Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
--- ---

HỒ THỊ BÌNH

NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG HIỂU CỦA HỌC SINH VỀ
MỐI QUAN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ ĐẠO HÀM CỦA NÓ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN KIÊM MINH

Huế, Năm 2015
i


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố
trong bất kỳ một cơng trình nào khác.
Tác giả

Hồ Thị Bình

ii


Lời Cám Ơn
Đầu tiên, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc, chân thành đến
thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo
và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạmHuế, Phịng đào tạo sau đại học, các thầy cơ trong khoaTốn, đặc
biệt là các thầy cơ thuộc chun nghành Lý luận và Phương pháp dạy
học mơn Tốn đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tơi rất nhiều kiến
thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn tập thể lớp 12B1 trường THPT
Phan Châu Trinh, thành phố Đông Hà,tỉnh Quảng Trị đã tạo điều
kiện cho tôi thực nghiệm thực trên thực tế.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, q thầy cơ trong
nhà trường, tổ chun mơn Tốn - Tin trường THPT Phan Châu
Trinh đã tạo điều kiện cho tôi đi học.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tơi ln
ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tơi hồn thành luận
văn này.
Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được
sự hướng dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 5 năm 2015
Học viên
Hồ Thị Bình

iiiiii

MỤC LỤC
Trang phụ bìa ............................................................................................... i
Lời cam đoan ............................................................................................... ii
lời cám ơn .................................................................................................. iii
Mục lục ......................................................................................................... 1
Danh mục bảng ............................................................................................ 3
Danh mục hình ............................................................................................ 4
LỜI GIỚI THIỆU ....................................................................................... 5
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................... 8
1.1. Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm .................................................... 8
1.2. Khái niệm đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam. 12
1.3. Tởng quan về các nghiên cứu về dạy học đạo hàm ......................... 19
1.4. Ghi nhận và đặt vấn đề ..................................................................... 20
Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................. 22
2.1. Hình ảnh khái niệm (concept image) và định nghĩa khái niệm
(concept definition) ................................................................................. 22
2.2. Đối ngẫu quy trình/khái niệm và lý thuyết APOS ........................... 22
2.3. Khái niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy toán học
của học sinh ............................................................................................ 25
2.4. Tư duy toán học trong ngữ cảnh đạo hàm ....................................... 26
2.5. Hệ thống biểu đạt ký hiệu của Duval ............................................... 29
2.6. Câu hỏi nghiên cứu .......................................................................... 30
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ................................................... 31
3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu ...................................................................... 31
3.2. Phương pháp nghiên cứu.................................................................. 31
3.3. Phiếu học tập .................................................................................... 31
3.3.1. Nội dung phiếu học tập ............................................................. 31
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................ 32

3.4. Phỏng vấn ......................................................................................... 41
1


Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .................................................... 42
4.1. Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu ....................................... 42
4.2. Phân tích khả năng hiểu của học sinh về khái niệm đạo hàm trong
các hệ thống biểu đạt khác nhau ............................................................. 42
4.3. Phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và
đạo hàm trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác nhau .................. 51
Chương 5. KẾT LUẬN ............................................................................. 69
5.1. Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu ............................... 70
5.2. Vận dụng .......................................................................................... 70
5.3. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ............... 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 72
PHỤ LỤC ................................................................................................... P1

2


DANH MỤC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm. ........ 18
Bảng 4.1. Kết quả định lượng của bài 3 ...................................................... 44
Bảng 4.2. Kết quả định lượng bài 6 và bài 7............................................... 47
Bảng 4.3. Kết quả định lượng bài 1 ............................................................ 53
Bảng 4.4. Kết quả định lượng bài 10 .......................................................... 53
Bảng 4.5. Kết quả định lượng bài 2 ............................................................ 56
Bảng 4.6. Kết quả định lượng bài 4 ............................................................ 59

3

DANH MỤC HÌNH
Hình 2.1. Sơ đồ minh họa lý thuyết APOS ................................................. 24
Hình 2.2. Ba phạm vi biểu đạt tốn học (Tall, 2013).................................. 26
Hình 4.1. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 3 ............................... 45
Hình 4.2. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 6 ............................... 47
Hình 4.3. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 7 ............................... 48
Hình 4.4. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 9 ............................... 50
Hình 4.5. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 1 ............................... 54
Hình 4.6. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 10 ............................. 55
Hình 4.7. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 2 ............................... 57
Hình 4.8. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 4 ............................... 60
Hình 4.9. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 5 ............................... 62
Hình 4.10. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 8 ............................. 64
Hình 4.11. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 11 ........................... 65
Hình 4.12. Hình ảnh bài làm của học sinh đối với bài 12 ........................... 66
Hình 4.13. Hình ảnh học sinh làm bài 1...................................................... 67
Hình 4.14. Hình ảnh học sinh làm bài tập 3 ................................................ 68

4


LỜI GIỚI THIỆU
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất và cũng là công
cụ nền tảng của Giải tích tốn học. Trong chương trình mơn Tốn ở bậc
THPT, khái niệm đạo hàm cùng với các khái niệm giới hạn và tích phân tạo
thành phân mơn Giải tích, và thường được giảng dạy ở các lớp cuối cấp và ở
bước chuyển thể chế THPT/Đại học. Nắm vững nội dung và ý nghĩa của khái
niệm đạo hàm là nền tảng để tiếp thu các nội dung của các môn học như Vật

lý, Hóa học, Sinh học…
Nghiên cứu về dạy học đạo hàm ở Phổ thông và Đại học đã được rất nhiều tác
giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981,[35]; Vinner and Dreyfus, 1989,[40];
Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala,
Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997; Zandieth, 2000,[41] ; Stahley,
2001,[34]; Habre & Abboud, 2006 ,[22]; Sánchez-matamoros, García & Llinares,
2009[32]; Ubuz, 2007,[39]; Villegas, Castro & Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys,
2012,[31]; Nagle, Moore-Russo,[32]; Viglietti & Martin, 2013; Aydin & Ubuz,
2014). Tuy mỗi nghiên cứu đều tập trung tìm hiểu một khía cạnh liên quan đến dạy
học khái niệm đạo hàm, nhưng hầu hết đều thừa nhận rằng khái niệm đạo hàm là
một trong những khái niệm khó đối với học sinh. Khó khăn đầu tiên là khả năng
hiểu khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh và phạm vi khác nhau (vật lý, hình
học, giải tích) liên quan đến các khái niệm tốc độ thay đổi và độ dốc của tiếp tuyến
(Moore-Russo,[32]; Conner & Rugg, 2011; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle,
Moore-Russo,[24], Viglietti & Martin, 2013).
Một khó khăn khác mà nhiều học sinh gặp phải khi học khái niệm đạo hàm là
khả năng hiểu khái niệm đạo hàm, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và
đạo hàm của nó, trong các hệ thống biểu đạt khác nhau (Artigue, 1990,[6];
Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchez-matamoros, García &
Llinares, 2008). Học sinh có thể hiểu nghĩa của khái niệm đạo hàm trong thể thức
hình học (độ dốc của tiếp tuyến), đồ thị (hệ số góc của tiếp tuyến), giải tích (biểu
thức), ngữ cảnh vật lý (tốc độ thay đởi tức thời) nhưng lại gặp khó khăn khi kết
nối các thể thức và hệ thống biểu đạt này. Chẳng hạn, học sinh có thể vẽ đồ thị

5


của một hàm đạo hàm, nhưng lại gặp khó khăn khi liên kết đồ thị này với biểu
thức giải tích của hàm số tương ứng (Asiala, Cottrill, Dubinsky &
Schwingendorf, 1997). Trong xu hướng này, một số tác giả quan tâm đến nghiên

cứu việc hiểu định tính mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó
(Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud,
2006,[22]; Ubuz, 2007,[39]). Tuy nhiên, các nghiên cứu này chủ yếu tập trung
phân tích mối liên hệ định tính giữa hàm số và đạo hàm trong thể thức đồ thị và
với đối tượng là sinh viên các năm đầu Đại học.
Trong chương trình mơn Toán hiện hành ở Việt Nam, học sinh tiếp cận khái
niệm đạo hàm bắt đầu từ lớp 11. Nhìn chung, chương trình và SGK chủ yếu tập
trung vào khái niệm đạo hàm trong phạm vi giải tích, học sinh chủ yếu làm việc
trên các biểu thức giải tích của hàm số và thực hiện các phép tính về đạo hàm. Có
khá ít bài tốn đề cập đến khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh khác nhau, và
đặc biệt mối liên hệ định tính giữa một hàm số và đạo hàm (cấp 1, cấp 2) của nó
ít được đề cập.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khả năng hiểu khái
niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và
đạo hàm của nó, trong các phạm vi và hệ thống biểu đạt khác nhau như hình học,
đồ thị, giải tích, ngơn ngữ, bảng biến thiên… Chúng tơi một mặt tập trung vào
nghiên cứu khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm
trong cùng một hệ thống biểu đạt, nhưng mặt khác cũng nhấn mạnh khả năng kết
nối và chuyển đổi qua lại giữa các phạm vi và hệ thống biểu đạt đó. Theo Duval
(2006), những khả năng kết nối và chuyển đổi như vậy là cơ bản để đạt được việc
hiểu sâu sắc một đối tượng toán học. Trong nghiên cứu này, chúng tôi hướng đến
các mục tiêu là:
 Xem xét khả năng hiểu của học sinh bậc THPT (lớp 12) về khái niệm đạo
hàm.
 Phân tích khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo
hàm của nó trong các phạm vi và và hệ thống biểu đạt khác nhau (hình
học, đồ thị, giải tích, bảng biến thiên, ngôn ngữ).
Luận văn này gồm 5 chương:

6

+ Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược lịch
sử khái niệm đạo hàm, tổng quan các nghiên cứu về dạy học đạo hàm, khái niệm
đạo hàm,ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình
và sách giáo khoa Việt Nam. Các phân tích lịch sử, tởng quan nghiên cứu cho
phép chúng tôi đặt ra khi nghiên cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh
THPT, đặc biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể
thức và hệ thống biểu đạt khác nhau .
+ Chương 2: Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khung
lý thuyết tham chiếu để làm cơ sở khoa học bao gồm : hình ảnh khái niệm và
định nghĩa khái niệm, đối ngẫu quy trình/ khái niệm và lý thuyết APOS, khái
niệm ba phạm vi toán học và sự phát triển tư duy học sinh, hệ thống biểu đạt ký
hiệu của Duval, xây dựng khung lý thuyết phân tích việc hiểu khái niệm đạo
hàm. Chúng tơi mơ tả và phân tích làm rõ khung lý thuyết này để đặt ra nghiên
cứu việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc biệt là mối quan hệ
giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ thống biểu đạt khác
nhau . Dựa trên khung lý thuyết này, chúng tơi đã cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu
thành các câu hỏi nghiên cứu. Khung lý thuyết này cũng cho phép chúng tơi phân
tích và diễn giải dữ liệu thực nghiệm ở các chương sau.
+ Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh, mục tiêu
và phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu phiếu học tập, nội dung bảng
hỏi, các câu hỏi của buổi phỏng vấn. Phân tích tiên nghiệm phiếu học tập và nội
dung bảng hỏi.
+ Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này, chúng tơi phân tích các kết
quả từ phiếu học tập và bảng hỏi. Đối với phiếu học tập, chúng tơi phân tích kết quả
theo hai hướng chính đó là việc hiểu khái niệm đạo hàm của học sinh THPT, đặc
biệt là mối quan hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các thể thức và hệ
thống biểu đạt khác nhau dựa trên khung lý thuyết đã trình bày trong chương 2.
+ Chương 5. Kết luận. Trong chương này, trước hết chúng tơi phân tích các yếu tố

cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu đối với câu hỏi nghiên cứu. Sau đó chúng
tơi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như định vị nghiên cứu của chúng
tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên quan đến chủ đề này.

7


Chương 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Sơ lược lịch sử khái niệm đạo hàm
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất và cũng là công cụ
nền tảng của Giải tích tốn học. Nghiên cứu về dạy học đạo hàm ở Phổ thông và
Đại học đã được rất nhiều tác giả quan tâm từ lâu (Tall and Vinner, 1981, [35];
Vinner and Dreyfus, 1989, [40]; Tall, 1991,[36]; Artigue, 1990,[6]; Aspinwall,
Shaw & Presmeg, 1997,[8]; Asiala, Cottrill, Dubinsky & Schwingendorf, 1997,[7];
Zandieth, 2000,[41] ; Stahley, 2001,[34]; Habre & Abboud, 2006,[22] ; Sánchezmatamoros, García & Llinares, 2009,[33]; Ubuz, 2007,[39]ư; Villegas, Castro &
Gutiérrez, 2009 ; Teuscher & Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo, Viglietti &
Martin, 2013; Aydin & Ubuz, 2014,[9],[10]). Tuy mỗi nghiên cứu đều tập trung
tìm hiểu một khía cạnh liên quan đến dạy học khái niệm đạo hàm, nhưng hầu hết
đều thừa nhận rằng khái niệm đạo hàm là một trong những khái niệm khó đối với
học sinh. Đó là khả năng hiểu khái niệm đạo hàm trong các ngữ cảnh và phạm vi
khác nhau (vật lý, hình học, giải tích) liên quan đến các khái niệm tốc độ thay đổi
và độ dốc của tiếp tuyến (Moore-Russo, Conner & Rugg, 2011,[24]; Teuscher &
Reys, 2012,[38]; Nagle, Moore-Russo,[32] Viglietti & Martin, 2013) và mối quan
hệ giữa một hàm số và đạo hàm của nó, trong các hệ thống biểu đạt khác nhau
(Artigue, 1990,[6]; Sánchez-matamoros, García & Llinares, 2006; Sánchezmatamoros, García & Llinares, 2008).
Các nghiên cứu lịch sử và tri thức luận cho thấy khái niệm đạo hàm được
hình thành từ hai ngữ cảnh : ngữ cảnh thứ nhất là các bài toán trong vật lý như
vận tốc tức thời, tốc độ thay đổi của một đại lượng ; ngữ cảnh thứ hai là các bài
tốn tìm cực trị và xác định tiếp tuyến của của một đường cong (Boyer, 1959,

[12]) ; Grabiner, 1983, [21] ; Ngô Minh Đức, 2013, [1] ; Phạm Văn Tuân, 2014,
[5]). Nghiên cứu của Grabiner,1983, [21] cho thấy rằng khái niệm đạo hàm được
sử dụng đầu tiên như một công cụ để giải quyết các bài toán đặt ra trong hai ngữ
cảnh trên, sau đó mới được khám phá và phát triển, và cuối cùng được định nghĩa
hình thức một cách chặt chẽ.

8


Nhà toán học người Pháp Pierre de Fecmat là một trong những người đầu
tiên giới thiệu một phương pháp mới trong việc giải các bài toán cực trị và xác
định tiếp tuyến đường cong. Fermat minh họa phương pháp tìm cực trị của mình
năm 1630 qua việc giải bài tốn đơn giản sau đây : “Cho trước một đoạn thẳng,
hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất” .

Lời giải bài toán này đã được biết từ rất lâu tuy nhiên cách giải của Fermat
thì lại rất mới: gọi chiều dài đoạn thẳng cho trước là B, chiều dài đoạn thứ nhất là
A thì chiều dài đoạn thứ hai là B-A. Vậy bài toán trên quy về việc xác định A để
hàm số f  A  AB  A2 lớn nhất.
Fermat giả sử rằng bài tốn trên cịn có thêm một đáp số thứ hai nữa, tức
là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất. Với đáp số thứ hai này chúng
ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là A  E , khi đó đoạn cịn lại là: B  A  E . Tích của
chúng là AB  A2  2 AE  BE  E 2 . Dễ thấy giá trị lớn nhất phải là duy nhất nên hai
đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau.
Ta

có

AB  A2  2 AE  BE  E 2  AB  A2  2 AE  E 2  BE .

Từ

đó

2A  E  B . Mặt khác hai nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất phải

trở nên bằng nhau nên nói chung E khơng tồn tại. Vậy có thể cho E  0 ,tức là
A

B
. Bài toán mà Fermat giải là xác định A để hàm số f  A  lớn nhất, và việc
2

Fermat xem f  A  E   f  A  0 sau đó rút gọn biểu thức cho E rồi cho
E  0 nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của

hàm số tại điểm cực trị của nó :
lim
E 0

f  A  E   f  A
 0  f '  A  0 .
E

Vào thế kỉ 17, một vấn đề khác thậm chí cịn được quan tâm hơn bài tốn
cực trị, đó chính là vấn đề xác định tiếp tuyến của đường cong. Vào thời điểm
này, tiếp tuyến thường được quan niệm là một cát tuyến mà hai điểm cắt của nó

9

càng ngày càng gần lại cho đến khi trùng khít với nhau. Việc một cát tuyến “trở
thành” một tiếp tuyến như thế nào khơng hề được giải thích rõ ràng, tuy vậy các
phương pháp tìm tiếp tuyến lại dựa trên cách tiếp cận này. Fermat, Descartes,
John Wallis, Isaac Barrow và nhiều nhà toán học thế kỉ 17 khác đều đã có thể tìm
được tiếp tuyến thơng qua việc xem xét độ dốc của cát tuyến.Tuy nhiên đến thời
điểm này thì một quy trình tởng qt để giải quyết bài tốn tìm tiếp tuyến đường
cong đã xuất hiện nhưng cơ sở lý thuyết của nó vẫn chưa được thấu hiểu rõ ràng.
Đến năm 1660, mối quan hệ giữa bài toán cực trị và bài tốn tìm tiếp
tuyến đã được hiểu rõ. Đó là, cực đại hay cực tiểu được tìm thấy bằng cách tính
tốn độ dốc của tiếp tuyến và u cầu nó phải bằng 0. Như vậy là mặc dù đạo
hàm vẫn chưa xuất hiện nhưng nó đã được sử dụng một cách ngầm ẩn trong một
phương pháp tổng quát và đầy tiềm năng. Khái niệm tiếp tuyến vẫn chưa được
định nghĩa một cách rõ ràng và hoàn thiện.
Lịch sử cho thấy Newton và Leibniz đã độc lập với nhau đưa ra những lập
luận cho cái mà ngày nay chúng ta gọi là định lý cơ bản của giải tích: đạo hàm và
tích phân là hai khái niệm đảo ngược lẫn nhau. Newton dùng thuật ngữ "fluxion"
để chỉ đạo hàm, một thuật ngữ ám chỉ tốc độ dòng chảy. Leibniz nhìn nhận đạo
hàm như là tỉ số của hai đại lượng vô cùng nhỏ và gọi là "differential quotient".
Nhưng dù cho những thuật ngữ nào đã được sử dụng, khái niệm đạo hàm ngày
nay đã được lồng vào một khái niệm tởng qt – phép tính vi tích phân – và mối
quan hệ của nó với một khái niệm cơ bản khác là tích phân đã được hiểu rõ
(Grabiner, 1983).
Đối với Newton, dù ban đầu ông cũng tiếp cận với ý tưởng mới trong các
phương pháp tìm tiếp tuyến nhưng khái niệm đạo hàm mà ông xây dựng nên lại
dựa trên những quan niệm cơ sở đến từ vật lí. Newton xây dựng các yếu tố của
giải tích trên cơ sở khái niệm chuyển động, và đạo hàm được xem như là tốc độ
biến đổi của một đại lượng theo thời gian.
Còn đối với Leibniz dựa trên khái niệm cơ sở là các vi phân để xây dựng
lý thuyết của mình. Vì lý do thiếu một cơ sở vững chắc (lý thuyết giới hạn) nên

giải tích mà Newton và Leibniz xây dựng đều phải dựa trên những khái niệm
không rõ ràng như “các đại lượng vô cùng bé”, hay các “tỉ số tới hạn”… Dù còn

10


nhiều điểm mơ hồ nhưng lý thuyết của hai ông vẫn hoạt động đầy hiệu quả và
mang đến một công cụ vô cùng mạnh mẽ cho những giai đoạn phát triển về sau.
Một phát minh quan trọng khác được Brook Taylor đưa ra năm 1715 mà
bây giờ chúng ta biết đến nó với tên gọi: cơng thức khai triển Taylor. Sau đó là
các nghiên cứu của Euler và Lagrange vào năm 1797, Lagrange phát biểu rằng ,
bất kỳ một hàm số nào đều có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa
f  x  h   f  x   p  x  .h  q  x  .h2  ...

Trong khai triển này, Lagrange đã đưa ra định nghĩa cho một hàm số mới:
hàm số p  x  (hệ số của số hạng tuyến tính theo p ) và gọi hàm số này là “hàm
số dẫn xuất cấp một” của f  x  . Thuật ngữ “hàm số dẫn xuất” (derived function)
chính là nguồn gốc của từ “đạo hàm” mà chúng ta sử dụng bây giờ, cùng với đó
Lagrange cũng đưa vào kí hiệu f '  x  cho “hàm số đạo hàm” này. Ông định
nghĩa f ''  x  là “hàm số dẫn xuất cấp một” của hàm số f '  x  và cứ như thế với
các đạo hàm cấp cao hơn. Mặc dù định nghĩa mới này của Lagrange là khơng
hồn tồn thỏa đáng bởi lẽ nó phải giả thiết rằng mỗi hàm khả vi bất kì đều phải
là tổng của một chuỗi Taylor nhưng quan niệm này của Lagrange lại dẫn ông đến
một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm. Lagrange đã
tìm ra được một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm,
từ đặc trưng này ông đã xây dựng một bất đẳng thức tương ứng và sau này trở
thành một gợi ý quan trọng cho Cauchy trong nỗ lực xây dựng cho đạo hàm một
cơ sở chặt chẽ.
Năm 1823, Cauchy lần đầu tiên đã đưa ra một cách quan niệm mới rõ ràng
và mạnh mẽ về khái niệm đạo hàm. Về thực chất, Cauchy cũng định nghĩa đạo

hàm theo quan điểm như các nhà toán học đi trước đó là xem đạo hàm như là một
giới hạn của tỉ số các vi phân. Điểm khác biệt quan trọng là ở cách hiểu rõ ràng
và chính xác của ông về khái niệm giới hạn, cụ thể Cauchy định nghĩa đạo hàm
của f  x 

như là một giới hạn, khi nó tồn tại, của tỉ số các số gia

f  x  h  f  x
khi h tiến dần đến 0. Cụm từ “đạo hàm là một giới hạn, khi nó
h

tồn tại…” đã thể hiện sự chặt chẽ và chính xác trong cách hiểu của Cauchy về

11


đạo hàm. Tuy nhiên vẫn cịn một điểm chưa chính xác trong định nghĩa này, đó
là ở chỗ ơng đã giả sử rằng  có thể được chọn cho mọi x trong khoảng đang xét
mà giả thiết này là tương đương với sự hội tụ đều của tỷ số hai số gia.
Từ các phân tích tởng quan và tóm lược về lịch sử hình thành phép tính vi
tích phân và khái niệm đạo hàm như trên, chúng ta rút ra một số nhận xét :
 Khái niệm đạo hàm xuất phát từ hai lĩnh vực : hình học và vật lý. Trong
lĩnh vực hình học, khái niệm đạo hàm gắn liền với phương pháp xác định
tiếp tuyến của đường cong và đạo hàm được định nghĩa như là tỷ số các vi
phân. Trong lĩnh vực vật lý, khái niệm đạo hàm gắn liền với chuyển động
của các vật thể và đạo hàm được xem như là tốc độ biến thiên tức thời của
vận tốc theo thời gian.
 Các yếu tố vật lý như trực quan, chuyển động, độ dốc, tốc độ thay đởi…
có ý nghĩa quan trọng và nền tảng trong quá trình hình thành khái niệm
đạo hàm.

 Đạo hàm của hàm số tại một điểm mang nhiều ý nghĩa khác nhau tùy theo
ngữ cảnh như tốc độ thay đổi của một đại lượng, độ dốc của đường cong
biểu diễn hàm số tại điểm đó, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó..
1.2. Khái niệm đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam
Phần kiến thức về đạo hàm trong chương trình phở thơng được trình bày
trong chương V Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 và chương I sách giải tích
12. Theo Trần Văn Hạo, 2007, [2], khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự:
 Ðịnh nghĩa 1: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng

 a; b  và

x0   a; b  . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f ( x) tại điểm xo và ký hiệu
là f '  xo  (hoặc y '  x0  ), tức là
f '  x0   lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

12

Chú ý: Đại lượng x  x  x0 được gọi là số gia của đối số tại x0 . Đại lượng
y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  được gọi là số gia tương ứng của hàm số

y
.
x 0 x

.Như vậy y '  x0   lim

 Định lý 1: Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm
đó.
Chú ý: Nếu hàm số y  f ( x) gián đoạn tại x0 thì nó khơng có đạo hàm tại điểm
đó. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.
 Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại
x0   a; b  .Gọi  C  là đồ thị của hàm số đã cho. Đạo hàm của hàm số
y  f ( x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0T của  C  tại điểm

M 0  x0 ; f  x0   .

 Định lý 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  của hàm số y  f ( x) tại
điểm M 0  x0 ; f  x0   là : y  y0  f '  x0   x  x0  trong đó y0  f  x0  .
 Ðịnh nghĩa 2: Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên  a; b  nếu nó
có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó,ta gọi hàm số f ' :

 a; b  
x  f '  x
là đạo hàm của hàm số y  f ( x) trên  a; b  ,ký hiệu là y ' hay f '  x  .
 Ðịnh nghĩa 3: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng

x0   a; b  . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim
x  x0

 a; b  và

f  x   f  x0 
ta
x  x0

gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y  f ( x) tại x  x0 và ký
hiệu là f '  x0   . Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại)
lim

x  x0

f  x   f  x0 
được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y  f ( x) tại
x  x0

x  x0 và ký hiệu là f '  x0   . Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi

chung là đạo hàm một bên.

13


 Định lý 4: Hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f '  x0   và
f '  x0   tồn tại và bằng nhau.Khi đó ta có: f '  x0    f '  x0    f '  x0  .

 Ðịnh nghĩa 4: Hàm số y  f ( x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a; b

nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
Có đạo hàm tại mọi x   a; b  ;
Có đạo hàm bên phải tại x  a ;
Có đạo hàm bên trái tại x  b .
 Định lý 5: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .
b) Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K .
c) Nếu f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  khơng đởi trên K .
Ta có định lý mở rộng: giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K .
Nếu f '  x   0  f '  x   0  , x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì
hàm số đồng biến( nghịch biến) trên K .
 Định lý La-Grăng: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và có đạo
hàm trên khoảng

 a; b  thì tồn tại một điểm

f  b   f  a   f '  c  b  a  hay f '  c  

c   a; b  sao cho

f b  f  a 
.
ba

 Định lý 6: giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K   x0  h; x0  h 
và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0  , h  0 .
a) Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng  a; b  và đạt cực đại hoặc cực
tiểu tại x0 thì f '  x0   0
b) f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0
là một điểm cực đại của hàm số y  f ( x)

c) f '  x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f '  x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0
là một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x)

14


 Định lý 7: giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng

 x0  h; x0  h  , h  0 .Khi đó:
a) Nếu f '  x   0, f ''  x   0 thì x0 là điểm cực tiểu;
b) Nếu f '  x   0, f ''  x   0 thì x0 là điểm cực đại.
 Định lý 8: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng  a; b  .
Nếu f ''  0 với mọi x   a; b  thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.
Nếu f ''  0 với mọi x   a; b  thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
 Định lý 9: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a; b  và
x0   a; b  .Nếu f ''  x  đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M 0  x0 ;f  x0   là

điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Theo Ðoàn Quỳnh, 2007, [3] , khái niệm đạo hàm, ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số được trình bày theo trình tự:
 Ðịnh nghĩa 1: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng  a; b  và điểm
x0 thuộc khoảng đó. Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số

f  x   f  x0 
khi x
x  x0

dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , ký hiệu
f '  xo  hoặc y '  x0  , nghĩa là f '  x0   lim

x  x0

f  x   f  x0 
.
x  x0

Nếu x  x  x0 và y  f  x0  x   f  x0  thì ta có
f '  x0   lim

f  x0  x   f  x0 
y
 lim
x 0 x
x

x  x  x0

được gọi là số gia của biến số tại điểm

x 0

Chú ý:
1) Số

x0 ,

y  f  x0  x   f  x0  được gọi là số gia của hàm số tương ứng với số

gia x tại điểm x0 .
2) Số gia x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.

3) x và y là những ký hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: x là tích của 
với x , y là tích của  với y .

15


 Ðịnh nghĩa 2: Cho hàm số f xác định trên tập J ,trong đó J là một
khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó.
1) Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f '  x  tại mọi điểm x
thuộc J .
2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f ' xác định bởi f ' : J 

x f '  x 

gọi là đạo hàm của hàm số f .Đạo hàm của hàm số y  f ( x) cũng được ký hiệu
bởi y ' .
 Ðịnh nghĩa 3: Cho hàm số f xác định trên nữa khoảng  x0 ; b  .Giới hạn
f  x   f  x0 
khi x dần đến x0 được gọi là đạo
x  x0

bên phải (nếu có) của tỉ số

hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 ,ký hiệu là f '  x0   hoặc y '  x0   .
f '  x0    lim
x  x0

f  x   f  x0 
.
x  x0

Đạo hàm bên trái của hàm số f xác định trên nửa khoảng  a; x0  , ký hiệu là
f '  x0  

hoặc

f '  x0    lim
x  x0

y '  x0   ,cũng

được

định

nghĩa

tương

tự,

nghĩa

là

f  x   f  x0 
.
x  x0

Đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải được gọi chung là đạo hàm một bên.

 Ðịnh nghĩa 4: Cho hàm số f xác định trên tập K , trong đó, K là một nữa
khoảng hay một đoạn.
o Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K   a; b  nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  và có đạo hàm bên phải
tại a (tương tự nếu K   a;   ).
o Hàm số f gọi là có đạo hàm trên nửa khoảng K   a; b nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  và có đạo hàm bên trái
tại b (tương tự nếu K   ; b )

16


o Hàm số f gọi là có đạo hàm trên đoạn K   a; b nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm thuộc khoảng  a; b  ,có đạo hàm bên phải tại a và
có đạo hàm bên trái tại b .
 Định lý 1: giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .
a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f '  x   0 với mọi x  I .
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f '  x   0 với mọi x  I .
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì vhb hàm số f đồng biến trên khoảng I
 Định lý 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo
hàm tại x0 thì f '  x0   0 .
 Định lý 3: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  .Khi đó
a) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; x0  và f '  x   0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số
f đạt cực tiểu tại điểm x0 .

b) Nếu f '  x   0 với mọi x   a; x0  và f '  x   0 với mọi x   x0 ; b  thì hàm số
f đạt cực đại tại điểm x0 .

 Định lý 3: giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng  a; b  chứa

điểm x0 , f '  x   0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
a) Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 Định lý 4: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng I .Khi đó
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì đồ thị  C  của hàm số y  f ( x) lồi trên I .
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì đồ thị  C  của hàm số y  f ( x) lõm trên I .
 Định lý 5: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng I chứa điểm
x0 . Nếu f ''  x   0 và f ''  x  đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U  x0 ;f  x0   là

một điểm uốn của đồ thị hàm số y  f ( x) . Tính đạo hàm của hàm số tại
một điểm, trên một khoảng

17


Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm bao gồm:
 Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm ,trên một khoảng.
 Chứng minh hàm số có đạo hàm hay khơng có đạo hàm tại một điểm.
 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số.
 Từ biểu diễn hình học, dự đoán đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên
một khoảng, tính đơn điệu, cực trị của hàm số .
 Từ biểu diễn đại số, vẽ đồ thị hàm số
 Xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số.
 Giải bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm.
Số lượng ví dụ và bài tập liên quan đến mỗi kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa
và sách bài tập được thống kê trong bảng 1.1:
Bảng 1.1. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đạo hàm.
SGK
Kiểu nhiệm vụ

SBT

Ví Bài Ví Bài Tổng
dụ tập dụ tập

T1 Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm trên một

khoảng
T2 Chứng minh hàm số có đạo hàm hay khơng có

đạo hàm tại một điểm
T3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4

12

2

13

31

1

2

2

2

7

2

12

1

8

23

T4 Từ biểu diễn hình học dự đốn đạo hàm của

hàm số tại một điểm, trên một khoảng,tính đơn

2

2

điệu,cực trị của hàm số .
T5 Từ biểu diễn đại số vẽ đồ thị hàm số
T6 Xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu, cực

trị ,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
T7 Giải bài toán thực tế

18

12

43

19

26

3

6

38

93

6

22

73

1

11

21

Nhận xét:
Các khái niệm được định nghĩa dựa trên ngôn ngữ phổ thông. Dựa vào tỉ lệ các
kiểu nhiệm vụ chúng ta thấy rằng, phần bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 chiếm tỉ lệ
cao nhất, phần bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 chiếm tỉ lệ thấp nhất. Như vậy, hệ
thống bài tập chủ yếu thiên về tính tốn, chú trọng biểu diễn đại số (công thức), thao
tác đại số, chứng minh hình thức, ít chú ý đến khả năng chuyển đổi giữa các hệ
thống biểu đạt (chuyển đổi từ hình học sang đại số,từ ngơn ngữ sang hình học..). Do
đó học sinh khi học đạo hàm chủ yếu nắm các quy tắc, định lý để vận dụng vào làm
các bài tập tính tốn chứ khơng hiểu hết ý nghĩa của khái niệm đạo hàm, cũng như
rèn luyện khả năng chuyển đổi qua lại giữa các hệ thống biểu đạt khác nhau (đại số,
hình học,ngơn ngữ, bảng biến thiên, độ dốc của đường tiếp tuyến...). Đặc biệt là các
ví dụ và bài tập liên quan đến trải nghiệm về đạo hàm với hình ảnh trực quan cịn
hạn chế. Trong khi đó nghiên cứu ri thức luận và lịch sử đã cho thấy khái niệm đạo
hàm có nguồn gốc từ các bài tốn vật lý và hình học.
1.3. Tổng quan về các nghiên cứu về dạy học đạo hàm
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản của giải tích tốn học và thường được bắt
đầu giảng dạy cho học sinh ở những năm cuối của bậc Trung học phổ thông và
đầu Đại học. Vấn đề dạy học khái niệm này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu giáo
dục toán quan tâm từ lâu.
Chẳng hạn, một số nghiên cứu tập trung tìm hiểu nhận thức và tư duy tốn
học của học sinh về khái niệm đạo hàm trong các phạm vi biểu diễn khác nhau
như vật lý, đồ thị, biểu thức, số học (Tall, 2004, [37] ; Presmeg, 1986, [30] ;
Zandieh, 2000, [41] ; Aydin & Ubuz, 2014, [9],[10]). Ví dụ, Zandieh (2000,
[41]), Park, 2013,[29]) đã xây dựng một khung lý thuyết để nghiên cứu việc hiểu
khái niệm đạo hàm của học sinh trong các ngữ cảnh và phạm vi biểu diễn khác
nhau như đồ thị, ngôn ngữ vật lý, biểu tượng… Trong khung lý thuyết này, đạo
hàm được xem xét như một quy trình-đối tượng, được biểu diễn bởi các kiểu biểu
diễn khác nhau.
García, Llinares & Sánchez-Matamoros, 2009, [33] nói về đặc trưng cấu
trúc cơ bản khác nhau của lược đồ đạo hàm của sinh viên (hành động- quy trình –

đối tượng – lược đồ), cũng như khả năng chuyển đổi linh hoạt mối quan hệ giữa

19


hàm số, đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai, sử dụng mối quan hệ giữa hàm số và
đạo hàm để nhận biết cấu trúc cơ bản của lược đồ. Natsheh & Karsenty, 2013,
[23] nhấn mạnh vai trò của lập luận trực quan để giải quyết các bài toán về đạo
hàm cũng như mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó. Bingolbali &
Monaghan, 2008, [11] tập trung xem xét hình ảnh khái niệm của sinh viên khi
học về khái niệm đạo hàm cũng như mối quan hệ giữa thực hành dạy học và sự
phát triển hình ảnh khái niệm về đạo hàm của sinh viên.
Ở Hoa Kỳ và Châu Âu, đã có nhiều lời kêu gọi thay đởi trong cách giảng
dạy các khái niệm giải tích từ lâu (Habre & Abboud, 2006, [22]). Một trong
những thay đổi cơ bản là nhấn mạnh đến khía cạnh trực quan trong dạy học các
khái niệm giải tích. Zimmermann (1991,[42]) xem trực quan toán học như là hạt
nhân cơ bản của chương trình cải cách tốn học nhà trường. Theo Zimmermann,
tư duy trực quan đóng vai trị cơ bản trong việc hiểu các khái niệm giải tích.
Chương trình cải cách ở các nước cũng nhấn mạnh vai trị của cơng nghệ trong
việc cung cấp nhiều kiểu biểu diễn khác nhau cho cùng một khái niệm hay đối
tương toán học, đặc biệt là các khái niệm của giải tích như hàm số, giới hạn, đạo
hàm, tích phân….
Một hướng nghiên cứu khác liên quan đến đạo hàm là xem xét việc hiểu
của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó (Park, 2013, [29] ;
Habre & Abboud, 2006, [22] ; Aspinwall, Shaw & Presmeg, 1997,[8]). Các
nghiên cứu này chủ yếu tập trung tìm hiểu khả năng hiểu của học sinh về mối
quan hệ định tính giữa đạo hàm cấp một với hàm số trong phạm vi biểu đạt đồ
thị. Các nghiên cứu đã cho thấy rằng học sinh gặp nhiều khó khăn khi mơ tả dáng
điệu của đồ thị của hàm số đạo hàm tương ứng với đồ thị một hàm số cho trước.
Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu này đều thực hiện trên đối tượng tham gia là

sinh viên năm thứ nhất và thứ hai ở các trường đại học. Các nghiên cứu trên đối
tượng là học sinh phổ thông, những người mới tiếp cận khái niệm đạo hàm, vẫn
cịn khá ít.
1.4. Ghi nhận và đặt vấn đề
Trong chương 1, chúng tôi đã điểm qua lịch sử hình thành khái niệm đạo hàm,
tởng quan các nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm hàm số và khái niệm

20


đạo hàm trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam. Các phân tích lịch sử,
tởng quan nghiên cứu và thể chế dạy học đạo hàm này cho phép chúng tôi đặt ra
một số vấn đề khi nghiên cứu dạy học đạo hàm: học sinh hiểu về khái niệm đạo
hàm như thế nào? Khả năng hiểu của học sinh về mối quan hệ giữa hàm số và
đạo hàm của nó trong các phạm vi và hệ thống biểu đạt khác nhau (hình học, đồ
thị, giải tích, bảng biến thiên, ngơn ngữ) như thế nào? Khả năng chuyển đổi linh
hoạt giữa các hệ thống biểu đạt về khái niệm đạo hàm của học sinh được thể hiện
như thế nào?
Trong chương tiếp theo, chúng tơi sẽ trình bày các yếu tố lý thuyết làm cơ sở
cho nghiên cứu và phân tích dữ liệu thực nghiệm.

21


Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Hình ảnh khái niệm (concept image) và định nghĩa khái niệm (concept
definition)
Theo Bingolbali & Monaghan (2008, [11]), hình ảnh khái niệm và định
nghĩa khái niệm là các yếu tố quan trọng trong giáo dục toán học. Hình ảnh khái

niệm bao gồm tất cả các cấu trúc nhận thức trong tâm trí của cá nhân được liên
kết với một khái niệm cụ thể (Tall & Vinner, 1981, [35]). Hình ảnh khái niệm
được hình thành theo thời gian và thông qua các trải nghiệm của cá nhân. Mỗi cá
nhân có một hình ảnh khái niệm riêng và duy nhất đối với mỗi khái niệm toán
học. Thuật ngữ “định nghĩa khái niệm” được sử dụng để chỉ một dạng từ ngữ
dùng để chỉ rõ định nghĩa khái niệm đó. Định nghĩa khái niệm mang tính chính
thức và được giới thiệu cho học sinh trong quá trình học. Trong thực hành dạy
học ở hầu hết các nước, khái niệm đạo hàm thường được giới thiệu một cách
khơng chính thức trước (bằng trực giác hay hình học), sau đó mới đưa vào định
nghĩa chính thức. Điều này có nghĩa là hình ảnh khái niệm được xây dựng trước
bất kỳ một định nghĩa khái niệm chính thức nào. Đơi lúc các hình ảnh khái niệm
này tạo ra những xung đột, mâu thuẫn với định nghĩa khái niệm và đó là nguồn
gốc của những quan niệm sai lầm của học sinh. Hình ảnh khái niệm và định
nghĩa khái niệm có thể xem như là một pha trong quá trình hình thành khái niệm
theo Vygotsky. Vinner (1992) lưu ý rằng giáo viên đóng một vai trị quan trọng
trong việc hình thành hình ảnh khái niệm ở học sinh. Trong giáo dục toán, đã có
rất nhiều tác giả đề cập đến hai khái niệm này. Chẳng hạn, một số tác giả xem xét
hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm của học sinh về khái niệm giới hạn,
về đạo hàm và vi phân (Tall, 1981, [31]; Orton, 1983, [28]; Tall, 1991, [36]).
2.2. Đối ngẫu quy trình/khái niệm và lý thuyết APOS
APOS là một lý thuyết học tập có tính kiến tạo được phát triển bởi
Dubinsky và các cộng sự (Cottrill và cộng sự, 1996, [14]; Dubinsky, 1991,
[15]; Dubinsky,
1994, [16]; Dubinsky & MacDonald, 2001, [17]; Dubinsky và cộng sự, 2005,
[18]);Lê Thị ái Tiên,2013,[4]. Lý thuyết APOS (Action-Process-Object-

22