các bài toán về phương trình bậc hai phan huy th«ng ph¬ng tr×nh bëc hai mét èn nh¾c l¹i vò biõn ®æi ®ång nhêt i phðp nh©n c¸c ®a thøc víi a b c d e lµ c¸c ®¬n thøc th× ab c b ca ab

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (173.46 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Nhắc lại về biến đổi đồng nhất.
I.Phép nhân các đa thức:

Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì:
A(B + C) = (B + C)A = AB + AC

(A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE.
II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + b2
(A - B)2 = A2 - 2AB + b2
A2 – b2 = (a + b)(a – b).

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3

A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b)
A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b)
(A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

L

u ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả 
hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.

- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng 
bằng nhau

- Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng khơng.
III. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

1. PP đặt nhân tử chung.
2. PP dùng hằng đẳng thức.
3. PP nhóm nhiều hạng tử.

4. PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
5. PP thêm bớt cùng một hạng tử.

6. PP xét giá trị riêng. ( NÕu ®a thøc A(x) cã nghiƯm x = a thì tồn tại đa thức B(x) sao cho
A(x) = (x- a).B(x) )

Chú ý: Khi sử dụng một trong các PP 3, 4 , 5 : sau khi nhóm, tách, thêm bớt hạng tử thì quá trình phân tích 
phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ).

IV. Phân thức đại số.

1. Hai ph©n thøc b»ng nhau:

A C

AD BC
B D  

2. NÕu ®a thức M khác đa thức không thì:

:
;

AM A A M A

BM B B M B
3. C¸c phÐp tÝnh:

a) PhÐp céng:

A B A B

M M M



 

( M ≠ 0).

Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng nh trên.
Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng 
mẫu)

íc 1: T×m mÉu thøc chung (MTC) :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Nếu các mẫu cần quy đồng khơng có nhân tử chung thì lấy MTC là tích
của tất cả các mu ú.

ớc 2: Tìm nhân tử phô (NTP): NTP = MTC chia cho mÉu t¬ng øng
B

ớc 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc các phân
thức có cùng mẫu thức.

b) PhÐp trõ:

( )

A C A C

B D B  D

c) PhÐp nh©n:

.
.

A C A C
B D B D

d) PhÐp chia:

: .

A C A D AD
B D B C BC

Một số l u ý: - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức

trớc. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần đợc rút gọn.

- Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hốn, kết 
hp, phõn phi).

- Khi giải các bài toán liên quan tới giá trị của phân thức cần chú ý tìm §KX§ cđa ph©n thøc.

CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .
1. Dạng của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

2. Giải và biện luận:

∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2)

+) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

b
x

a

  


(Hoặc 1,2

' '

b
x

a

  



)

+) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép:

1 2

b
x x

a

 

( Hoặc 1 2

b
x x

a

 

)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x

1, x2 thì:

1 2

1. 2

b
x x

a
c
x x

a



 






 




Các dạng tốn.

Dạng 1: Xác định số nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0.

1. Phơng pháp giải:

Xỏc nh các hệ số a, b, c của phơng trình:

- NÕu a = 0: Phơng trình trở thành PT bậc nhất mét Èn: bx + c =0.

- NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ = 2

b
)
 Nếu < 0 ( Hoặc < 0): Phơng trình vô nghiệm.

Nếu = 0 ( Hoặc = 0 ): Phơng trình có nghiệm kép.

Nếu > 0 ( Hoặc > 0 ): Phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt.
L

u ý: - Không cần tính ra nghiệm.

- Nếu ac<0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

2. Các bài tËp vËn dông:

Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phơng trình bậc hai sau:
1) 3x2 – 7x + 3 = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0

3) ( 3 1) x2 5x 3 1 0  4) 2x2 + 5x +

25
8 = 0

2 3 9 0

2 16

x  x 

6) 2x2 6 2x 9 0

Bài 1.2: Không cần tính biệt số , chứng tỏ rằng các phơng trình sau có hai nghiƯm ph©n biƯt:
a) 2x2 9x 3 7 0

b) (2 3)x2 4x m 23m 4 0 ( m là tham số)
Bài 1.3: H y xác định tham số k để phã ơng trình vơ nghiệm?

a) 3x2 2x k 0 c) 3x2kx 2 0

b) 2x2 2kx k 0 d)

2 4 2

3 4 2 0

x  kx k  k 

Bài 1.4: H y xác định tham số k để phã ơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép:
a) 20x2 4x3k1 0 b) (k1)x2 2kx k  2 0

c) 3x2 4kx k 2 0

Bµi 1.5: Cho các hệ số a, b, c thoả m n điều kiÖn a > c > 0, b > a + c. ·

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phơng trình c x2 2(a2 b2 c x b2)  2 0 (
x là ẩn số) vô nghiệm. ( HDn: S dng BT tam giỏc)

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai .
1. Phơng pháp giải:

- Đa phơng trình cần giải về dạng: ax2 + bx + c = 0.

- Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình.
- Tính ∆ hoặc ∆’.

-áp dụng cơng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai để kết luận 
nghiệm ( Chú ý rút gọn cỏc nghim nu cú th)

2. Các bài tập vận dụng:

Bài 2.1: Giải các phơng trình sau:

a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0

c) x2 – 4x + 1 = 0 d) 3x2 + 7x + 2 = 0
Bµi 2.2: Giải các phơng trình sau:

2 10 5

5 0

7 49

x  x 

2 4 1

3 5 12

x x

  

2 3 9 0

2 16

x  x 

Bµi 2.3: Giải các phơng trình sau:

a) (5 2)x210x 5 2 0 b) ( 5 2) x2 ( 5 1) x 3 5 0

c*) x2 x 2 0 d*) (1 2)x2  2(1 2)x 1 3 2 0

e) ( 2 1) x2  x 2 0 f) 2x2  (2 6 3) x3 6 0

Dạng 3: Giải và biện luận phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 .
1. Phơng pháp giải:

* Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.

- Nếu b 0 thì phơng trình có một nghiƯm duy nhÊt:

c
x

b



- NÕu b = 0 vµ c 0 thì phơng trình có vô nghiệm.

- Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
* Với a 0 : Phơng trình trở thừnh phơng trình bậc hai . Ta có:

= b2 - 4ac ( hay ∆’ = b’2 – ac )

- NÕu ∆ < 0 th× phơng trình vô nghiệm.

- Nếu = 0 thì phơng tr×nh cã mét nghiƯm kÐp: x1 = x2 = -2

b

a ( =

b
a )
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

1 ; 2

2 2

b b

x x

a a

     

  (x1,2 b' )

a

  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* Kết luận cho tất cả các trờng hợp đã biện luận.
2. Các bài tập vn dng:

Bài 3.1: Giải và biện luận các phơng trình: ( x là ẩn)
a) (m 2)x2 2(m + 1)x + m = 0.

b) x2 + (1 – m)x – m = 0.
c) (m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0.

d) (m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0
e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0.

f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (

3m – 2) = 0.

g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0
h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m 2 = 0.

Bài 3.2: Giải và biện luận phơng trình ( ẩn x) : 2x3(3 2 ) m x22mx m 21 0
( HDÉn: Coi m lµ Èn, x là tham số )

Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x và y gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.
1. Phơng pháp giải:

- Từ phơng trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hc x theo y ).

- Thay biểu thức y theo x tìm đợc ở trên vào phơng trình bậc hai của hệ ta đợc phơng trình 
bậc hai đối với .

- Giải phơng trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y.
2. Cỏc bi tp vn dng:

Bài 4.1: Giải hệ phơng trình:

2 5 0

x y

y x x

Bài 4.2: Cho hệ phơng trình:

2 2

x y
y x a






 



Xác định a để:

a) HƯ v« nghiƯm.

b) HƯ cã nghiệm duy nhất.
c) Hệ có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4.3: Giải các hệ phơng trình:

3 4 1 0

)

3( ) 9

x y
a

xy x y

  




  



2 3 2

)

6 0

x y
b

xy x y

Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phơng trình:

2 2 2 2

x y m

x y x

 




  



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = x0 vào hai phơng trình ta đợc hệ

ph-ơng trình với ẩn là các tham số.
- Giải hệ để tìm tham số.

-Thư l¹i víi tham sè võa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không.
2. Các bµi tËp vËn dơng:

Bài 5.1: Cho hai phơng trình : x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung.
b) Định a để hai phơng trình tơng đơng.

Bµi 5.2: Chøng minh r»ng nÕu hai phơng trình : x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0, cã nghiƯm chung th×:
(b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ?
Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng:

x2 – (2m + n)x – 3m = 0 vµ x2 – (m + 3n)x – 6 = 0

HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1); x3, x4 là nghiệm của phơng trình (2). Để hai Phơng trìh tơng

đ-ơng thì x1 = x3 và x2 = x4 hoặc ngợc lại. Nên S1 = S2 vµ P1 = P2.

Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 
x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0 (1)

x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0 (2)

Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 
a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0

b) x2 + ax + 2 = 0 x2 + 2x + a = 0
c) x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0

Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0.
Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn s.

1.Phơng pháp giải:

Trong mt phng trỡnh cú hai n s, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phơng trình ấy theo ẩn 
cịn lại. PP này gọi là phng phỏp t tham s mi.

2. Các bài tập vận dụng:

Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả m n phÃ ơng trình:
x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0

Bài 6.2: Giải hệ phơng trình:

3 2

2 2

x y

x xy y y

  




 

Bài 6.3: Giải phơng trình: y44y x2 11y24xy 8y8x2 40x52 0

Bài 6.4: Giải hệ phơng trình:

2 2

10 5 2 38 6 41 0

3 2 5 17 6 20 0

x y xy x y

      




    

Bài 6.5: Giải hệ phơng trình:

4 2

2 2

698
81

3 3 4 0

x y

x y xy x y



 




  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

1.Phơng pháp giải:

- Tớnh ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phơng trình có nghiệm.

- áp dụng định lý Vi-ét : 1 2
b
S x x

a

  

; 1 2

. c

P x x
a

2. Các bài tập vận dụng:

Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2x23x 7 0 b) 3x2 6x 8 0

c) 3x2 x 1 0 d) 7x2 2 7x 9 0
Dạng 8: Giải phơng trình bằng cách nhẩm nghiệm.

1.Phơng pháp giải:

- ỏp dng nhlý Vi-ột : x1 + x2 =

-b

a ; x1.x2 = 
c
a

- NhÈm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n thì phơng trình có nghiệm là x1 = m ; x2 = n.

- NÕu a + b + c = 0 th×: x1 = 1 ; x2 =

c
a

- NÕu a - b + c = 0 th×: x1 = -1 ; x2 =

-c
a
2. Các bài tập vận dụng:

Bi 8.1: Dựng nh lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:

a) x210x16 0 b) x215x50 0
c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0 ( m ≠ -1)

d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0 ( m ≠

2)

Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ?
Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và nghiệm còn lại ?

b) Phơng trình 15x2 + bx - 1 = 0 có mét trong c¸c nghiƯm b»ng

3. Xác định số b v nghim cũn li ?

Dạng 9: Phân tích ax2 + bx + c thành nhân tử.
Phơng pháp giải:

Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x

1, x2 th× ax2 + bx + c = a( x x1)(x x2)

Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.
1.Phơng pháp giải:

- Tính tổng hai nghiêm : S x1x2 và tích hai nghiệm : P x x 1. 2

- Phơng trình nhận x1, x2 lµm nghiƯm lµ: X2 – SX + P = 0.

2. Các bài tập vận dụng:

Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ :

10 72 vµ 
1
10 6 2

Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ :

a) 4 15 vµ 4 15 b) 9 2 5 vµ 9 2 5

c) 2 5 4 3 vµ 2 5 4 3 d)

5 3



 vµ

5 3




Bµi 10.4: Gäi m, n là các nghiệm của phơng trình : x2 (1 2)x 2 0 (m<n). Lập phơng trình bậc

hai có các nghiệm là:

1
2

m và

1
1 n .

Bài 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên vµ cã mét nghiƯm lµ :

5 3




Bµi 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là :

5 3

Dạng 11: Dấu nghiệm số của phơng trình bậc hai.
1.Phơng pháp giải:

Cho phơng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) :

* Phơng trình có hai nghiệm trái dấu P < 0.

* Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

0
0

P

* Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

0
0
0

S
P

* Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt

0
0
0

S
P

2. Các bài tập vận dụng:

Bi 11.1: Cho phng trỡnh : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (1)
Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu.

b) Có hao nghiệm dơng phân biệt.
c) Có đúng một nghiệm dơng.

Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng?
b) Có hai nghim cựng du?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 11.4: Cho phơng trình x2 – mx + m2 – 3 = 0.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ?
b) Tìm m để phơng trình chỉ có một nghiệm dơng ?

Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x2 – 2mx + (5m – 4) = 0 b)mx2 + mx + 3 = 0.

Bài 11.6: Cho phơng trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm

b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu.
Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trc.

1.Phơng pháp giải:

* Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghiệm : ∆ ≥ 0

* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x1, x2 rồi thay vào phơng trình thứ

ba của hệ tỡm tham s.

* Kiểm tra lại m có thoả mÃn điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.
2. Các bµi tËp vËn dơng:

Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: 3xã 1 + 2x2 = 1? 
Bài 12.2: Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: 3xã 1 - 4x2 = 11.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều õm.

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thc vµo m.

Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n xã 1 = 2x2:
a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0.

Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả m n một trong các điều kiện sau: ã
a) x12 - x22 = 12 ; b) x12 + x22 = 1.

Bµi 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0.

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n: xã 12 + x22 = 12.
b) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 12.6: Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0.
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia.

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n: ã 1 2

1 1 7

x x .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa biĨu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2.

Bài 12.7: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0. (1).
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2. Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 12.8: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0.

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó h y tìm hệ thức liên hệ giữa xã 1, x2
không phụ thuộc vào m.

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả m n hệ thức : ã

1 2

2 1

6 0.

x x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 12.9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0. ( m là tham số). 
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn nhất.

Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phng trỡnh bc hai.

1.Phơng pháp giải:

* Biu thc gia x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức khơng đổi.

* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số).
Chẳng hạn:

x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 = S2 – 2P.

x12 + x23 = (x1+ x2)3 - 3 x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.
2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1 1 2

1 1 2

;

x x S x x x x S P

x x x x P x x x x P

  

 

.
2.Các bài tập vận dụng:

Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 + mx + 1 = 0. Tính giá trị của c¸c biĨu thøc sau;

a) x13 + x23 b)

2 2

1 2

2 2

2 1

x x
x  x

Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m sao cho x14 + x24 ≤ 32.
Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x2 của phơng trình bậc hai khụng ph thuc vo tham s.

1.Phơng pháp giải:

* Tỡm điều kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥ 0.
* Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.

* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S, P ( tức là hệ thức gia x1, x2 ) khụng ph

thuộc vào m
2.Các bài tập vận dụng:

Bài 14.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 2(m 1)x + m2 - 1 = 0 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 
không phụ thuộc vào m?

Bài 14.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 (m – 3)x + 2m + 1 = 0 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 
không phụ thuộc vào m?

Bài 14.3: Cho phơng trình : x2 (2m3)x m 23m 2 0.

a) Chứng minh rằng phơng trình ln có nghiệm với mọi m ;
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau ;

c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 c lp vi m ?

Bài 14.4: Cho phơng tr×nh : (m 2)x2 2(m 4)x(m 4)(m2) 0 (m 2)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiƯm kÐp :

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ;

c) TÝnh theo m biÓu thøc 1 2

1 1

A

x x

 

  ;

d) Tìm m để A = 2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Chøng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ;

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

2 2

1 2

2(x x ) 7

A

x x

 





c) Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là số nguyên.
HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 + x2 = m ; x1x2 = -4.

Ta cã 2

2 7
8
m
A
m



 xác định với mọi m và 
2

2 7

2 8 7 0

m

A Am m A

m



     

 (*)

 Víi A = 0 th× m = 3,5.

 Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiƯm nªn ∆ ≥ 0

1
1
8
A
   

1
8
MaxA
 

. Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8.
Dạng 15: Giải hệ phơng trình đối xứng hai ẩn.

1.Ph¬ng pháp giải:

* H gi l i xng hai n x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bi x.
* Cỏch gii:

+ Đặt S = x + y, P = x.y.

+ Đa hệ đã cho về hệ mới hai ẩn S, P. Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y.
+ Giải tìm S, P. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0.

+ NÕu ( x, y ) là nghiệm thì ( y, x ) cũng là nghiệm.
2.Các bài tập vận dụng:

Bài 15.1: Giải hệ phơng trình:

2 2

5
5

x y xy
x y

  




 

 b) 2 2

2 7

x y xy

x y
  


 

c)
2 2
11

3( ) 28

x y xy

x y x y

  


   
 d) 
13
6
5
x y
y x
x y

 



  

e)
2
2
2 3
2 3

x xy x
y xy y

 

Một số phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
Dạng 1: Giải phơng trình trùng phơng(ax4 + bx2 + c = 0)

1.Phơng pháp giải:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Phơng trình trùng phơng có 4 nghiệm phân biệt khi (1) có hai nghiệm dơng phân

bit, khi ú ta gii h sau theo m :

0
0

S
P

Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm trái dấu P0

Phơng trình trùng phơng vô nghiệm khi (1) vô nghiệm ( < 0) hoặc (1) có hai

nghiệm cùng âm, tức là:

0
0
0

S
P

2.Các bài tập vận dụng:

Bi 1.1: Cho phng trình: x4 2(m1)x2m2 0 (1). Xác định m để phơng trình :
a) Có 4 nghiệm phân biệt.

b) V« nghiƯm.

c) Cã 3 nghiệm phân biệt.
Dạng 2: Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu.

1.Phơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm ĐKXĐ của phơng trình.

Bc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.
Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc.

Bớc 4: Đối chiếu nghiệm tìm đợc với ĐKXĐ, loại các giá trị khơng thoả mãn, các giá trị thoả 
mãn ĐK là nghiệm của phơng trình đã cho.

 Giải và biện luận phơng trình chứa ẩn ở mẫu.
* Đặt ĐK để phơng trình có nghĩa;

* Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu;
* Giải và biện luận phơng trình bậc hai;
* Kiểm tra điều kiện và kết luận.
2.Các bài tập vận dụng:

Bµi 2.1: Giải các phơng trình sau:

2 5 3

)

1 2

x x

a

x x



4 1

)

2 2

x x
b

x x




 

2 5 5

)

2 3 5 6

x
c

x  x x  x 2

1 3 1

) 1

3 27 4 3

d

x x

Bài 2.2: Giải các phơng trình sau:

2
2

2 1 4 5

) 1

2 3 2 2 6

x x x

a

x x x x

  

  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2 2 2 2

1 1 1 1 1

)

5 6 7 12 9 20 11 30 2

b

x  x x  x x  x x  x 

Bµi 2.3: Giải phơng trình sau:

2
(1 )
1
1
x
x
mx

( m là tham số )

Bài 2.4: Giải các phơng trình sau:

2 3

3 2 (3 2)(3 2)

)

2 2 4 8

x x x

a

x x x x

  

 

   

2 2

2 2 10

)

3 3 ( 9)

x
b

x x x x x



 

 

Dạng 3: Giải phơng trình đa về dạng tích.
1.Phơng pháp gi¶i:

( ) 0
( ) ( ) 0

( ) 0

A x
A x B x

B x

2.Các bài tập vận dụng:
Bài 3.1: Giải các phơng trình sau:

a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0 b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0
c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – 1 = 0 d) x3 + 3x2 + x + 3 = 0.
Dạng 4: Phơng trình bậc ba có một nghiệm cho trớc.

1.Phơng pháp giải:

Phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) cã mét nghiÖm x =  .

Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:

1 1 2

1 1

( )( ) 0

x
x ax b x c

ax b x c



  



Giải phơng trình bậc hai

1 1 0

ax b x c 

ta đợc các nghiệm khác ngồi nghiệm x của phơng 
trình bậc ba.

 Sơ đồ Hoocner:
Chia đa thức

0 1 1

( ) n n ...

n n

P x a x a x  a x a



    

cho x  ta cã:

0 1 1

( ) ( )( n n ... )

n n

P x x  a x a x  a x a



      .

Sơ đồ xác định các bi :

a0 a1 a2 … an

 b0 b1 b2 … bn

Víi b0 = a0 vµ bi =  bi-1 + ai ( i = 1, 2, 3, , n )

2.Các bài tập vận dụng:
Bài 4.1: Giải các phơng trình sau:

3 2

) 6 11 6 0

) 5 7 2 0

a x x x

b x x x

   

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 4.2: Xác định m để phơng trình : x3(2m 3)x2(m2 2m2)x m 2 0 có ba nghiệm phân biệt ?
Bài 4.3: Xác định m để phơng trình : 6x3 7x216x m 0 có một nghiệm là 2. Tìm các nghiệm cịn lại ?
Bài 4.4: Xác định m để phơng trình : x3(2m1)x23(m4)x m 12 0 có ba nghiệm phân biệt ?
Dạng 5: Phơng trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d.

1.Phơng pháp giải:

* Phng trỡnh c vit thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m.

* Đặt t = x2 + (a + b)x, ta đợc phơng trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m.

* Giải tìm t sau đó tìm x bằng cách giải phơng trình : x2 + (a + b)x – t = 0.

2.Các bài tập vận dụng:

Bi 5.1: Gii phng trỡnh : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297.
Bài 5.2: Xác định m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt :

4 2 2

)( 1)( 3)( 5)

) (2 1) 0

a x x x m

b x m x m

Bài 5.3: Cho các số a, b, c, d thoả m n điều kiện : · a b c d   vµ ad bc 2m.
Giải phơng trình : (x a x b x c x d )(  )(  )(  )m2 0

HDẫn: Phơng trình đ cho tÃ ơng ứng víi :

2 ( ) 2 ( ) 2 0

x  a b x ab x   c d x cd m

Đặt tx2 (a b x ) .Vì a b c d nên

Ta cã :

2 2 2

2 2 2 2

( )( ) 0 ( ) 0

( ) 4( ) ( ) 4 .

t ab t cd m t ab cd t abcd m

ab cd abcd m ab cd m

         

       

Vì ad bc 2m nên (ab cd )2 4m2, do đó  0.
Vậy phơng trình vơ nghiệm.

D¹ng 6: Phơng trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.
1.Phơng pháp giải:

Đặt 2 2

a b a b

t x x t

. Phơng trình trë thµnh:

4 4

( ) ( )

2 2

a b a b

t   t  c
Khai triển và rút gọn ta đợc phơng trình trùng phơng của ẩn t.

Chó ý: (x y )4 x44x y3 6x y2 24xy3y4
2.Các bài tập vận dụng:

Bài 6.1: Giải phơng trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 .
 Bài 6.1: Giải các phơng trình :

4 4

)( 2) ( 4) 82

a x  x 

4 4

)( 2) ( 8) 272

b x  x 
4

)( 2) ( 1) 33 12 2

c x x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b)Đặt x + 5 = y.

c) x = 1 là một nghiệm. Với x > 1, VT > VP. Với x < 1, VT < VP. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.
Dạng 6: Phơng trình dạng ax4bx3cx2bx a 0 (1) ( PT bc 4 cú h s i xng).

1.Phơng pháp giải:

* x = 0 không là nghiệm của phơng trình;

* Chia hai vế của phơng trình cho x2, ta đợc:

2
2

1 1

( ) ( ) 0

a x b x c

x x

 

* Đặt

2 2 2 2

1 1 1