Móng máy trên đất sét

Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT
NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

-------------------

-----------------------

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên:
Ngày, tháng, năm sinh:
Chuyên ngành:
I.
TÊN ĐỀ TÀI:

Nguyễn Văn Hiền
18/01/1978
Công trình trên đất yếu

Phái:
Nơi sinh:
Mã số:

Nam
Hải Hưng
31.10.02

MÓNG MÁY TRÊN NỀN ĐẤT SÉT

II.
1.

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
NHIỆM VỤ:
Nghiên cứu dao động của móng trên nền đất, viết chương trình xác định các thông
số động của đất nền và dao động của hệ từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các
thông số đất nền đến dao động của hệ và đề xuất giải pháp xử lý nền đất yếu
ĐBSCL cho bài toán động.
2.
NỘI DUNG:
PHẦN I: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
Chương 1: đặt vấn đề và tổng quan về đề tài nghiên cứu
Chương 2: nghiên cứu hệ dao động một bậc tự do
Chương 3: nghiên cứu tổng quan về ứng xử động của đất
PHẦN II: NGHIÊN CỨU CHUYÊN SÂU VÀ PHÁT TRIỂN
Chương 4: Nghiên cứu mô hình và các phương pháp tính toán hệ dao động trên
nền đất theo mô hình bán không gian đàn hồi.
Chương 5: nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số của đất nền đến các thông
số động của hệ.
Chương 6: nghiên cứu lập trình tính toán các thông số động của đất và dao
động của hệ.
Chương 7: ứng dụng chương trình để nghiên cứu dao động của một hệ móng
máy trên nền đất yếu ĐBSCL từ đó thay đổi các tính chất của đất nền để khống
chế dao động của hệ.
PHẦN III: KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
Chương 8: các nhận xét kết luận & kiến nghị
III.
NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:
20/01/2003

IV.
NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:
24/11/2003
V.
HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
TS. CHÂU NGỌC ẨN
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
CHỦ NHIỆM NGÀNH
BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

TS. CHÂU NGỌC ẨN
GSTSKH. LÊ BÁ LƯƠNG
Nội dung và đề cương luận văn đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
Ngày .....tháng .....năm......
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH
KHOA QUẢN LÝ NGAØNH


LỜI CẢM ƠN

Qua quá trình học tập hơn 2 năm của chương trình cao học tại trường Đại học
Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh, với biết bao công lao dìu dắt của các thầy cô của
trường cùng ý chí lỗ lực của bản thân, sự động viên giúp đỡ của toàn thể gia
đình, đồng nghiệp, hôm nay trong sự hân hoan vui mừng khôn xiết cùng niềm tự
hào to lớn khi hoàn thành luận án tốt nghiệp thạc só của mình, tôi xin chân thành
gởi lời cảm ơn sâu sắc và trân trọng nhất đến:
-

Toàn thể các cán bộ công nhân viên, các thầy cô giáo trường Đại Học
Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh vì đã vượt qua mọi khó khăn thử thách để

xây dựng nên một trường đại học mà bất cứ ai đã từng được rèn luyện
trong môi trường này đều có thể tự hào về chuyên môn và đạo đạo đức
của mình.

-

Toàn thể các thầy cô trong khoa Quản lý sau đại học vì đã trực tiếp giúp
đỡ tạo mọi điều kiện để tất cả các học viên đều có những điều kiện thuận
lợi nhất cho suốt quá trình nghiên cứu học tập tại trường.

-

Giáo sư TSKH Lê Bá Lương, Chủ nhiệm ngành công trình trên đất yếu vì
Thầy đã tận tình giảng dạy, truyền đạt bao kiến thức, kinh nghiệm quý
báu trong suốt 2 năm.

-

Tiến só Châu Ngọc Ẩn vì thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn đề tài
này. Tác giả vô cùng cảm ơn vì Thầy đã động viên khuyến khích cũng
như tận tình hướng dẫn để tác giả có đủ tự tin, đủ kiến thức để có thể
nghiên cứu và hoàn thiện đề tài này.

-

TSKH Nguyễn Văn Thơ, Tiến só Cao Bá Triệu vì những góp ý quý báu để
tác giả có thể hoàn thiện phát triển hơn nữa đề tài.

-

Ban giám đốc Công ty Tư vấn Xây dựng Điện 3 cùng toàn thể CBCNV
công ty vì đã nhiệt tình động viên, giúp đỡ tạo mọi điều kiện để tác giả có
thể hoàn thành chương trình học và luận văn này.

Một lần nữa tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến toàn thể thầy cô, gia
đình, đồng nghiệp và bạn bè vì đã tạo mọi điều kiện để tôi có được những
thành quả này.
-----o0o-----


TÓM TẮT LUẬN VĂN

TÊN ĐỀ TÀI:

MÓNG MÁY TRÊN NỀN ĐẤT SÉT
TÓM TẮT NỘI DUNG:

Cùng với sự phát triển của các ngành công nghiệp thì việc ứng dụng máy móc
trong việc thay thế sức lao động của con người ngày càng diễn ra mạnh mẽ và
đây là một xu hướng tất yếu của quá trình công nghiệp hóa hiện đại hóa.
Ngay từ thời kì đầu của cuộc cách mạng công nghiệp thì vấn đề tính toán các
dạng móng chịu tải trọng động đã được các nhà khoa học lớn trên thế giới
nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm, ví dụ như: Quilan, Sung, Lamb, Lysmer
Hall, Richart, Whitman...Cho đến nay các nghiên cứu này vẫn còn được ứng
dụng và phát triển. Tuy nhiên cho đến nay thì tại Việt Nam có rất ít tài liệu đề
cập tới vấn đề này.
Vì vậy trong luận án này tác giả xin được đề cập đến các nội dung chủ yếu sau:
1. Nghiên cứu lý thuyết đã có và ứng dụng máy tính trong phân tích các bài
toán động.
2. Phân tích và tìm mô hình phù hợp với nền đất Việt Nam trên cơ sở các

nghiên cứu đã có.
3. Gia cố nền đất sét yếu Việt Nam bằng phương pháp cọc đất trộn cement
để chịu tải trọng động.
Với nội dung cơ bản như trên thì luận án rất có ý nghóa trong việc nghiên cứu
một nội dung mới trong tính toán nền móng tại Việt Nam hieän nay.
-----o0o-----


ABSTRACT THESIS

OBJECT OF RESEARCH:

MACHINE FOUNDATION DYNAMICS ON CLAY
ABSTRACT

Together with the improvement of the industries, the applying machinery to
replace human is happen very effectively day by day and it is an indispensable
tendency for the industrialization and modernization .
At the first period of the industrial revolution, problems of the foundation
dynamics analysis are interested in by many famous scientists research in both
theory and experiment, for example: Quilan, Sung, Lamb, Lysmer Hall, Richart,
Whitman.... Up to now these researches are still applying and developing.
However, up to now there is not much of documentation about it in Viet Nam.
So that some basic subjects of this thesis are:
1. Study theory and apply computer to analysis dynamics problems
2. Study and find a suitable model for soil of Viet Nam base on the previous
researches.
3. Reinforce soft clay of Viet Nam by using deep cement mixing method for
the dynamics loading
These basic contents of this thesis above are very helpful to introduce a new

problem in foundation analysis in Viet Nam
-----o0o-----


MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN
TÓM TẮT LUẬN ÁN
MỤC LỤC
PHẦN I: NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN
CHƯƠNG 1

TRANG

ĐẶT VẤN ĐỀ VÀ TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1

Đặt vấn đề và tổng quan về đề tài nghiên cứu..................................1

1.2

Khái quát nội dung của đề tài .............................................................2

1.3

Ý nghóa của đề tài nghiên cứu..............................................................2

CHƯƠNG 2
NGHIÊN CỨU HỆ DAO ĐỘNG MỘT BẬC TỰ DO
2.1

Khái niệm về một hệ dao động tự do..................................................3

2.2

Các khái niệm chung của một hệ dao động........................................4

2.3

Hệ dao động tự do một bậc tự do.........................................................5

2.4

Hệ dao động cưỡng bức một bậc tự do..............................................15

CHƯƠNG 3
NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN VỀ ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA ĐẤT
3.1

Khái quát về sóng ứng suất trong môi trường đàn hồi một thanh
thẳng hữu hạn – sóng ứng suất trong không gian 2 chiều..............27

3.2

Khái quát về sóng ứng suất trong không gia 3 chiều......................32

3.3

Sóng ứng suất nén và sóng ứng suất cắt trong đất bão hòa...........41

3.4

Tính nén của đất nền dưới tải trọng động.......................................43

3.5

Sức chịu tải trọng động của móng nông...........................................56

3.6

Các thí nghiệm hiện trường và trong phòng thí nghiệm xác định
các đặc trưng động của đất................................................................59

PHẦN II: NGHIÊN CỨU CHUYÊN SÂU VÀ PHÁT TRIỂN
CHƯƠNG 4
NGHIÊN CỨU MÔ HÌNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN HỆ DAO
ĐỘNG TRÊN NỀN ĐẤT THEO MÔ HÌNH BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI
4.1

Khái quát chung..................................................................................63


4.2

Các phương pháp tính toán móng máy.............................................66

CHƯƠNG 5
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC THÔNG SỐ CỦA ĐẤT ĐẾN CÁC
THÔNG SỐ ĐỘNG CỦA HỆ
5.1

Đối với mode dao động Vertical.........................................................96

5.2

Đối với mode dao động Sliding...........................................................98

5.3

Đối với mode dao động Rocking........................................................99

5.4

Đối với mode dao động Torsional....................................................101

CHƯƠNG 6
NGHIÊN CỨU LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN CÁC THÔNG SỐ ĐỘNG CỦA
ĐẤT VÀ DAO ĐỘNG CỦA HỆ
6.1

Mục đích ý nghóa................................................................................104

6.2

Ngôn ngữ sử dụng và thuật toán......................................................105

6.3

Ứng dụng chương trình để nghiên cứu tác động của các tính chất
của đất nền, tính chất của móng đến dao động của hệ.................124

CHƯƠNG 7
ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH ĐỂ NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG CỦA MỘT
HỆ MÓNG MÁY TRÊN NỀN ĐẤT YẾU ĐBSCL TỪ ĐÓ THAY ĐỔI CÁC
TÍNH CHẤT CỦA ĐẤT NỀN ĐỂ KHỐNG CHẾ DAO ĐỘNG CỦA HỆ
7.1

Các thông số đất nền, tải trọng tác động, kích thước móng và yêu
cầu để thiết bị hoạt động bình thường.............................................133

7.2

Các kết quả tính toán cho hệ...........................................................135

7.3

Gia cố nền bằng cọc đất trộn cement để giảm thiểu dao động của
hệ.........................................................................................................137

PHẦN III: KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
CHƯƠNG 8
CÁC NHẬN XÉT KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ
I

Các nhận xét kết luận.......................................................................146

II

Các kiến nghị và phương hướng nghiên cứu tiếp của đề tài.........147

PHỤ LỤC
-----o0o-----


TÓM TẮT LÝ LỊCH KHOA HỌC

Họ và tên:

: NGUYỄN VĂN HIỀN

Sinh ngày

: 18 – 01 – 1978

Nơi sinh

: Hải Hưng.

Nơi công tác

: Công ty Tư vấn Xây dựng Điện 3 (PECC3), Tổng công
ty Điện lực Việt Nam (EVN).

QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO
1996 – 2001

: Học đại học tại khoa Kó thuật Xây dựng, Đại học Bách
Khoa Tp Hồ Chí Minh. Chuyên ngành Xây dựng Dân
dụng và Công nghiệp.

2001 – 2003

: Học viên cao học trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí
Minh

QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC
2001 – Nay

: Công tác tại Công ty Tư vấn Xây dựng Điện 3, Tổng
công ty Điện lực Việt Nam

ĐỊA CHỈ LIÊN LẠC
Phòng thiết kế Xây dựng, Công ty Tư vấn Xây dựng Điện 3. 32 Ngô Thời
Nhiệm Quận 3 Tp Hồ Chí Minh
Tel

: 08. 93 07 946

Mobile

: 0918. 264 999

Email

:


-1-

CHƯƠNG 1:

ĐẶT VẤN ĐỀ VÀ TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU
XW
1.1

Đặt vấn đề nghiên cứu:

Vấn đề về ứng xử động của đất nền và dao động của một móng – đất nền dưới
tác dụng của một tải trọng tuần hoàn đã được nghiên cứu từ những năm của
thập kỉ 50 – 60 và hiện nay vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện lý
thuyết để ứng dụng hiệu quả vào thực tế.
Đã có rất nhiều tác giả trên thế giới nghiên cứu vấn đề này như: Barkan,
Ilyichev, Pasternak, Vallabhan, Das, Lamb, Quinlan, Sung, Arnold, Bycroft,
Warburton, Lysmer, Hall, Richart, Whitman, Luco, Gazetas, Wolft.... Và các
nghiên cứu này tập trung trong việc thành lập một mô hình toán học tương
đương để mô phỏng hệ móng – đất nền chịu dao động thực tế. Đã có nhiều mô
hình nền khác nhau đã được thiết lập với mức độ phức tạp ngày càng cao và
trong một số trường hợp ngày càng phản ánh đúng thực tế dao động của hệ.
Trong các mô hình nền được các tác giả nghiên cứu thì mô hình mô phỏng nền
đất là một bán không gian đàn hồi hữu hạn (semi-infinite elastic medium),
trong đó mô phỏng toán học cho nền đất bao gồm các phần từ: lò xo (spring),
cản nhớt (dashpot) tương ứng đặc trưng cho các tính chất đàn hồi và tính giảm
chấn của đất nền, vẫn được coi là một mô hình cho kết quả phân tích phù hợp
thực tế nhất, đặc biệt với các loại đất sét.
Vì vậy đứng trên quan điểm kế thừa và phát huy các kết quả đã có, tác giả thực
hiện luận văn này theo hướng sử dụng mô hình nền là bán không gian đàn hồi
cho việc phân tích dao động của hệ trên nền sét yếu ĐBSCL.
Thông qua các kết quả nghiên cứu dao động của hệ móng máy – đất nền theo
lý thuyết nền bán không gian đàn hồi hữu hạn, tác giả đã thực hiện các nghiên
cứu của mình về ảnh hưởng của các thông số của đất nền đến dao động của

hệ để từ đó đề ra biện pháp cải tạo nền đất yếu bằng giải pháp cọc đất trộn
cement để hạn chế dao động của hệ. Và đây chính là những nội dung mà
hoàn toàn không được đề cập trong các nghiên cứu của các tác giả nêu trên.


-2-

1.2

Khái quát nội dung của đề tài:

Đề tài “ Móng máy trên nền đất sét” có nội dung chủ yếu như sau:
- Khái quát các kết quả nghiên cứu về hệ dao động và ứng xử động của đất
của các tác giả theo mô hình nền bán không gian đàn hồi.
- Thông qua các kết quả trên, tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các thông
số của đất nền tới dao động của hệ để từ đó ứng dụng vào phương hướng gia cố
nền đất yếu nhằm hạn chế dao động của hệ trong đó có ứng dụng máy tính để
giải các bài toán cơ sở.
1.3

Ý nghóa của đề tài nghiên cứu:

Đề tài chỉ giới hạn trong hệ dao động một bậc tự do với mô hình nền đề nghị là
mô hình nền bán không gian đàn hồi và được mô phỏng thành một hệ lò xo –
cản nhớt (KCM). Mặc dù vậy trong thự tế thì trong tính toán nền móng chịu
dao động, trừ các dạng móng quá đặc biệt buộc phải mô hình thành một hệ dao
động đa bậc tự do thì đa số các bài toán đều có thể qui đổi thành một hệ đơn
giản với chỉ một bậc tự do. Do vậy đề tài không chỉ có ý nghóa là nghiên cứu,
ứng dụng các lý thuyết đã có mà thông qua các chương trình tính toán dao động
của một hệ một bậc tự do của tác giả, cùng với lời giải cho việc ứng dụng gia

cố nền đất bằng cọc đất trộn cement, có thể dùng để kiểm tra dao động và
gia cố nền cho một hệ nền móng thực tế.
-----o0o-----


-3-

CHƯƠNG 2:
NGHIÊN CỨU HỆ DAO ĐỘNG MỘT BẬC TỰ DO
XW
Tóm tắt:
Chương này trình bày về các khái niệm tổng quát cũng như các tham số, phương
trình và các kết quả đặc trưng cho một hệ dao động một bậc tự do theo các lời
giải đã có theo các tác giả như Braja M. Das, Kameswara Rao....
Trong chương này chỉ trình bày và thiết lập các công thức cơ bản cho chuyển
động thẳng đứng(Vertical) của một hệ dao động một bậc tự do với các trường
hợp không giảm chấn, giảm chấn nhớt, giảm chấn ma sát khô và tương ứng cho
trường hợp dao động tự do và cưỡng bức.
Theo Jonh P. Wolf, các mode dao động khác như (Rocking, Sliding, Torsional)
thực tế đều có thể mô hình tương tự như mô hình của mode Vertcal như trình bày
dưới đây với các đặc trưng đàn hồi và giảm chấn tương ứng. Ví dụ như có thể mô
hình cho mode dao động Rocking như sau, khi đó thay vì xác định quan hệ giữa
chuyển vị thẳng đứng z đối với thời gian t thì ứng với mode dao động Rocking thì
xác định tương quan giữa góc xoay θ với thời gian t và bản chất toán học giữa
hai mô hình tính toán tương ứng với hai mode dao động này là hoàn toàn như
nhau. Điều này lý giải tại sao trong mô hình bán không gian đàn hồi, trong đó
nền đất được thay thế bằng một lò xo có hệ số đàn hồi k và một cản nhớt
(dashpot) có sức cản c đều dẫn tới việc giải một phương trình vi phân tuyến tính
bậc hai.
θ

c
k

Hình 2.1: mô hình của hệ dao động một bậc tự do theo mode Rocking

2.1

Khái niệm về một hệ dao động:

Một hệ cơ học được gọi là một hệ dao động khi trạng thái động học của hệ thay
đổi có tính chất chu kì trong một khoảng thời gian.


-4-

Các đặc điểm cơ bản của một hệ dao động thực tế:
-

Thành phần gồm một hệ khối lượng liên kết với nhau bằng các phần tử đàn
hồi trong môi trường dao động.

-

Có lực tác động vào hệ gây dao động

-

Chuyển động của hệ mang tính chất chu kỳ và tắt dần do năng lượng dao
động của hệ dần chuyển thành các dạng năng lượng khác.

2.2

Các khái niệm chung của một hệ dao động:

2.2.1 Các dạng (mode) dao động của một hệ một bậc tự do:
Một hệ dao động tự do một bậc bao gồm 6 dạng (mode) dao động theo sơ đồ
sau:

Th ẳ
n g đứ
n g (ver t ical)

Xoắ
n (Yawin g)

Laé
c n gan g (Later al)

Xoay (Pit chin g)
Xoay (Rock in g)
Lắ
c dọc (Lon git udinal)

Hình 2.2: Các mode dao động của một hệ 1 bậc tự do.

2.2.2 Tần số dao động:
Tần số dao động của một hệ dao động là số lần dao động trong một đơn vị thời
gian.
Đơn vị của tần số dao động là: Hz (Hertz), 1Hz = 1/s

2.2.3 Chu kỳ dao động:
Chu kỳ dao động là khoảng thời gian hệ thực hiện một dao động.
Đơn vị của chu kỳ dao động là: s


-5-

2.2.4 Biên độ dao động:
Biên độ dao động của hệ là độ lệch của hệ quanh trạng thái cân bằng
2.2.5 Hiện tượng cộng hưởng:
Hiện tượng cộng hưởng trong dao động là hiện tượng biên độ dao động của hệ
tăng nhanh và liên tục theo thời gian và có thể dẫn đến phá hủy hệ khi tần số
dao động của hệ bằng một tần số đặc trưng của hệ. Tần số đặc trưng này gọi là
tần số riêng của hệ.
2.2.6 Dao động đàn hồi:
Sự lệch tuần hoàn của một hệ khỏi một vị trí cân bằng ổn định gọi là dao động
đàn hồi.
2.2.7 Dao động tự do:
Dao động tự do khi hệ dao động dưới tác động một lần của một lực kích thích
ban đầu. Dao động tự do còn được gọi là dao động riêng.
2.2.8 Dao động cưỡng bức:
Dao động cưỡng bức khi hệ dao động chịu tác động của một lực thay đổi tuần
hoàn theo thời gian
2.2.9 Bậc tự do của một hệ dao động:
Bậc tự do của một hệ dao động là số tọa độ độc lập xác định vị trí trong không
gian của hệ. Một hệ đàn hồi bất kỳ có vô số bậc tự do vì có vô số tọa độ xác
định vị trí của các phần tử của hệ dao động trong không gian
2.3

Hệ dao động tự do một bậc tự do:

2.3.1 Dao động tự do của hệ lò xo – khối lượng một bậc tự do không giảm
chấn:

W: t r ọn g lượn g m ó
ng

+z

Mô hình:

-z

¾

k : h ằ
ng
sốlòxo

Hình 2.3: Mô hình dao động tự do không giảm chấn 1 bậc tự do


-6-

Trong mô hình này móng đặt trên một nền được mô hình thành một nền đàn
hồi có hệ số đàn hồi lò xo là k.
¾

Phương trình chuyển động:

Gọi W là trọng lượng của móng, A là diện tích tiếp xúc của móng trên nền đất.
Khi đó:
Lực tác dụng xuống nền phân bố đều một giá trị là:
q = W/A

(2.1)

Dưới tác dụng của W nền có một độ lún đàn hồi tónh là:
k = W/zs

(2.2)

trong đó k được gọi là hệ số lò xo đàn hồi của nền.
Dưới tác dụng của q nền có hệ số nền là:
ks = q/zs

(2.3)

Khi hệ được tác dụng một lực ban đầu hoặc hệ được tích lũy một năng lượng
(thế năng) ban đầu thì hệ sau đó sẽ bắt đầu dao động. Theo định luật II New
Ton thì phương trình dao động của hệ có dạng:
(W/g)z’’ + kz = 0

(2.4)

hay viết lại phương trình này thành:
z’’ + (k/m)z = 0

(2.5)

trong đó: z’’ = d2z/dt2, t: là thời gian, m = W/g: khối lượng, g = 9.81m/s2.
Để giải phương trình này thì đặt:
z = A1cosωnt + A2sin ωnt

(2.6)

suy ra:
z’ = -A1ωnsinωnt + A2ωncosωnt

(2.6’)

z’’ = − ωn2(A1cosωnt + A2sinωnt)

(2.6’’)

trong đó: A1, A2: là hằng số, ωn: hằng số tự nhiên của hệ trong dao động tự do
không giảm chấn.
Thay (2.6), (2.6’), (2.6’’) vào (2.5) được:
− ωn2(A1cosωnt + A2sinωnt) + (k/m)(A1cosωnt + A2sinωnt) = 0


-7-

rút gọn phương trình trên thu được:
(2.7)

ωn = ± k / m

( ωn: có đơn vị là rad/s)
Thay (2.7) vào (2.6) thu được:

(

)

(

z = A1 cos k / m t + A2 sin k / m t

)

(2.8)

Để xác định A1, A2 dựa vào các điều kiện biên ban đầu tại thời điểm t = 0:
z = z0 (*), v = v0 (**)
Với điều kiện biên (*) khi thay t = 0 vào (2.8) thu được:
z0 = A1

(2.9)

Với điều kiện biên (**) đạo hàm bậc nhất theo t hai vế phương trình (2.8) thu
được:

(

)

(

v = z ' = − A1 k / m sin k / m t + A2 k / m cos k / mt

)

(2.10)

tại thời điểm t = 0, v = v0 nên từ phương trình (2.10) thu được:
v0 = A2 k / m

suy ra:
A2 = v 0 / k / m

(2.11)

Thay (2.9) và (2.11) vào phương trình (2.8) thu được phương trình xác định
chuyển động của hệ:
 k 
 k 
v0
z = z 0 cos
sin 
t  +
t
k / m  m 
 m 

¾

(2.12)

Các đại lượng đặc trưng cho dao động của hệ:

Chu kỳ dao động T:
T = 2π/ωn

(2.13)

f = 1/T = ωn/2π

(2.14)

Tần số dao động f:
Tần số dao động tự nhiên không giảm chấn fn:
từ phương trình (2.7), và do vậy đối với hệ này thì:
f n = (1 / 2π ) k / m

(2.15)


-8

-

từ quan hệ giữa k, m, W, zs, g trong các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) thu được
công thức quan hệ giữa tần số tự nhiên không giảm chấn của một hệ lò xo –
khối lượng một bậc dao động tự do và biến dạng đàn hồi tónh ban đầu zs:
f n = (1 / 2π ) g / z s

¾

(2.16)

Đồ thị của chuyển động:

Đặt zo = Zcosα và Z sin α = v0 / k / m khi đó phương trình (2.12) trở thành:
z = Zcos(ωnt - α)
trong đó:

(

(2.17)

α = tan −1 v0 / z 0 k / m

)

(2.18)

Z = z 02 + (m / k )v02

(+)

(2.19)

z, z', z''
1 chu k ì

1 ch u k ì

+Z

+Z

+Z

α+π
α

α+π/2

α+5π/2

α+3π

α+2π

α+3π/2
-Z

α+7π/2

α+4π

ωn t

-Z

Gia t ố
c z''
Vậ
n tố

c z'
Chuyể
n vị z

(-)

Đồt h ị ch uyể
n vị, vậ
n t ố
c, gia t ố
c củ
a hệlòxo - k hố
i lượn g dao độ
n g tự do.

Hình 2.4: Đồ thị chuyển vị, gia tốc và vận tốc của hệ dao động tự do không giảm chấn

2.3.2 Dao động tự do của hệ dao động với giảm chấn nhớt (Viscous) một bậc
tự do:

W: tr ọn g l ượn g m ó
ng

c: h s
gi ả
m
ch ấ
n
củ
a

đ ấ
t

+z

Mô hình:

-z

¾

k : h ằ
ng
sốl òxo

Hình 2.5: Mô hình hệ dao động tự do có giảm chấn 1 bậc tự do.


-9-

Trong mô hình dao động với giảm chấn nhớt (Viscous) thì các đặc tính đàn hồi
của đất nền được mô hình thành một lò xo (spring) có hằng số đàn hồi k, đặc
tính cản dao động của đất nền được mô hình thành một cản nhớt (dashpot) có
hệ số giảm chấn c. Mô hình này phản ánh tương đối chính xác tính chất của đất
nền trong các dạng dao động thẳng đứng.
¾

Phương trình chuyển động:

Khi có sự tham gia của phần tử giảm chấn vào dao động thì phương trình vi

phân diễn tả định luật II New Ton cho dao động của hệ có dạng:
mz’’ + cz’ + kz = 0

(2.20)

Đặt z = Aert trong đó A là hằng số, thay vào phương trình trên thu được:
mAr2ert + cArert + kAert = 0
rút gọn phương trình này thu được:
r2 + (c/m)r + k/m = 0

(2.21)

Giải phương trình bậc 2 trên thu được nghiệm:
c
c2
k
r=−
+
−
2
m
2m
4m

(2.22)

Để giải phương trình thành biểu diễn theo thời gian t đặt D = c/cc = c / 2 km , D
được gọi là tỉ số giảm chấn.
Khi đó phương trình (2.22) trở thành:

(

r = ωn − D ± D 2 − 1

)

(2.23)

trong đó: ω n = k / m : tần số góc dao động tự nhiên của hệ.
Khi đó các trường hợp hệ dao động như trên thành:
a).

Trường hợp 1: trường hợp giảm chấn quá mức (over damping):

Trường hợp này xảy ra khi D>1, khi đó:

(

r = ωn − D ± D 2 − 1

Suy ra z = Aert thaønh:

[ (

)]

)

[ (

z = A1 exp ω n t − D + D 2 − 1 + A2 exp ω n t − D − D 2 − 1

)]

(2.24)

trong đó: A1, A2 là các hằng số. Đặt A1, A2 theo A3, A4 theo các quan hệ sau:


- 10 -

A1 = ½(A3 + A4)

(2.25)

A2 = ½(A3 – A4)

(2.26)

Thay (2.25), (2.26) vào phương trình (2.24) sau khi rút gọn nhận được:

[

)

(

(

z = e − Dωnt A3 cosh ω n D 2 − 1t + A4 sinh ω n D 2 − 1t

)]

(2.27)

từ phương trình (2.27) cho thấy trong trường hợp giảm chấn quá mức thì hệ
không thực hiện dao động.
Các hệ số A3, A4 có thể được tính toán thông qua các điều kiện ban đầu: tại
thời điểm t = 0: z = z0 (*), v = z’ = v0 (**).
Do đó có thể xác định các thông số A3, A4 từ phương trình (2.27) theo các điều
kiện (*), (**):
z = z0 = A3

(2.28)

)

(

z ' = v0 = ω n D 2 − 1A4 − Dω n A3

suy ra:
A4 =

v0 + Dω n z 0

(2.29)

ωn D 2 − 1

Thay (2.28), (2.29) vào (2.27) thu được phương trình chuyển động của hệ trong
trường hợp giảm chấn quá mức:

(

)

)

(



v + Dω n z 0
sinh ω n D 2 − 1t 
z = e − Dωnt  z 0 cosh ω n D 2 − 1t + 0


ωn D 2 − 1
z(t )

(-D+ (D 2 - 1))ωn t
Ae

ωn t
0
t
Be

(-D- (D 2- 1))ωn t

D>1, giả
m ch ấ
n quám ứ
c
(Over dam ped syst em )

Hình 2.6: Đồ thị dao động của hệ trong trường hợp giảm chấn quá mức.

(2.30)


- 11 -

b).

Trường hợp 2: Trường hợp giảm chấn tới hạn (critical damping):

Trường hợp này xảy ra khi D = 1. Khi đó:
r = - ωn

(2.31)

Khi đó phương trình z = Aert được viết thành:
z = ( A5 + A6 t )e −ωnt

(2.32)

trong đó A5, A6 là các hằng số và được xác định theo các điều kiện biên (*),
(**) như các trường hợp trên thu được:
A5 = z0

(2.33)

A6 = v0 + ωnz0

(2.34)

Thay (2.33), (2.34) vào phương trình (2.32) thu được phương trình chuyển động
của hệ trong trường hợp giảm chấn tới hạn:
z = ( z 0 + (v0 + ω n z 0 )t )e −ωnt

(2.35)

ωn t
t

D=1, Giaû
m ch ấ
n t ớ
i hạn
(Cr it ically Dam ped syst em )

Hình 2.7: Đồ thị dao động của hệ trong trường hợp giảm chấn tới hạn.

c).

Trường hợp 3: Trường hợp trong giới hạn giảm chấn (underdamping):

Trường hợp này xảy ra khi D<1, khi đó:

(

r = ωn − D ± i 1 − D 2

từ phương trình z = Aert thu được:

[

)

)

(

(2.36)

(

z = e − Dωnt A7 exp iω n 1 − D 2 t + A8 exp − iω n 1 − D 2 t

)]

(2.37)

trong đó A7, A8 là các hằng số.
Phương trình (2.37) có thể diễn tả bằng dạng tương đương đơn giản sau:

[

(

)

(

z = e − Dωnt A9 cos ω n 1 − D 2 t + A10 sin ω n 1 − D 2 t

)]

(2.38)


- 12 -

trong đó A9, A10 là các hằng số và được xác định bằng các điều kiện biên (*),
(**).
Tương tự như các trường hợp trên xác định được các giá trị A9, A10 như sau:
A9 = z0
A10 =

(2.39)

v0 + Dω n z 0

(2.40)

ωn D 2 − 1

Thay caùc giaù trị trên vào phương trình (2.38) thu được phương trình chuyển
động của hệ trong trường hợp hệ giao động trong giới hạn giảm chấn:

)

(

)

(



v + Dω n z 0
z = e − Dωnt  z 0 cos ω n 1 − D 2 t + 0
sin ω n 1 − D 2 t 


ωn D 2 − 1

(2.41)

Để đơn giản có thể đặt:
Z =e

− Dω n t

 v + Dω z
n 0
z + 0
 ω 1− D2
 n

2
0






2

α = tan-1(v0 + Dωnz0)/ωnz0 1 − D 2

(2.42)
(2.43)

ωd = ωn 1 − D 2 : Tần số góc tự nhiên giảm chấn (2.44)
Khi đó (2.41) có thể viết thành:
z = Zcos(ωdt - α)

(2.45)

Đối với hệ trong trường hợp dao động trong giới hạn giảm chấn thì dưới tác
động của giảm chấn biên độ dao động của hệ giảm dần theo thời gian. Để đặc
trưng cho mức độ giảm của biên độ dao động theo thời gian có đại lượng δ được
gọi là lượng giảm logarit của dao động.
δ được xác định thông qua biên độ dao động Zn và Zn+1 tương ứng với các thời
điểm tn, tn+1 trong đó Zn và Zn+1 là các biên độ dao động -, + max, thể hiện qua
công thức sau:
δ = ln(Z n / Z n +1 ) = 2πD / 1 − D 2

(2.46)

với hệ có hệ số giảm chấn D nhỏ thì có thể xác định δ theo công thức gần đúng
sau:
δ = ln(Z n / Z n +1 ) = 2πD

(2.47)


- 13

-

z(t )

Z

Ze

z1

(-D)ωn t

0
t

D<1, Tr on g giớ
i h ạn giả
m ch ấ
n

(Un der dam ped syst em )

Hình 2.7: Đồ thị dao động của hệ trong trường hợp “ trong giới hạn giảm chấn”.

¾

Các đại lượng đặc trưng cho dao động của hệ:

Tần số góc tự nhiên ωn:
ωn =

k
m

trong đó k, m là hệ số lò xo và khối lượng của hệ dao động
Hằng số giảm chấn tới hạn cc:
c c = 2 km

Tỉ số giảm chấn D:

(

D = c / cc = c / 2 km

)

Tần số góc tự nhiên giảm chấn ωd:
ωd = ωn 1 − D 2
Chu kỳ dao động T:
T = 2π / ω d = 2π / ω n 1 − D 2

Lượng giảm logarit của dao động δ:
δ = ln(Z n / Z n +1 ) = 2πD

Tần số tự nhiên giảm chấn:
fn = fn 1 − D 2
Tần số tự nhiên:


- 14

-

f n = ω n / 2π = 1 / 2π .

k
m

2.3.3 Dao động tự do của hệ dao động với giảm chấn ma sát khô (Colomb)
một bậc tự do:
¾

Mô hình:

Dao động tự do của hệ với giảm chấn Coulomb liên quan đến sức cản do ma
sát với bề mặt khô. Mô hình này liên quan đến dạng dao động ngang (Sliding)
của hệ.
W

+x

k

m

kx

W
x kx

m

µN

x

m

µN
N

N

Hình 2.7: Mô hình hệ dao động tự do với giảm chấn ma sát khô 1 bậc tự do

¾

Phương trình chuyển động:

Lực ma sát khi một vật chuyển động trên bề mặt một vật khác theo công thức:

Fd = µN

(2.48)

trong đó N là lực pháp tuyến tác dụng lên bề mặt ma sát, µ là hệ số ma sát khô.
Phương trình diễn tả chuyển động theo định luật II NewTon trong trường hợp
này có dạng:
mx’’ + kx ± µN = 0

(2.49)

trong đó dấu + trong công thức tương ứng với chiều chuyển động từ trái qua
phải và dấu – tương ứng với chiều chuyển động từ phải qua trái.
Giải phương trình vi phân (2.49) cho nghiệm có dạng:
x(t) = A1cosωnt + A2sinωnt ± µN/k

(2.50)

Trong đó: ω n = k / m , A1, A2 là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện biên
ban đầu tại thời điểm t = 0: x = x0 (*), v = x’ = v0 (**).
Để đơn giản xét trường hợp hệ bắt đầu dao động tại thời điểm t = 0 coù: x = x0, v
= v0 = 0 và hệ chuyển động từ phải qua trái.


- 15 -

Khi đó các hằng số A1, A2 xác định theo các công thức sau:
A1 = x0 - µN/k

(2.51)

A2 = 0

(2.52)

Như vậy phương trình chuyển động (2.50) trở thành:
x(t) = (x0 - àN/k)cosnt + àN/k
ắ

(2.53)

Caực ủaùi lửụùng ủaởc trửng cho dao động của hệ:

Tần số góc dao động tự nhiên ωn:
ωn = k / m

Tần số dao động tự nhieân fn:
k
m

f n = ω n / 2π = 1 / 2 .

ắ

ẹo thũ chuyeồn ủoọng:
x(t )

2à N n
k

x0

x0

àN
k

4à N
k

/n

3/n

0

2/n

x0

t

2à N
k

Hình 2.8: Đồ thị dao động của hệ với giảm chấn ma sát khô (Coulomb).

2.4

Hệ dao động cưỡng bức một bậc tự do:

2.4.1 Dao động cưỡng bức của hệ lò xo – khối lượng một bậc tự do:
¾

Mô hình:


- 16 Q = Q si n (ω t + β )
0

W: t r ọn g l ượn g m ó
ng

k : h ằ
ng
sốl òxo

Hình 2.9: Mô hình hệ dao động cưỡng bức không giảm chấn.

¾

Phương trình chuyển động:

Phương trình định luật II New Ton diễn tả chuyển động trong trường hợp này
có dạng:
mz’’ + kz = Q0sin(ωt + β)

(2.54)

Đặt z = A1sin(ωt + β) là một nghiệm riêng của phương trình (2.54) trong đó A1

là một hằng số.
Thay vào phương trình (2.54) thu được:
A1 = (Q0/m)(k/m - ω2)

(2.55)

Do đó nghiệm riêng của phương trình chuyển động (2.54) có dạng:
z=

Q0 / m
sin (ωt + β )
k /m −ω2

(

)

(2.56)

Nghiệm bổ sung của phương trình (2.54) phải thỏa mãn phương trình
mz’’ + kz = 0
Như đã trình bày trong các phần trên thì để giải phương trình trên có thể đặt
như sau:
z = A2cosωnt + A3sinωnt

(2.57)

trong đó: ω n = k / m , A2, A3 là các hằng số.
Do vậy nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:
Z = A1sin(ωt + β) + A2cosωnt + A3sinωnt

(2.58)


- 17 -

Để xác định các hằng số A2, A3 dùng các điều kiện biên tại thời điểm t = 0: z =
z0 (*), v = z’ = v0 (**) thu được các phương trình xác định A2, A3:
(*) Ỉ A1sinβ + A2 = 0 hay A2 = -A1sinβ
(∗∗) Ỉ A1ωcosβ + A3ωn = 0 hay A3 = -(A1ω/ωn)cosβ

(2.59)
(2.60)

thay (2.59), (2.60) vào (2.58) thu được nghiệm tổng quát của hệ tức phương
trình chuyển động của hệ lò xo – khối lượng dao động cưỡng bức một bậc tự
do:
z = A1[sin(ωt + β) –cos(ωnt)sin(β) – (ω/ωn)sin(ωnt)cosβ]

(2.61)

trong đó A1 xác định theo công thức (2.55) ở trên.
Trong trường hợp lực cưỡng bức cùng pha với dao động của hệ tức β = 0 thì:
Phương trình dao động của hệ trở thành:


ω
z = A1  sin ωt −
sin ω n t 
ωn




thay A1 từ (2.55):
z=

Q0 / m
k /m −ω2



ω
 sin ωt −
sin ω n t 
ωn



hay:
z=

Q0 / k
1 − ω 2 / ω n2



ω
 sin ωt −
sin ω n t 
ωn




(2.62)

thay Q0/k = zs: độ lún tónh và đặt M = 1/(1 - ω2/ωn2) = A1/(Q0/k): hệ số khuyếch
đại khi đó phương trình (2.62) trở thành:
z = zsM(sinωt – (ω/ωn)sinωnt)

(2.63)

Quan hệ giữa hệ số M và tỉ số ω/ωn theo đồ thị sau đây:
+5
+4
+2
0

0.5

1

1.5

2

-2
-4
-5

Hình 2.10: Quan hệ giữa M và ω/ωn

- 18 -

Từ đồ thị trên nhận thấy rằng khi ω/ωn = 1 thì M tiến tới ∞. Trạng thái này
được gọi là hiện tượng cộng hưởng.
Dùng qui tắc L’Hospital có thể tính toán được biên độ dao động z max của hệ
như sau:
lim (z ) =

ω →ω n

(d / dω )[sin ωt − (ω / ω n )sin ω n t ]
(d / dω )(1 − ω 2 / ω 2 )

suy ra:
z = ½ zs(sinωnt - ωntcosωnt)

(2.64)

vận tốc của hệ khi cộng hưởng:
v = z’ = ½ zs(ωncosωnt - ωnsinωnt + ωn2tsinωnt)
hay:
v = ½ (zsωn2t)sinωnt

(2.65)

Tại thời điểm z = zmax v = 0 nên từ (2.65) suy ra:
Sinωnt = 0 Ỉ t = nπ/ωn trong đó n là một số tự nhiên.

(2.66)

Từ (2.66) thay vào phương trình (2.64) tính được biên độ dao động max ứng với
các trạng thái cộng hưởng:
(2.67)

| z max |cong huong = 1 / 2nπz s

Công thức (2.67) chỉ ra rằng khi hệ cộng hưởng thì tương ứng với n là một số tự
nhiên tiến đến ∞thì |zmax| Ỉ ∞, tức hệ có nguy cơ bị phá hoại.
Sự gia tăng biên độ dao động của hệ trong hiện tượng cộng hưởng được minh
họa qua đồ thị sau:
z/ zs

( + )

zm ax = 1/ 2.n πzs
t

( - )

Hình 2.11:: Đồ thị của hệ trong trường hợp cộng hưởng.