Khảo sát thành dầm mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán phân tích (SAFEM)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
YUZ

NGÔ VĂN TRỊ

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
BÁN PHÂN TÍCH (SAFEM)

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
MÃ SỐ NGÀNH: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12 NĂM 2005


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN VĂN YÊN

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc só được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày.............tháng...........năm 2005

ii


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do - Hạnh Phúc

---o0o--Tp. HCM, ngày 07 tháng 07 năm 2005

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên:
NGÔ VĂN TRỊ
Ngày, tháng, năm sinh: 04-11-1977
Chuyên ngành:
XÂY DỰNG DD & CN
I- TÊN ĐỀ TÀI:

Phái:
Nam
Nơi sinh: Quảng Ngãi
Mã số: 23.04.10

KHẢO SÁT DẦM THÀNH MỎNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN
TỬ HỮU HẠN BÁN PHÂN TÍCH (SAFEM)

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu về dầm thành mỏng trên thế giới
cũng như ở Việt Nam.
- Nghiên cứu lý thuyết phần tử hữu hạn bán phân tích (Semi – analytical
finite element method – SAFEM), thiết lập các phương trình cơ bản, tổng
quát hoá SAFE, ví dụ minh họa SAFE.
- Áp dụng lý thuyết SAFE cho dầm thành mỏng, sau đó ứng dụng SAFE
thiết lập ma trận độ cứng tuyến tính cho SE của dầm thành mỏng
(subelement).
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình kó thuật Matlab để so sánh SAFEM với lý
thuyết cổ điển và lý thuyết shell (bằng phần mềm Ansys, Sap2000).
- Từ đó đưa ra kết luận và kiến nghị.
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:
07 - 07 - 2005
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07 - 12 – 2005
V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. NGUYỄN VĂN YÊN
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM NGÀNH

BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS. TS. NGUYỄN VĂN YÊN

Nội dung và đề cương luận văn thạc só đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua.
Ngày
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

tháng

năm 2005

KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

iii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc só này được thực hiện nhằm kết thúc chương trình cao học
của tôi, luận văn không chỉ là một nhiệm vụ phải hoàn thành mà còn là cơ hội
tốt để tôi có điều kiện nghiên cứu khoa học và nâng cao trình độ.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS. TS.
Nguyễn Văn Yên, người Thầy đã luôn luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn tôi
thực hiện luận văn này. Nếu không có sự động viên, giúp đỡ và tính nghiêm
khắc của Thầy, luận văn này sẽ không được thành hình như hôm nay.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Giáo sư R.Kacianauskas và M.Samofalov –
Department of Strength of Materials, Vilnius Gediminas Technical University,
Vilnius, Lithuania, người đã có những góp ý và cung cấp cho tôi những tài liệu
q giá liên quan đến đề tài.
Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng
dạy, truyền đạt những phương pháp, kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi nói riêng
và học viên cao học Xây dựng khóa 14 nói chung trong suốt khóa học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các vị lãnh đạo và đồng nghiệp ở Viện Nghiên
cứu thiết kế trường học – Bộ GD&ĐT đã cảm thông, tạo điều kiện về thời gian
để tôi thực hiện tốt luận văn này.
Cuối cùng, tôi ghi nhận sự giúp đỡ q báu và những lời động viên khích lệ
từ gia đình và bè bạn. Xin nhận ở tôi lòng biết ơn sâu sắc.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 12 năm 2005
Ngô Văn Trị

iv

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 TỔNG QUAN -------------------------------------------------------------------- 1
1.1. Giới thiệu chung --------------------------------------------------------------- 1
1.2. Phạm vi nghiên cứu và giới hạn --------------------------------------------- 6
Chương 2 TÓM LƯC CÁC KẾT QUẢ ĐÃ NGHIÊN CỨU VỀ DẦM
THÀNH MỎNG TRÊN THẾ GIỚI CŨNG NHƯ Ở VIỆT
NAM ------------------------------------------------------------------------------ 7
2.1. Trên thế giới -------------------------------------------------------------------- 7
2.2. Ở Việt Nam --------------------------------------------------------------------16
Chương 3 NỘI DUNG LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN BÁN PHÂN TÍCH (SAFEM) ---------------------------------------17
3.1. Định nghóa ----------------------------------------------------------------------17
3.2. Thiết lập các phương trình cơ bản -----------------------------------------21
3.3. Tổng quát hóa SAFE ---------------------------------------------------------27
3.3.1. Sự phân loại những phần tử ---------------------------------------------27
3.3.2. Mối quan hệ cơ bản cho phần tử đẳng tham số ----------------------29
3.3.3. Mối quan hệ cơ bản cho phần tử nhiều tham số ---------------------31
3.4. Ví dụ minh họa cho SAFE ---------------------------------------------------33
3.4.1. Phần tử cấp 1 (PRIM) ---------------------------------------------------33
3.4.2. Phần tử cấp 2 ( TIMSH hoặc BERNL) --------------------------------37
Chương 4 ÁP DỤNG LÝ THUYẾT SAFE CHO DẦM THÀNH

MỎNG -------------------------------------------------------------------------- 46
4.1. Tổng quan ----------------------------------------------------------------------46
4.2. Mặt cắt ngang dầm được xây dựng từ những SAFE ----------------------50

4.2.1. Những khái niệm chung ------------------------------------------------50
4.2.2. Mặt cắt ngang dầm thành mỏng như một sự lắp ghép các
phần tử bán phân tích cấp 1 (primary) ------------------------------ 52

4.2.3. Dạng bậc cao cho mặt cắt dầm thành mỏng--------------------------64
4.3. Sự phát triển phần tử hữu hạn dựa vào SAFEM --------------------------67

vii


4.3.1. Mối quan hệ tổng quát --------------------------------------------------67
4.3.2. SAFE cấp 1 cho dầm thành mỏng -------------------------------------74
4.3.3. Phát triển phần tử cấp 2 --------------------------------------------- 78
4.4. Ứng dụng tính các ma trận độ cứng phần tử (se) -------------------------80
4.4.1. Những khái niệm cơ bản ------------------------------------------------80
4.4.2. Dạng màng mỏng (membrane) -----------------------------------------83
4.4.3. Dạng uốn - xoắn ---------------------------------------------------------90
Chương 5 SỬ DỤNG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAP ĐỂ SO SÁNH
KẾT QUẢ PHÂN TÍCH DẦM THÀNH MỎNG BẰNG SAFEM VỚI KẾT
QUẢ GIẢI TỪ CÁC LÝ THUYẾT KHÁC -------------------------------------------- 96
5.1. Ví dụ 1 --------------------------------------------------------------------------96
5.2. Ví dụ 2 ------------------------------------------------------------------------ 103
Chương 6 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ---------------------------------------------- 108
6.1. Kết luận ---------------------------------------------------------------------- 108
6.2. Kiến nghị --------------------------------------------------------------------- 110
TÀI LIỆU THAM KHẢO ----------------------------------------------------------------- 111
Phụ luïc

viii

TÓM TẮT
Luận văn thạc só nhằm giải quyết việc khảo sát thanh thành mỏng bằng
SAFEM. FEM đã nhận biết trong một khoảng thời gian dài, nó là công cụ hiệu
quả cho việc tính toán và phân tích kết cấu tổng quát dưới tải trọng và điều kiện
biên bất kỳ. Thế nhưng một số trường hợp kết cấu có điều kiện biên đơn giản,
tiết diện phức tạp nhưng không thay đổi theo chiều dài, đặc biệt là phân tích kết
cấu thanh thành mỏng bằng SAFEM (semi – analytical finite element method) tỏ
ra hiệu quả. Luận văn chỉ bàn luận đến bài toán tónh, vật liệu được xem là tuyến
tính và trực hướng.
Phương pháp SAFE xem rằng mặt cắt ngang của dầm được lắp ghép từ
những phần tử bán phân tích. SAFEM dựa vào những xấp xỉ của trường ứng suất
và chuyển vị 3D độc lập. Phương pháp phản ánh phần tử dầm có nhiều cấp độ
khác nhau.
Sự thiết lập các phương trình toán học của lý thuyết tuyến tính dầm bao
gồm những phương trình tương thích, phương trình cân bằng, phương trình mối
quan hệ vật lý..., điều kiện biên tónh cũng như động học. Điều kiện tương thích
được tìm trực tiếp từ việc dùng xấp xỉ phần tử hữu hạn, trong khi phương trình
cân bằng, phương trình mối quan hệ, điều kiện biên tìm được từ việc áp dụng
hàm Hellinger – Reissner cải tiến. Những phương trình của dầm được thiết lập
chỉ chứa các biến ứng suất, chuyển vị và biến dạng suy rộng. Các biến suy rộng
được định nghóa là gắn ở các nút SAFE. Thiết lập các phương trình chủ đạo chứa
các toán tử vi phân – số học, các biểu thức tìm được còn phụ thuộc vào loại
phần tử isoparametric, subparametric hay superparametric
Tính linh hoạt của SAFE được chứng minh bằng những ứng dụng thực tiển
của Giáo sư R.Kacianauskas vaø M.Sammofalov – Department of Strength of
Materials, Vilnius Gediminas Technical University, Vilnius, Lithuania. Lý
thuyết Euler – Bernoulli và Timoshenko cổ điển được suy ra từ việc dùng phần
tử 1D đơn. Kết cấu thành mỏng thì mặt cắt ngang được mô tả bằng sự lắp ghép
các phần tử SAFE. Ma trận độ cứng tuyến tính cho phần tử SE cũng được bàn

luận ở đây.

v


Abstract
This master thesis treats the analysis of thin – walled by SAFEM. FEM has
been recognised for a long time as one the most effective computational technology
for analysing general structures under arbitrary loading and boundary conditions.
But in special cases, structures have simple boundary condition, complex cross –
section but to be constant on longitudinal. Special, analysis of thin – walled by
SAFEM is effect. In thesis, only discussion concerns one – dimensional SAFE,
static analysis, material is assumed to be isotropic and linear –elastic.
The semi – analytical finite element method (SAFEM) proposed assumes the
cross – section of asolid beam to be an assemblage of semi – analytical elements.
The SAFEM is based on independent opproximations of three – dimenssional fieds
of displacements and stresses. The method reflects the multi - level of beam.
A mathematical formulation of the linear theory of a beam involves the
equations of compatibility, equilibrium and constitutive relationships, i.e. the elastic
law as well as static and kinematic boundary conditions. Compatibility conditions
are derived directly by using finite element approximations, while equilibrium
equations, constitutive equilibrium and boundary conditions may be derived by
applying stationarity of a modified Hellinger – Reissner funtional. The equations of
the beam are formulated in terms of generalised variables of stresses and strains as
well as of nodal displacements. The definition of generalised variables is assigned
to the nodes of SAFE. The set of governing equations includes mixed algebraic –
differential operators. Their explicit expressions depend on one of the element
types – isoparametric, subparametric or superparametric.
The versatility of SAFE is demonstrated in practical applications by
Prof.PhD.R.Kacianauskas and PhD.M.Sammofalov – Department of Strength of

Materials, Vilnius Gediminas Technical University, Vilnius, Lithuania. The
classical Euler – Bernoulli and Timoshenko theories are derived using a single onedimensional element. The beams with a thin – walled cross – section are described
as an assemblage of semi – analytical elements. The derivation of the stiffness
matrices for subelement is focussed.

vi


Chương 1 : Tổng quan

CHƯƠNG 1:

TỔNG QUAN
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG
Dầm là loại kết cấu nói chung ứng dụng nhiều trong kỹ thuật. Chúng có
thể được xác định như một kết cấu nhiều chiều, chiều dài lớn hơn nhiều so
với hai chiều còn lại. Tất cả lý thuyết dầm tồn tại đều chứng minh cho sự
phân chia những biến tónh và động 3-D vào hai thành phần theo mặt cắt
ngang và theo chiều dọc. Chúng dựa vào sự thiết lập các hàm xấp xỉ ứng suất
và chuyển vị mặt cắt ngang. Theo lý thuyết dầm, vật thể 3-D có thể mô
phỏng thành đường một chiều trong khi đó những biến 3-D dùng trong cơ học
vật rắn sẽ được thay đổi thành những biến suy rộng gắn vào đường tâm theo
chiều dọc kết cấu. Ảnh hưởng của các thành phần ứng suất và biến dạng
cũng được xem xét.
Truyền thống, lý thuyết kỹ thuật hay cổ điển đã ứng dụng cho việc mô tả
biến dạng uốn và biến dạng dọc trục. Lý thuyết Euler – Bernoulli thừa nhận
rằng mặt phẳng vuông góc với trục dầm trước biến dạng vẫn vuông góc với
trục dầm sau khi biến dạng. Trường hợp đơn giản nhất biến dạng gây ra do
lực cắt có thể bỏ qua. Lý thuyết dầm bao gồm ảnh hưởng của biến dạng cắt
trong dầm chịu uốn thường được xem như lý thuyết dầm Timosheko. Phần tử

hữu hạn 3-D của dầm phát triển dựa vào việc dùng lý thuyết kỹ thuật cũng có
kể đến vấn đề xoắn. Nói chung, vấn đề xoắn của dầm thì phức tạp hơn nhiều
so với uốn, và nó còn phụ thuộc vào dạng mặt cắt ngang. Xoắn thuần túy của
dầm hình trụ độ xoắn là hằng số trên toàn bộ dầm, độ vênh tất cả các tiết
diện thì nằm trong mặt phẳng của nó và giống nhau. Xoắn St.Venant boû qua

-1-


Chương 1 : Tổng quan

ảnh hưởng của việc liên kết với các biến dạng khác, thì chỉ thích hợp đối với
mặt cắt đặc hay dầm thành mỏng kín.
Những lý thuyết kỹ thuật mô tả chính xác cách giải quyết bài toán 3-D chỉ
cho trường hợp tải trọng đơn giản. Một vài ví dụ có thể tìm thấy trong sách
của Timoshenko [1]. Một phân tích dể hiểu của những mode biến dạng của
dầm được thực hiện bởi Argyris. Ở đây những dầm được kiểm tra bằng số
dùng FE hai hay ba chiều. Những phương trình của dầm dựa vào lý thuyết
đàn hồi [13] được nói rõ bằng tiếng Anh ở các tài liệu đang lưu hành. Thiết
lập các phương trình dựa vào điều kiện thỏa mãn của hàm 3-D, những xem
xét ban đầu cũng như biểu thức của những hàm và việc dùng toán học thì
khác biệt không đáng kể.
Lý thuyết dầm bậc cao cung cấp những hàm xấp xỉ chuyển vị và ứng suất
bậc cao. Trong những năm gần đây, những lý thuyết phát triển dựa vào
chuyển vị nhận được sự quan tâm lớn hơn những lý thuyết phát triển dựa vào
ứng suất. Đây là lý do để lý thuyết phát triển dựa vào chuyển vị được phát
triển trong các mode tính toán. Những phần quan trọng nhất trong lý thuyết
dầm bậc cao là dầm thành mỏng, dầm nhiều lớp.
Lý thuyết dầm thành mỏng đơn và nhiều ngăn cũng như dầm hở đưa ra và
phát triển bởi Vlasov [1] và Argyris[23] bao gồm không chỉ biến dạng dọc và

uốn mà còn kể đến biến dạng cắt và vênh của mặt cắt ngang. Vênh gây ra do
biến dạng dọc trục kết hợp với xoắn không cùng mặt phẳng. Phương pháp rõ
ràng nhất mô tả vênh bởi việc đưa vào một mode biến dạng kết hợp với
bimomen. Để rõ hơn về dầm thành mỏng có thể xem trong [2][13]. Phương

-2-


Chương 1 : Tổng quan

pháp khác mô tả biến dạng trong mặt phẳng của mặt cắt ngang [13] hay dùng
giới hạn bậc cao.
Gần đây, nghiên cứu về dầm thành mỏng đã phát triển nhiều và có những
ví dụ rõ rệt với giải pháp thực tiển và những ứng dụng của nó [13-17],[22].
Phương pháp phần tử hữu hạn được xem như là một kỹ thuật phân tích hữu
hiệu nhất cho ứng xử tuyến tính và phi tuyến hình học của kết cấu thành
mỏng. Một phần tử dầm một chiều với 7 bậc tự do trong đó 3 chuyển vị dịch
chuyển, 3 chuyển vị xoay, 1 chuyển vị vênh trên một nút phù hợp với lý
thuyết dầm thành mỏng. Sự thảo luận về nguồn gốc của ma trận độ cứng
tuyến tính và ma trận độ cứng hình học cần thiết cho phân tích tónh và động
[17]. Thiết lập những ý tưởng trên có thể được dùng việc dự đoán mất ổn định
tổng thể của dầm thành mỏng nhưng điều đó không đủ, nếu xoắn của mặt cắt
ngang và mất ổn định cục bộ là quan trọng. Để dự đoán việc mất ổn định cục
bộ của một kết cấu thành mỏng hình dạng tùy ý. Một dạng khung-dầm bán
phân tích cho việc phân tích một chiều của dầm thành mỏng kín mô tả trong
[14]. Mặt dù nhiều cố gắng đưa ra của một dạng dầm thành mỏng một chiều
thông dụng vẫn còn đang mở.
Sự phân bố của những biến trên mặt cắt ngang dầm luôn có một đặc tính
bán phân tích (semi-analytical), vì thế, việc giới thiệu SAFE là tổng quát hóa
hợp lý của kỹ thuật rời rạc nổi tiếng. Cụm từ “Phần tử hữu hạn bán phân tích

-SAFE” đã được dùng bởi Zienkiewics [12] và áp dụng đến mô hình hóa
thanh trụ 3-D.

-3-


Chương 1 : Tổng quan

Kết cấu thanh thành mỏng là một trong các kết cấu có trọng lượng nhẹ,
sức chịu lực lớn nên góp phần đáng kể vào công cuộc phát triển xây dựng.
Đặc trưng của thanh thành mỏng là chiều dày rất bé so với đường chu tuyến
của mặt cắt ngang và đường chu tuyến thì rất bé so với chiều dài thanh. Ngày
nay, kết cấu loại này được sử dụng rất nhiều và rộng rãi không những trong
xây dựng dân dụng và công nghiệp mà còn trong nhiều lónh vực khác như
ngành hàng không (chế tạo vỏ máy bay), hàng hải (vỏ tàu thủy), cơ khí (
khung thân ô tô)…. Như ta đã biết, lý thuyết thanh thành mỏng đã có từ lâu.
Timoshenko[1] là người đầu tiên đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thàmh
mỏng và sau đó Vlasov[2] hoàn chỉnh và phát triển cả về lý thuyết độ bền,
ổn định và dao động, song song đó cũng còn nhiều tác giả nghiên cứu về dầm
thành mỏng như Benscoter, Argyris. Tuy nhiên, do tính phức tạp, đến hiện
nay các lý thuyết tính toán cho thành mỏng vẫn tiếp tục nghiên cứu và không
ngừng phát triển.
Việc khảo sát đặc trưng cơ học của kết cấu, sự khác biệt của kết cấu thành
mỏng với các kết cấu khác đã được tìm hiểu và phát triển trong một vài thập
niên qua.Việc thiết kế và phân tích kết cấu, kết quả còn phụ thuộc vào
phương pháp phân tích và công cụ tính toán. Phương pháp phần tử hữu hạn
(FEM) [4],[12] đã được nhận biết trong một khoảng thời gian dài nó là một
công cụ hiệu quả cho việc tính toán và phân tích kết cấu dưới tải trọng và
điều kiện biên bất kỳ. Điểm nổi bậc trong FEM [4][12][27] không chỉ những
có sự hổ trợ mạnh mẽ của các phần mềm máy tính mà còn phát triển cấu trúc

và nội dung các chương trình sao cho gọn nhẹ. Tuy nhiên, đối với những kết
cấu có đặc tính hình học thông thường, điều kiện biên đơn giản, nếu phân tích

-4-


Chương 1 : Tổng quan

bằng FEM một cách đầy đủ là không cần thiết và thường dẫn đến việc phân
tích một bài toán bậc cao để thu nghiệm tốt. Chính vì vậy bài toán chính xác
đòi hỏi nhiều công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, bài toán được giải
quyết một cách cứng nhắc hoặc phải thực hiện nhiều bước tính không gian
dài dòng và tốn nhiều thời gian. Điều này thể hiện rõ trong bài toán phân tích
kết cấu ở trạng thái tónh của vật rắn 3D, hay những bài toán phân tích dao
động và ổn định của kết cấu không gian. Do đó ta cần lựa chọn một phương
pháp tính có thể giảm bớt khối lượng tính toán, bằng cách sử dụng linh hoạt
FEM để phân tích các kết cấu như mong muốn. Một phương pháp mới cho
việc phân tích dầm thành mỏng được đề xuất ở đây là phần tử hữu hạn bán
phân tích (Semi-analytical finite element -SAFE). Phương pháp phần tử hữu
hạn bán phân tích cho rằng mặt cắt ngang của dầm thành mỏng là sự lắp
ghép các các phần tử bán phân tích. Phương pháp SAFE[5] dựa vào sự thiết
lập các hàm ứng suất và biến dạng xấp xỉ đối với mặt cắt ngang. Sự khác biệt
chính của phương pháp này so với các lý thuyết khác là sự thực thi của SAFE
đến việc xây dựng ma trận xấp xỉ và những biến suy rộng.
Việc phân tích, tìm hiểu SAFE và ứng dụng SAFEM cho dầm thành mỏng
là tương đối mới mẽ đối với Việt Nam. Vì thế, luận văn nhằm khai thác đề tài
này mục đích giới thiệu SAFEM và để chúng ta có cái nhìn rộng hơn về kết
cấu thành mỏng và SAFE. Nhưng do thời gian có hạn đồng thời lónh vực
nghiên cứu rất lớn. Do vậy, tôi chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu lý thuyết và
khảo sát kết cấu dầm thành mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán

phân tích (SAFEM) cho phần tử 1D.

-5-


Chương 1 : Tổng quan

1.2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ GIỚI HẠN
Do những hạn chế nhất định về mặt thời gian, tài liệu cũng như năng lực.
Do vậy, trong giới hạn luạân văn chỉ nhằm nghiên cứu lý thuyết SAFEM cho
phần tử bán phân tích 1 chiều, sau đó áp dụng lý thuyết cho dầm thành mỏng
nhưng chỉ dừng lại ở phân tích bài toán tónh và tuyến tính. Cụ thể gồm những
nội dung sau:
- Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu về dầm thành mỏng trên thế giới

cũng như ở Việt Nam.
- Nghiên cứu lý thuyết phần tử hữu hạn bán phân tích (Semi – analytical

finite element method – SAFEM), thiết lập các phương trình cơ bản, tổng
quát hoá SAFE, ví dụ minh họa SAFE.
- Áp dụng lý thuyết SAFE cho dầm thành mỏng, sau đó ứng dụng SAFE

thiết lập ma trận độ cứng tuyến tính cho SE của dầm thành mỏng
(subelement).
-

Sử dụng ngôn ngữ lập trình kó thuật Matlab để so sánh SAFEM với lý
thuyết cổ điển và lý thuyết shell (bằng phần mềm Ansys, Sap2000).

- Từ đó đưa ra kết luận và kiến nghị.

-6-


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

CHƯƠNG 2:
TÓM LƯC CÁC KẾT QUẢ ĐÃ NGHIÊN CỨU VỀ DẦM THÀNH
MỎNG TRÊN THẾ GIỚI CŨNG NHƯ Ở VIỆT NAM
2.1 TRÊN THẾ GIỚI
Kết cấu thanh thành mỏng được nghiên cứu rất nhiều ở nước ngoài, ví
dụ như một số các nước phát triển rất mạnh như Nga, Mỹ, Anh, Trung Quốc…
Timoshenko (1921)[1] là người đưa ra lý thuyết tính toán về thanh thành
mỏng và sau đó V.Z. Vlasov [2] (1940s,1961) hoàn chỉnh và phát triển cả về
lý thuyết, độ bền, ổn định và dao động đàn hồi. Lý thuyết cho rằng mặt cắt
ngang của dầm như một khung phẳng, biến dạng cắt ở mặt chu tuyến được bỏ
qua. Lý thuyết mô tả ảnh hưởng những kết hợp của sự giãn dài, uốn xoắn,
vênh của dầm thành mỏng. Chuyển vị vênh dọc trục là tích số của của tọa độ
sector và tốc độ xoắn θx,x.
ux = ω(y,z)θx,x

(2.1)

Trong phương trình trên tọa độ sector nhận được bởi đã bỏ qua biến
dạng cắt trên mặt cắt ngang theo bề dày của tiết diện. Điều này có thể chấp
nhận đối với dầm thành mỏng hở, nhưng đối với dầm thành mỏng kín thì
không thể bỏ qua biến dạng cắt trên mặt cắt ngang. Để khắc phục vấn đề
này, Benscoter đã sử dụng một biến dạng cắt giả tạo. Một hàm vênh với ψ
thay thế cho θx,x vì thế biến dạng vênh dọc trục nhận được như sau.
ux = ω(s,ζ) ψ(x)

-7-

(2.2)


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

Trong trường hợp này tọa độ sector ω cũng giống như trong (2.1) nhưng
biến dạng cắt trên mặt cắt ngang không bỏ qua và biến dạng cắt giả tạo được
xem xét. De Ville De Goyet đã lấy ví dụ để so sánh, ông sử dụng phần tử
shell để kiểm tra với kết quả nhận được từ việc phân tích dựa trên lý thuyết
của Benscoter, kết quả nhận được là khá chính xác.
Một trong những lời giải số sớm nhất của bài toán xoắn thanh thành
mỏng tiết diện hở thay đổi được trình bày bởi Cywinski (1968). Cywinski chỉ
khảo sát các tiết diện đối xứng một phương và hai phương để loại bỏ một vài
hệ số. Lời giải tương tự được giới thiệu bởi Kitipornchai và Trahair
(1972,1975), Iremonger (1980). Tất cả các lời giải của các phương trình vi
phân được giải bởi các tác giả trên đều dùng kỹ thuật tích phân hữu hạn hay
sai phân hữu hạn.
Một trong những lời giải đầu tiên của dầm thành mỏng tiết diện không
đổi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn được thực hiện bởi Barsoum và
Gallagher(1970), Bazant, ElNimeiri(1973). Theo lý thuyết thành mỏng cổ
điển, lời giải số của họ chỉ giới hạn trong phạm vi chữ I để lược bớt một số
các đặc trưng tiết diện trong phương trình. Họ tìm ra được ma trận độ cứng và
ma trận hình học cho phần tử hữu hạn thanh thành mỏng dựa trên 4 hàm
chuyển vị giả thiết là các hàm đa thức với 14 tham số, tương ứng với 14 bậc
tự do của mỗi phần tử .
Một phương pháp mới được đưa ra bởi Wilde năm 1968. Ông ta đề nghị
xem thanh thành mỏng như một trường hợp đặc biệt của tấm màng với các

ràng buộc nội tại. Các ràng buộc này rút ra từ các giả thiết của Vlasov và

-8-


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

Wagner được áp dụng bởi Wilde trong lý thuyết vỏ. Quan điểm của Wilde
sau đó được Wekezer áp dụng (1984-1987). Ông dùng phương pháp này để
phát triển phần tử hữu hạn tổng quát thanh thành mỏng để phân tích xoắn,
biến dạng lớn, ổn định và dao động tự do của thanh thành mỏng, tiết diện hở
và thay đổi. Về mặt hình học phần tử này được mô tả bởi các điểm cho trước
và bố trí tùy ý trên mặt trung bình của phần tử để lấy tích phân với miền tích
phân là các phần tử phụ (subelement) tam giác phẳng. Phần tử hữu hạn thanh
thành mỏng luôn luôn có 15 bậc tự do bất kể phần tử phức tạp thế nào.
Một quan điểm mới khác được trình bày bởi Kanok – Nukulchai và
Sivakumar (1988) họ dùng phần tử khối 8 nút và phần tử tấm 4 nút với các
ràng buộc bên trong thêm vào để phân tích thanh thành mỏng. Bên cạnh các
nút phụ thông thường, họ thêm vào hai nút sector cho mỗi lớp phần tử hữu
hạn. Các nút sector cần thiết để quản lý biến dạng vênh của tất cả các nút
phụ trợ nằm trên cùng một tiết diện. Mặt dù phương pháp này cho thấy độ hội
tụ tốt đến chính xác, nó dẫn đến số lượng bậc tự do lớn đồng thời hệ phương
trình đại số có bề rộng băng lớn. Tuy nhiên, phương pháp này rõ ràng có tính
linh hoạt cao vì nó có thể dùng để phân tích thanh thành mỏng có tiết diện hở
và kín.
Ngoài ra còn phải kể đến phương pháp dải hữu hạn (FSM) cho dầm
thành mỏng của Y.K.Cheung (1968) và các tác giả phát triển sau đó. FSM kết
hợp được sự chính xác của phương pháp giải tích ( biến thể của phương pháp
Kantorovich – Vlasov) và tính tổng quát của kỹ thuật phương pháp số, đặc
biệt của FEM.

-9-


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

Dựa trên ý tưởng của O.C.Zienkewics [12]. J. Argyris và Kacianauskas
xây dựng lý thuyết SAFE [5][9](1994,1996). Một kỹ thuật rời rạc rõ ràng, đã
biết như SAFEM được ứng dụng cho dầm thành mỏng. Phương pháp SAFE
dựa vào những xấp xỉ phần tử hữu hạn của hai trường biến ứng suất và
chuyển vị ba chiều độc lập nhau và mở rộng cho toàn bộ mặt cắt ngang cũng
như theo chiều dọc phần tử FE. Sự khác biệt chính của SAFEM so với các lý
thuyết khác là sự thực thi của SAFE đến việc xây dựng ma trận xấp xỉ và
những biến suy rộng. Trong luận văn ta sẽ nghiên cứu phương pháp này. Sau
đây là một số công trình nghiên cứu cũng như các bài báo bàn về dầm thành
mỏng.
1.1 S.P.Timoshenko,’Theory of Bending, Torsion and Buckling of Thin – Walled
Members of Open Section’ Journal of Branklin Institute, Vol 239, 1945, pp
215 – 219, 249 – 254.
1.2 V.Z. Vlasov. Thin-Walled Elastic Beams. - Jerusalem: Izrael Program of
Scientific Translation, 1961. – 582 p.
1.3 P.O. Friberg. Beam Element Matrices Derived From Vlasov’s Theory of Open
Thin-Walled Elastic Beams // Int. Jour. for Num. Meth. in Eng., vol. 21. –
Chichester: John Wiley & Sons, 1985. - P. 1205-1228.
1.4 W. Wunderlich, H. Obrecht and V. Schrodter. Nonlinear Analysis and ElasticPlastic Load - Carrying Behaviour of Thin-Walled Spatial Beam Structures
With Warping Constraints // Int. Jour. Num. Meth. Eng., vol. 22. – Chichester:
John Wiley & Sons, 1986. - P. 671-695.

- 10 -

Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

1.5 H. Chen and G.E. Blandford. A C0 Finite Element Formulation for ThinWalled Beams // Int. Jour. Num. Meth. Eng., vol. 28. - Chichester: John Wiley
& Sons, 1989. - P. 2239-2255.
1.6 G.S. Palani and S. Rajasekaran. Finite Element Analysis of Thin-Walled
Curved Beams Made of Composites // Jour. Struct. Eng., vol. 118, No. 8. –
ASCE: 1992. – P. 2039-2061.
1.7 A. Conci. Stiffness Matrix for Nonlinear Analysis of Thin-Walled Frames //
Jour. of Eng.Mechanics, vol. 118, No. 9. - ASCE: 1992. - P. 1859-1875.
1.8 M. Pasquino and F. Marotti de Sciarra. Buckling of Thin-Walled Beams with
Open and Generically Variable Section // Jour. “Computers & Structures”, vol.
44, No. 4. - Great Britain:Pergamon Press, 1992. – P. 843-849.
1.9 A.S. Gendy and A.F. Saleeb. On the Finite Element Analysis of the Spatial
Response of Curved

Beams with Arbitrary Thin-Walled Section // Jour.

“Computers & Structures”, vol. 44, No. 3. - Great Britain: Elsevier Science,
1992. – P. 639-652.
1.10 K.A. Zalka. Flexural-Torsional Buckling of Thin-Walled Columns of
Arbitrary Cross- Section // Conf. “Stability of Steel Structures”, Hungary, vol.
1. - Budapest: Akademiai Kiado,1995. - P. 127-134.
1.11 J.H. Sällström. Accurate Calculation of Elastic Buckling Loads for Space
Frames Built Up of Uniform Beams with Open Thin-Walled Cross Section //
Int. Jour. for Num. Meth. in Eng., vol. 39. - Chichester: John Wiley & Sons,
1996. - P. 2319-2333.
1.12 M.-Y. Kim, S.-P. Chang and S.-B. Kim. Spatial Stability Analysis of ThinWalled Space Frames // Int. Jour. Num. Meth. Eng., vol. 39. - Toronto: John
Wiley & Sons, 1996. - P. 499-525.

- 11 -


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

1.13 A. Biegus. Experimental and Numerical Analysis of Thin-Walled Bars in
Compression and Bending // Jour. “Civil Eng.”, vol. VI, No. 4. – Vilnius:
Technika, 2000. – P. 247-254.
1.14 El-Hammasi. Numerical Method for Analysing Open Thin-Walled Structures
under Interaction of Bending and Torsion // Jour. “Computers & Structures”,
vol. 37, No. 6. – Great Britain: Pergamon Press, 1990. – P. 947-956.
1.15 P.W. Khong. Lower Bound Approach to the Post-Buckling Solutions of ThinWalled Structures // Jour. “Computers & Structures”, vol. 43, No. 3. - Great
Britain: Pergamon, 1993.– P. 605-609.
1.16 A. Prokic. Thin-Walled Beams with Open and Closed Cross-Sections // Jour.
“Computers & Structures”, vol. 47, No. 6. - Great Britain: Pergamon, 1993. –
P. 1065-1070.
1.17 Cywinski, Z. Technical theory of thin walled bars of variable, open, composite
cross sections, 134p, 1968.
1.18 J. Argyris and R. Kacianauskas. Semi-Analytical Finite Elements in ThreeDimensional Theory of Beams // ICA-report No. 47. - Stuttgart: University of
Stuttgart, 1994. - 18 p.
1.19 M. Ohga, T. Hara and K. Kawaguchi. Buckling Mode Shapes of Thin-Walled
Members // Jour. “Comp. & Struct.”, vol. 54, No. 4. - Great Britain: Elsevier
Science, 1995. – P. 767-773.
1.20 R. Kacianauskas. Semi-Analytical Based Finite Elements and Their
Application to Thin-Walled Beams // Jour. “Civil Eng.", vol. II, No. 2. Vilnius: Technika, 1995. - P. 3-19.

- 12 -


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

1.21 A.D. Lanzo and G. Garcea. Koiter’s Analysis of Thin-Walled Structures by a
Finite Element Approach // Int. Jour. for Num. Meth. in Eng., vol. 39. Chichester: John Wiley & Sons, 1996.- P. 3007-3031.
1.22 Argyris and R. Kacianauskas. Semi-Analytical Finite Elements in the HigherOrder Theory of Beams // Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng., vol. 138, 1996. –
P. 19-72.
1.23 J.H. Kim and Y.Y. Kim. One-Dimensional Analysis of Thin-Walled Closed
Beams Having General Cross-Section // Int. Jour. for Num. Meth. in Eng., vol.
49. – England: John Wiley & Sons, 2000. - P. 653-668.
1.24 D. Mazor and O. Rand. The Influence of the In-Plane Warping on the
Behavior of Thin-Walled Beams // Jour. “Thin-Walled Structures”, vol. 37. –
Great Britain: Elsevier Science Publishers, 2000. – P. 363-390.
1.25 B.P. Gotluru, B.W. Schafer and T. Peköz. Torsion in Thin-Walled ColdFormed Steel Beams // Jour. “Thin-Walled Structures”, vol. 37. – Great
Britain: Elsevier Science Publishers,2000. – P. 127-145.
1.26 R. Kacianauskas and M. Samofalov. Semi-Analytical Finite Elements for the
Stability Analysis of Thin-Walled Beams // 2nd European Conf. on Comp.
Mech. ECCM-2001, Cracow, Poland, June, 2001. – Cracow: Cracow Univ. of
Techn., CD-ROM, 2001. – 20 p.
1.27 M. Samofalov and R. Kacianauskas. Application of Semi-Analytical Finite
Elements for Thin-Walled Beams with Distortion // 14th Nordic Sem. on
Comp. Mech. NSCM-14, Lund, Sweden,
1.28 O. Rand. Nonlinear In-Plane Warping Deformation in Elastically Coupled
Open Thin-Walled Beams // Jour. “Computers & Structures”, vol. 79, 2001. –
P. 281-291.

- 13 -


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

1.29 Tarun Kant and Deepak Datye. Finite Element Available for the Analysis of

Curved Thin – Walled Structures, Indian Institute of Technology, Powai,
Bombay 400 076, Indian
1.30 Jerzy, W.Wekezer. A Thin – Walled bar element as a special case of a shell
with internal constraints. School of Engineering, University of Alaska, USA
1.31 Ojalvo, M.: Thin-walled bars with open profiles, The Olive Press, 1024
Fairway Ln., Estes Park, Colorado 80517, 1991.
1.32 Murray, N. W.: Introduction to the theory of thin-walled structures,
Clarendon Press, Oxford, 1985.
1.33 Turkalj, G., Brniæ, J.: .Thin-walled beam element for analysis of large
displacement

problems., Bulletins for Applied & Computer Mathematics,

LXXXIX(1999), pp. 15-24.
1.34 Back, S. Y., Kenneth, M. W.: .A shear-flexible element with warping for thinwalled open beams., International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 43(1998), 1173-1191.
1.35 Meek, J. L., Lin, W. J.: .Geometric and material nonlinear analysis of thinwalled beam-columns.,Journal of Structural Engineering, 116(1990)6, pp.
1473-1490
1.36 Conci, A., Gattas, M.: .Natural approach for thin-walled beam-columns
with

elastic-plasticity., International Journal for Numerical Methods in

Engineering, 30(1990), pp. 207-231.
1.37 Karamanlidis, D., Gesch-Karamanlidis, H.: .Geometrically and materially
nonlinear finite element analysis of thin-walled frames: numerical studies.,
Thin-Walled Structures, 4(1986), pp. 247-267.

- 14 -

Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

1.38 Turkalj, G., Brniæ, J.: .Geometric non-linear analysis of thin-walled beams.,
The 4th International Scientific Colloquium ýCAx Techniquesý, Proceedings,
Bielefeld, Germany, 1999.
1.39 Iremonger, M, J. Finite difference buckling analysis of no – uniform

column, Jour. “Computers & Structures”, 12(5), 1980, 741 – 8.
1.40 Bazant, Z.P and EL Nimeiri, M. “ Large Deflection spatial buckling of thin
walled beam and frame”, Journal of the engineering Mechanics Divisio,
ASCE, 99(EM6), 1973.
1.41 Barsoum, R.S. and Gallagher, R. H. Finite element analysis of torsional and
tortional – flexural stability problems, International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 2, 1970, 335-52.
1.42 Kitipornchai. S and Trahair N.S, Elastic stability of tapered I-beam, Journal of
the Structural Division, ASCE, 98(ST3), 1972.
1.43 Kitipornchai. S and Trahair N.S, Elastic behavior of tapered monosymmetric
I-beam, Journal of the Structural Division, ASCE, 8, 1975.
1.44 Wilde, P. The torsional of thin – walled bars with variable cross sections,
Archiwum Mechaniki Stosowanej, 20, 1968.
1.45 Cheung.Y.K.

Finite

strip

method

in

structural

analysis,

Pergamon

International Library, 1976.
1.46 Kanok – Nukulchai, W. and Sivakumar , M., Degenerate elements for

combined flexural and torsional analysis of thin – walled structural,
Journal of the Structural Engineering,114p,1988.
1.47 …

- 15 -


Chương 2: Tóm lược các kết quả đã nghiên cứu trên thế giới cũng như ở Việt Nam

2.2 Ở VIỆT NAM

Việc nghiên cứu trong nước về thanh thành mỏng trong những năm gần
đây cũng tương đối nhiều cụ thể là một số luận văn thạc só, tiến só đã được
duyệt tại trường Đại học Xây Dựng Hà Nội, và trường Đại Học Bách Khoa
Thành Phố Hồ Chí Minh.
2.1 Nguyễn Chân Vượng, luận văn thạc só (1995). Tính toán thanh thành
mỏng có tiết diện ghép. Thư viện Đại Học Xây Dựng Hà Nội.
2.2 Bùi Quốc Trung, luận văn thạc só (1997). Tự động hoá tính toán thanh
thành mỏng có mặt cắt hở. Thư viện Đại Học Xây Dựng Hà Nội.
2.3 Trần Ngọc Anh, luận văn thạc só (1997). Ứng suất thanh thành mỏng

chịu lực tập trung. Thư viện Đại Học Xây Dựng Hà Nội.
2.4 Đỗ Quang Trung, luận văn thạc só (2000). Ổn định thanh thành mỏng.
Thư viện Đại Học Xây Dựng Hà Nội.
2.5 Nguyễn Hữu Thành, luận văn thạc só (2003). Khảo sát dầm thành mỏng
tiết diện hở. Thư viện Đại Học Bách Khoa TpHCM.
2.6 Đỗ Văn Bình. Luận án tiến sĩ kỹ thuật (2004). Phân tích ổn định của kết
cấu thành mỏng bằng phương pháp dải hữu hạn. Thư viện Đại Học Xây
Dựng Hà Nội…

- 16 -


Chương 3: Nội dung lý thuyết SAFEM

CHƯƠNG 3:
NỘI DUNG LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮA HẠN BÁN
PHÂN TÍCH (SAFEM)[5],[12]
3.1 ĐỊNH NGHĨA:
Cho dầm như một vật thể rắn 3 chiều. Có hệ trục tọa độ Cartesian Oxyz
được chọn cho dầm, trong đó trục Ox trùng với trục dầm, hệ tọa độ phẳng Oyz
nằm trong mặt cắt ngang dầm A(x). Hình dáng của dầm tạo bởi việc tịnh tiến
mặt cắt A(x) chạy dọc theo trọc Ox bởi một quy luật thích hợp. Thể tích của
dầm được giới hạn bởi hai biên A(0) và A(L), diện tích xung quanh SFL(Hình
3.1). Dầm cong cũng mô tả tương tự.
y
A(L)

g

A(x)

A(0)
g

S

x

ω

z

L

Hình 3.1: Dầm như vật thể đặc 3-D
Điều kiên biên tónh chỉ rõ tải trọng bề mặt g(x,y,z) đặt trên SF. Điều kiện
biên động liên quan đến chuyển vị cho trước uP(x,y,z) trên mặt SU. Trong đó
SU, SF là diện tích bề mặt của vật thể bị liên kết chặt và bề mặt chịu tải trọng
g(x,y,z). Ở đây và trong cả luận văn, ta xem chỉ số dưới F và U được dùng để
miêu tả điều kiện biên tónh và động. SF, SU có thể được xác định như những

- 17 -