Bài toán mô hình xác định các thông số đất nền từ dữ liệu hiện trường

Đại Học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
-------------- --------------

NGUYỄN NGỌC QUYẾT

BÀI TOÁN MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG
SỐ ĐẤT NỀN TỪ DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG
CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Mã ngành

: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SỸ

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12 NĂM 2005


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán Bộ Hướng Dẫn Khoa Học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán Bộ Chấm Nhận Xét 1: ......................................................................

Cán Bộ Chấm Nhận Xét 2: ......................................................................

Luận văn Thạc sỹ được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SỸ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, Ngày …….tháng……năm 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: Nguyễn Ngọc Quyết

Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 08 – 01 -1976

Nơi sinh: Nghệ An

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp

MSHV: XDDD13.020

I- TÊN ĐỀ TÀI:
‘’BÀI TOÁN MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH
CÁC THÔNG SỐ ĐẤT NỀN TỪ DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG’’
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
-

Nghiên cứu các phương pháp phân tích ngược : Tối ưu, Lọc Kalman – Phần tử
Hữu hạn.

-

Sử dụng các phương pháp trên để giải một số ví dụ xác định các thông đất nền
từ dữ liệu đo đạc được tại hiện trường trong một số trường hợp bài toán phẳng,
đàn hồi.

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 07 – 07 – 2005
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07 – 12 – 2005
V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương
Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.
Ngày
TRƯỞNG PHÒNG ĐT – SĐH

tháng

năm 200

TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hiền Lương, người đã
tận tình hướng dẫn để em có thể thực hiện và hoàn thành Luận án này.
Em xin cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa

đã truyền đạt những kiến thức khoa học q giá trong suốt thời gian em học tại trường.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Kỹ thuật Công trình và Ban giám hiệu
Trường Đại học Bán công Tôn Đức Thắng đã khuyến khích, ủng hộ để em có thể hoàn thành khoá
học.
Con xin thành kính cảm ơn Ba Má, các Anh Chị trong gia đình đã hỗ trợ, động viên con
trong suốt quá trình đi học. Và cuối cùng xin gởi lời cảm ơn đến vợ của tôi, người đã luôn chia sẻ
những khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian tôi học cao hoc.

TP. HCM, ngày 1 /12/05
NGUYỄN NGỌC QUYẾT

Trang 4


TÓM TẮT
Luận văn này thiết lập bài toán mô hình để xác định các thông số đất
nền từ dữ liệu đo đạc được ở hiện trường. Mô hình nền được khảo sát là môi
trường vật liệu đàn hồi tuyến tính, đẳng hướng, hai chiều. Phân tích thuận bài
toán được tiến hành theo phương pháp Phần tử Hữu hạn (PTHH). Trên cơ sở
bài toán mô hình đưa ra, luận văn đề xuất giải pháp phân tích ngược giúp cho
việc xác định các thông số của nền. Hai phương pháp phân tích ngược được đề
nghị sử dụng: phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH và phương pháp Tối
ưu.
Mức độ chính xác và hiệu quả của các phương pháp này được kiểm tra
qua một số ví dụ xác định các hằng số đàn hồi. Kết quả cho thấy cả hai
phương pháp trên có thể ứng dụng để phân tích ngược xác định các thông số
của nền đất, sử dụng các thông tin đo đạc tại hiện trường.

Trang 5

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................... 4

TÓM TẮT .......................................................................................................... 5
MỤC LỤC........................................................................................................... 6
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN............................................................................. 10
1.1 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN NGƯC TRONG CƠ HỌC .......................11
1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯC ....................................11
1.3 PHÂN TÍCH NGƯC ĐỂ XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ (BACK ANALYSIS
FOR PARAMETER IDENTIFICATION)..............................................12
1.4 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN NGƯC Ở VIỆT NAM ....14
1.5 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI ...........................................................................15
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN THUẬN .................. 17
2.1 BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN
HỒI ......................................................................................................18
2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ..................................................18
2.2.1 Các phương trình cân bằng ................................................18
2.2.2 Các phương trình vật lý .....................................................19
2.2.3 Các phương trình biến dạng...............................................20
2.2.4 Điều kiện biên ...................................................................21
2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH)...........................21
2.3.1 Khái niệm .........................................................................21

Trang 6


2.3.2 Qui trình phân tích kết cấu bằng PTHH.............................23
2.3.3 Các phương trình cơ bản ....................................................24

a. Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử .............24
b. Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể................25
2.4 GIẢI BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG BẰNG PTHH.................26
2.4.1 Các hàm dạng....................................................................26
2.4.2 Ma trận độ cứng phần tử ....................................................28
2.4.3 Vector tải phần tử..............................................................29
2.4.4 Lập trình giải bài toán biến dạng phẳng ............................30
CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH NGƯC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP TỐI
ƯU...................................................................................................................... 31
3.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƯU...................................................32
3.2 PHÂN TÍCH SỐ BÀI TOÁN .........................................................33
3.2.1 Phân tích bài toán tối ưu không ràng buộc ........................33
3.2.2 Phân tích bài toán tối ưu với ràng buộc đơn giản ...............34
CHƯƠNG IV: PHÂN TÍCH NGƯC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP KẾT
HP LỌC KALMAN – PTHH ....................................................................... 36
4.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ .........................................37
4.1.1 Kỳ vọng và phương sai ......................................................37
4.1.2 Quy luật phân phối bình thường hay phân phối Gauss.......38
4.2 ƯỚC LƯNG NGẪU NHIÊN ........................................................39
4.2.1 Mô hình không gian trạng thái (state-space models)..........39
4.2.2 Bài toán thiết kế người quan sát (observer design problem) ...41

Trang 7


4.2.3 Độ nhiễu đo đạc và độ nhiễu quá trình..............................42
4.3 PHƯƠNG PHÁP LỌC KALMAN ..................................................43
4.3.1 Lọc Kalman rời rạc (discrete Kalman filter –DKF) ...........43
a. Quá trình ước lượng......................................................43
b. Cơ sở tính toán của phương pháp lọc ............................44

c. Các đặc trưng xác suất của phương pháp lọc ................46
d. Thuật giải lọc Kalman rời rạc ......................................46
4.3.2 Phương pháp lọc Kalman mở rộng (Extended Kalman Filter
– EKF) .......................................................................................49
a. Quá trình ước lượng......................................................49
b. Cơ sở tính toán của bộ lọc ............................................50
4.4 PHÂN TÍCH NGƯC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP LỌC
KALMAN - PTHH ..............................................................................54
4.4.1 Phương trình trạng thái ......................................................54
4.4.2 Phương trình quan sát ........................................................54
a. Trường hợp sử dụng Lọc Kalman mở rộng – PTHH.....55
b. Trường hợp sử dụng Lọc Kalman – PTHH...................57
CHƯƠNG V: ỨNG DỤNG XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ ĐẤT NỀN TỪ
DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG ..........................................................................59
5.1 VÍ DỤ 1 ..........................................................................................60
5.2 VÍ DỤ 2 ..........................................................................................62
5.3 VÍ DỤ 3 ..........................................................................................65
5.4 VÍ DỤ 4 ..........................................................................................67
5.5 VÍ DỤ 5 ..........................................................................................69

Trang 8


5.6 KHẢO SÁT ẢNH HƯỞNG CỦA PHƯƠNG SAI ĐO ĐẠC ..........72
5.7 PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY CÁC THÔNG SỐ ..................................74
5.7.1 Ảnh hưởng của chuyển vị đứng điểm 1 .............................74
5.7.2 Ảnh hưởng của chuyển vị đứng điểm 6 .............................74
5.7.2 Nhận xét ............................................................................76
CHƯƠNG VI: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................ 77
6.1 KẾT LUẬN ....................................................................................78

6.2 KIẾN NGHỊ....................................................................................80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 82
PHẦN PHỤ LỤC ............................................................................................. 85
TÓM TẮT LÝ LỊCH ..................................................................................... 125

Trang 9


Chương 1
Tổng quan

CHƯƠNG I
TỔNG QUAN

Trang 10


Chương 1
Tổng quan

1.1 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN NGƯC TRONG CƠ HỌC
Xét một hệ cơ học S (System) chịu tác động của các thông số đầu vào I
(Input). Dưới tác động của I, hệ S có phản ứng U (Output) – là kết quả đầu ra
(hình 1.1).

I (input)

S (system)

U (output)

Hình 1.1: Mô hình hoạt động của hệ cơ học
Đối với bài toán thuận, có I và S, yêu cầu xác định U. Ngược lại, trong
bài toán ngược, (1) ta có I và U, yêu cầu tìm S; (2) có S và U, yêu cầu tìm I;
hoặc (3) có được một phần thông tin về I, S, U, yêu cầu tìm các thông tin còn
lại.
Có thể hiểu đơn giản rằng, U là chuyển vị, biến dạng, ứng suất, tần số
dao động…, I là tải trọng, S là điều kiện biên, cấu hình hình học, đặc trưng vật
liệu… của hệ cơ học [1].
Có rất nhiều bài toán ngược trong khắp thế giới của chúng ta, trong đó
chúng ta phải dự đoán nguyên nhân từ những kết quả quan sát được [2].
1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯC
Phân tích ngược (back analysis) là quy trình để giải bài toán ngược. Các
quy trình phân tích ngược được sử dụng trong cơ học có thể được chia thành
hai loại: các giải pháp trực tiếp và các giải pháp ngược [7].

Trang 11


Chương 1
Tổng quan

Giải pháp trực tiếp (direct approach) dùng các giá trị thử của các thông số
chưa biết là dữ liệu nhập, cho đến khi sai khác kết quả giữa đo đạc và tính
toán là cực tiểu. Phương pháp Tối ưu thường được sử dụng ở giải pháp này [7],
[11], [12], [16].
Ở giải pháp ngược (inverse approach), hệ thống các phương trình chủ đạo
của bài toán được viết lại ở dạng mà các thông số là các ẩn số, các chuyển vị
hoặc ứng suất là dữ liệu nhập. Tiêu biểu trong nhóm này là thuật giải lọc
Kalman với rất nhiều ứng dụng để giải bài toán xác định thông số [2], [4]-[6],

[8], [11], [22].
1.3 PHÂN TÍCH NGƯC ĐỂ XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ (BACK ANALYSIS
FOR PARAMETER IDENTIFICATION)
Một trong những bài toán ngược trong cơ học là bài toán xác định các
thông số của hệ cơ học, tức là đi tìm S. Sự phát triển gần đây của kỹ thuật tối
ưu cùng với các phương pháp số đã cung cấp công cụ hữu dụng để giải quyết
bài toán xác định thông số một cách có hệ thống. Chính vì thế việc sử dụng
các kỹ thuật này trở nên thường xuyên hơn trong các lónh vực cơ học, đặc biệt
là lónh vực cơ học đất và nền móng công trình [3]
Cecilia lacono [4] đã ứng dụng quy trình phân tích ngược dựa trên
phương pháp lọc Kalman để xác định các thông số của mô hình phá huỷ trong
môi trường liên tục. Courage [5] giải quyết bài toán ước lượng các thông số cơ
học của vật liệu composit bằng cách sử dụng kỹ thuật nhận dạng hệ thống và
phương pháp phần tử hữu hạn. Utani [6] đã đưa ra mô hình phân tích xác định
các thông số phân bố bằng cách sử dụng phương pháp phần tử biên kết hợp lọc

Trang 12


Chương 1
Tổng quan

Kalman. Các tác giả đã sử dụng mô hình này để giải quyết hai bài toán: (1)
nhận dạng các thông số của nguồn nhiệt tập trung trong trường dẫn nhiệt ở
trạng thái bền (concentrated heat source in steady-state thermal conduction
field); (2) nhận dạng các đặc trưng vật liệu và ước lượng các giá trị biên chưa
biết trong trường đàn hồi, đẳng hướng hai chiều (two dimentional isotropic
elastostatics field). Tanaka [2] nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử biên
vào một số bài toán ngược trong cơ học kỹ thuật kết hợp lý thuyết lọc Kalman
như: phân tích đàn hồi - động để khảo sát khuyết tật; dự đoán đồ thị ăn mòn

của vật liệu chịu lửa trong lò hơi; ứng dụng điều khiển nhiệt độ.
Trong lónh vực cơ học đất và nền móng công trình, việc xác định các
thông số đất nền từ dữ liệu hiện trường là rất quan trọng để tìm hiểu ứng xử
của cấu trúc nền đất. Thông thường, các thông số được rút ra từ thiết bị đo đạc,
quan trắc hiện trường có độ tin cậy hơn những thí nghiệm trong phòng, vì rằng
các thí nghiệm trong phòng đã không thể hiện được ảnh hưởng bởi cấu trúc vó
mô và sự không đồng nhất của đất. Ngay cả khi lấy được mẫu đại diện thì sự
xáo trộn gây ra trong quá trình lấy mẫu và sự giải phóng áp lực sẽ ảnh hưởng
đến chất lượng các thông số cần xác định. Swoboda [7] nghiên cứu và ứng
dụng việc xác định các thông số đàn hồi của đất, đá trong khi đào đường hầm
nhờ kết quả đo đạc chuyển vị ngang và đứng tại hiện trường. Ledesma [3]
nghiên cứu xác định các thông số trong địa kỹ thuật sử dụng giải pháp khả
năng cực đại (maximum likelihood approach), trong đó các tác giả đã đề ra
giải pháp tổng quát để phân tích bài toán ngược trong địa kỹ thuật. Giải pháp
này cho phép sử dụng những chỉ dẫn thông tin ban đầu dựa trên các thông số
(ví dụ như từ kết quả thí nghiệm trong phòng thí nghiệm) trong quá trình nhận

Trang 13


Chương 1
Tổng quan

dạng một cách có hệ thống. Murakami [8] sử dụng lý thuyết lọc Kalman để dự
đoán độ lún và áp lực nước lỗ rỗng. Arai [9] đã tiến hành so sánh hai phương
pháp, phương pháp tónh và phương pháp thống kê trong khi phân tích ngược
bài toán cố kết đàn hồi qua nhiều ví dụ tính toán. Kim [10] phân tích ngược
các thí nghiệm trên mô hình để dự đoán ứng xử của cọc đơn chịu tải ngang
trong đất cát, trong đó đã xem xét đến các yếu tố như sự không đồng nhất của
nền đất, điều kiện ràng buộc đầu cọc, vận tốc tải ngang, trọng lượng, và chiều

dài cọc trong đất. Các ảnh hưởng này được đo đạc từ thí nghiệm mô hình, sau
đó so sánh với kết quả của phương pháp phân tích số.
1.4 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN NGƯC Ở VIỆT NAM
Ở Việt nam, gần đây cũng đã có một số tác giả nghiên cứu bài toán
ngược và có một số ứng dụng nhất định trong thực tế.
Nguyễn Thị Hiền Lương [12] đã đề xuất cách xác định các đặc trưng
của đất nền trên cơ sở số liệu thu được trong quá trình đào hầm bằng kỹ thuật
phân tích ngược.
Nguyễn Tiến Khiêm [13] đã giới thiệu khái quát bài toán chẩn đoán kỹ
thuật, là một bài toán ngược trong cơ học. Ngoài ra tác giả cũng nêu một số
ứng dụng vào chẩn đoán kỹ thuật thực tế: hiệu chỉnh mô hình, kiểm định chất
lượng công trình mới xây dựng, đánh giá trạng thái kỹ thuật các công trình
biển. Đến năm 2002, Nguyễn Tiến Khiêm và các tác giả [14] đã ứng dụng
Quy trình công nghệ chẩn đoán kỹ thuật công trình được nghiên cứu ở Viện cơ
học vào thực tế đánh giá hiện trạng các công trình DKI sau sửa chữa gia cố.

Trang 14


Chương 1
Tổng quan

Dương Khuê Anh và Vũ Mạnh Lãng [15] đã nghiên cứu chẩn đoán kỹ
thuật cầu bêtông cốt thép theo phương pháp thống kê. Các tác giả đã đề xuất
giải pháp thu thập thông tin cần thiết về công trình đang tồn tại (ví dụ các hư
hỏng và khuyết tật) và dùng kỹ thuật thống kê để đánh giá trạng thái kỹ thuật
của công trình từ những thông tin thu thập được này
1.5 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
Như ta đã biết, khó khăn lớn nhất trong khi phân tích ứng xử của đất
nền là ước lượng các thông số của nền đất. Các thí nghiệm trong phòng và thí

nghiệm tại hiện trường trước khi xây dựng có những giới hạn riêng của nó. Để
bổ sung cho những giới hạn này, các phương pháp quan sát đã được áp dụng
rộng rãi, trong đó các thông số đất nền được ước lượng từ dữ liệu đo đạc thu
được ở hiện trường trong giai đoạn xây dựng. Quy trình truyền thống để ước
lượng là [16]:
(1) Giả thiết các giá trị của các thông số;
(2) Tính toán các chuyển vị bằng một phương pháp phù hợp (ví dụ như
phương pháp PTHH);
(3) So sánh chuyển vị đo đạc được với chuyển vị theo tính toán ở bước (2);
(4) Lặp lại (1) đến (3) cho đến khi các sai khác giữa kết quả tính toán và
kết quả đo đạc đủ nhỏ.
Sử dụng cách thức trên gặp nhiều khó khăn khi số các thông số gia tăng,
ví dụ như trong trường hợp nền nhiều lớp.

Trang 15


Chương 1
Tổng quan

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số giải pháp hiệu quả để xác
định các thông số của nền đất từ dữ liệu đo đạc được ở hiện trường, trong một
số bài toán phẳng. Mô hình nền đưa ra là môi trường vật liệu đàn hồi tuyến
tính, đẳng hướng được đặc trưng bằng hai thông số: mul đàn hồi Young và
hệ số Poisson.
Trên cơ sở bài toán mô hình đưa ra, đề tài nghiên cứu hai phương pháp
phân tích ngược:
- Phân tích ngược dựa trên phương pháp Tối ưu (Optimization
techniques).
- Phân tích ngược dựa trên phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH

(Kalman Filter – FEM techniques).
Mức độ chính xác và hiệu quả của các phương pháp này được kiểm tra
qua một số ví dụ xác định các thông số của nền.

Trang 16


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

CHƯƠNG II
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN THUẬN

Trang 17


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

2.1 BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI,
[17]
Khi bài toán có dạng lăng trụ dài và có mặt cắt ngang không đổi, chịu
tải trọng vuông góc với trục z và phân bố đều theo chiều dài thì ta có thể xem
chuyển vị dọc trục w = 0 và do đó suy ra:
εz =

∂w
=0
∂z

Với bài toán biến dạng phẳng, người ta thường đưa về khảo sát một
phần vật thể giữa hai mặt cắt có bề dày bằng đơn vị (hình 2.1).

1

x

y

Hình 2.1 Ví dụ bài toán biến dạng phẳng

2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN, [17]
2.2.1 Các phương trình cân bằng
Xét một phân tố vật liệu đồng chất, đẳng hướng (hình 2.2). Bằng cách
sử dụng các phương trình cân bằng tónh học, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao,
cuối cùng ta coù:
∂σ x ∂τ xy
+
+ gx = 0
∂x
∂y

Trang 18

(2.1)


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

∂τ xy
∂x

+

∂σ y
∂y

(2.2)

+ gy = 0

trong đó gx, gy là các lực khối theo phương x và y.

σy +

∂σ y
∂y

dy

τ yx +

∂τ yx
∂y

σx +

dy

σx

τ xy

dx

τ yx

y

x

dy

τ xy +

∂τ xy
∂x

∂σ x
dx
∂x

dx

σy

Hình 2.2 Phân tố ứng suất trong bài toán phẳng

2.2.2 Các phương trình vật lý

Các phương trình vật lý thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng. Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng thì hệ các phương
trình vật lý có dạng:

[σ ] = [ D ][ε ]

(2.3)

đây [σ ] = {σ x σ y τ xy } là vector ứng suất và [ε ] = {ε x ε y γ xy } là vector biến
T

T

dạng. Đối với bài toán biến dạng phẳng, ma trận đặc trưng vật liệu [D] bằng:

Trang 19


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

⎡
⎢ 1
⎢
E (1 −ν ) ⎢ ν
[D] =
(1 +ν )(1 − 2ν ) ⎢⎢1 −ν
⎢ 0
⎢
⎣

⎤
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
1 − 2ν ⎥
2 (1 −ν ) ⎥⎦

ν

0

1 −ν
1
0

(2.4)

Ở đây E và ν lần lượt là module đàn hồi và hệ số Poisson.
Hoặc nếu biểu diễn [D] theo hai hằng số Lame λ, μ thì:
λ
⎡λ + 2μ
⎢
[ D ] = ⎢ λ λ + 2μ
⎢⎣ 0
0

trong đó λ =

Đặt: [ D ]λ

νE
(1 + ν )(1 − 2ν )

; μ =G=

0⎤
0 ⎥⎥
μ ⎥⎦

(2.5)

E
2(1 +ν )

⎡λ λ 0 ⎤
⎡2 μ 0
= ⎢⎢λ λ 0 ⎥⎥ , [ D ]μ = ⎢⎢ 0 2 μ
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
⎢⎣ 0
0

0⎤
0 ⎥⎥ thì (2.5) được viết lại như sau:
μ ⎥⎦

[ D ] = [ D ]λ + [ D ]μ

(2.6)

2.2.3 Các phương trình biến dạng (phương trình Cauchy)
Các phương trình biến dạng thể hiện mối quan hệ giữa biến dạng và
chuyển vị:
⎧ ∂u ⎫
⎪
⎪
⎧ ε x ⎫ ⎪ ∂x ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪
⎨εy ⎬ = ⎨
⎬
⎪γ ⎪ ⎪ ∂y ⎪
⎩ xy ⎭ ⎪ ∂u ∂v ⎪
⎪ + ⎪
⎩ ∂y ∂x ⎭

Trang 20

(2.7)


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

đây u và v lần lượt là chuyển vị theo phương x và phương y.
Kết hợp các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) và (2.7) chúng ta có tám ẩn
số (ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị) và tám phương trình (hai
phương trình cân bằng, ba phương trình vật lý, và ba phương trình biến dạng).

2.2.4 Điều kiện biên
Trường ứng suất phải thoả mãn điều kiện biên tónh học:
σ x nx + τ xy ny = px

(2.8)

τ xy nx + σ y ny = py

(2.9)

⎧p ⎫

ở đây p = ⎨ x ⎬ là vector tải trọng bề mặt, (nx, ny) là cosin chỉ phương của
⎩ py ⎭
vector pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài mặt biên. Còn trường chuyển vị phải
thoả mãn điều kiện chuyển vị trên biên động học:
u=u
v=v

(2.10)

2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH), [18]
2.3.1 Khái niệm
PTHH là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần
đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó. Tuy nhiên, PTHH
không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng
miền con Ve, thuộc miền V. Do đó phương pháp này rất thích hợp cho các bài
toán vật lý và kỹ thuật, trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền

Trang 21

Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

phức tạp gồm nhiều miền nhỏ có đặc tính hình học và vật lý khác nhau, chịu
những điều kiện biên khác nhau.
Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các
miền con, gọi là phần tử. Các phần tử này nối kết lại với nhau bằng các điểm
định trước trên biên phần tử , gọi là nút (hình 2.3). Trong phạm vi mỗi phần tử,
đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản, gọi là hàm
xấp xỉ và các hàm xấp xỉ này, được biểu diễn qua giá trị của hàm (và có khi có
cả đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này, được gọi là
các bậc tự do của phần tử và xem như là ẩn số cần tìm của bài toán.

Hình 2.3 Rời rạc vùng liên tục thành các vùng con

Với PTHH, người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:
- Mô hình tương thích: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm
xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố chuyển vị trong các phần tử.
Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở của
nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange.
- Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố ứng
suất hay nội lực trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ phương

Trang 22


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay
nguyên lý biến phân về ứng suất.
- Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai đại
lượng độc lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn dạng phân bố gần đúng của cả
ứng suất và chuyển vị trong phần tử.
2.3.2 Qui trình phân tích kết cấu bằng PTHH
Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát
Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve, hay các phần tử, có
dạng hình học thích hợp. Với bài toán cụ thể, số phần tử, dạng hình học của
phần tử và kích thước của phần tử phải được xác định trước. Số điểm nút của
phần tử phụ thuộc vào bậc của hàm xấp xỉ định chọn.
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó
sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thoả mãn các
tiêu chuẩn hội tụ, và thường chọn ở dạng đa thức. Sau đó biểu diễn hàm xấp xỉ
theo tập hợp giá trị và có thể cả đạo hàm của nó tại các nút phần tử {q}e.
Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử
[K]e và vector tải phần {P}e
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân,
hoặc các phương pháp biến phân,... Kết quả nhận được có thể biểu diễn một
cách hình thức như một phương trình phần tử: [K]e{q}e={P}e.

Trang 23


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả

là hệ thống phương trình:
⎡⎣ K ⎤⎦ {q } = {P}

(2.11)

Trong đó, có thể gọi: ⎡⎣ K ⎤⎦ là ma trận độ cứng tổng thể; {q } là vector
chuyển vị nút tổng thể; {P} là vector tải tổng thể
Áp đặt các điều kiện biên của bài toán, ta nhận được hệ phương trình
sau:

{ } { }

⎡⎣ K * ⎤⎦ q * = P *

(2.12)

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số (2.12)
Kết quả là tìm được các chuyển vị của các nút.
Bước 6: Hoàn thiện
Từ kết quả trên, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị hay biến dạng của tất
cả các phần tử.

2.3.3 Các phương trình cơ bản
a. Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử
Khi giải bài toán theo mô hình tương thích, đại lượng cơ bản cần tìm là
chuyển vị. Chuyển vị được xấp xỉ hoá và nội suy theo vector chuyển vị nút
phần tử {q}e:
{u}e=[N]{q}e

(2.13)

Với [N] là ma trận các hàm dạng.
Theo (2.5), biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là:

{ε }e = [∂ ]{u}e = [∂ ][ N ]{q}e = [ B]{q}e

Trang 24

(2.14)


Chương 2
Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

Với [ B ] = [ ∂ ][ N ] laø ma trận tính biến dạng.
Theo (2.3), ứng suất tại một điểm trong phần tử, trong trường hợp vật
liệu tuân theo định luaät Hooke:

{σ }e = [ D ]{ε }e

(2.15)

{σ }e = [ D ][ B ]{q}e

(2.16)

{σ }e = [T ]{q}e

(2.17)

Thay (2.14) vào (2.15):

Hay:

Với [T ] = [ D ][ B ] ma trận tính ứng suất phần tử.
Thế năng toàn phần của phần tử:
∏e

Hay:

({u} ) = ∫ 12 {ε } {σ }
T

e

Ve

∏e

e

T

T

dV − ∫ {g} {u}e dV − ∫ { p} {u}e dS
e
Ve

Se

({u} ) = 12 {q} [ K ] {q} − {q} {P}
T

e

T

e

(2.18)

e

e

e

e

(2.19)

Trong đó: {g}e ,{q}e - lực khối và lực mặt của phần tử; [ K ]e là ma trận cứng phần
tử:

[ K ]e = ∫ [ B ] [ D ][ B] dV
T

(2.20)

Ve

{P}e là vector tải phần tử:
T

T

{P}e = ∫ [ N ] {g}e dV + ∫ [ N ] { p}e dS
Ve

(2.21)

Se

b. Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể
Giả sử vật thể (miền V) được chia thành NE phần tử (miền con Ve) bởi
R điểm nút. Thế năng toàn phần của hệ:
NE
NE
T
T
T
⎡1
⎤
∏ = ∑ ∏ e = ∑ ⎢ {q } [ L ]e [ K ]e [ L ]e {q } − {P}e [ L ]e {q }⎥
⎦
e =1
e =1 ⎣ 2

Trang 25

(2.22)