Khảo sát dầm thành mỏng với mô hình độ vênh prokie

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------------------

TRẦN MINH PHƯƠNG

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG
VỚI MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Mã số ngành: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2004


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc só được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày.............tháng...........năm 2004

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
Độc Lập – Tự Do - Hạnh Phúc

---o0o---

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRẦN MINH PHƯƠNG
Phái: NỮ
Ngày, tháng, năm sinh: 01-12-1978
Nơi sinh: Lâm Đồng
Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã ngành:23.04.10
Khóa: 13 (Năm 2002 - 2004)
I- TÊN ĐỀ TÀI:

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG VỚI MÔ HÌNH ĐỘ VÊNH PROKIÉ
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Nghiên cứu lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển.
Nghiên cứu mô hình độ vênh do Prokié đề nghị.
Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho dầm thành mỏng tiết diện kín và
hở theo mô hình độ vênh của Prokié.
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để khảo sát một số bài toán cụ thể, so
sánh kết quả với các phần mềm SAP2000, VNaSAP và nhận xét.
- Khảo sát ảnh hưởng của bề dày thanh đến trạng thái ứng suất, chuyển vị.
- Nhận xét và hướng phát triển đề tài.
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ
: 09 - 02 - 2004.

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30 -10 - 2004.
-

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS. CHU QUỐC THẮNG

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.
Ngày
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

tháng

năm 2004

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH


LỜI CẢM ƠN
- - - - - - - - - ED - - - - - - - - Với niềm say mê nghiên cứu khoa học ứng dụng và sự mong muốn được học hỏi
sâu hơn trong lónh vực kỹ thuật xây dựng, tôi thật sự đã có cơ hội biến ước mơ của mình
thành sự thật khi thực hiện bài luận văn tốt nghiệp khóa đào tạo thạc só lần thứ 13 này. Để
có thể hoàn thành tốt công việc của mình, tôi thật sự biết ơn sự giúp đỡ hết sức tận tình

của Quý thầy cô đã truyền đạt lại những kiến thức khoa học hết sức bổ ích cho bản thân
tôi trong suốt quá trình tôi theo học đại học và bậc sau đại học tại trường Đại học Bách
Khoa Thành phố Hồ Chí Minh. Thông qua đó, tôi đã tích lũy cho mình nhiều kiến thức
quan trọng phục vụ cho công tác nghiên cứu khoa học của tôi sau này. Tôi xin chân thành
cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi có
một môi trường học tập thật tốt và hiệu quả. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả Quý thầy cô
đã giảng dạy chúng tôi tại lớp Cao học Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp khoá 13. Và
đặc biệt nhất, tôi xin gởi lời cảm ơn hết sức chân thành đến thầy hướng dẫn luận văn PGS.
TS. Chu Quốc Thắng. Thầy không chỉ là người thầy đáng kính đã hướng dẫn cho tôi khi
tôi chọn và thực hiện bài luận văn tốt nghiệp, tận tình giảng dạy chỉ bảo cho tôi trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành bài luận văn mà còn là một người bạn lớn đã khuyến
khích động viên tôi vượt qua nhiều khó khăn trở ngại trong suốt quá trình làm bài. Điều
quý báu và ý nghóa nhất vẫn là sự truyền thụ của Thầy về những kiến thức khoa học quan
trọng mà tôi đang rất cần cho công tác nghiên cứu của mình. Ngoài ra sẽ thiếu sót nếu tôi
không nói đến, đó là tinh thần và đức độ của người thầy trong công việc, nghiên cứu khoa
học và làm việc mà Thầy đã thể hiện qua quá trình hướng dẫn cho tôi.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Th.S. Nguyễn Hữu Thành, người đã
nhiệt tình trao đổi, giúp đỡ và đóng góp nhiều ý kiến cần thiết giúp tôi vượt qua những
vướng mắc khó khăn trong khi thực hiện đề tài.
Tôi xin cảm ơn đến Ban lãnh đạo cùng các đồng nghiệp trong Ban QLDA NCĐT
Tp.HCM đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi có thời gian học tập trong khi
đang công tác tại đây trong thời gian qua.
Cha mẹ, gia đình và người thân cũng thật sự là chỗ dựa vững chắc và là nguồn
động viên giúp đỡ rất lớn về tinh thần cũng như về vật chất giúp tôi có thể đi đến sự thành
công một cách tốt đẹp và mỹ mãn. Xin nhận nơi tôi lòng biết ơn chân thành và thật nhiều
tình cảm yêu thương nhất.
Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các giáo sư, các tác giả của các tài
liệu khoa học mà tôi đã được có cơ hội tham khảo khi thực hiện đề tài này.
Xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất cả mọi người./..

MỤC LỤC

Chương 1:--------------------------------------------------------------------------------TỔNG QUAN
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG -----------------------------------------------------------1
1.2 MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN-------------- 6
Chương 2---------------------------------------------------------------------------------LÝ THUYẾT – MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
CỦA THANH THÀNH MỎNG
2.1. LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH
THÀNH MỎNG CỔ ĐIỂN ------------------------------------------------------8
2.1.1. Sự xoắn và sự vênh tiết diện ----------------------------------------------8
2.1.2. Quan hệ biến dạng – chuyển vị ----------------------------------------- 11
2.1.3. Ứng suất trong thanh thành mỏng --------------------------------------- 13
2.2. MÔ HÌNH VÊNH PROKIÉ --------------------------------------------------- 15
2.2.1. Phương trình chuyển vị – biến dạng ------------------------------------ 15
2.2.2. Ứng suất trong thanh thành mỏng --------------------------------------- 19
2.2.3. Các phương trình cân bằng ----------------------------------------------- 22
2.2.4. Các phương trình vi phân ------------------------------------------------- 26
Chương 3---------------------------------------------------------------------------------ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO DẦM
THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN VÀ HỞ THEO MÔ HÌNH ĐỘ
VÊNH PROKIÉ
3.1. GIỚI THIỆU -------------------------------------------------------------------- 31
3.1.1. Chuyển vị , biến dạng và ứng suất trong phần tử ---------------------- 32
3.1.2. Nguyên lý thế năng toàn phần dừng ------------------------------------- 32
3.2. THIẾT LẬP MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ THEO MÔ HÌNH
ĐỘ VÊNH PROKIÉ ------------------------------------------------------------ 34
3.2.1. Trường chuyển vị của phần tử -------------------------------------------- 34
3.2.2. Ma trận độ cứng phần tử thanh thành mỏng theo mô hình vênh của
Prokié------------------------------------------------------------------------ 37

vi


3.3. GIẢI THUẬT – CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN ------------------------- 44
Chương 4---------------------------------------------------------------------------------VÍ DỤ MINH HỌA
4.1. Dầm thành mỏng tiết diện chữ I liên kết ngàm hai đầu chịu moment tập
trung tại giữa dầm. Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo
mô hình vênh Prokié. So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của
SAP2000N và VNaSAP. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái
chuyển vị, ứng suất của dầm ------------------------------------------------- 47
4.2. Dầm thành mỏng tiết diện chữ C một đầu ngàm một đầu tự do chịu
moment phân bố dọc trục dầm. Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất
của dầm theo mô hình vênh Prokié. So sánh kết quả với mô hình phần tử
Shell của SAP2000N. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái
chuyển vị, ứng suất của dầm ------------------------------------------------- 55
4.3. Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật hở tựa đơn hai đầu chịu moment tập
trung tại giữa dầm. Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo
mô hình vênh Prokié. So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của
SAP2000N. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng
suất của dầm ------------------------------------------------------------------------- 60
4.4. Dầm thành mỏng tiết diện chữ nhật kín tựa đơn hai đầu chịu moment tập
trung tại giữa dầm. Phân tích trạng thái chuyển vị, ứng suất của dầm theo
mô hình vênh Prokié. So sánh kết quả với mô hình phần tử Shell của
SAP2000N. Khảo sát ảnh hưởng của bề dày đến trạng thái chuyển vị, ứng
suất của dầm ------------------------------------------------------------------- 65
Chương 5---------------------------------------------------------------------------------KẾT LUẬN VÀ CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN
5.1. KẾT LUẬN---------------------------------------------------------------------- 72
5.2. CÁC PHƯƠNG HƯỚNG PHÁT TRIỂN ------------------------------------ 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ---------------------------------------------------------75

vii


Chương I : Tổng quan

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

1.1/. GIỚI THIỆU CHUNG
Ngành xây dựng công trình là một ngành khoa học công nghệ đòi hỏi một
trình độ phát triển cao về nghiên cứu kết cấu và ứng dụng vật liệu xây dựng mới.
Lịch sử phát triển của ngành xây dựng công trình từng bước đem lại cho chúng ta
những tiện nghi trong cuộc sống. Qua đó, những công nghệ được ứng dụng và
nâng cao dần từ những công trình có kết cấu vật liệu thô như đá, gỗ đến kết cấu
vật liệu có chất lượng cao hơn như kết cấu vữa, bê tông, bê tông cốt thép rồi đến
kết cấu thép. Bên cạnh những loại vật liệu cũ, để đáp ứng lại sự phát triển chung
của xã hộivà những công trình kiến trúc với quy mô hiện đại, nhiều loại vật liệu
mới đã được nghiên cứu và đưa vào sử dụng với nhiều tính chất cơ lý hết sức ưu
việt như vật liệu hợp kim cường độ cao, composite, sợi thủy tinh…Kéo theo đó là
quá trình nghiên cứu ứng dụng vật liệu để sử dụng chúng vào các mô hình tính
toán kết cấu mới như các lý thuyết, quan điểm, phương pháp tính … xem xét mô
phỏng sự làm việc của vật liệu mới nhằm đem lại một kết quả tối ưu cho giải
pháp kết cấu phù hợp với quy mô mà kiến trúc công trình đòi hỏi. Đây là một sự
tiến bộ cho phép con người xây dựng các công trình thế kỷ, các tòa nhà chọc trời,
các kết cấu vượt nhịp lớn, các ứng dụng mới vào công nghệ cao như ngành chế
tạo máy bay, tàu con thoi và khoa học vũ trụ…mà trước đây ta chỉ có thể xem
chúng là chuyện viễn tưởng.
Việc nghiên cứu phát triển nâng cao các tính năng chịu lực của vật liệu
mới đã đem lại những công trình lớn nhưng có dáng dấp thanh mảnh, sử dụng ít
vật liệu hơn và hiệu quả hơn, giảm thiểu về chi phí xây dựng.
1

Chương I : Tổng quan

Từ đó, một lý thuyết tính toán mới phù hợp với điều kiện làm việc mới
của vật liệu và các giải pháp kết cấu tương ứng kèm theo là một nhu cầu cần
thiết. Kết cấu thành mỏng là một trong các kết cấu hiện đại được đưa ra nghiên
cứu ứng dụng góp phần tương đối đáng kể vào công cuộc phát triển ngành xây
dựng. Hiện nay, kết cấu thành mỏng được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không
những trong xây dựng dân dụng và công nghiệp mà còn ứng dụng trong nhiều lónh
vực khác như hàng không, ngành hàng hải, khoa học quân sự…Trước đây, lý
thuyết cổ điển về thành mỏng đã có sự nghiên cứu tìm hiểu. Tác giả Timoshenco
là người đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành mỏng và sau đó là Vlasov đã
tiếp tục phát triển hoàn chỉnh hơn cả về lý thuyết độ bền, ổn định và dao động
đàn hồi của các lý thuyết tính toán cho thanh thành mỏng mặt cắt hở (1961) [15].
Do tính phức tạp của công việc mà hiện nay các lý thuyết tính toán cho thanh
thành mỏng vẫn được tiếp tục nghiên cứu và không ngừng phát triển. Các thành
tựu trong nghiên cứu kết cấu khiến cho kết cấu thanh thành mỏng đã được ứng
dụng ngày càng phổ biến rộng rãi và thông dụng hơn.
Trong bối cảnh xây dựng ở nước ta hiện nay cùng với tốc độ đầu tư và
sự phát triển đô thị một cách mãnh liệt, việc ứng dụng ngay giải pháp kết cấu
cùng với sử dụng các loại vật liệu mới vào các công trình dân dụng cũng như công
nghiệp như các khu nhà công nghiệp ứng dụng các khung thép thanh thành mỏng
cho nhà xưởng đang được ưa chuộng sử dụng vì thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật về
khả năng chịu lực, độ ổn định của kết cấu cũng như các yêu cầu về mỹ thuật, kinh
tế, tuổi thọ sử dụng cao hơn. Những ứng dụng từ giải pháp kết cấu thanh thành
mỏng làm cho các dự án xây dựng có tính khả thi cao hơn. Bên cạnh đó, các kết
cấu sử dụng thanh thành mỏng bằng thép dập nguội hoặc kết hợp giữa bê tông và
thép hình tổ hợp đang sử dụng nhiều cho các công trình lớn. Đứng trước nhu cầu
2

Chương I : Tổng quan

sử dụng ngày càng nhiều kết cấu thanh thành mỏng, chúng ta rất lúng túng trong
việc ứng dụng chúng vào công tác tính toán thiết kế, kiểm định các công trình
dùng kết cấu loại này. Ngay cả trong tiêu chuẩn thiết kế xây dựng Việt Nam cũng
chưa có các tiêu chuẩn đánh giá dành cho kết cấu thanh thành mỏng. Nếu dùng
các tiêu chuẩn hiện hành để kiểm tra thiết kế thì kết cấu thanh thành mỏng sẽ
không đạt được các chỉ tiêu kỹ thuật, tức là ta không đánh giá đúng mức khả năng
chịu lực và độ ổn định của công trình mà vật liệu đem lại.Vậy thì kết cấu như thế
nào được xem là thanh thành mỏng? Prokié [6] cho rằng những phần tử kết cấu
thỏa mãn quan hệ t/b ≤ 0.1 và b/L ≤ 0.1 với t là chiều dày, b là kích thước phương
điển hình cho mặt cắt tiết diện và L là chiều dài phần tử thì được xem như một
phần tử 1 hướng có nghóa là tất cả các biến chỉ phụ thuộc vào tọa độ dọc trục. Các
kết cấu như vậy được gọi là thanh thành mỏng.
Theo Steen Krenk [2], năm 1855 Saint – Venant đã đưa ra công thức và giải bài
toán xoắn thuần túy của dầm đàn hồi. Tất cả các tiết diện của dầm truyền cùng
một moment và vì vậy chúng được cho rằng chịu sự phân bố ứng suất và vênh
giống nhau nghóa là tốc độ xoắn là hằng số. Điều này không đúng trong trường
hợp xoắn không đều vì tốc độ xoắn thay đổi dọc theo chiều dài dầm. Nếu lý
thuyết Saint – Venant được áp dụng cho xoắn không thuần túy, tiết diện có thể
chịu độ vênh khác nhau vì thế có thể nảy sinh ứng suất dọc trục. Sự ảnh hưởng
của ứng suất này lên các loại dầm là khác nhau và sự ảnh hưởng lên dầm thành
mỏng tiết diện hở là quan trọng nhất. Dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng
xoắn rất bé. Do đó, điều quan trọng là sử dụng dầm chịu tải trọng ngang sao cho
không gây ra xoắn nhiều. Điều này được xác định bởi khoảng cách giữa đường tác
dụng của lực so với tâm cắt của tiết diện, do đó việc xác định vị trí tâm cắt của
tiết diện là phần quan trọng khi phân tích dầm thành mỏng. Khi dầm thành mỏng
3

Chương I : Tổng quan

chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng chịu xoắn St. Venant cổ
điển được xác định bởi module chống cắt và thành phần sinh ra do việc cản trở sự
vênh của tiết diện ngang liên quan với sự xoắn St. Venant. Nếu độ xoắn là hằng
số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết diện là giống nhau và thanh phần thứ hai triệt
tiêu. Dạng xoắn này là xoắn thuần tuý. Trong trường hợp độ xoắn thay đổi theo
chiều dài gọi là xoắn không thuần tuý. Xoắn không thuần tuý sinh ra ứng suất
dọc trục trong dầm và phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền. Lúc này
quan điểm cơ bản của lý thuyết dầm thành mỏng là : bỏ đi giả thiết cổ điển mặt
cắt ngang vẫn phẳng trước và sau khi biến dạng để thừa nhận sự vênh của tiết
diện ra khỏi mặt phẳng ban đầu.
Theo Shakourzadeh H., Guo Y.Q. and Batoz J.L. [10], lý thuyết xoắn đối với dầm
thành mỏng mặt cắt hở được phát triển bởi Vlasov đã xem xét ảnh hưởng của biến
dạng vênh không đều nhưng lại bỏ qua biến dạng cắt trên mặt cắt ngang. Chuyển
vị vênh dọc trục là tích số của tọa độ sectơ ω và tốc độ xoắn θx,x :
ux =ω(y,z) θx,x(x);

(1.1)

Trong phương trình trên tọa độ sectơ ω nhận được bởi đã bỏ qua biến dạng cắt
trên mặt cắt ngang theo bề dày của tiết diện. Điều này có thể chấp nhận được đối
với dầm thành mỏng hở nhưng đối với dầm thành mỏng kín thì không thể bỏ qua
biến dạng cắt trên mặt cắt ngang. Để khắc phục vấn đề này, Bencoter sử dụng
một biến dạng cắt giả tạo. Một hàm vênh mới ψ thay thế cho θx,x , vì thế biến
dạng vênh dọc trục nhận được như sau:
ux =ω(s,ζ) ψ(x);

(1.2)

trong phương trình này toạ độ sectơ ω cũng giống như trong (1.1) nhưng biến dạng
cắt trên mặt cắt ngang không bỏ qua và biến dạng cắt giả tạo được xem xét. De
Ville De Goyet đã lấy một vài ví dụ để so sánh, ông sử dụng phần tử Shell để
4


Chương I : Tổng quan

kiểm tra với kết quả nhận được từ việc phân tích dựa trên lý thuyết của
Benscoter, kết quả nhận được là khá chính xác [10].
Một trong những lời giải số sớm nhất của bài toán xoắn thanh thành mỏng
tiết diện hở thay đổi được trình bày bởi Cywinski năm 1968. Cywinski chỉ khảo
sát các tiết diện đối xứng một phương và hai phương để loại bỏ một vài hệ số. Lời
giải tương tự được giới thiệu bởi Kitipornchai và Trahair vào năm 1972 và 1975,
và Iremonger năm 1980. Tất cả các lời giải của các phương trình vi phân được
giải bởi các tác giả trên đều dùng kỹ thuật tích phân hữu hạn hoặc sai phân hữu
hạn [16].
Một trong những lời giải đầu tiên của dầm thành mỏng tiết diện không đổi
sử dụng phương pháp PTHH được thực hiện bởi Barsoum và Gallagher năm 1970,
Bazant và ElNimeiri năm 1973. Theo lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển, lời
giải số của họ chỉ giới hạn trong phạm vi dầm I để lược bớt một số các đặc trưng
tiết diện. Họ tìm được ma trận độ cứng và ma trận hình học cho phần tử hữu hạn
thanh thành mỏng dựa trên bốn hàm chuyển vị giả thiết là các hàm đa thức với 14
tham số, tương ứng với 14 bậc tự do của mỗi phần tử [16].
Một phương pháp mới được đưa ra bởi Wilde năm 1968. Ông đề nghị xem
thanh thành mỏng như một trường hợp đặc biệt của tấm màng với các ràng buộc
nội tại. Các ràng buộc này rút ra từ các giả thiết của Vlasov và Wagner được áp
dụng bởi Wilde trong lý thuyết vỏ. Quan điểm của Wilde sau đó được Wekezer

áp dụng vào năm 1984 – 1987, Ông dùng phương pháp này để phát triển một
phần tử hữu hạn tổng quát thanh thành mỏng để phân tích xoắn, biến dạng lớn, ổn
định và dao động tự do của thanh thành mỏng tiết diện hở và thay đổi. Về mặt
hình học phần tử này được mô tả bởi các điểm cho trước bố trí tuỳ ý trên mặt
trung bình của phần tử để lấy tích phân với miền tích phân là các phần tử phụ tam

5


Chương I : Tổng quan

giác phẳng. Phần tử hữu hạn thanh thành mỏng của Wekezer luôn luôn có 15 bậc
tự do bất kể phần tử có phức tạp thế nào [16].
Một quan điểm mới khác được trình bày bởi Kanok – Nukulchai và
Sivakumar năm 1988. Họ dùng phần tử khối 8 nút và phần tử tấm 4 nút với các
ràng buộc bên trong thêm vào để phân tích thanh thành mỏng. Bên cạnh các nút
phụ trợ thông thường, họ thêm vào hai nút sectơ cho mỗi lớp phần tử hữu hạn. Các
nút sectơ cần thiết để quản lý biến dạng vênh của tất cả các nút phụ trợ nằm trên
cùng một tiết diện. Mặc dù phương pháp này cho thấy độ hội tụ tốt đến lời giải
chính xác, nhưng nó dẫn đến số lượng bậc tự do lớn đồng thời hệ phương trình đại
số có bề rộng băng lớn. Tuy nhiên, phương pháp này rõ ràng có tính linh hoạt cao
vì nó có thể dùng để phân tích thanh thành mỏng có tiết diện hở và kín [16].
Phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích dầm thành mỏng còn được
Chen và Blandford (1989, 1991), Conci và Gattass (1990), Meek và Lin (1990) …
nghiên cứu [7].
1.2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN VĂN
Luận văn tập trung nghiên cứu và trình bày mô hình độ vênh của Prokié
đối với dầm thành mỏng với tiết diện kín và hở bất kỳ. Luận văn gồm các nội
dung cụ thể sau:
-

Trình bày lý thuyết, hàm vênh và các phương trình cơ bản của lý
thuyết thanh thành mỏng cổ điển Vlasov.

-

Trình bày mô hình độ vênh của Prokié đối với dầm thành mỏng với
tiết diện kín và hở bất kỳ, các phương trình chuyển vị, biến dạng,
nội lực, phương trình cân bằng, phương trình vi phân của thanh
thành mỏng.
6


Chương I : Tổng quan

-

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán dầm thành
mỏng tiết diện bất kỳ theo mô hình vênh Prokié với phần tử 3 nút.

-

Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab
6.5 để tính toán chuyển vị, nội lực của thanh thành mỏng.

-

Khảo sát các ví dụ đồng thời so sánh kết quả với các nghiên cứu có
trước và phần mềm nổi tiếng (SAP2000 ) để kiểm tra tính chính
xác và hiệu quả của mô hình và chương trình tính toán. Khảo sát

ảnh hưởng của bề dày tiết diện đến trạng thái chuyển vị, ứng suất.

-

Nhận xét và kết luận các kết quả nghiên cứu, đề xuất hướng phát
triển của đề tài.

Toàn bộ luận văn bao gồm 2 phần:
Phần 1: Phần thuyết minh của luận văn bao gồm 5 chương:
Chương I : TỔNG QUAN
Chương II: LÝ THUYẾT –MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ
BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG
Chương III: ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO DẦM
THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN KÍN VÀ HỞ THEO MÔ HÌNH
VÊNH PROKIÉ.
Chương IV: VÍ DỤ MINH HỌA
Chương V: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Phần 2: Phần phụ lục, bao gồm:
-

Phần mã nguồn của chương trình tính toán.

-

Ma trận độ cứng phần tử và các đặc trưng hình học của tiết diện.

7


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

CHƯƠNG 2:
LÝ THUYẾT –MÔ HÌNH VÊNH VÀ PHƯƠNG
TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH THÀNH MỎNG

2.1. LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THANH
THÀNH MỎNG CỔ ĐIỂN
Timoshenko (1921) là người đã đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành
mỏng. Sau đó Vlasov đã hoàn chỉnh và phát triển cả về lý thuyết độ bền, ổn
định và giao động của thanh thành mỏng mặt cắt hở [15].
Lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng với một mặt cắt tiết diện hở tùy ý dựa trên
giả thiết Vlasov:
-

Mặt cắt ngang tiết diện cứng tuyệt đối trong mặt phẳng của nó.

-

Biến dạng cắt trên đường trung bình ( đường chu tuyến) có thể bỏ qua.

-

Mặt trung bình không bị biến dạng trong suốt quá trình thanh bị biến dạng.

2.1.1. Sự xoắn và sự vênh của tiết diện
Theo Steen Krenk [2] dầm thành mỏng tiết diện hở có độ cứng xoắn rất bé,
khi dầm thành mỏng chịu xoắn, sự xoắn được xác định bởi hai cơ cấu : độ cứng
chịu xoắn Saint – Venant cổ điển được xác định bởi mô đun chống cắt và
thành phần sinh ra do việc cản trở sự vênh của tiết diện ngang liên quan với sự
xoắn Saint – Venant. Nếu độ xoắn là hằng số trên toàn bộ dầm, sự vênh tiết

diện là giống nhau và thành phần thứ hai triệt tiêu. Trong trường hợp độ xoắn
thay đổi theo chiều dài sẽ sinh ra ứng suất dọc trục trong dầm, thành phần này
phải được kể đến trong bài toán phân tích độ bền.

8


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

Theo lý thuyết dầm thành mỏng, có hai thành phần dẫn đến moment xoắn, một
là thành phần xoắn từ ứng suất xoắn Saint - Venant và hai là thành phần xoắn
thu được từ ứng suất dọc trục do vênh. Độ lớn tương đối của hai thành phần
này là một khía cạnh quan trọng của lý thuyết dầm thành mỏng.
Bây giờ, để cụ thể, đưa vào một toạ độ dọc trục và giả thiết rằng dầm thực
hiện sự xoắn thể hiện bằng góc xoay ϕ(z) thay đổi theo trục z. Sự xoắn dầm
cho ra moment xoắn Ms từ thành phần ứng suất cắt Saint - Venant:

M S ( z) = GK

dϕ ( z )
dz

(2.1)

Trong đó : G là module cắt của vật liệu
K là tham số độ cứng của dầm.
Tương tự như moment xoắn Saint - Venant Ms sinh ra do độ thay đổi của góc
xoắn ϕ(z), thành phần mới Mω sinh ra do độ thay đổi của đối ngẫu bimoment
B(z) là:
M ω (z ) =

Với :

dB( z )
dz

(2.2)

d 2ϕ (z )
B(z ) = − EI ω
dz 2

(2.3)

I ω = 12 h 2 I f tham số độ cứng vênh

(2.4)

Như vậy tổng moment xoắn của dầm laø:
M = M S + M ω = GK

dϕ d ⎛
d 2ϕ ⎞
⎟
− ⎜⎜ EI ω
dz dz ⎝
dz 2 ⎟⎠

(2.5)

Điều kiện ứng suất cắt triệt tiêu trên mặt trung bình cho phép xác định trực
tiếp hàm vênh tiết diện một cách đơn giản. Tiết diện ngang được giả thiết là
không biến dạng trong mặt phẳng của nó, và chuyển vị của tiết diện do đó có

9


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

thể được mô tả bằng một thành phần chuyển vị dọc trục chưa biết ω(s,z) và
một góc xoay ϕ(z) quanh một điểm A.
Vị trí một điểm trên đường tâm được biểu diễn bằng chiều dài cung s, như trên
hình 2.1. Chuyển vị trong mặt phẳng us dọc theo tiếp tuyến tại s có thể được
viết nhö sau :

us (s , z ) = h(s )ϕ (z )

(2.6)

Với h(s) là khoảng cách từ điểm A đến tiếp tuyến của đường tâm tại điểm s.

Hình 2.1
Điều kiện không có biến dạng cắt trên đường trung bình là :
γ (s , z ) =

∂u s ∂w
=0
+
∂s
∂z

(2.7)

Thay theá us từ (2.6) và lấy tích phân theo đường s ta được :
w(s , z ) = −

dϕ (z )
h(s )ds
dz ∫s

(2.8)

Hàm vênh w(s,z) được cho bởi:
w(s , z ) = −ω (s )

dϕ (z )
dz

(2.9)

Trong đó, ω(s) gọi là tọa độ sectơ được định nghóa là :

10


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

ω (s ) = ∫ h(s )ds

(2.10)

s

Toạ độ sectơ được diễn giải hình học đơn giản là bằng hai lần diện tích quét
bởi đường thẳng nối từ tâm xoay A đến điểm s trên đường tâm.

ω (s ) = 2 A(s )

(2.11)

2.1.2. Quan hệ biến dạng – chuyển vị
Khảo sát một dầm thẳng tiết diện không đổi, ký hiệu trục z song song với trục
dầm, trục x1 và x2 mô tả mặt phẳng tiết diện, như hình 2.2.

Hình 2.2
Tại một điểm trên tiết diện tồn tại ba thành phần chuyển vị, hai chuyển vị
trong mặt phẳng của tiết diện theo hai phương tương ứng ký hiệu là u1, u2, (uα),
chuyển vị theo phương trục z ký hiệu là w. Chuyển vị tổng quát của tiết diện
mô tả bởi các dịch chuyển của tiết diện như một miếng cứng ξα = (ξ1, ξ2) và
chuyển vị xoay quanh một điểm aα = (a1, a2).

Hình 2.3
11


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

Quan hệ giữa các thành phần chuyển vị của chất điểm với chuyển vị tổng quát
của tiết diện:

u1 = ξ1 − (x 2 − a2 )ϕ

(2.12)

u2 = ξ 2 + (x1 − a1 )ϕ

Thành phần chuyển vị dọc trục bao gồm bốn phần, một thành phần dịch
chuyển dọc trục của tiết diện, hai chuyển vị xoay quanh các trục x1, x2 và cuối
cùng là chuyển vị do vênh tiết diện.
Biến dạng cắt của dầm khi chịu uốn triệt tiêu, và do đó góc xoay quanh các
đường x1 = c1, x2 = c2 tương ứng là − dξ 1 dz vaø − dξ 2 dz . Thành phần chuyển
vị dọc trục do vênh được xác định từ điều kiện biến dạng cắt bằng không trên
mặt trung bình đưa đến phương trình (2.8).
Từ các giả thiết trên, chuyển vị dọc trục của một điểm trên tiết diện ngang
biểu diễn theo công thức:
w = ς − ( x1 − c1 )

dξ 1
dξ
dϕ
− (x 2 − c 2 ) 2 − ω (s )
dz
dz
dz

(2.13)

Thành phần biến dạng dọc trục ε được suy ra trực tiếp từ biểu thức chuyển vị
dọc trục (2.13).
d 2ξ1

d 2ξ 2
∂w dς
d 2ϕ
ε=
=
− ( x1 − c1 ) 2 − (x 2 − c 2 ) 2 − ω (s) 2
∂z dz
dz
dz
dz

(2.14)

Sự phân bố của thành phần biến dạng cắt qua bề dày thành:
γ =

∂u S ∂w ∂
dϕ ⎞
dϕ
∂⎛
+
= ((h + n )ϕ ) + ⎜ − ω
⎟ = 2n
∂z
∂s ∂z
dz ⎠
dz
∂s ⎝

(2.15)

12


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

2.1.3. Ứng suất trong thanh thành mỏng
Lý thuyết dầm thành mỏng tiết diện hở dựa trên giả thiết không có biến dạng
cắt trên mặt trung bình của thành dầm. ng suất cắt do đó không thu được trực
tiếp từ trường chuyển vị, nhưng được xác định bằng cách dùng điều kiện cân
bằng cục bộ liên quan đến ứng suất dọc trục [2].
-

Ứng suất dọc trục: Ứng suất dọc trục trong dầm được xác định từ biến

dạng dọc trục cho bởi (2.14).
⎡ dζ
d 2ξ β
d 2ϕ ⎤
σ = Eε = E ⎢ − (x β − c β ) 2 − ω (s ) 2 ⎥
dz
dz ⎦⎥
⎣⎢ dz

(2.16)

Nếu giả thiết rằng C=(c1, c2) là tâm đàn hồi và ω(s) là toạ độ sectơ chính. Điều
này đưa đến công thức đơn giản của nội lực :
Lực dọc N
N = ∫ σdA = E 0 A

A

dζ
dz

(2.17)

Moment uoán M1 vaø M2
Mα = ∫ ( x a − cα )σdA = − E 0 I αβ
A

d 2ξ β
dz 2

(2.18)

Bimoment B
d 2ϕ
B = ∫ ω σ dA = − E 0 I ω
dz 2
A

-

(2.19)

Ứng suất cắt:

Trong tiết diện thành mỏng, ứng suất cắt có thể được xem như biến thiên tuyến
tính qua bề dày thành. Ứng suất cắt tổng cộng gồm hai phần: phần phân bố

đều τ0 liên quan đến dòng cắt, và phần τ1 do xoắn đều. Ứng suất cắt do xoắn
đều được xác định gần đúng từ lời giải của hình chữ nhật hẹp và dài. Khi ảnh

13


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

hưởng của đầu mút không được để ý đến, lời giải này cho ta cho ta ứng suất cắt
dọc theo thành có cường độ là :
τ 1 = 2G

dϕ
n
dz

(2.20)

Trong đó n là khoảng cách từ tâm của thành tiết diện đến điểm xét. Phần ứng
suất cắt này không sinh ra bất kỳ một lực cắt nào khi lấy tích phân trên toàn
chiều dày thành và do đó nó có thể được loại ra khỏi các điều kiện cân bằng
dùng để xác định dòng cắt và thành phần ứng suất cắt τ0.
Dòng cắt tτ0 trong tiết diện thành mỏng với bề dày thành thoả mãn phương
trình cân bằng theo phương dọc trục
∂ (tτ 0 ) ∂ (tσ )
+
+ tp = 0
∂s
∂z

(2.21)

Trong đó p là lực dọc trục trên một đơn vị thể tích.
Đây là các phương trình cơ bản của thanh thành mỏng cổ điển theo [2].
Theo lý thuyết thanh thành mỏng cổ điển, hàm vênh w(s,z)=-ω(s)ϕ’(z) là tích
số của hai thừa số độc lập, trong đó thành phần thứ nhất tọa độ quạt ω(s) phụ
thuộc vào đặc trưng hình học của mặt cắt tiết diện và thành phần thứ hai là đạo
hàm bậc nhất của góc xoay ϕ(z). Sự phân bố của ứng suất pháp do vênh được
cho bởi tọa độ sectơ và giống nhau trên tất cả các tiết diện. Ứng suất cắt SaintVenant τS = 0 tại đường trung bình của tiết diện và thay đổi tuyến tính theo bề
dày tiết diện. Ứng suất cắt do vênh τω phân bố đều trên bề dày của thanh,
không thể tính trực tiếp từ biến dạng cắt mà chỉ tính được từ điều kiện cân
bằng, nhưng việc này lại đưa đến sự rối loạn điều kiện tương thích [6].
Theo [6] Prokié cho rằng đối với dầm thành mỏng mặt cắt kín thì ứng suất cắt
τω phân bố đều qua bề dày tiết diện là chủ yếu nên giả thiết của Vlasov đối
với mặt cắt hở không còn đúng. Nếu chúng ta vẫn giữ giả thiết 2 là bỏ qua biến
14


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

dạng cắt trên đường trung bình thì dẫn đến sự vênh không được xét đến. Vì
thế, lý thuyết của dầm thành mỏng mặt cắt kín phải được xem xét riêng.
Umanski (1939) đã là người đầu tiên diễn tả một cách rõ ràng bằng công thức
hàm vênh của một mặt nghiêng kín wwτp = Ω(x,y)ϕ(z). Hàm Ω(x,y)=

∫ (h

P

)

− τ ds thì giống như trong trường hợp xoắn Saint - Venant trên một mặt

nghiêng kín, hàm ϕ(z) là một thông số mới đại diện cho một hàm của góc xoay
ϕ của mặt nghiêng. Cả hai lý thuyết trên đã được trình bày chi tiết trong xuất
bản của Kollburner and Hajdin (1972). Vì vậy việc đưa ra một hàm vênh mới
có thể sử dụng chung cho hệ phương trình cơ bản của dầm thành mỏng với tiết
diện đóng hay hở bất kỳ là rất cần thiếtø.
2.2.

MÔ HÌNH VÊNH PROKIÉ

Prokié [4,5,6] đã đưa ra một hàm vênh mới tổng quát hơn việc sử dụng lý
thuyết cổ điển, không có sự phân biệt giữa mặt cắt tiết diện kín và hở. Sự vênh
tiết diện được định nghóa bởi các thông số chuyển vị chưa biết tại các nút đã
chọn trên mặt cắt tiết diện . Không cần giả thiết thứ 2 của Vlasov là biến dạng
cắt trên đường trung bình bằng không, vì thế ứng suất cắt cả τs lẫn τω có thể
đạo hàm trực tiếp từ các biến dạng tương ứng, tâm cắt không còn quan trọng
như trước cũng như không cần phải tính toán tọa độ sectơ.
2.2.1. Phương trình chuyển vị – biến dạng
Xét một dầm thành mỏng thẳng với mặt cắt kín hoặc hở tùy ý. Nếu đường
trung bình của mặt cắt tiết diện có hình dạng bất kỳ, ta có thể xấp xỉ nó với
một đa giác. Mục đích của việc lý tưởng hóa này là để đơn giản trong tính
toán. Số cạnh của đa giác phụ thuộc vào độ chính xác mong muốn. Những
điểm mà tại đó hai hoặc nhiều cạnh của đa giác nối với nhau được xem là
những điểm nút của mặt cắt tiết diện như hình 2.4.

15

Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

Hình 2.4 : Mặt cắt tiết diện dầm thành mỏng
Trục z của hệ trục tọa độ Cartesian trùng với trục trọng tâm dọc trục, trục x, y
trùng với trục trọng tâm của tiết diện.
Ngoài những giả thiết thông thường của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, cần phải
thêm vào các giả thiết sau:
1/ Mặt cắt ngang tiết diện tuyệt đối cứng trong mặt phẳng của nó.
2/ Chuyển vị dọc trục gây ra bởi sự vênh thay đổi tuyến tính giữa hai
nút gần kề.
3/ Độ vênh tương đối so với đường trung bình của mặt cắt tiết diện được
chấp nhận giống như trong lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng.
Sử dụng những giả thiết trên, các chuyển vị u*, v*, w* của một điểm bất kỳ của
mặt cắt tiết diện, nơi mà góc xoắn đủ nhỏ với một tải trọng nào đó, được cho
bởi dạng sau:
u* = u - yϕ

(2.22)

v* = v + xϕ

(2.23)

w* = w0 + yψx - xψy + wwτp

(2.24)

Trong công thức trên:
u, v, w0 : các chuyển vị thành phần của trọng tâm theo trục x, y, z
ψx, ψy , ϕ : thành phần xoay của tiết diện quanh trục x, y, z.

Thành phần cuối cùng wwτp đại diện cho sự vênh của mặt cắt tiết diện, được
tính như sau:
16


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

wwτp = wswτp + wewτp

(2.25)

wswτp = ΣΩi (x,y)wi(z); i = 1, 2, …., n

(2.26)

wewτp = -ω(x,y)ϕ’

(2.27)

Số hạng thứ nhất của hàm độ vênh wswτp đại diện cho sự vênh dọc theo đường
trung bình của tiết diện. Vì các thông số wi chưa biết nên ta có thể chọn
chuyển vị bất kỳ của những nút trên đường trung bình. Những nút này phải là
những nút điển hình của mặt cắt, số nút mà chúng ta chọn sẽ xác định số thông
số chưa biết wi.
Hàm Ωi phụ thuộc vào cách chuyển vị thay đổi giữa những nút của đa giác
tiết diện. Nếu sự thay đổi này là tuyến tính thì theo giả thiết thứ hai, hàm Ωi
có dạng hình học đơn giản như hình 2.5. Hàm Ωi chỉ tồn tại dọc theo những
phần giữa nút i, tại i nó có giá trị bằng 1 và tại những nút sát cạnh có giá trị
bằng 0.

Hình 2.5 : Hàm Ω cho nút mặt cắt tiết diện.
Số hạng thứ hai của hàm độ vênh wewτp xác định độ vênh tương đối so với
đường trung bình của mặt cắt tiết diện, theo giả thiết thứ 3 (độ vênh tương đối
so với đường trung bình của mặt cắt tiết diện được chấp nhận giống như trong
lý thuyết cổ điển dầm thành mỏng), được xác định là:
wewτp = -ω(x,y)ϕ’

(2.28)

17


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

Trong đó:
ω(x,y) = hne

(2.29)

Với :
e là khoảng cách từ điểm đang xét đến đường trung bình của tiết diện.
hn được xác định như hình 2.4, hn có giá trị dương khi pháp tuyến của đường
trung bình quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trọng tâm khi ta nhìn từ chiều
dương của trục z.
Bây giờ ta tính được tổng chuyển vị dọc trục w* của một điểm bất kỳ là:
w* = w0 + yψx - xψy + ΣΩi (x,y)wi(z) - ω(x,y)ϕ’

(2.30)

Trong đó :

w0 là chuyển vị dọc trục của trọng tâm tiết diện
yψx là chuyển vị dọc trục do xoay quanh trục x
xψxy là chuyển vị dọc trục do xoay quanh trục y
ΣΩi (x,y)wi(z) - ω(x,y)ϕ’ là chuyển vị do sự vênh tiết diện.
Ta thấy rằng từ n+1 tham số chưa biết là w0, w1, w2,…..wn thì chỉ có n tham số
độc lập với nhau. Chúng ta có thể giữ lại tất cả n+1 tham số đó, nhưng phải
đưa thêm vào 1 điều kiện:
Thành phần lực dọc tính toán từ ứng suất do vênh và thành phần bimoment do
biến dạng dọc trục phải bằng 0.

(2.31)

Điều này cho phép ta nghiên cứu riêng lẻ biến dạng dọc trục và biến dạng
vênh.
Từ các chuyển vị trên, các thành phần biến dạng được cho bởi các biểu thức
sau:
Biến dạng dọc trục εz :
εz =

∂w*
= w' 0 + yψ ' x − xψ ' y + ∑ Ω i w'i −ωϕ ' '
∂z
i

(2.32)

18


Chương 2: Lý thuyết– Mô hình vênh và phương trình cơ bản của thanh thành mỏng

Biến dạng cắt :
∂u* ∂w*
+
= u '−( y + ω, x )ϕ '−ψ y + ∑ Ω i , x wi
∂z
∂x
i
∂v ∂w
= * + * = v'+ ( x − ω, y )ϕ '+ψ x + ∑ Ω i , y wi
∂z
∂y
i

γ zx =

(2.33)

γ zy

(2.34)

2.2.2. Ứng suất trong thanh thành mỏng :
Như đã phân tích ở trên, chỉ tồn tại 3 thành phần biến dạng là một thành phần
biến dạng dọc trục và hai thành phần biến dạng cắt. Do đó ứng suất trong
thanh bao gồm ứng suất dọc trục σz và các ứng suất cắt τzx, τzy.
Giả sử dầm được làm bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng
hướng, quan hệ ứng suất – biến dạng được cho bởi định luật Hooke:
σ z = Eε z ;

(2.35)

τ zx = Gγ zx ;

(2.36)

τ xy = Gγ xy ;

(2.37)

Thay thế các biểu thức từ (2.32-34) vào (2.35-37) ta thu được quan hệ giữa ứng
suất và chuyển vị như sau:
Ứng suất dọc trục :
⎛

⎞

σ z = E ⎜ w0' + yψ x' − xψ y' + ∑ Ω i wi' − ωϕ " ⎟ ;
⎝

⎠

i

(2.38)

Hai số hạng cuối của (2.38) ΣΩiw’i - ωϕ” là thành phần ứng suất dọc trục gây
ra bởi sự vênh tiết diện.
Ứng suất cắt :
⎡

⎤

τ zx = G ⎢u ' − ( y + ω, x )ϕ ' −ψ y+ ∑ Ω i, x wi ⎥ ;
⎣

i

⎦

(2.39)

19