Tải bản đầy đủ (.pdf) (97 trang)

Giải tích hóa phổ tần số của xung điện áp và dòng điện với độ chính xác cao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (674.13 KB, 97 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ NGỌC THẢO

ĐỀ TÀI:
GIẢI TÍCH HĨA PHỔ TẦN SỐ CỦA XUNG
ĐIỆN ÁP VÀ DỊNG ĐIỆN VỚI ĐỘ
CHÍNH XÁC CAO

LUẬN VĂN CAO HỌC
CHUN NGÀNH: MẠNG VÀ HỆ THỐNG ĐIỆN

NĂM 2004



Giới Thiệu Tổng Quan

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
FG
Để đáp ứng nhu cầu phát triển nền kinh tế quốc dân, từng bước thực hiện
tốt nhiệm vụ công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, trước tiên phải giải quyết tốt
vấn đề về năng lượng, trong đó điện năng đóng vai trò hết sức quan trọng trong
quá trình phát triển kinh tế đất nước. Chính vì vậy cần xây dựng một hệ thống
điện đảm bảo an toàn, hoàn chỉnh từ nguồn đến tải, đảm bảo yêu cầu cấp điện
liên tục , có khả năng truyền tải điện đến mọi nơi trên toàn đất nước.
Một trong những nguyên nhân gây rối loạn sự vận hành của hệ thống điện
là quá điện áp khí quyển gây nên bởi sét đánh trực tiếp vào các phần tử của hệ
thống điện hoặc vùng lân cận với những xung điện áp rất cao, có thể lên đến hàng


triệu vôn trong thời gian không quá vài trăm micro giây. Nguyên nhân thứ hai đó
là quá điện áp nội bộ xảy ra khi thao tác, đóng cắt các phần tử của hệ thống điện
hoặc các sự cố đứt dây, chạm đất, ngắn mạch … với điện áp tăng rất nhiều lần trị
số định mức. Những hiện tượng này sẽ gây nên phá hủy cách điện của các phần tử
trong hệ thống điện, do đó ảnh hưởng đến chất lượng điện năng cung cấp cho các
phụ tải, ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống, gây nên những thiệt hại về mặt
kinh tế. Từ những vấn đề bức xúc nêu trên, với mong muốn hạn chế những thiệt
hại về mặt kinh tế do sự cố gây nên. Vấn đề đặt ra là làm sao để hạn chế và giảm
đến mức tối thiểu những thiệt hại đó, do vậy chúng ta cần nghiên cứu rõ hơn về
các dạng sóng xung và mức độ ảnh hưởng của nó lên các thiết bị điện để từ đó ta
có thể chế tạo những thiết bị, những vật liệu với độ tin cậy cao hơn.
Những năm qua, ngành chế tạo thiết bị và vật liệu điện nước ta có những
thành tích đáng khích lệ góp phần quan trọng trong công cuộc điện khí hóa đất
nước nâng cao đời sống nhân dân, giảm chi phí nhập khẩu. Sản phẩm tạo trong
nước bao gồm đủ loại như máy biến áp, cầu dao …. Tuy nhiên, để đảm bảo độ tin
cậy của các sản phẩm thì cần phải có những cuộc thử nghiệm nhằm đáp ứng
những yêu cầu an toàn trong vận hành của các thiết bị.
Trong xu hướng hoà nhập thị trường trong nước với thị trường quốc tế, chất
lượng sản phẩm nội địa trong đó có ngành điện cần được nâng lên ngang tầm với
thế giới. Việc xây dựng tiêu chuẩn có nhiều thay đổi khác hẳn quan điềm trước
đây cho rằng không nên đưa ra những yêu cầu kỹ thuật mà các cơ sở trong nước
chưa đạt tới, không nêu những hạng mục thử nghiệm. Ngày nay, nhiều tiêu chuẩn
Việt Nam ngành điện được xây dựng trên cơ sở hoàn toàn tương đương với tiêu
chuẩn IEC.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-1-



Giới Thiệu Tổng Quan

Trước yêu cầu cải thiện sản phẩm với chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của
thị trường, ngành thiết bị cũng như ngành vật liệu điện luôn luôn đổi mới nhằm
cải thiện,nâng cao chất lượng sản phẩm. Theo yêu cầu trong vận hành, ngoài điện
áp lưới điện, các thiết bị cũng như vật liệu điện còn phải chịu tác động của xung
điện áp truyền tới do thao tác đóng cắt lưới điện gây ra và xung điện áp sét do
quá áp khí quyển gây ra. Đặc điểm của xung là thời gian đầu sóng rất ngắn tức
tốc độ tăng điện áp rất cao dễ dàng gây chọc thủng cách điện của thiết bị và vật
liệu điện. Đứng trước tình hình đó việc ra đời của các công cụ thử nghiệm là một
tất yếu, nó giúp chúng ta biết được khả năng chịu tác động nhiệt điện động của
thiết bị để từ đó đưa vào sử dụng một cách hợp lý cũng như tìm ra phương pháp
cải tiến chất lượng sản phẩm.
Như chúng ta đã biết sét thực chất là một dạng phóng điện tia lửa trong
không khí với khoảng cách rất lớn. Chiều dài trung bình của khe sét khoảng
3÷5km, phần lớn chiều dài của nó phát triển trong các đám mây dông. Quá trình
phóng điện của sét tương tự như quá trình phóng điện tia lửa trong điện trường rất
không đồng nhất với khoảng cách phóng điện lớn. Chính sự tương tự đó đã cho
phép mô phỏng sét trong phòng thí nghiệm để nghiên cứu những quy luật của nó,
các mối liên hệ giữa các thông số trong biểu thức toán học của sét, từ đó chúng ta
có thể nghiên cứu những biện pháp bảo vệ chống sét đặc biệt là chế tạo ra các
thiết bị đo lường xung điện áp và xung dòng với độ chính xác cao. Mục đích
nghiên cứu các thông số của xung sét và phổ tần số của nó nhằm phục vụ cho việc
nghiên cứu chế tạo các thiết bị đo lường với mục đích kiểm tra thử nghiệm các
thiết bị điện thường xuyên chịu tác động của quá điện áp nội bộ và quá điện áp
khí quyển.
Hiện nay trên thế giới có rất nhiều thiết bị đo lường cao áp với độ chính
xác cao đặc biệt là thiết bị sử dụng kỹ thuật số và chương trình hóa phép đo. Do
đó, với trình độ tiến bộ khoa học kỹ thuật hiện nay chúng ta phải từng bước nâng
cao độ chính xác cho phù hợp với thiết bị hiện hành. Chẳng hạn như các thiết bị

thử nghiệm và đo lường trong phòng thí nghiệm, các trung tâm định chuẩn, đo
lường chất lượng. Các thiết bị dùng nghiên cứu và đặc biệt là các thiết bị chỉnh
định và kiểm tra các thiết bị khác hoặc các thiết bị mẫu.
Theo tiêu chuẩn đo lường trên thế giới hiện nay như IEC60-2, IEC60-4 và
tiêu chuẩn đo lường của các nước liên xô cũ GOST-1762 thì sai số cho phép đo
giá trị biên độ của xung cao áp là 3% và sai số thời gian là 10%. Hiện nay các giá
trị này dù vẫn được sử dụng nhưng với tiến bộ của khoa học kỹ thuật và công
nghệ, các thiết bị đo lường, ghi nhận tín hiệu như đồng hồ tự ghi, dao động ký kỹ
thuật số v.v … ngày càng có độ chính xác cao và do đó tiêu chuẩn IEC cần được

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-2-


Giới Thiệu Tổng Quan

thay đổi theo chiều hướng có độ chính xác cao hơn, chính vì vậy việc nâng cao độ
chính xác trong đo lường là cần thiết
Luận án giải quyết một phần trong các vấn đề làm sao để nâng cao độ
chính xác trong đo lường xung sét cũng như xác định các thông số liên quan trong
biểu thức giải tích của dạng xung sét từ đó có thể nghiên cứu tiếp đến đặc tính tần
số của xung sét và đưa ra biểu thức đơn giản để dự đoán phổ tần của các dạng
sóng sét chuẩn, sau đó tổng hợp để tìm ra giới hạn của các khoảng tần số ứng với
từng dạng sóng chuẩn cụ thể.
Nội dung luận án gồm 5 chương:
Chương 1 : Giới thiệu các phương pháp tính để giải bài toán xác định
nghiệm gần đúng của một hàm bất kỳ và các phương pháp nội
suy.
Chương 2 : Giải tích hóa quan hệ thông số thời gian của xung sét dạng

chuẩn.
Chương 3 : Biểu thức tính nhanh phổ tần số của xung sét dạng chuẩn.
Chương 4 : Các kết quả và chương trình lập trình phục vụ quá trình nghiên
cứu.
Chương 5 : Tổng kết.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-3-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

CHƯƠNG I :

GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN
ĐÚNG CỦA MỘT HÀM BẤT KỲ & CÁC
PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

I. MỞ ĐẦU :
Để phục vụ tốt trong quá trình tính toán các thông số của luận văn chúng ta sẽ
tìm hiểu lại các hương pháp tính toán nhằm mục đích vận dụng vào các phép toán
cụ thể để khảo sát và tính toán các thông số của xung dòng điện sét, Các thông số
của xung dòng điện sét thường quan hệ với nhau bằng một hàm toán học phức
tạp,dạng siêu việt cho nên cần phải nghiên cứu một số phương pháp giải gần đúng
để tính toán các thông số đó.
Việc xác định nghiệm của một phương trình thường được tiến hành giải bằng
phương pháp chính xác. Tuy nhiên, trong các bài toán kỹ thuật, việc xác định chính
xác nghiệm của một phương trình rất khó khăn vì số liệu thu thập được không đầy

đủ hoặc không chính xác. Bằng các phương pháp tính toán có sai số sẽ giải quyết
được vấn đề vừa nêu trên, với số lượng phép tính lớn ta sẽ kết hợp các phương pháp
tính với lập trình bằng ngôn ngữ máy tíng ta sẽ xác định được gần đúng nghiệm
phương trình với độ chính xác cao.
Quá trình tính toán tích phân của hàm toán học phức tạp khó có thể tính toán trực
tiếp được nên cần phải có một công cụ tính toán gần đúng để phục vụ trong quá
trình nghiên cứu và đảm bảo sai số theo yêu cầu. Ngoài ra, trong nội dung luận văn
sẽ tính toán và thiết lập đa thức nội suy tổng quát nhằm đơn giản hóa các phương
trình siêu việt phức tạp, cũng như đưa được các mối quan hệ các thông số của xung
sét về dạng quen thuộc phục vụ tốt cho quá trình nghiên cứu và cho những ai quan
tâm đến vấn đề mối quan hệ giữa các thông số sóng.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-4-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

II. GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN NGHIỆM GẦN ĐÚNG
CỦA HÀM SỐ F(X)= 0 BẤT KỲ
II.1. Phương Pháp Lặp Newton
II.1.1. Mô Tả Phương Pháp
Phương pháp newton là tìm cách thay phương trình phi tuyến đối với x bằng
một phương trình gần đúng đối với x.
Công thức taylor cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm dến cấp n+1 tại x0
và ở lân cận x0
Ta khai triển hàm f(x) = 0 theo chuoãi taylor :
f ( x ) = f ( x0 ) + (x − x0 ) f ' ( x0 ) +


( x − x 0 )2
2!

f ' ' (x0 ) + .. +

(x − x0 )n+1
(n + 1)!

f (n +1) (c )

C = x0 + θ(x-x0) 0 < θ < 1
Công thức này có giá trị lân cận tại xo
C là một số trung gian giữa x0 và x.
Giả sử f(x) =0 có nghiệm thực phân li trong khoảng [a,b],và có f’≠0 tại x
thuộc [a,b], đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x thuộc [a,b]. Ta chọn x0∈[a,b] rồi khai triển
taylor bậc nhất của f tại x0 :
f(x)=f(x0) + (x-x0)f’(x0) +1/2(x-x0)2 f’’(c)
c=x0 + θ(x-x0)
Bỏ qua số hạng cuối cùng ta được phương trình :
f(x0) +(x-x0)f’(x0) = 0
Gọi x1 là nghiệm gần đúng phương trình
x1 =x0 –f(x0)/f’(x0)
Từ x1 ta tính một cách tương tự ta được x2, x3,…và một cách tổng quát khi ta
biết được xn ta tính được xn+1 theo công thức:
xn+1 =xn –f(xn)/f’(xn)
x0 chọn trước thuộc [a,b]
Và xem xn là gía trị gần đúng của nghiệm phương trình.
Nhận xét: ta thấy phương pháp newton thuộc phương pháp lặp với hàm lặp :
ϕ(x) =x –f(x)/f’(x)
về mặt hình học thì f(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm y=f(x) tại x0.

xét một trường hợp cụ thể.
Ta vẽ đồ thị hình bên AB cắt trục hoành tại M có hoành độ chính là nghiệm.
Để tính gần đúng nghiệm ta thay một cách gần đúng cung AB bởi tiếp tuyến tại B,
B có hoành độ x0, tiếp tuyến này cắt trục hoành tại P, P có hoành độ x1 và ta xem x1
là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình
Để tính x1 ta viết phương trình tiếp tuyến tại B với x0 = b ta có :
Y – f(x0) = f’(x0)(X-x0)
Tại P ta có X = x1, Y = 0, nên ta có :
GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-5-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

-f(x0) = f’(x0)(x1 –x0).
y
B

a

M
p

b

x

A


II.1.2. Sự Hội Tụ Và Sai Số
Mục đích của ta là đi tìm nghiệm gần đúng α. Điều đó thực hiện bằng
phương pháp newton nếu xn Ỉα khi nỈ∝. ta có kết quả không chứng minh sau
Giả sử [a,b] là khoảng phân li nghiệmα của f(x) = 0. f có đạo hàm f’, f’’ với f
và f’ liên tục trên [a,b], f’ và f’’ không đổi dấu trong (a,b). xấp xỉ đầu x0 chọn là a
hay b sao cho f’’(x0) cùng dấu với f(x0) khi đó xn hội tụ về α khi nỈ∝ , cụ thể hơn
ta có xn đơn điệu tăng tới α nếu f’,f’’< 0, xn đơn điệu giảm tới α nếu f’,f’’ >0.
Dừng lại ở bước tính thứ n xác định ta được xn và xem xn là giá trị gần đúng
của α.
Về sai số ta có :
α − xn ≤

f ( xn )
m

Với 0 < m ≤ ⏐f’(xn) ⏐, α ≤ x ≤ b.
Hình vẽ minh hoạ:
Y

B

Y
A

A
a

x2 x1 b

α

x2 x1 b

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

a

α

x

-6-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

II.2 Phương Pháp Dây Cung :
Giả thiết hàm số y=f(x):[a,b]Ỉ R, f liên tục
• f(a).f(b)<0
• ∃! ξ∈ (a,b) : f(ξ) = 0.
Xét đồ thị hàm số y= f(x) . giả sử f(a)< 0và f(b) > 0 các điểm của đồ thị A và
B được nối với nhau bằng dây cung AB. Lấy hoành độ x1 của giao điểm giữa dây
cung AB và trục 0x là giá trị gần đúng của nghiệm cần tìm :
x1 = a −

(b − a ) f (a )
f (b ) − f (a )

Trong đó x1 thuộc khoảng (a,b)
Giả sử f(x1)<0,khi đó khoảng mới hẹp hơn có thể là (x1,b).Nối các điểm A1
và B,ta được giao điểm của dây cung ở bước thứ hai theo công thức

x1 = a −

(b − x1) f (x1)
f (b ) − f ( x1)

Dãy số a,x1,x2… sẽ dần về nghiệm ξ
y
F(b)

a

x1

x2

ξ

0

B

b
x

f(x1)
f(a)

A

Các bước tiến hành như sau:

2.1 Tìm hoành độ giao điểm của AB
c =a−

(b − a ) f (a )
f (b ) − f (a )

1.2 Xác định f(c)
• nếu f(c)= 0 c là nghiệm của phương trình
• nếu f(c).f(b) > 0 thì đặt : b1= c1 = c; a1 = a
• nếu f(c).f(a) > 0 thì đặt : a1= c =c1; b1 = b
1.3 Bài toán trở lại giả thiết đầu với (a,b) thay bởi (a1,b1). Khi đó thì
f(a).f(b)<0. lặp lại bước 2.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-7-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

1.4 Cứ như thế, sau khi kiểm tra điều
cuối cùng ta tìm được nghiệm của phương trình :
ξ∈[an,bn]⊂ [an-1,bn-1] ⊂ … ⊂ [a,b]
Đặt
cn =

kiện

bước


2

an . f (bn ) − bn . f ( an )
f (bn ) − f (an )

• Dãy số { an } tăng và bị chặn trên bởi b, khi ủoự an ặ a,.
ã Daừy soỏ { bn } giảm và bị chặn dưới bởi a, khi đó bn Ỉ b’.
Ta cần chứng minh: cn tiến đến ξ
Có các trường hợp:
• Sau một số lần lặp n ta tìm được cn sau cho :
F(cn) = 0, suy ra ξ = cn là nghiệm phương trình
• Giả sử trường hợp đầu không xảy ra như vậy hoặc {an} có vô hạn giá
trị khác nhau hoặc { bn } có vô hạn giá trị khác nhau
Giả sử {an} có vô hạn giá trị khác nhau, như vậy ta có thể chọn được
một dãy con { an} để f(ank+1 ).f(cnk)>0. suy ra : ank+1 = cnk
Ta coù :
cn = ank +1 =
a, =

ank . f (bnk ) − bnk . f (bnk )
f (bnk ) − f (ank )

a , . f (b , ) − b , . f (a , )
f (b , ) − f (a , )

⇒ (a , − b , ). f (a , ) = 0

Suy ra:
• f(a,) = 0: chứng minh xong.
• a, = b, : xem tiếp:

ta có : f(a,)cùng dấu với f(a)
f(b,) cùng dấu với f(b)
vậy : f(a,) . f(b) ≤ 0
[f(a,)]2 ≤ 0
f(a,) = f(b) = 0
ξ = a, = b,
vaäy {bn} và {an} cùng hội tụ về ξ
II.3. Phương Pháp Chia Đôi Khoảng Nghiệm :
Phương trình f(x) = 0 nếu tồn tại nghiệm duy nhất trong khoảng [a,b] thì
f(a).f(b) < 0
Lần lượt chia đôi khoảng [a,b] và tiếp tục kiểm tra điều kiện trên đến khi
⏐xn+1 -xn⏐≤ α ta tìm được nghiệm gần đúng với độ chính xác đã cho

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-8-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

y
B
f(b)

a

0

ξ


b

Giải thuật tiến hành như sau
3.1Tính :
c=

(a + b )
2

3.2 Xác định f(c)
• Nếu f(c) = 0 thì c là nghiệm
• Nếu f(a).f(c) < 0 thì đặt a1= a, b1= c.
• Nếu f(b).f(c) < 0 thì đặt : a1 =c ; b1 = b.
3.3 Bài toán trở lại bước 2 với (a,b) thay bởi (a1,b1). Cứ như thế cho đến khi
tìm được [an , bn] kiểm tra thoả điều kiện về sai số:
bn - an = (b-a)/2n ≤ ε
tìm nghiệm ξ ∈ ( (bn + an –ε)/2 ; (bn +an+ε)/2)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GẦN ĐÚNG.
III.1. Tính Tích Phân Bằng Công Thức Hình Thang:
Như chúng ta đã biết công thức Newton-Lebnitz cho cách tính tích phân xác
định của các hàm số khả tích miễn là biết nguyên hàm của các hàm số đó. Tuy
nhiên chúng ta đã biết có nhiều hàm số sơ cấp nhưng không thể biểu diễn nguyên
hàm của chúng dưới dạng các hàm số sơ cấp, ngay cả khi có thể biểu diễn được
nguyên hàm dưới dạng các hàm số sơ cấp người ta cũng tìm cách tính gần đúng tích
phân xác định miễn là đạt độ chính xác thích hợp và cách tính đơn giản. đây ta
giới thiệu công thức hình thang.
Ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi:
a = x0 < x1 < x2 ……< xn.
xi = a + ih; h = (b – a)/n; I = 0,1,2……n
Đặt yi = f(xi), ta có :

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

-9-


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

b

x1

x2

xn

a

x0

x1

xn−1

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ..... + ∫ f ( x)dx .
Để tính mỗi tích phân ở vế phải thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy bậc
nhất P1(x). với tích phân thứ nhất ta có:
x1

x1


x0

x0

∫ f ( x)dx = ∫ P( x)dx .

Đổi biến x = x0 +ht thì dx = hdt.
ng với x0 là t =0, x1 là t = 1, nên ta có:
x1

1

x0

0

∫ P1dx = h ∫ ( y 0 + tΔy0 )dt = h( y0 t +
=h

vậy có :

1
t2
Δy 0 ) tt ==10 = h( y 0 + Δy 0 )
2
2

y 0 + y1
2
x1


∫ f ( x)dx = h

x0

y 0 + y1
.
2

Đối với tích phân thứ i +1 ta có:
xi +1



f ( x)dx = h

xi

yi + yi +1
.
2

Vậy :
b

I = ∫ f ( x)dx ≈ I T =
a

h
[( y 0 + y1 ) + ( y1 + y 2 ) + ..... + ( y n−1 + y n )] .

2

Công thức trên được gọi là công thức hình thang.
• Đánh giá sai số:
Người ta chứng minh được :
M 2
h (b − a)
12
M = max f ' ( x) , a ≤ x ≤ b
I − IT ≤

• Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang:
Phương án1: cho trước số khoảng chia n
b

1. Xét tích phân I = ∫ f ( x)dx
a

2. n định số khoảng chia n.
3. Chia [a,b] thành n phần bằng nhau. Tính:
b−a
n
xi = a + hi, i = 0,1,2.....n

h=

y i = f ( xi )

4. Tính : I T =


h
[( y 0 + y1 ) + ( y1 + y 2 ) + ..... + ( y n−1 + y n )]
2

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 10 -


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

5. Kết quả : I ≈ I t

Phương án 2: cho trước sai số
b

1. Xét tích phân I = ∫ f ( x)dx
a

2. n định sai số ε.
3. Sử dụng công thức tính sai số để xác định khoảng chia n sao cho sai số
nhỏ hơn sai số cho phép.
4. Tính như 3 của phương án 1
5. Tính như 4 của phương án 1
6. Kết quả I ≈ I t với sai số I − I T < ε .
III.2. Tính Tích Phân Bằng Công Thức Simpson
Ta chia [a,b] thành 2n đoạn con bằng nhau bời các điểm chia xi :
a = x0 < x1 < …… < x2n =b
xi = a + ih; h = (b – a)/2n; i = 0,1,2……2n
Đặt yi = f(xi), ta coù :

b



f ( x)dx =

a

x1



x0

x2

x2 n

x1

x2 n − 2

f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ..... +

∫ f ( x)dx .

Để tính mỗi tích phân ở vế phải thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy bậc
nhất P2(x). với tích phân thứ nhất ta có:
x2




x0

x2

f ( x)dx = ∫ P( x)dx .
x0

Đổi biến x = x0 +ht thì dx = hdt.
ng với x0 là t =0, x2 là t = 2, nên ta có:
x1

2

x0

0

∫ P2 dx = h∫ ( y 0 + tΔy 0 +
=

1 t3 t2
1
t −1 2
t2
Δ y 0 )dt = h( y 0 t + Δy 0 + ( − )Δ2 y 0 ) tt ==10 = h( y 0 + Δy 0 )
2
2
2 3 2

2

h
( y 0 + 4 y1 + y 2 )
3

vậy có :

x2

h

∫ f ( x)dx = 3 ( y

0

+ 4 y1 + y 2 ) .

x0

Đối với tích phân thứ i +1 ta có:
x2 i + 2



f ( x)dx =

x2 i

h

[( y0 + 4 y1 + y 2 ) + ( y 2 + 4 y3 + y 4 ) + ... + ( y 2 n−2 + 4 y 2n−1 + y 2n )] .
3

Vaäy :

[

b
h
I = ∫ f ( x)dx ≈ I T = ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) + ( y 2 + 4 y3 + y 4 ) + ..... + ( y 2n−2 +4 y 2n−1 + y 2n )
3
a
Công thức trên được gọi là công thức simpson.

• Đánh giá sai số:
GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 11 -

]


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

Người ta chứng minh được :
M 4
I −I ≤
h (b − a)
S 180
M = max f IV ( x) , a ≤ x ≤ b

• Sơ đồ tóm tắt công thức simpson:
Phương án1: cho trước số khoảng chia 2n
b
1. Xét tích phân I = ∫ f ( x)dx
a
2. n định số khoảng chia 2n.
3. Chia [a,b] thành n phần bằng nhau. Tính:
b−a
h=
2n
xi = a + hi, i = 0,1,2.....2n
yi = f ( xi )

4. Tính : I

S

=

[

h
( y + y ) + ( y + y ) + ..... + ( y
+y )
1
2
n−1 n
2 0 1

]


5. Kết quả : I ≈ I S

Phương án 2: cho trước sai số
b
1. Xét tích phân I = ∫ f ( x)dx
a
2. n định sai số ε.
3. Sử dụng công thức tính sai số để xác định khoảng chia 2n sao cho sai
số nhỏ hơn sai số cho phép.
4. Tính như 3 của phương án 1
5. Tính như 4 của phương án 1
6. Kết quả I ≈ I s với sai số I − IT < ε .
IV. ĐA THỨC NỘI SUY
Cho bảng giá trị với n+1 cặp điểm (xi,yi) như sau:
x
y

x0
y0

x1
y1

x2
y2

x3. . . . . . . . . xn
y3 .. . . . . . . . yn


Chọn xây dựng một đa thức bậc n:
pn(x) = a0 + a1x + a1xn+1 + . . . +an-1xn-1 + anxn.
Sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, nghóa là :
pn(xI) = yi, i = 0,1, . . .,n.
Đa thức Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). các cặp điểm (xi,yi) gọi là
các điểm nội suy.
GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 12 -


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

IV.1. Đa Thức Nội Suy Langrange.
Đa thức nội suy có dạng tổng quát:
n
p n ( x ) = ∑ y i li ( x )
i =0
Với :
li ( x ) =

( x − x0 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn )

( xi − x0 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − xn )

Ta thấy li(x) là đa thức bậc n vaø :
⎧1 khi j = i
li ( x j ) = ⎨
⎩0 khi j ≠ i
Ta gọi đó là công thức lagrange cơ bản.

Như vậy, đa thức Pn(x) vừa là một đa thức bậc n vừa thoả mãn điều kiện nội

suy.
IV.2. Đa Thức Nội Suy Newton.
Để xây dựng đa thức nội suy, đầu tiên, ta đưa vào khái niệm tỉ hiệu.
Tỉ hiệu cấp một của y tại xi, xj laø:
(y − y )
i
j
y[ x , x ] =
i j
(x − x )
i
j
Tỉ hiệu cấp hai của y tại xi, xj, xk laø :

( y [ x − x ] − y [ x − x ])
k
i i
j
j j
(x − x )
i
k
với y(x) = Pn(x) là một đa thức bậc n thì tỉ hiệu cấp một tại x,x0 là:
[ P ( x) − P ( x )]
n 0
P [x , x ] = n
n
0

(x − x )
0
Là một đa thức bậc n-1, tỉ hiệu cấp hai tại x, x0, x1 laø :
y[ x , x , x ] =
i j k

( P [ x, x ] − P [ x , x ])
n
0
n 0 1
(x − x )
1
Là một đa thức bậc n-2, và tới tỉ hiệu cấp n+1 thì:
Pn[x,x0, . . . , xn] = 0
Từ định nghóa của tỉ hiệu, ta suy ra :
Pn(x) = Pn(x0) + (x – x0)Pn[x,x0]
Pn[x,x0] = Pn[x0,x1] + (x – x1)Pn[x,x0,x1]
Pn[x,x0,x1] = Pn[x0,x1,x2] + (x – x2)Pn[x,x0,x1,x2]
.....
P [x , x , x ] =
n
0 1

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 13 -


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính


Pn[x,x0,x1 , . . . , xn-1] = Pn[x0 . . .,xn] + (x – xn)Pn[x,x0,. . .,xn]
Vì Pn[x,x0 . . . ,xn-1] = 0, từ đó ta có :
Pn(x) = Pn(x0) + (x – x0)Pn[x0,x1]+ (x – x0)(x – x1)Pn[x0,x1,x2] + . . . +
+(x – x0) . . . (x – xn-1)Pn[x0,. . .,xn].(*)
Nếu Pn(x) =pn(x) là đa thức nội suy của hàm f(x) thì :
Pn(xi) =pn(xi) =f(xi) = yi, i = 0.1, . . .,n.
Do đó các tỉ hiệu cấp một đến cấp n của Pn(x) và của y ở (*) là trùng nhau.
Thay cho (*) ta có thể viết:
pn(x) = y0 + (x – x0)y[x0,x1]+ (x – x0)(x – x1)y[x0,x1,x2] + . . . +
+(x – x0) . . . (x – xn-1)y[x0,. . .,xn].
Đa thức này được gọi là đa thức Newton tiến xuất phát từ nút x0 của hàm y =
f(x).
Vậy ta cũng có thể xây dựng đa thức Newton lùi xuất phát từ nút xn của hàm
y = f(x) như sau :
pn(x) = y0 + (x – xn)y[xn,xn-1]+ (x – xn)(x – xn-1)y[xn,xn-1,xn-2] + . . . +
+(x – xn) . . . (x – x1)y[xn,. . .,x0].
Theo định nghóa các tỉ hiệu có tính đối xứng:
y[xi,xj] = y[xj,xi]
y[xi , xj, xk] = y[xk, xj, xi].
IV.3. Đa Thức Nội Suy Theo Phương Pháp Bình Phương Bé Nhất.
Không như hai phương pháp đầu (Lagrange, Newton) hạn chế số bậc của đa
thức là n, phương pháp bình phương cực tiểu có thể xây dựng được đa thức nội suy
có bậc tuỳ ý đối với n+1 cặp điểm nội suy (xi,yi). Và do đó khi số bậc của đa thức
nội suy càng lớn thì sai số càng giảm.
Một cách tổng quát, ta cần xây dựng một đa thức nội suy có bậc m như sau :
y = a1xm + a2xm-1 + . . . +amx + am+1.
Khi đó :
yi - a1xm - a2xm-1 - . . . - amx - am+1 = εi , i = 1, 2 . . . ,n
là các sai số tại xi , do ñoù :
S = Σ( yi - a1xm - a2xm-1 - . . . - amx - am+1 )2 là tổng bình phương các sai số.

Mục đích của phương pháp này là xác định các hệ số a1, a2, . . . , am , am+1 sao
cho S là bé nhất. Như vậy a1, a2, . . . , am , am+1 là nghiệm của hệ phương trình :

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 14 -


Chương I : Giới Thiệu Phương Pháp Tính

⎧ ∂S
⎪ ∂a = 0
⎪ 1
⎪ ∂S

⎪ ∂a = 0
⎨ 2

⎪.....
⎪ ∂S
=0

⎪⎩ ∂a m + 1

tức là :

2
m
⎪am + 1n + am ∑ xi + .a m − 1 ∑ xi + .... + a1 ∑ xi = ∑ yi


m +1 = x y
2
3
⎪a
∑x +a ∑x +a
∑ x ..... + a ∑ x

i i
m i
m −1 i
1 i
⎨ m +1 i
⎪.....

m
m +1 + a
⎪a
x m + 2 ..... + a ∑ x 2m = ∑ x 2m y
∑x +a ∑x
m i
m − 1∑ i
1 i
i
i
⎩ m +1 i

Giải hệ trên ta được các hệ số a1, . . . , am+1 chính là các hệ số của phương
trình đa thức nội suy cần xây dựng.
IV.4. Sự Duy Nhất Của Đa Thức Nội Suy.
Định lý: đa thức nội suy pn(x) của hàm số f(x) được định nghóa ở phần 1 nếu

có thì chỉ có một mà thôi.
Chứng minh : giả sử có hai đa thức pn(x) và qn(x) cùng nội suy một hàm số
f(x). lúc đó :
Pn(xi) = yi, qn(xi) = yi
Vậy hiệu pn(x) - qn(x) là một đa thức có bậc ≤ n lại bị triệt tiêu tại n+1 giá trị
khác nhau xi, i = 0, 1, . . . ., n (vì pn(xi) – qn(xi) = yi – yi = 0).
Do đó pn(x) - qn(x) phải đồng nhất không, nghóa là pn(x) ≡ qn(x)
Đa thức nội suy có thể được xây dựng nhiều cách, nhưng vì nó có tính duy
nhất nên tất cả các dạng của nó đều có thể quy về nhau được.
V. NHẬN XÉT
Các phương pháp vừa nêu trên tính gần đúng nghiệm của phương trình phi
tuyến , tính gần đúng tích phân xác định, và nội suy đa thức với sai số cho phép.
Trong luận văn này sử dụng phương pháp chia đôi khoảng nghiệm, phương pháp
này cho kết quả có sai số rất bé và thuật toán đơn giản. Ngoài ra, sử dụng phương
pháp simpson để phục vụ cho công việc tính gần đúng tích phân xác định. Để đưa
các mối quan hệ giữa các thông số sóng sét về dạng gần gũi phục vụ cho việc
nghiên cứu và cho những ai quan tâm đến vấn đề này, phương pháp bình phương
cực tiểu được sử dụng trong luận văn vì tính tổng quát và độ chính xác của nó.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 15 -


Chương II: Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

CHƯƠNG II :

GIẢI TÍCH HÓA QUAN HỆ THÔNG SỐ THỜI
GIAN CỦA XUNG SÉT DẠNG CHUẨN

I. XÁC ĐỊNH MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC THÔNG SỐ CỦA DẠNG SÓNG
I.1. Mục Đích.
Việc xác định mối quan hệ giữa các thông số của sóng là việc làm hết sức
cần thiết nhằm dẫn đến một biểu thức mà dựa vào nó ta có thể tìm được các thông
số quyết định đến dạng sóng cụ thể.
Như chúng ta đã biết biểu thức toán học của dạng xung dòng điện sét không
chu kỳ đã được sử dụng rộng rãi trong lónh vực điện kỹ thuật điện áp cao có dạng:
−t
⎛ −t

i (t ) = I 0 ⎜ e τ1 − e τ 2 ⎟





Với I0 : biên đô dòng điện sét có thứ nguyên dòng điện
τ1 ; τ2 các hằng số thời gian với τ1 > τ2 .
I.2. Xác lập mối quan hệ các thông số thời gian
Ta tính đạo hàm i’(t):
'
−t
⎡⎛ −t ⎞ ' ⎛ −t ⎞ ' ⎤
⎡ ⎛ −t
⎞⎤
τ
τ
1
2
i' (t ) = ⎢ I 0 ⎜ e − e ⎟⎥ = I 0 ⎢⎜⎜ e τ 1 ⎟⎟ − ⎜ e τ 2 ⎟ ⎥

⎟⎥
⎢⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥
⎢⎣ ⎜⎝
⎠⎦



⎛ − 1 τ−1t 1 τ−2t ⎞
i' (t ) = I 0 ⎜⎜ e + e ⎟⎟
τ2 ⎠
⎝ τ1

Thời gian đầu sóng là thời gian dòng điện sét đạt giá trị cực đai ta cho i’(t) = 0.
⎛ − 1 −t 1 −t ⎞
i' (t ) = I 0 ⎜⎜ e τ 1 + e τ 2 ⎟⎟ = 0
τ2 ⎠
⎝ τ1
⎛ − 1 τ−1t 1 τ−2t ⎞
⎜ e + e ⎟=0
⎜ τ1
τ 2 ⎟⎠

1

τ1

−t

e τ1 =


1

τ2

−t

eτ 2

Lấy logarit 2 vế và biến đổi ta được :

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 16 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Soùng

ln

−t

1

e

τ1

⇒ ln

⇒ ln

⇔ t(

τ1

1

τ1
1

τ1
1

t=

1

τ1

e

−t



t

τ1
1

1


= ln

1

τ2

) = ln

τ2

τ2
τ1



τ2

−t

τ2

+ ln e τ1 = ln



τ1

ln


= ln

1

=

τ2

1

τ2


1

τ1

−t

+ ln e τ 2

t

τ2

− ln

t

τ2


τ 1τ 2
τ
ln 2
τ 2 − τ1 τ1

Vậy thời gian đầu sóng : Tds =

τ 1τ 2
τ
ln 2
τ 2 − τ1 τ1

Thời gian toàn sóng là thời gian mà biên độ dòng sét còn phân nửa giá trị cực
đại
−Ts
⎛ −τTs
1

I (t ) = I 0 e − e τ 2



−Tds

⎛ −Tds
⎟ = 0.5 I ⎜ e τ1 − e τ 2
0











Đặt K = Ts/Tds (K>1) => Ts = KTds
−Ts
⎛ −τTs
⎜ e 1 − e τ2



−Tds

⎛ −Tds
⎟ = 0.5⎜ e τ1 − e τ 2










Đặt x = τ2 /τ1 với 0< x <1. khi ñoù

τ 2 ln x
1
1
x ln x
ln x =
=
ln x =
1
τ1 τ 2 − τ1 τ 2 − τ1
x −1
1−
x
τ1
Tds τ 1 ln x
1
ln x
=
=
=
τ 2 τ 2 − τ1 τ 2 − τ1 x − 1
τ1
Tds

=

Thay vào phương trình trên ta được :
− K ln x
− ln x

⎛ − xx−ln1x


⎛ − Kxx −ln1 x
x −1 ⎟
x −1 ⎟

⎜e
e
0
.
5
e
e
=










− Kx ln x
− K ln x
− x ln x
− ln x
⎛ x −1




⎜e
− e x −1 ⎟⎟ − 0.5⎜⎜ e x −1 − e x −1 ⎟⎟ = 0






GVHD : TS -Hoà Văn Nhật Chương

- 17 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

x

kx
1− x

− 0.5 x

x
1− x

−x

k
x −1


+ 0.5 x

1
1− x

=0

Đặt M = K-1, ta coù:
x

x
1− x

1

⎛ 1Mx

⎛ M
⎜ x − x − 0.5 ⎟ − x 1− x ⎜ x 1− x − 0.5 ⎟ = 0









Phương trình trên là phương trình siêu việt trong đó K là hằng số và x là

nghiệm số nằm trong khoảng 0 < x < 1. Để giải phương trình này nhằm xác định các
thông số dạng sóng ta phải tiến hành khảo sát hàm soá f(x) =
x

kx
1− x

− 0 .5 x

x
1− x

−x

k
x −1

+ 0 .5 x

1
1− x

I.3. Khảo sát hàm số f(x):
Khai triển hàm f(x) dưới dạng khác:
f ( x) = e

kx ln x
x −1

x ln x


k ln x

ln x

− 0.5e 1− x − e 1− x + 0.5e1− x

Vì phương trình không xác định tại x =1 và x = 0 cho nên ta khảo sát hàm
f(x) khi x Ỉ 0 và x Ỉ 1.
I.3.1 Tìm giới hạn f(x) khi xỈ1 :
A = lim f ( x) = lim(e
x →1

x →1

kx ln x
x −1

− 0.5e

x ln x
1− x

−e

k ln x
1− x

+ 0.5e


ln x
1− x

)

= A1 − A2 − A3 + A4

Aùp duïng quy tắc vô cùng bé ta có:
Khi x Ỉ 1 thì (1-x) Ỉ 0. p dụng quy tắc vô cùng bé :
Ln[1-(1-x)] ~ [-(1-x)]
A1 = lim e

kx ln[1− (1− x )]
1− x

x →1

= e−K

Tương tự :
A3 = lim e

kx ln[1− (1− x )]
1− x

x →1

A2 = lim 0.5e

= e−K


x ln[1− (1− x )]
1− x

x →1

A4 = lim 0.5e
x →1

ln[1− (1− x )]
1− x

= 0.5e −1
= 0.5e −1

Từ các kết quả trên ta được:
=>A = e-k – 0.5e-1 – e-k + 0.5e-1 = 0

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 18 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

I.3.2. Tìm giới hạn của f(x) khi x Ỉ 0 :
Đặt :
B = lim f ( x) = lim(e
x →0


kx ln x
x −1

x →0

− 0.5e

x ln x
1− x

−e

k ln x
1− x

+ 0.5e

ln x
1− x

)

= B1 − B2 − B3 + B4

p dụng quy tắc L’hospital ta có:
lim e

kx ln x
1− x


x →0

= B1

⎡ x ln x ⎤
⇒ ln B1 = K lim ⎢
x →0 1 − x ⎥


1
ln x
lim[ x ln x] = lim
= lim x = 0
x →0
x →0 1
x →0 − 1
x
x2

LnB1 = 0 Ỉ B1 = 1
Tương tự như trên ta tính cho các số hạng còn lại của biểu thức giới hạn trên
ta được kết quả
x ln x

∗ B2 = lim[0.5e 1− x ]
x →0

⎡ x ln x ⎤
= ln 0.5 ⇒ B2 = 0.5
ln B2 = ln 0.5 + lim ⎢

x →0 1 − x ⎥


k ln x

k

∗ B3 = lim[e 1− x ] = lim[ x 1− x ] = 0
x →0

∗ B4 = lim[0.5e
x →0

x→0

ln x
1− x

] = lim[0.5 x
x→0

1
1− x

]=0

Từ các kết quả trên ta được:

∗ B = lim f ( x) = 1 − 0.5 = 0.5
x→0


I.4. Khảo sát đạo hàm f’(x):
Lấy đạo hàm f(x) ta được :
⎛ (1 − x) + x ln x ⎞ x1ln− xx
⎛ (1 − x) + x ln x ⎞ k1ln− xx
⎜⎜
⎟⎟e

e
0
.
5

f ' ( x) = K ⎜⎜

2
2

⎝ (1 − x)

⎝ (1 − x)

−K

k ln x
ln x
1 ⎛ (1 − x) + x ln x ⎞ 1− x
1 ⎛ (1 − x) + x ln x ⎞ 1− x



⎜⎜

e
e
0
.
5
+


x ⎝ (1 − x) 2
x ⎜⎝ (1 − x) 2



Vì f’(x) không xác định tại x =1 và x = 0 nên ta xét giới hạn của nó :

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 19 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

I.4.1. Tìm giới hạn của f’(x) khi xỈ1:
Tương tự cách tìm giới hạn của f(x), ta dùng quy tắc L’hospital
⎧ ⎛ (1 − x) + x ln x ⎞ 1klx

⎛ (1 − x ) + x ln x ⎞ x1ln− xx
−x

⎟⎟e − 0.5⎜⎜
⎟⎟e
− ⎪
⎪ K ⎜⎜
2
2

⎝ (1 − x)

⎪ ⎝ (1 − x )

C = lim f ' ( x) = lim ⎨

ln
k
x
ln
x
x →1
x →1
⎪− K 1 ⎛⎜ (1 − x ) + x ln x ⎞⎟e 1− x + 0.5 1 ⎛⎜ (1 − x) + ln x ⎞⎟e 1− x ⎪



x ⎜⎝ (1 − x) 2
x ⎜⎝ (1 − x) 2 ⎟⎠



∗ C = lim f ( x) = −C1 + C2 − C3 + C4

x →0


⎛ 1 − x + ln x ⎞ k1ln− xx ⎤
⎟⎟e
∗ C1 = lim ⎢− K ⎜⎜

2
x →0
⎝ (1 − x) ⎠


⎡ ⎛ − 1 + x − ln x ⎞⎤
⎛ Kx ln x ⎞
⎟⎟⎥ + lim⎜
⇒ ln C1 = ln K + lim ⎢ln⎜⎜

2
x →1
x

1
⎝ 1− x ⎠
⎠⎦
⎣ ⎝ (1 − x)

p dụng quy tắc L’hospital:
−1
+1 ⎤


⎛ K (1 + ln x) ⎞
ln C1 = ln K + ln ⎢lim x
+ lim⎜


−1

⎣ x→1 2 x − 2 ⎦ x→1 ⎝
1


x2
⇒ ln C1 = ln K + ln ⎢lim ⎥ − K
⎢⎣ x→1 2 ⎥⎦
1
⇒ ln C1 = ln K + ln( ) − K
2
1 −k
⇒ C1 = Ke
2

Tương tự ta có :
−1
+1 ⎤

⎛ (1 + ln x ) ⎞
* ln C 2 = ln 0 . 5 + ln ⎢ lim x
+ lim ⎜

x→1 2 x − 2 ⎥

x→1
−1




1

2 ⎤
⇒ ln C 2 = ln 0 . 5 + ln ⎢ lim x ⎥ − 1
⎣ x→1 2 ⎦
1
⇒ ln C 2 = ln 0 . 5 + ln( ) + ln e − 1
2
1
⇒ C 2 = e −1
4

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 20 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Soùng

⎛ (1 − x) + x ln x ⎞
1⎤

⎛ K ln x ⎞
⎟⎟ + lim⎜

∗ ln C3 = ln K + ln ⎢lim ⎥ + lim⎜⎜ ln

2
x →1 x
x →1
x

1
(1 − x)


⎝ 1− x ⎠


K1
⎛ 1 − 1 + ln x ⎞
+ lim x
⇒ ln C3 = ln k + ln 1 + ln lim⎜

x →1
⎝ 2 x − 2 ⎠ x→1 − 1
1

⇒ ln C3 = ln K + ln lim x + lim(− K )
x →1 2
x →1
1
⇒ C3 = Ke − k
2
⎛ (1 − x) + x ln x ⎞

1⎤
⎛ ln x ⎞

⎟⎟ + lim⎜
∗ ln C4 = ln 0.5 + ln ⎢lim ⎥ + lim⎜⎜ ln

2
(1 − x)
⎣ x →1 x ⎦ x →1 ⎝
⎠ x →1 ⎝ 1 − x ⎠
1
⎛ 1 − 1 + ln x ⎞
+ lim x
⇒ ln C4 = ln 0.5 + ln 1 + ln lim⎜

x →1
⎝ 2 x − 2 ⎠ x→1 − 1
1

⇒ ln C4 = ln 0.5 + ln lim x + −1
x →1 2
1
⇒ C4 = e −1
4

∗ C = lim f ' ( x) = 0.5e −1 − Ke − k
x →0

I.4.2. Tìm giới hạn của f’(x) khi xỈ0
x ln x


⎧ k kx ln x ln x ⎛ x ln x

1− x
1− x
1− x ⎟

e
ke
0
.
5
e
+





1 − x ⎜⎝


⎪1 − x
D = lim f ' ( x) = lim⎨

k −1= x
x ln x
( k −1) k ln x
x →0
x →0



x
ln
x

⎪ k
1− x
e 1− x ⎜⎜ 0.5 − Ke 1− x ⎟⎟⎪
+
2
⎪− 1 − x x
(1 − x)

⎠⎭


⎛ K kx1−lnxx ⎞

e
∗ D1 = lim⎜⎜

x →1 1 − x


lim(e

kx ln x
1− x


x →0

) =1

D1 = K
kx ln x

x ln x

ln x
∗ D2 = lim
[ Ke 1− x − 0.5e 1− x ] = −∞
x →0 (1 − x ) 2
k −1+ x

K
e 1− x = 0
x →0 (1 − x )
( k −1) ln x
x ln x
1− x
∗ D4 = lim
[

Ke
+ 0.5] = 0
x →0 (1 − x ) 2

∗ D3 = lim


GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 21 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

Vậy : lim f ' ( x) = −∞
x →0

Từ các giới hạn ta tìm được bảng biến thiên của hàm f(x):
x
f (x)
f(x)


0
-∞
½

x0
0

1
0.5e +Ke-K
0
-1

I.5. Điều kiện tồn tại sóng xung cao áp và dòng cao :
Vì xỈ 1 thì f(x) Ỉ 0 và khi xỈ 0 thì f(x)Ỉ 0.5. như vậy để tồn tại nghiệm

duy nhất x thì trong khoảng x ∈ (0,1) giá trị f’(x) phải đổi dấu
Vậy (0.5e-1 – Ke-k) > 0
Khảo sát hàm:
g(K) = 0.5e-1 – Ke-k
Lấy đạo hàm g(k) ta được :
g’(k) = -[e-k – e-k] = (k-1)e-k
Vì k = TS/TDS > 1
Vậy
g’(k) = (k-1)e-k > 0
g(k) là hàm đồng biến trong khoảng (1,+∞)
Giải phương trình tìm ra nghiệm k :
g(K) = 0.5e-1 – Ke-k
Dùng phương pháp chia đôi khoảng nghệm với thuật toán lập trình matlab tìm
được nghiệm duy nhất của phương trình(chương trình matlab xem chương IV phần
I.1)
K = 2.67834663
I.6. Kết luận :
Từ những kết quảkhảo sát ở trên ta thấy rằng biểu thức dạng sóng
−t
⎛ τ− t

τ2 ⎟
1

i(t ) = I 0 e − e






Chỉ được sử dụng khi tỉ số giữa thời gian Ts và Tds thoả mãn điều kiện
k > 2.67834663.

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

- 22 -


Chương II : Giải Tích Hoá Quan Hệ Thông Số Sóng

II. XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ SÓNG XUNG SÉT.
Trong nội dung luận văn này ta tiến hành khảo sát 10 dạng sóng xung sét
chuẩn tiêu biểu để từ đó ta sử dụng khảo sát phổ tần số của chúng đồng thời tìm ra
quy luật chung nhất để đưa ra biểu thức tính phổ nhanh tiện lợi cho việc khảo sát và
nghiên cứu sóng xung sét sau này.
Khảo sát xung dòng 8/20(μs)±10%
Ta có : Tds = 7.2 ÷ 8.8 (μs)
Ts = 18 ÷ 22 (μs)
Hay ta có biểu thức Tds và Ts lại như sau :
Tdsi = Tdsmin + nΔTds = 7.2 + 0.05n với ΔTds = 0.05
Tsi = Tsmin + nΔTs = 7.2 + 0.2n với ΔTs = 0.2
Trong đó n = 0 ÷ 32
m = 0 ÷ 20
Theo điều kiện tồn tại sóng dòng thì K > 2.67834663.
Nghóa là :
K=

Ts
18 + 0.2m
> 2.6783663

=
Tds 7.2 + 0.05n

⇒ 18 + 0.2m > 19.2841 + 0.1339173n
⇒ m > 6.42 + 0.66959n

vaäy : n = 0 ÷ 32
m = 7 ÷ 20
Kết hợp với điều kiện m,n,x,K ta giải phương trình siêu việt sau bằng chương
trình matlab để tìm sóng có thực :
x

x
1− x

1


⎛ M
⎛ 1Mx
⎜ x − x − 0.5 ⎟ − x 1− x ⎜ x 1− x − 0.5 ⎟ = 0 với M = K-1.










Từ đó ta xác định được thông số τ1, τ2 phục vụ cho công việc nghiên cứu sau

này.
Tương tự như dạng sóng 8/20, ta tiến hành khảo sát cho các dạng sóng khác.
Sau đây là thông số của một số dạng sóng, mỗi dạng ta chọn 5 sóng tiêu biểu
với cách chọn ngẫu nhiên (kết quả từ chương trình matlab chương IV phần I.2) :
Bảng 3-1 : Dạng Sóng 8/20(μs)
Dạng sóng
7.8/21
8.2/22
7.2/22
7.2/20
7.2/19.4

GVHD : TS -Hồ Văn Nhật Chương

τ1 (μs)
8.96518749810394
8.87525372814076
15.05699110535017
10.51551824039910
8.36254579307489

τ2 (μs)
6.82827793235250
7.59154406849101
3.98148383843364
5.14355614820436
6.24331728489984


- 23 -


×