∞ −∞

+ ∞

+ ∞
+ ∞

−3

1
0
0
0

−2 −1
2

− −

+ +

O
−1

−2 x

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

phía trên trục

Ox

, tâm

O

( )

0 0

;

, bán kính bằng 3. Suy ra đpcm.

II (5,0 điểm)

1 (3,0 điểm)

Ta có: 100

(

)

100 0 100 1 101 99 199 100 200

100 100 100 100

x 1 x+ =C .x +C .x + +... C .x +C .x

1,0
Lấy đạo hàm hai vế ta suy ra

(

)

(

)

(

)

0 99 1 100 100 199

100 100 100

100 x 1 x+ 1 2x+ =100.C .x +101.C .x + +... 200.C .x . 1,0

Thay x 1
2

= − ta suy ra B 0.= 1,0

2 (2,0 điểm)

Ta có: 2008 2006

s 2.2008

s 2.2006

2cos 2

in

x

in

x

I

d

a

x

+

+

=

−

∫

x

(

)

0 0

s 4014

cos 2

2s 4014 cos 2

2cos 2

in

x a

in

x

dx

a

x

a

x

π π

−

=

= −

−

∫

1,0

2007 2007

0 0

s 2.2007

cos 4014

s 4014

2cos 2

4014

in

x

in

xdx a

dx

aI

a

x

π π

= −

+

=

+

=

−

∫

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi

a

=

2

1,0

III (7,0 điểm)

1 (3,0 điểm)

Tâm

I

(

2 3

;

−

)

, bán kính

R

=

4

, khoảng cách từ

I

đến

( )

Δ

là

3

1 b

d

b

=

+

,
suy ra

d R

< ⇔

9 b

<

16 16

+

b

⇔

7 b

+

16 0

> ∀

b

1,5

Diện tích tam giác

PIQ

là

1

8

2 .

.sin

2 R

S

=

IP IQ

PIQ

≤

=

. lớn nhất khi
. Khi đó

S

90 PIQ

=

3

2 2 2

2 1

b

R

d

b

=

⇔

=

⇔ = ±

+

1,5

2 (4,0 điểm)

(

2 8 3

; ;

)

ON

uuur

=

suy ra phương trình 1

(

)

2

8 2 8 3

3 :

; ;

x

t

ON

y

t

N

t t t

z

t

=

⎧

⎪ =

⇒

⎨

⎪ =

⎩

1,5

Giả sử

A a

1

(

; ;

0 0

) (

, ; ;

B

1

0 0

b

)

, ; ;

C

1

(

0 0

c

) (

, ,

a b c

>

0 )

suy ra phương trình
mặt phẳng

( )

P

:

x

y

z

1 a

+ + =

b

c

1,5

( )

N

∈

P

suy ra

2 t

8 t

3 t

1 a

+

b

+

c

=

. Từ giả thiết có:

2 8 3

2007

a b c

+ + =

suy

1 2007

t

=

. Do đó 1

2

8

3 2007 2007 2007

;

N

⎛

⎜

⎞

⎟

⎝

⎠

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

IV (1,0 điểm)

Gọi

G

là trọng tâm

Δ

ABC

O

là trung điểm . Tính chất tứ diện đều cho
ta vng góc với nhau từng đơi. Chọn hệ toạđộ

Oxyz

sao cho:

DG

,

OA OB OC

(

3 0 0

; ;

)

A a

B

(

0 3 0

;

a

;

)

C

(

0 0 3

; ;

a

)

(

a

>

0 )

. Suy ra:

G a a a

(

; ;

)

và

(

;

)

D a a a

− − −

. Ta có phương trình các mặt của tứ diện là:

(

ABC x y z

)

:

+ + −

3 a

=

0 (

DAB x y

)

:

+ −

5 z

−

3 a

=

0

,
và

(

DBC

)

:

− + + −

5 x y z

3 a

=

0 (

DCA x

)

:

−

5 y z

+ −

3 a

=

0

. Giả sử

(

;

)

M x y z

và khoảng cách từ

M

đến các mặt

(

ABC

) (

,

DAB

) (

,

DBC

)

và

(

DCA

)

thứ tự là

d d

1

,

2

,

d

3 và

d

4ta có:

k d

=

12

+

d

22

+

d

32

+

d

42

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0

1

3

5

3 x

y

z

a

27 x

y

z

3 a

=

+

+ −

+

−

1 (

5

0 0 0

3 )

1 (

0

5

0 0

)

27 −

x

+

y

+ −

z

a

+

27 x

−

y

+ −

z

3 a

2 2 2 2

0 0 0

3

9

2 a

k

x

y

z

−

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⇔

⎜

−

⎟

+

⎜

−

⎟

+

⎜

−

⎟

=

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

4 a

3

9

4 k

a

IM

−

⇔

=

. Trong đó

2 2 2

; ;

a a a

I

⎛

⎜

⎞

⎝

⎠

⎟

là trọng tâm tứ diện

ABCD

Nếu

k

<

3 a

2 thì tập hợp các điểm

M

là

∅

. Nếu

k

=

3 a

2 thì

M

≡

I

. Nếu
thì tập hợp các điểm

3 k

>

a

M

là mặt cầu tâm

I

bán kính

3

4 k

a

r

=

−

1,0
y

x

z
O

G
B

D

A

C

</div>

DE Dap an HSG THPT 2007

Kú thi chän häc sinh giái tØnh

<b>Năm học 2006-2007 </b>

<b>Môn thi: </b>

<b>TOáN </b>

Ngày thi: 28/03/2007

Lớp: 12 Trung häc phỉ th«ng.

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề thi)

Đề thi này có 4 cõu, gm 1 trang.

<b>Câu 1: (7,0 điểm) </b>

1.

Kho sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

<sub>1</sub>

1

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

+ +

=

+

( )

1

2.

Tìm để đ−ờng thẳng:

<i>k</i>

(

2

−

<i>k x y</i>

)

− + =

1

0

cắt đồ thị

( )

1

tại hai điểm phân

biệt

<i>A B</i>

,

sao cho các tiếp tuyến với đồ thị

( )

1

tại

<i>A</i>

và

<i>B</i>

3.

Ch

ứ

ng minh r

ằ

ng ph

ươ

ng trỡnh:

<i>x</i>

+ + =

<i>x</i>

1

(

<i>x</i>

+

1 9

)

−

<i>x</i>

cú

đ

ỳng 2 nghi

ệ

m.

<b>Câu 2: (5,0 điểm) </b>

1.

Áp d

ụ

ng khai tri

ể

n nh

ị