SKKN Phuong phap dien tich trong chung minh hinh hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Đặt vấn đề</b>

Đối với học sinh THCS, có những bài tốn mà nếu khơng biết sử dụng
phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài tốn đó sẽ gặp nhiều khó
khăn. Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tơi cũng rất quan tâm đến vấn đề
này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua. Đặc
biệt là năm học 2004 – 2005, khi có u cầu dạy mơn Tự chọn cho học sinh lớp
8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diện tích trong chứng minh
hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảng dạy của mình và của các
đồng nghiệp , đồng thời tìm tịi bổ sung thêm những dạng bài tập có liên quan
tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôi .

Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính tốn vì các em
đã được làm quen từ Tiểu học . Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng
để chứng minh thì khơng đơn giản chút nào . Sau đây tôi xin được trình bày một
số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề mình tìm tịi học hỏi được
để “

<b>Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong</b>

<b>chứng minh hình học “ </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>1 -Trước tiên phải cho học sinh hiểu được phương pháp diện tích là </b>
<b> gì và ích lợi của phương pháp này . </b>

Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình
vng, hình tam giác … Các cơng thức về diện tích các hình nói trên chủ yếu
được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính tốn có liên quan
đến diện tích . Lên đến THCS, HS lớp 8 lại tiếp tục được học về diện tích của
các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn. Tới đây, ta cũng cần cho học
sinh thấy được ngồi ứng dụng tính tốn, các cơng thức tính diện tích cịn cho
ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích trong một số bài
tốn chứng minh về đại số cũng như hình học. Chẳng hạn :

Sách giáo khoa cũ có những bài tốn đề cập đến vấn đề này .
Ví dụ 1 :

Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , có bài
tốn u cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2_và
(a-b)2_{= a}2_{- 2ab + b}2

a b b

b

a
a

Ví dụ 2 : Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích
của hai hình vng dựng trên hai cạnh góc vng bằng diện tích hình vng
dựng trên cạnh huyền

ab b2
_ab

b(a-b) b2

(a – b)2

a2 b(a-b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài toán này là minh hoạ hình học cho định lí Pytago trong trường hợp tam giác
vuông cân .

Do đổi mới phương pháp dạy học mà sách giáo khoa mới ít đề cập đến vấn
đề này hơn . Nhưng khơng có nghĩa là vấn đề này không phù hợp với u cầu
mới , bởi vì nó cũng được đưa vào nội dung của môn học tự chọn . Vậy đây
cũng là một phần kiến thức mà học sinh cần tham khảo để bổ sung , hỗ trợ cho
việc học tập của các em được tốt hơn .

Vì thế , sau khi học sinh được học tính chất của diện tích đa giác , cơng
thức tính diện tích hình chữ nhật và hình vng , ngồi các bài tập ở SGK , tôi
vẫn đưa các bài tập trên cho HS tham khảo thêm

Bài 1 : Trên hình vẽ, các tứ giác ABCD, IOKD, MNPQ, IGHQ là các hình
vng. Bằng cơng thức tính diện tích hình vng và hình chữ nhật, em hãy
chứng minh các hằng đẳng thức (a+b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2_{và (a-b)}2_{= a}2_{- 2ab + b}2_.
a b b

a

Bài tập này không bắt buộc tất cả học sinh phải làm. Những học sinh nào
làm được sẽ được tính điểm vào cột điểm của mơn học Tự chọn. Sau đó có thể
giới thiệu thêm cho học sinh biết : Từ thời cổ, nhờ cơng thức diện tích mà người
ta khám phá ra cơng thức bình phương của tổng hay hiệu nói trên. Phương pháp

C

A _B M N

E O _I G

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

dùng công thức diện tích để chứng minh gọi là phương pháp diện tích. Đây cũng
là một phương pháp góp phần thúc đẩy sự phát triển toán học thời cổ .

Như vậy , học sinh đã được tiếp cận với phương pháp diện tích . Để củng
cố thêm , sau khi dạy song bài “ Diện tích tam giác “ tơi chọn bài tập số 17 SGK
lớp 8 tập I trang 121:

Bài toán 2 : Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM . Hãy giải
thích vì sao ta có đẳng thức : AB . OM = OA . OB

A

M

O B

<b>GV gợi ý cho học sinh :</b> Viết cơng thức tính diện tích tam giác AOB theo
hai cách

H<b>ọc sinh trình bày được lời giải :</b>

SAOB = 1₂ . OA . OB = 1₂ OM. AB <i>⇒</i> AB . OM = OA . OB

<b>GV giới thiệu</b> : Để chứng minh được hệ thức AB . OM = OA . OB ,

ta đã sử dụng <b>phương pháp diện tích .</b>

<b>2 - Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích như nêu ở</b>
<b>trên , tơi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện tập với yêu</b>
<b>cầu dần dần cao hơn. </b>Nhưng thời gian giảng dạy chính khố ở trên lớp khơng
có nhiều để giành cho công việc này, nên tôi phải hướng dẫn cho học sinh tự
học là chủ yếu bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong đó có
ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự tổ chức thảo
luận nhóm ở nhà . Sau đó hồn chỉnh bài giải bằng cách điền khuyết .

<b>a - Phiếu học tập số 1</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài 3: </b>Bài 51 trang 132 SBT Toán 8
tập I

Cho tam giác BAC với ba đường cao
AA’, BB’, CC’ . Gọi H là trực tâm của
tam giác đó. Chứng minh rằng :

HA<i>'</i>

AA<i>'</i>+

HB<i>'</i>

BB<i>'</i> +

HC<i>'</i>

CC<i>'</i> =1

Phân tích : AA’, BB’,CC’đều là các
đường cao của tam giác ABC. HA’,HB’,
HC’ lần lượt là ba đường cao của các
tam giác HBC , HAC, HAB . Như vậy
ta phải tìm ra mối quan hệ về độ dài của
chúng thơng qua cơng thức tính diện
tích tam giác.

C
A

C’ B’
H

B C

<b>Hệ thống câu hỏi dẫn dắt </b>

1)Viết công thức tính diện tích của các
tam giác HBC; HAC ; HAB, ABC

SHAC = ... ; SHBC = ...

SHAB = ... ; SABC = ...

2)Tìm mối quan hệ giữa các tỉ số

HA<i>'</i>

AA<i>'</i> <i>;</i>

HB<i>'</i>

BB<i>'</i> <i>;</i>

HC<i>'</i>

CC<i>'</i> với công thức diện

tích của các tam giác nói trên .
Các tỉ số HA_AA<i>'_'</i> <i>;</i>HB<i>'</i>

BB<i>'</i> <i>;</i>

HC<i>'</i>

CC<i>'</i> lần lượt

bằng tỉ số của diện tích hai tam giác nào
?

3) Viết hệ thức biểu thị mối quan hệ về
diện tích của 4 tam giác nói trên

4) Biến đổi tổng

<i>S</i>_HAC
<i>S</i>ABC

+<i>S</i>HAC
<i>S</i>ABC

+<i>S</i>HBC
<i>S</i>ABC

=¿ ? dẫn đến điều

phải chứng minh

SHAC = ... ; SHBC = ...

SHAB = ... ; SABC = ...

<i>S</i>_HAC
<i>S</i>ABC
=.. . .. ..
<i>S</i>_HAB
<i>S</i>ABC
=.. .
<i>S</i>_HBC
<i>S</i>ABC
=.. .

SHAC … SHBC … SHAB …SABC

<i>S</i>_HAC
<i>S</i>ABC

+<i>S</i>HAB
<i>S</i>ABC

+<i>S</i>HBC
<i>S</i>ABC

=¿ ………

Bài 4 : Cho tam giác đều ABC . M là
một điểm thuộc miền trong của tam giác
. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ
M đên 3 cạnh của tam giác khơng phụ
thuộc vào vị trí của điểm M .

Phân tích : Các khoảng cách MH,

A

h I K

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

MI,MK đến các cạnh của tam giác lần
lượt là đường cao của các tam giác
MBC , MAB, MAC . Như vậy ta phải
tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng
thông qua cơng thức tính diên tích tam
giác .

Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ
-Viết cơng thức tính diện tích của tam
ABC với đường cao là h và độ dài mỗi
cạnh là a : SABC = ...

- Viết cơng thức tính diện tích của các
tam giác MBC; MAC ; MAB với AB =
AC = BC = a và các đường cao lần lượt
là MH , MK , MI

- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ giữa
diện tích của ba tam giác nói trên và

diện tích của tam giác ABC

- Suy ra MH + MI + MK bằng đại
lượng không đổi nào ?

* Nếu điểm M thuộc cạnh BC và tam
giác ABC cân tại A thì ta cũng chứng
minh tương tự .

C
B H C

Tam giác ABC là tam giác đều cho
trước . Gọi độ dài mỗi cạnh là a ( AB =
AC = BC = a) và đường cao là h không
đổi

* SABC = ... (2)

SMAC = ... ; SMBC = ...

SMAB = ...

* SABC … SMAC … SMBC … SMAB

= …………. (1)
Từ (1) và (2) suy ra :

MH + MI + MK = ... không đổi
Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh
của tam giác ...

<b>b- Phiếu học tập số 2 : </b>Trong phiếu này , HS đọc kĩ phần nội dung bài
tập và gợi ý cách giải rồi tự hoàn chỉnh bài giải . GV có thể chấm điểm một
trong hai bài mà HS chọn và cho vào cột điểm Tự chọn để khuyến khích học
sinh tham gia .

<b>Nội dung bài tập và gợi ý cách giải</b> <b>Bài giải hoàn chỉnh</b>

Bài 5: Cho tam giác cân ABC . M là
một điểm thuộc BC . Từ M , kẻ ME và
MF lần lượt vng góc với AB và AC (
E thuộc AB , F thuộc AC ) . Chứng
minh tổng ME + MF khơng phụ thuộc
vào vị trí của điểm M trên BC .

Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ
-Viết cơng thức tính diện tích của tam
ABC với đường cao là ứng với cạnh
bên bằng CK = h và độ dài mỗi cạnh

A
K
E

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

bên là AB = AC a SABC = ...

- Viết công thức tính diện tích của các
tam giác MAC ; MAB với các đường
cao lần lượt là MF, ME

- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ
giữa diện tích của hai tam giác nói trên
và diện tích của tam giác ABC

- Suy ra MF+ ME bằng đại lượng
không đổi nào ?

F

B C
M

HS tự trình bày

<b>Ví dụ 5 :</b> Các điểm E , F nằm trên các
cạnh AB , BC của hình bình hành
ABCD sao cho AF = CE . Gọi I là giao
điểm của AF và CE . Chứng minh
rằng ID là tia phân giác của góc AIC .

<b>Hệ thống câu hỏi dẫn dắt </b>

1) Khi nào thì ID là tia phân giác của
góc AIC?

- Có hai phương án trả lời :

1) <i>A</i>^<i>_{I D}</i>₌<i>_C_{I D}</i>^ _{và tia ID nằm giữa hai}

tia IA, IC.
Hoặc :

2) Điểm D ….. hai cạnh IA và IC
- Chứng minh theo phương án 1 sẽ rất
khó khăn . Ta thử chọn phương án thứ
hai để chứng minh .

Vẽ thêm DH và DK lần lượt vng góc

với IA và IC . <b>Ta phải chứng minh </b>

<b>DK = DH </b>

2) Làm thế nào để chứng minh DK =
DH ?

- <b>Việc chứng minh sẽ rất khó khăn </b>
<b>nếu khơng biết sử dụng phương </b>
<b>pháp diện tích .</b>

ở đây ta chú ý rằng DK và DH còn là
đường cao tương ứng với hai cạnh
bằng nhau của hai tam giác nào ?
- Dẫn đến việc cần thiết phải chứng
minh SADF = SCDE

- Để có kết quả đó , ta phải so sánh
diện tích của hai tam giác nói trên với
diện tích hình bình hành ABCD .
- Tới đây , HS có thể tự trình bày lời
giải

A B



H
I

K F

D C

Vẽ DH và DK lần lượt vng góc với IA
và IC (H , K lần lượt thuộc FA , CE )
SADF = …….. SCDE = …….. (1) Tam

giác ADF và hình bình hành ABCD có
chung đáy …. và có chiều cao tương ứng

bằng nhau <i>⇒</i> SADF = ….SABCD (2)

Tam giác DCE và hình bình hành ABCD
có chung đáy … và có chiều cao tương

ứng bằng nhau <i>⇒</i> SCDE = …….SABCD

(3)

Từ (3) và (2) suy ra ……….( 4)
Lại có AF = CE ( gt) (5)

Kết hợp ( …),(…) và (…) ta có DK =
DH. Suy ra điểm D ….. hai tia IAvà IC .
Do đó ID là …………. của góc AIC

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

3) Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý Ta lét trong
<b>tam giác.</b>

Sách giáo khoa Tốn 8 đã cho HS thừa nhận , khơng u cầu chứng minh
định lí Talét . Đối với những HS khá và giỏi có nhu cầu tìm hiểu , nâng cao
thêm kiến thức, tơi phát cho mỗi nhóm học sinh phiếu học tập số 3 để học sinh
về nhà tự thảo luận theo nhóm và hồn chỉnh bài giải .

c- Phiếu học tập số 3

Đề bài và nội dung cần thảo luận Điền vào chỗ trống để có lời giải hồn
chỉnh

Cho tam giác ABC . D và E lần lượt

thuộc các cạnh AB và AC . Chứng
minh rằng nếu DE // BC thì

AD

AB=

AE
AC

- Viết cơng thức tính SDBE và SCED
- Khi DE // BC, hãy so sánh BH và CK
; SDBE và SCED ; SAEB và SADC .

- Từ đó so sánh tỉ số <i>S_S</i>AEB

ABC và tỉ số

<i>S</i>_ADC
<i>S</i>ABC

- Tìm mối liên hệ của các tỉ số trên với
các tỉ số AE_AC và AD_AB

Vẽ BH và CK vng góc với DE
SDBE = …

SCED = …

DE // BC <i>⇒</i> BH … CK ( Bằng
khoảng cách giữa hai đường thẳng
song song DE và BC )

<i>⇒</i> SDBE ….SCED

<i>⇒</i> SDBE +… = SCED+….

<i>⇒</i> SAEB = SADC

<i>⇒</i> <i>S</i>ABE

<i>S</i>ABC

=<i>S</i>ADC

<i>S</i>ABC (1)

<i>Δ</i> AEB và <i>Δ</i> ABC có chung
đường cao xuất phát từ đỉnh B nên

<i>S</i>_AEB
<i>S</i>ABC

=.. . (2)

<i>Δ</i> ADC và <i>Δ</i> ABC có chung đường
cao xuất phát từ đỉnh C nên

<i>S</i>ADC

<i>S</i>ABC

=. .. . (3)

Kết hợp (..),(…) và … suy ra

AD

AB =

AE
AC

<b>A</b>

<b>E</b>
<b>D</b>

H K

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

4) Khuyến khích HS về nhà tự tìm bài tốn sử dụng phương pháp
<b>diện tích để chứng minh . </b>

Cũng cịn những dạng bài tập khác nữa, nhưng tôi chỉ dừng lại ở những ví
dụ nêu ở trên . Tơi nghĩ rằng như thế cũng tạm đủ để HS tiếp cận và biết cách
giải quyết . Nếu HS có khả năng tìm tịi thêm thì tơi vẫn khuyến khích .

<b>Kết thúc vấn đề</b>

<b>1 - Hiệu quả : Sau khi thấy được </b>các cơng thức diện tích khơng phải chỉ
để tính diện tích mà chúng cịn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh
khác<b> , h</b>ọc sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo
phương pháp nói trên .Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến
thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau . Nó
góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng
động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn . Nó góp phần làm cho số lượng
học sinh u thích mơn Tốn ngày càng tăng lên . Sự u thích bộ mơn giúp các
em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn . Kết quả thể hiện (điểm Tự chọn ) :

Năm học Số HS tham gia Giỏi Khá TB Yếu

SL % SL % SL % SL %

2004 - 2005 83/426 55 66,3 23 27,7 5 6 0

2005 - 2006 21 / 84 21 100 0 0 0

<b>2 - Bài học kinh nghiệm </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

kĩ hơn về phương pháp này. Bởi vậy nếu khơng tổ chức được một hình thức học
tập thích hợp thì khơng thể khuyến khich được HS tích cực tự giác tham gia tự
học , tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu bài trên lớp tốt hơn.

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ bé mà tối rút ra được trong q trình
giảng dạy . Nó đã góp phần giúp tơi hồn thành nhiệm vụ giảng dạy trên lớp
cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm qua có kết quả tốt
đẹp . Tơi xin mạn phép được trình bày và kính mong được sự quan tâm của các

thầy cô giáo trong hội đồng giám khảo và các bạn đồng nghiệp . Chắc chắn rằng
trong bài viết của tơi cũng cịn nhiều thiếu sót . Rất mong được q thầy cơ góp
ý , bổ sung để bản thân tơi được học hỏi nhiều hơn và hồn thiện hơn trong công
tác giảng dạy . Xin chân thành cám ơn .

<b>Ý KIẾN NHẬN XÉT , ĐÁNH GIÁ CỦA SỞ GIÁO DỤC</b>
<b>VAÌ ĐAÌO TẠO</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11></div>

<!--links-->