Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.24 KB, 7 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Sở Giáo dục và Đào tạo
<b> TP. Hồ Chí Minh ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 ( 2008-2009)</b>
<b> MƠN TỐN LỚP 12</b>
<b> Thời gian làm bài : 120 phút</b>
<b> A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)</b>
<b>Câu 1. (3,5 điểm)</b>
Cho hàm số : <i>y=− x +2</i>
<i>2 x+1</i>(<i>C)</i>
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (<i>C)</i> của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (<i>C)</i> tại giao điểm của
(<i>C)</i> với trục Ox .
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (<i>C)</i> , trục Ox
và trục Oy .
d) Xác định <i>m</i> <sub> để đường thẳng </sub> (<i>d ): y =x+2 m</i> cắt đồ thị (<i>C)</i>
tại hai điểm phân biệt.
<b> Câu 2. (1,5 điểm)</b>
Tính các tích phân :
a) I=
0
<i>π</i>
2
cos2<i>x .sin xdx</i> b) J=
<i>x</i>
<i>x</i>3+1¿
2
dx
¿
0
1
¿
<b> Câu 3. (2 điểm)</b>
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song
song với đường thẳng OA.
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O
trên mặt phẳng(ABC).
<b> B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)</b>
<i><b>Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho</b></i>
<i><b>chương trình đó.( phần I hoặc phần II)</b></i>
<i><b>I)Theo chương trình chuẩn.</b></i>
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
<i>y=− x</i>3<i>−3 x</i>2+4 trên đoạn [-3;2].
2) Xác định <i>m</i> để hàm số <i>y=x</i>3
+(<i>m+2)x</i>2<i>−2 mx+m+1</i> có điểm cực đại
và điểm cực tiểu.
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):
¿
<i>x=2-t</i>
<i>y =3t</i>
<i>z=1+6t</i>
¿{ {
¿
<i><b> II)Theo chương trình nâng cao.</b></i>
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
<i>y=</i>
2) Xác định <i>m</i> để hàm số <i>y=x</i>3+(<i>m+2)x</i>2<i>−2 mx+m+1</i> đồng biến trên
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương
trình: x + y – z + 2 = 0.
<b> HẾT</b>
<b>Đáp án :</b>
<b>A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)</b>
<b>Câu 1. (3,5 điểm)</b>
Cho hàm số : <i>y=− x +2</i>
<i>2 x+1</i>(<i>C)</i>
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (<i>C)</i> của hàm số.
Tập xác định :
¿
<i>R {−</i>1
2
¿
<b>0,25 đ</b>
Sự biến thiên.
. chiều biến thiên :
<i>2 x +1</i>¿2
¿
¿
<i>y '=−5</i>
¿
<b> 0,25 đ</b>
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (<i>− ∞;−1</i>
2 )và (
<i>−1</i>
2 <i>;+∞)</i>
<b>0,25 đ</b>
Hàm số khơng có cực trị
Tiệm cận : Lim
<i>x → ±∞</i> <i>y= Limx→ ±∞</i>
<i>− x +2</i>
<i>2 x+1</i>=
<i>− 1</i>
2
<i>x →−1</i>
2
+¿
<i>y =+ ∞</i>
Lim
<i>x → − 1</i>
2
<i>−y=− ∞ và Lim</i><sub>¿</sub>
<b>0,25 đ</b>
Đường thẳng <i>y=−1</i>
2 là tiệm cận ngang
Đường thẳng <i>x=−1</i>
2 là tiệm cận đứng. <b>0,25</b>
<b>đ</b>
Bảng biến thiên
<b> 0,25 đ</b>
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục Ox tại điểm ( 2
; 0 )
Vẽ đồ thị .
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
<b>0,5 đ</b>
y
’y
x
-1/
2
- +
+
-1
/
2
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (<i>C)</i> tại giao điểm của
(<i>C)</i> với trục Ox .
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 )
y’(2) = <i>− 1</i><sub>5</sub>
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) :
<i>y − 0=−1</i>
5 (<i>x −2)⇔ y=</i>
<i>−1</i>
5 <i>x +</i>
2
5 <b>0,5 đ</b>
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (<i>C)</i> , trục Ox và
trục Oy
Giao điểm với trục Ox : ( 2 ; 0 )
Giao điểm với trục Oy : ( 0 ; 2 ).
Vì <i>y=− x +2</i>
<i>2 x+1≥ 0</i> với <i>x∈[0 ;2]</i> nên diện tích hình phẳng cần
tìm :
<i>− x+ 2</i>
<i>2 x +1</i>dx=¿
2
(<i>−1</i>
2 +
5/2
<i>2 x +1</i>)dx=(
<i>−1</i>
2 <i>x +</i>
5
4Ln|<i>2 x +1</i>|)¿02
<i>S=</i>
0
2
¿
S = <i>−1+</i>5
4Ln 5 ( đvdt) <b>0,5 đ</b>
d)Xác định <i>m</i> để đường thẳng (<i>d ): y =x+2 m</i> cắt đồ thị (<i>C)</i>
tại hai điểm phân biệt.
Hoành độ giao điểm của (<i>d )</i> và đồ thị ( <i>C</i> ) thỏa phương
trình :
<i>− x +2</i>
<i>2 x+1</i>=<i>x+2m(x ≠</i>
<i>−1</i>
2 )
<i>⇔</i>
<i>2 x</i>2+4 mx+2 x+2m −2=0
<i>− 1</i>
2 ¿
2<i><sub>−2 m− 1+2m −2 ≠0</sub></i>
¿
¿
¿
<i>⇔</i>
¿
¿
¿<i>x</i>2+(2 m+1)x +m −1=0
¿
2¿
Vậy với mọi <i>m</i> đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân
biệt.
<b>0,5 đ</b>
<b> Câu 2. (1,5 điểm)</b>
Tính các tích phân :
a) I=
0
<i>π</i>
2
cos2<i><sub>x .sin xdx</sub></i>
Đặt <i>u=cos x thì du=−sin xdx</i> <b>0,25 đ</b>
Ta có : <i>x</i> = 0 thì <i>u=1</i>
Vậy I =
<i>u</i>2
(<i>− du)=(−u</i>
3
3)∨¿10=
1
3
1
0
¿
<b>0,5</b>
<b>đ</b>
b) J=
<i>x</i>
<i>x</i>3+1¿
2
dx
¿
<i>x</i>3+1¿2
¿
¿
¿
0
1
¿
Đặt <i>u=x</i>3+1 thì du=3 x2dx <b>0,25 đ</b>
Ta có : <i>x</i> = 0 thì <i>u=1</i>
<i>x</i> = 1 thì <i>u=2</i>
Vậy J=
du
<i>3 u</i>2=<i>−</i>
1
<i>3 u</i>∨¿12=
<i>− 1</i>
6 +
1
3=
1
6
1
2
¿
<b>0,5 đ</b>
<b> Câu 3. (2 điểm)</b>
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) ,
C(0 ; 0 ; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song
song với đường thẳng OA.
Ta có ⃗<i><sub>BC=(0 ; −2 ; 3)</sub></i>
⃗<i><sub>OA=(1 ;0 ;0)</sub></i>
Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp
tuyến là :
⃗
<i>n=(0 ;3 ;2)</i> <b>0,5</b>
<b>đ</b>
Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến
⃗
<i>n=(0 ;3 ;2)</i> nên có phương trình :
(y – 2)3 + 2z = 0 <i>⇔</i> 3y + 2z – 6 = 0 <b>0,5đ</b>
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O
trên mặt phẳng(ABC).
Phương trình mp(ABC) : <i>x</i><sub>1</sub>+<i>y</i>
2+
<i>z</i>
3=1<i>⇔ 6 x+3 y +2 z− 6=0</i>
<b>0,25 đ</b>
Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ
phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH:
¿
<i>x=6t</i>
<i>y=3t</i>
<i>z=2t</i>
¿{{
¿
<b>0,5 đ</b>
¿
<i>x=6t</i>
<i>y=3t</i>
<i>z =2t</i>
6x+3y +2z-6=0
¿{ { {
¿
Giải hệ trên ta được H ( 36<sub>49</sub> <i>;</i>18
49 <i>;</i>
12
49¿ <b>0,25 đ</b>
<b> B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)</b>
<i><b>I)Theo chương trình chuẩn.</b></i>
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : <i>y=− x</i>3<i>−3 x</i>2+4
<i>y=− x</i>3<i>−3 x</i>2+4 xác định và liên tục trên R
<i><sub>y '=0</sub>y '=− 3 x<sub>⇔ x=0 ; x=−2</sub></i>2<i>−6 x</i>
( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] )
<b>0,5 đ</b>
Xét trên trên đoạn [-3;2]:
Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2.
<b> 0,5 đ</b>
2) Xác định <i>m</i> để hàm số <i>y=x</i>3
+(<i>m+2)x</i>2<i>−2 mx+m+1</i> có điểm cực đại
và điểm cực tiểu.
Hàm số xác định có tập xác định là R
<i>y=x</i>3+(<i>m+2)x</i>2<i>−2 mx+m+1</i>
<i>y '=3 x</i>2+2(m+2)x −2 m
¿
<i>y '=0⇔ 3 x</i>2<sub>+2(m+2)x −2 m=0</sub>
<i>m+2</i>¿2+<i>6 m=m</i>2+<i>10 m+4</i>
<i>Δ'=</i>¿
(1)
<b>0,5 đ</b>
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt :
<i>Δ'>0⇔m<−5 −</i>
3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d):
¿
<i>x=2-t</i>
<i>y =3t</i>
<i>z=1+6t</i>
¿{ {
¿
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto <sub>AB</sub><i>→</i> <sub>=(4 ;− 4 ;2)</sub>
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
<i>⇔2 x − 2 y+z+2=0</i>
¿
<i>x=2− t</i>
<i>y=3t</i>
<i>z=1+6t</i>
<i>2x −2y +z +2=0</i>
¿{ { {
¿
Giải hệ trên ta được I ( <i>−</i>3
2<i>;</i>
21
2 <i>;22</i>¿ <b>0,5 đ</b>
Bán kính mặt cầu (S) : IB =
21
2 ¿
2
+192
¿
<i>−</i>3
2<i>− 2</i>¿
2
+¿
¿
√¿
Phương trình mặt cầu ( S )
<i>z − 22</i>¿2=967
2
<i>y −</i>21
2 ¿
2
+¿
<i>x+</i>3
2¿
2
+¿
¿
<b>0,5 đ</b>
<i><b> II)Theo chương trình nâng cao.</b></i>
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
+<i>2 x +5</i> trên đoạn [-3;2].
Ta có tập xác định của hàm sô là R
Hàm số liên tục trên R.
<i>y '=</i>
<i>x+1</i>
<i>y '=0⇔ x=−1 ∈[− 3 ;2]</i>
<b>0,5 đ</b>
Ta có y(-3) =
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1 <b>0,5</b>
<b>đ</b>
2) Xác định <i>m</i> để hàm số <i>y=x</i>3
+(<i>m+2)x</i>2<i>−2 mx+m+1</i> đồng biến trên
tập xác định của nó.
Hàm số xác định có tập xác định là R
<i>y '=3 x</i>2+2(m+2)x −2 m
¿
<i>y '=0⇔ 3 x</i>2
+2(m+2)x −2 m=0
<i>m+2</i>¿2+<i>6 m=m</i>2+<i>10 m+4</i>
<i>Δ'=</i>¿
(1)
<b>0,5 đ</b>
Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm
kép hoặc vơ nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương)
3) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm
A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương
trình: x + y – z + 2 = 0.
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của AB.
Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
Vecto <sub>AB</sub><i>→</i> <sub>=(4 ;− 4 ;2)</sub>
Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0
Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung
trực của BC.
Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )
Vecto <sub>BC</sub><i>→</i> <sub>=(</sub><i><sub>− 2;2 ;− 4)</sub></i>
Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0
<i>⇔− x+ y −2 z+2=0</i> (2)
Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được
I( -1 ; 1 ; 2). <b>0,5 đ</b>
Bán kính mặt cầu ( S ) : IA =
Vậy phương trình mặt cầu ( S ):
<i>z − 2</i>¿2=11
<i>y −1</i>¿2+¿
<i>x +1</i>¿2+¿
¿