Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT chuyên Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021
LONG AN
Mơn thi: TỐN (CHUN)
Ngày thi: 17/7/2020
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức P 

x x 3
2( x  3)
x 3
với x  0; x  9


( x  1)( x  3)
x 1
3 x

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P là số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm)
3
4

Cho hàm số: y   x  3 có đồ thị  d  .
a) Vẽ đồ thị  d  .

b) Gọi A là giao điểm của  d  với trục tung Oy ; B là giao điểm của  d  với trục hồnh Ox .
Tính chu vi tam giác OAB và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d  .

Câu 3 (1,0 điểm)
Cho phương trình: m  m 2 x  m  2   8 x  4 với m là tham số, m  2 .
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình trên có nghiệm nhỏ hơn 2 .
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho đường tròn  O  có AB là đường kính. Vẽ đường kính CD không trùng với AB .
Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F.
Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng AF.
a) Chứng minh: ACBD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: QO song song BF và BQC là tam giác cân.
c) Chứng minh: EB.EC  FB.FD  2CD 2 .
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho đa giác đều 24 cạnh A1 A2 .... A23 A24 . Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng không phải
là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đỉnh của đa giác trên?
Câu 6 (1,0 điểm)
b2 c2
3
  12 .
2
2 9
Tìm giá trị lớn nhất của M  2ab  3a  ca  8c  2 c  5.

Cho các số thực a, b, c sao cho: a  0; b  ; c  5 và a 2 

Câu 7 (1,0 điểm)
Cho ABC nhọn có AB  AC . Gọi O, H , G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm,
trọng tâm của tam giác trên. Gọi E là điểm tùy ý sao cho luôn tạo thành EHG và EOG.
Chứng minh: Tỉ số diện tích EHG và diện tích EOG khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E.
HẾT
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………….Số báo danh:…………….Chữ ký…… ……

Chữ ký CBCT 1:……………………… ...Chữ ký CBCT 2:…………………………...


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021
LONG AN

Mơn thi: TỐN (CHUN)
Ngày thi: 17/7/2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Ghi chú: Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì cho
đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

CÂU
Câu 1a

P

(1,0 điểm)

x x  3  2( x  3) 2  ( x  3)( x  1)
( x  1)( x  3)

0,25

P

x x  8 x  3 x  24
( x  1)( x  3)

0,25

P

( x  3)( x  8)
( x  1)( x  3)

0,25

P

Câu 1b

ĐIỂM

NỘI DUNG

x 8
x 1

0,25



P

2

và  x   
2


Ta có P  0, P 

(1,0 điểm)

P 2  4 P  32
.
4

0,25

 P  4  P  8

0,25

P   P  4  P  8 

Suy ra  x   
2
4

2

Suy ra P  4, P 

và

x

P

2

2

.
2


8  P  4, P 

 P
x



0,25

 P  4  P  8 

2

 P  4  P  8 

 P
;x 





2

2




2

0,25
P  8, P 

 P
x



Câu 2a
(0,5 điểm)

 P  4  P  8 

2




2

Tìm đúng tọa độ hai điểm thuộc  d 

0,25

Vẽ đúng đồ thị  d 

0,25

y

A
H

2

B
O

Câu 2b
(1,0 điểm)

1

2

4

x

Tọa độ các giao điểm: A  3;0  ; B  4;0 ; OA  3, OB  4

0,25

AB  OA2  OB2  32  42  5

0,25

Chu vi tam giác OAB : OA  OB  AB  3  4  5  12

0,25

Vẽ OH vng góc với AB tại H .

0,25

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAB vng tại O có đường cao
OH , ta có: OH 

OA.OB 12

AB
5

3


Câu 3
(1,0 điểm)

m  m 2 x  m  2   8 x  4   m 3  8  x  m 2  2m  4   m  2  x  1

0,25

(vì m2  2m  4   m  1  3  0 )
2

Phương trình có nghiệm x 
x

0,25

1
m2

1
2m  3
 2 
0
m2
m2

Kết luận

0,25
0,25

3
m2
2

Câu 4a
(0,75 điểm)

B

D
O
C

E

F
A

Câu 4b
(1,0 điểm)

Q

Vì AB là đường kính nên ACB  ADB  900

0,25

Vì CD là đường kính nên CAD  CBD  900

0,25

Suy ra ACBD là hình chữ nhật

0,25

Vì O là trung điểm AB , Q là trung điểm AF nên QO là đường
trung bình tam giác ABF

0,25

Suy ra: QO song song BF

0,25

4


Vì QO song song BF ; BC

BF nên QO

BC

0,25

Vì QO BC nên QO đi qua trung điểm BC (tính chất đường kính
và dây cung)

Câu 4c
(0,75 điểm)

BQC có QO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là
tam giác cân

0,25

Tam giác BEA vng tại A và có đường cao AC nên EA2  EB.EC
Tam giác BFA vuông tại A và có đường cao AD nên FA2  FB.FD

0,25

Suy ra EB.EC  FB.FD  EA2  FA2

Câu 5
(1,0 điểm)

EA2  FA2  2EA.FA; EA.FA  AB 2  CD2

0,25

Kết luận EB.EC  FB.FD  2CD 2 .

0,25

Đa giác đều A1 A2 .... A23 A24 sẽ nội tiếp đường tròn tâm O và

0,25

A1 A13 , A2 A14 ,...., A12 A24 là 12 đường kính của đường trịn trên.

Từ đường kính A1 A13 ta có 22 tam giác vng:

0,25

A1 A13 A2 , A1 A13 A3 ,..., A1 A13 A12 , A1 A13 A14 ,..., A1 A13 A24

Câu 6

Trong 22 tam giác vuông trên thì có 2 tam giác cân là A1 A13 A7 , A1 A13 A19

0,25

Tương tự cho các đường kính khác, tổng cộng ta có 240 tam giác thỏa
đề bài.

0,25

2ab  3a  a  2b  3 

(1,0 điểm)
2 c  5  4  c  5 

a  2b  3
;
2

c  a  8 

c  a 8
2

0,25

4c 5
2

Suy ra: M  a  b  c  2

0,25

b2  4
c 2  81
a2  1
Ta có: a 
; b
;c 
4
18
2

0,25

5


a 2 b2 c2
Suy ra: a  b  c     6  12

2 4 18

Suy ra : M  14
Giá trị lớn nhất của M là 14 (Khi a  1, b  2, c  9 )

Câu 7

0,25

A

( 1,0 điểm)

H
B

G

F
O

C
D

Vẽ đường kính AD .

0,25

Ta có BH song song DC vì cùng vng góc AC ;
CH song song BD vì cùng vng góc AB .

Suy ra: BHCD là hình bình hành
Gọi F là trung điểm AC

0,25

Vì OF là đường trung bình của tam giác ADC và BHCD là hình bình
6


hành nên OF song song BH ; OF 

BH
2

BG BH

 2; HBG  OFG nên tam giác BHG đồng dạng tam giác
FG FO
GH
 2; HGB  OGF
FOG . Suy ra :
GO

0,25

Suy ra ba điểm O, H , G thẳng hàng (vì HGB  OGB  1800 ) và

0,25

Vì

GH  2GO

Suy ra

S
S

EHG

2

EOG

-------HẾT-------

7