Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chiếu và phương pháp cực-đối cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HUỆ

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ
PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2018


2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ HUỆ

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU VÀ
PHƯƠNG PHÁP CỰC-ĐỐI CỰC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI
Thái Nguyên - 2018

i

Danh mục hình
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

8
9
10
11
15
16
17
18
21
22
25
28

Dựng đường đối cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ED, GH, BC đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N, A, N thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quỹ tích N = A B ∩ AB . . . . . . . . . . . . . . . . .
Điểm H cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IM ⊥BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(AHCD) = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A liên hợp với B qua (O, R) . . . . . . . . . . . . . . .
Dựng đường đối cực của điểm M đối với đường tròn
(O, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Điểm Gergone và đường thẳng Gergone . . . . . . . . .
2.11 BHE = DHF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
31
32

33
34
35
36
37

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng . . . .
AS, BT, CR đồng quy tại P . . . . . . . . . . .
Hình minh họa Mệnh đề 1.8 . . . . . . . . . . .
Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . .
Phép chiếu nổi M → M . . . . . . . . . . . . .
Hệ quả 1.2,P R0 : Π → Π = Π, C → C , l → δ .
Hệ quả 1.3,P R0 : Π → Π = Π, C → C l → δ , .
Minh họa Định lý Desargues . . . . . . . . . . .
P R0 : Π → Π = Π, C → C , I = AC ∩ BD → I
Hình thoi ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . .
Hai bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . .
Cắt nhau; tiếp xúc; đồng tâm . . . . . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

38
40
44


ii

2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23

E là trực tâm ∆F OS . . . . . . . . . . . .
Bốn đường thẳng đồng quy . . . . . . . .

M M1 , N N1 , P P1 đồng quy hoặc song song
Đường tròn cơ sở là (O) . . . . . . . . . .
Điểm C thuộc đường đối cực của A . . . .
Dựng hình nhờ cực-đối cưc . . . . . . . . .
Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
D thuộc tiêp tuyến chung của (O1 ), (O2 ) .
CD đi qua một điểm cố định . . . . . . .
M N ⊥OH . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RIS là góc nhọn . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

45
46
47
49
50
52
53
54
55
56
57
58


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

v

Mở đầu

1

1 Phương pháp chiếu và ứng dụng
1.1 Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng . . . . . .
1.1.1 Phép chiếu xuyên tâm và tỷ số đơn . . . . . . .
1.1.2 Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa . . . . . . . . .
1.2 Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng . . . . . . .
1.2.1 Các tính chất của phép chiếu P RO . . . . . . .
1.2.2 Phép chiếu song song từ mặt phẳng lên mặt phẳng
1.3 Biến đổi chiếu của đường thẳng, của đường tròn và của
mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phép chiếu nổi trong không gian . . . . . . . . . . . .
1.5 Ứng dụng của phép chiếu trong giải toán . . . . . . . .
1.5.1 Phương pháp chiếu với đường thẳng kỳ dị . . .
1.5.2 Phương pháp chiếu trong bài toán chứng minh .
1.5.3 Phương pháp chiếu trong bài tốn dựng hình .

13
14
17
17
20
24

2 Phương pháp cực-đối cực

2.1 Cực-đối cực đối với cặp đường thẳng
2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . .
2.1.2 Các ứng dụng . . . . . . . . .
2.2 Cực-đối cực đối với đường tròn . . .
2.2.1 Định nghĩa và các tính chất .

29
29
29
31
35
36

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

4
4
4
5
7
8
11


iv

2.3

2.2.2 Đường tròn cơ sở là đường
2.2.3 Đường tròn cơ sở là đường
2.2.4 Tạo đường tròn cơ sở . . .
Một số bài toán nâng cao . . . .

Tài liệu tham khảo

tròn nội tiếp .
tròn ngoại tiêp
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

39
44
47
52
62

v

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên
cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân cịn có sự hướng dẫn và giúp đỡ
nhiệt tình của q thầy cơ, cùng sự ủng hộ động viên của gia đình,
nhà trường và bạn bè trong q trình học tập và nghiên cứu luận văn.
Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS.
Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng,
người đã hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất
cho tơi hồn thành luận văn này. Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối
với những điều thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo, quý thầy
cô giảng dạy lớp Cao học K10B (2016 - 2018) Trường Đại học Khoa
Học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức
quý báu cũng như tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, ban giám
hiệu cùng các đồng chí tổ Tốn trường THPT Lý Thường Kiệt, Thủy
Nguyên, Hải Phòng, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi
điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hải Phòng, tháng 4 năm 2018
Người viết luận văn

Bùi Thị Huệ


1

Mở đầu

1. Mục đích của đề tài luận văn
Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa là những bất biến quan trọng
của hình học. Những ứng dụng của phép chiếu, của khái niệm cực-đối
cực rất phong phú trong hình học xạ ảnh cũng như hình học Euclid
mặc dù hiện nay các sách giáo khoa về hình học chưa có điều kiện
khai thác và vận dụng được nhiều. Với ý định muốn phát triển các
khái niệm này thành các phương pháp ứng dụng có hiệu quả trong
giải tốn hình học phẳng, tơi đặt vấn đề tìm hiểu đề tài "Phương pháp
chiếu và phương pháp cực-đối cực" làm luận văn của mình. Mục đích
của đề tài là:
- Nhắc lại và bổ sung về phép chiếu xuyên tâm và chiếu song song
trong mặt phẳng và trong không gian. Các ứng dụng của phép chiếu
trong giải tốn hình học phẳng: các dạng tốn chứng minh, dựng hình,
tìm quỹ tích. Đặc biệt, ứng dụng giải các bài tốn dựng hình bằng
dụng cụ hạn chế, loại tốn khó, ít có tài liệu đề cập đến.
- Trình bày cơ sở toán học của phương pháp cực-đối cực, một
phương pháp giải toán hiệu quả, hay gặp trong các kỳ thi học sinh
giỏi. Khái niệm cực-đối cực không chỉ đối với đường tròn mà còn xét
các trường hợp cực-đối cực đối với cặp đường thẳng, cực-đối cực đối
với tam giác,...
- Hai phương pháp giải tốn nói trên đều dựa vào khái niệm tỷ số
kép, một bất biến quan trọng của hình học xạ ảnh. Qua đây cũng có
thể giới thiệu cách áp dụng Tốn cao cấp vào hình học sơ cấp.


2

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Xuất phát từ khái niệm phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng,
luận văn trình bày các tính chất cơ bản của phép chiếu (xuyên tâm

và song song), sau đó xét đến phép chiếu từ đường thẳng lên đường
thẳng, đường trịn lên đường trịn,... Từ một số tính chất, định lý
cơ bản xây dựng phương pháp cực-đối cực đối với cặp đường thẳng
và cực-đối cực đối với đường tròn. Ứng dụng các phương pháp chiếu
và phương pháp cực-đối cực vào việc giải các bài tốn của hình học
phẳng. Trong các ví dụ minh họa luận văn có xét đến các bài toán
dành cho học sinh giỏi quốc gia và quốc tế với cách giải sử dụng hai
phương pháp đang xét (khác với các cách giải đã có). Nội dung của
luận văn chia làm 3 chương.
Chương 1. Phương pháp chiếu và ứng dụng
Nội dung chương 1 trình bày phép chiếu xuyên tâm (bao gồm
cả chiếu song song) từ mặt phẳng lên mặt phẳng, từ đường thẳng lên
đường thẳng, từ đường trịn lên đường trịn cùng các tính chất của
chúng. Phép biến đổi chiếu, thực chất là một biến đổi xạ ảnh, được
định nghĩa một cách sơ cấp thơng qua tích các phép chiếu. Sau đó
luận văn chứng minh các tính chất hay được sử dụng của phép biến
đổi chiếu, hình thành một phương pháp giải tốn hình học nhờ vào kỹ
thuật chọn phép chiếu thích hợp. Một loạt các ví dụ về các loại tốn
chứng minh (tính đồng quy, thẳng hàng), các bài tốn dựng hình, tìm
quỹ tích ... được minh họa cho phương pháp này. Nội dung của chương
gồm các mục:
1.1. Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng
1.2. Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng
1.3. Biến đổi chiếu của đường thẳng, của đường tròn và của mặt phẳng
1.4. Phép chiếu nổi trong không gian


3

1.5. Ứng dụng của phép chiếu trong giải toán

Chương 2. Phương pháp cực-đối cực và ứng dụng
Khái niệm cực liên quan đến tỷ số kép của bốn điểm, một bất
biến quan trọng của phép chiếu. Nội dung cơ bản của phương pháp
này là cách lựa chọn điểm là cực đối với cặp đường thẳng hay là cực
đối với đường tròn, từ đó áp dụng các tính chất cực-đối cực để giải
toán. Các loại toán thường gặp ở đây khá phong phú: Chứng minh
đồng quy, thẳng hàng, đường tròn trực giao, các bài tốn về đường
trịn. Cách áp dụng cực-đối cực thích hợp sẽ cho ta lời giải độc đáo,
bất ngờ.
2.1. Cực-đối cực qua một cặp đường thẳng
2.2. Cực-đối cực qua một đường tròn
2.3. Ứng dụng phương pháp cực-đối cực để giải toán
Tác giả


4

Chương 1
Phương pháp chiếu và ứng dụng
Chương này trình bày các phép chiếu trong mặt phẳng và trong
khơng gian. Đó là phép chiếu xuyên tâm và chiếu song song từ đường
thẳng lên đường thẳng, từ mặt phẳng lên mặt phẳng, phép chiếu biến
đường tròn thành đường tròn,...Ở đây cũng xét phép biến đổi chiếu
như là tích của các phép chiếu xuyên tâm hoặc song song. Đó là ý
tưởng khác với cách trình bày phép biến đổi xạ ảnh của "Hình học xạ
ảnh" trong [1]. Có thể coi phần lý thuyết ở đây được trình bày dựa
vào [1] nhưng đã "sơ cấp hóa" để có thể ứng dụng vào chương trình
phổ thơng. Các bài tốn ví dụ có tham khảo trong [3] và [4] với sự
phân tích và bình luận cần thiết.

1.1

Phép chiếu từ đường thẳng lên đường thẳng

1.1.1

Phép chiếu xuyên tâm và tỷ số đơn

Định nghĩa 1.1. Giả sử d, d’ là hai đường thẳng trong mặt phẳng.
Điểm O ∈
/ d, d . Phép chiếu xuyên tâm từ d lên d’ qua tâm O là một
ánh xạ sao cho mỗi điểm A ∈ d biến thành điểm A = OA ∩ d .
Phép chiếu xuyên tâm được ký hiệu bởi ro : d → d , A → A . Trường
hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu song song.
Định nghĩa 1.2. Giả sử d, d’ là hai đường thẳng trong mặt phẳng. l
là đường thẳng không song song với d hoặc d’. Phép chiếu song song


5

từ d lên d’ theo phương l là một ánh xạ biến mỗi điểm A ∈ d thành
điểm A = d ∩ l với l l
1.1.2

Tỷ số kép, hàng điểm điều hòa
(ABC)
được
(ABD)
ký hiệu (ABCD). Như vậy,
−−→

AD
: −−→ .
DB

Giả sử trên đường thẳng l cho các điểm A, B, C, D. Số
gọi là tỷ số kép của 4 điểm A, B, C, D,
−→
AC
(ABCD) = −−→
CB

Khi các điểm A và D trùng nhau, B và C trùng nhau thì (ABBD) = 0,
trong trường hợp đó, tỷ số kép (ABCD) khơng xác đinh. Cịn khi
B ≡ D thì một cách tự nhiên đặt (ABCD) = 0.
Bây giờ cố định các điểm A, B, C trên l. Lấy gốc tọa độ là B, chọn
trục hoành dọc theo hướng l từ A đến B. Ký hiệu hoành độ của D là
x và đặt |AB| = a, (ABC) = k thì từ định nghĩa có
(ABCD) = w(x) = −

kx
a+x

Từ đồ thị hàm số w ta thấy vị trí của D xác định duy nhất bởi số
w(x). Dễ chứng minh được các tính chất sau:
Tính chất 1.1. Nếu (ABCD) = w thì
a.(BADC) = (CDAB) = (DCBA) = w,
1
,
w
c.(BDAC) = (DBCA) = (ACBD) = (CADB) = 1 − w,

1
d.(DACB) = (ADBC) = (CBDA) = (BCAD) = 1 − ,
w
1
e.(DBAC) = (BDCA) = (ACBD) = (CABD) =
,
1−w
1
f.(ADCB) = (DABC) = (CBAD) = (BCDA) =
.
1
1−
w
Tính chất 1.2. Tỷ số kép được bảo toàn qua phép chiếu xuyên tâm
b.(BACD) = (ABCD) = (CDBA) = (DCAB) =


6

Mệnh đề 1.1. Cho các đường thẳng a,b,c,d đi qua một điểm và đường
thẳng l khơng qua điểm đó. Giả sử A,B,C,D là giao của l tương ứng
với a,b,c,d. Tỷ số kép của bốn đường thẳng a, b, c, d được kí hiệu là
(abcd), khi đó (abcd) = (ABCD).
Mệnh đề 1.2. Cho các điểm thẳng hàng A,B,C,D,X,Y đôi một phân
biệt (trừ X và Y), nếu (ABCX) = (ABCY) thì X ≡ Y .
Bốn điểm A, B, C, D trên đường thẳng mà tỷ số kép (ABCD) = −1
thì A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hòa. Các thuật ngữ sau
tương đương: "ABCD là một hàng điểm điều hòa ", "A và B liên hợp
điều hòa đối với C, D", "A và B chia điều hòa đoạn CD". Hàng điểm
điều hịa có các tính chất của tỷ số kép, ngồi ra nó cịn có các tính

chất đặc trưng mà ta liệt kê sau đây:
a. (ABCD) = −1 ⇔ (CDAB) = −1 (A liên hợp với B đối với C, D
thì C liên hợp với D đối với A, B; A và B chia điều hịa đoạn CD thì
C, D chia điều hòa đoạn AB).
b. (Các hệ thức Descartes, Newton, Malorin) Với I, J là trung điểm
2
1
1
của AB, CD, (ABCD) = −1 ⇔
=
+
⇔ IA2 = IC.ID ⇔
AB
AC AD
AC.AD = AB.AJ
c. Nếu D, E là chân các đường phân giác trong và phân giác ngồi góc
A của tam giác ABC thì (BCDE) = −1.
d. Từ điểm I nằm ngồi đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến IA, IB đến
đường tròn. Đường thẳng d đi qua I cắt đường tròn tại M, N và cắt
AB ở J. Khi đó (M N IJ) = −1 hay I, J liên hợp với nhau đối với
M, N .
Tính chất d. làm cơ sở cho ta xét cực và đường đối cực qua một
đường tròn, chi tiết được trình bày trong chương sau.
Tiếp theo ta xét phép "biến đổi chiếu của đường thẳng", một mở
rộng của phép chiếu có nhiều ứng dụng trong giải tốn.
Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f từ đường thẳng a đến đường thẳng b được
gọi là ánh xạ chiếu nếu nó là tích của các phép chiếu từ đường thẳng
lên đường thẳng, tức là tồn tại các đường thẳng a0 = a, a1 , a2 , ..., an = b
và các ánh xạ fi từ ai lên ai+1 là phép chiếu xuyên tâm hoặc phép chiếu

7

song song sao cho f là tích của các fi theo một thứ tự nào đó. Khi
b ≡ a thì f được gọi là phép đổi chiếu của đường thẳng a.
Sự xác định của biến đổi chiếu được giải thích trong các mệnh đề:
Mệnh đề 1.3. Mọi phép biến đổi chiếu của đường thẳng được xác
định duy nhất bởi ảnh của ba điểm tùy ý.
Mệnh đề 1.4. Một ánh xạ biến đường thẳng a thành chính nó và bảo
tồn tỷ sô kép của 4 điểm bất kỳ là một biến đổi chiếu.
Mệnh đề 1.5. Phép biến đổi f trên đường thẳng thực là biến đổi chiếu
khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng một hàm phân tuyến tính
ax + b
f (x) =
, trong đó a,b,c,d là các số thảo mãn ad − bc = 0.
cx + d

1.2

Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng

Định nghĩa 1.4. Giả sử Π và Π là hai mặt phẳng phân biệt trong
không gian , O là điểm tùy ý không thuộc Π, Π . Ta gọi phép chiếu tâm
từ Π lên Π qua tâm O là ánh xạ cho ứng với mỗi A ∈ Π với điểm
A = OA ∩ Π .
Điểm O là tâm chiếu, ta ký hiệu phép chiếu nói trên là P Ro : Π →
Π . Qua phép chiếu P Ro mỗi hình F trên Π thành hình F trên Π . Ta
gọi F là hình chiếu của F . Nếu Π Π thì mỗi hình F trên Π thành
hình F đồng dạng với F , ta có P Ro là phép đồng dạng phối cảnh
(hay phép vị tự) với tâm phối cảnh O.

Phần tiếp theo ta sẽ mặc định Π và Π cắt nhau theo một giao
tuyến.
Chú ý. Có hai đường thẳng đặc biệt; đường thẳng δ ∈ Π có tính chất
"mọi điểm trên δ khơng có hình chiếu trên Π ", nó là giao của Π và
mặt phẳng chứa O, song song với Π . Người ta gọi δ, δ là các đường
thẳng "kỳ dị" tương ứng trên Π, Π của phép chiếu P Ro . Hiển nhiên
δ δ.
Phép chiếu xuyên tâm P Ro làm hình dạng của một hình thay đổi
rất nhiều so với phép chiếu song song. Nhưng từ một hình phức tạp
bằng cách chiếu thích hợp ta có hình chiếu là một hình đơn giản nhất.


8

Hình 1.1: Phép chiếu từ mặt phẳng lên mặt phẳng

1.2.1

Các tính chất của phép chiếu P RO

Ta có các tính chất cơ bản của P RO
Tính chất 1.3. Phép chiếu P Ro biến dường thẳng Π (trừ δ) thành
đường thẳng thuộc Π và ngược lại biến đường thẳng thuộc Π (trừ δ )
thành đường thẳng thuộc Π.
Tính chất 1.4. Nếu l1 , l2 là hai đường thẳng của Π cắt nhau tại điểm
M ∈ δ thì hai hình chiếu l 1 l2 ( trên Π ) và ngược lại m1 m2 trên
Π thì các hình chiếu có giao điểm m1 ∩ m2 ∈ δ ⊂ Π .
Hệ quả 1.2.1. Qua phép chiếu xuyên tâm các đường thẳng song song
với δ biến thành các đường thẳng song song (và song song vơi δ ⊂ Π )
Tính chất 1.5. Phép chiếu xuyên tâm P Ro bảo toàn tỷ số kép của 4

điểm thẳng hàng.
Các mệnh đề sau đây làm cơ sở để định nghĩa khái niệm đường đối
cực của điểm qua cặp đường thẳng đồng quy (Mệnh đề 1.6) và qua
một tam giác (Mệnh đề 1.8).


9

Mệnh đề 1.6. a. Trên mặt phẳng cho cặp đường thẳng l1 , l2 và điểm
P ∈
/ l1 , l2 . Với hai điểm thay đổi A, B ∈ l1 và A = P A∩l2 , B = P B∩l2
tập hợp các điểm M = AB ∩ A B là một đường thẳng, ký hiệu là p.
Khi đó ta nói điểm P cho ứng với đường thẳng p
b. Nếu l1 ∩ l2 = Q thì p đi qua Q. Ngồi ra, P và P1 là hai điểm phân
biệt trên một đường thẳng qua Q thì P,P1 cùng ứng với p.
Định nghĩa 1.5. Đường thẳng p trong Mệnh đề 1.6 được gọi là đường
đối cực (hay cực tuyến) của điểm P, điểm P được gọi là cực của p qua
cặp đường thẳng đồng quy (l1 , l2 ).
Mệnh đề 1.7. Cho tam giác ABC, một đường thẳng p cắt các đường
thẳng AB,BC,CA tương ứng tại L,M,N. Ký hiệu R = AM ∩ BN, S =
BN ∩ CL, T = CL ∩ AM thì AS,BT,CR đồng quy tại P.

Hình 1.2: AS, BT, CR đồng quy tại P

Chứng minh. Thực hiện phép xuyên tâm từ mặt phẳng Π lên mặt
phẳng Π sao cho đường thẳng p thành đường thẳng kỳ dị δ của Π.
Khi đó các đường thẳng AM và BC biến thành A M B C , tương
tự, B N C A và C L A B . Các đường thẳng AS, BT, CR thành
các trung tuyến A S ,B T ,C R của tam giác A B C , chúng phải đồng
quy tại điểm P . Suy ra các đường thẳng AS, BT, CR đồng quy tại

P.
Mệnh đề 1.8. Trong mặt phẳng Π cho tam giác ABC và một điểm
Q. Ta ký hiệu K = QA ∩ BC, L = QB ∩ CA, M = QC ∩ AB. Khi đó,


10

các điểm R = KL ∩ AB, S = KM ∩ CA, T = LM ∩ BC cùng nằm
trên đường thẳng q.
Chứng minh. Thực hiện phép xuyên tâm từ mặt phẳng Π lên mặt
phẳng Π sao cho đường thẳng RS thành đường thẳng kỳ dị δ của Π.
Khi đó trên Π ta có K L A B , K M A C . Sau đó bằng một phép
chiếu song song ta biến tam giác A B C thành tam giác đều A B C .

Hình 1.3: Hình minh họa Mệnh đề 1.8

Trong trường hợp này các đường thẳng A K và B L cắt nhau
trên trục đối xứng C D của tam giác, các đường thẳng A K và C M
cắt nhau trên trục đối xứng B E của tam giác. Do đó, Q trùng với
giao C D ∩ B E, tức tâm của tam giác, còn L K , K M , M L là
các đường trung bình của tam giác. Do L M
B C nên theo tính
chất của phép chiếu song song thì L M B C và theo tính chất(1.4)
điều đó nghĩa là: giao điểm T = LM ∩BC cũng nằm trên đường thẳng
δ hay ba điểm R, S, T nằm trên một đường thẳng.
Định nghĩa 1.6. Điểm P trong Mệnh đề 1.7 được gọi là cực của
đường thẳng p, đường thẳng q trong Mệnh đề 1.8 được gọi là đường
đối cực của điểm Q qua tam giác ABC.
Chú ý. Từ đây có kết quả: cho một điểm dựng cực tuyến của nó hoặc
cho một đường thẳng dựng cực của nó đều chỉ cần dùng một thước.

11

1.2.2

Phép chiếu song song từ mặt phẳng lên mặt phẳng

Định nghĩa 1.7. Cho hai mặt phẳng Π và Π song song hoặc cắt nhau
và đường thẳng l cắt cả hai mặt phẳng. Gọi điểm A = l ∩ Π với l là
đường thẳng qua A, song song với l. Tương ứng A → A là một ánh
xạ từ Π lên Π , được gọi là phép chiếu song song theo phương l.
Dễ thấy phép chiếu song song không những làm thay đổi kích thước
mà cịn làm thay đổi hình dạng các hình. Chẳng hạn phép chiếu song
song có thể biến một đường tròn thành một elip. Tuy nhiên tỷ số đơn
của ba điểm ln được bảo tồn qua phép chiếu song song. Thật vậy,
khi Π và Π , cắt nhau, điều đó suy ra từ sự đồng dạng của các tam
giác P AA , P BB , P CC . Cịn khi Π Π , kết quả cũng hiển nhiên.

Hình 1.4: Phép chiếu song song

Bất biến này rất quan trọng khi biểu diễn một hình qua phép chiếu
song song. Ví dụ qua phép chiếu song song, trung điểm đoạn thẳng
biến thành trung điểm đoạn thẳng, trung tuyến, trọng tâm tam giác
được bảo tồn nhưng phân giác hay đường cao thì khơng.
Vì phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu
xun tâm nên nó có mọi tính chất của phép chiếu xuyên tâm như:
a. Hình chiếu song song của một đường thẳng không song song với

12

phương chiếu là một đường thẳng. Nếu đường thẳng song song với
phương chiếu thì hình chiếu của nó suy biến thành một điểm.
b. Mặt phẳng song song với phương chiếu (mặt phẳng chiếu) có hình
chiếu suy biến thành một đường thẳng.
c. Trong phép chiếu song song tính liên thuộc của một điểm và đường
thẳng, điểm và mặt phẳng được bảo tồn.
Ngồi ra phép chiếu song song có các tính chất riêng như: Qua phép
chiếu song song hai đường thẳng song song biến thành hai đường thẳng
song song; Phép chiếu song song bảo toàn tỷ số đơn; Qua phép chiếu
song song tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ số của hai hình chiếu.
Phép chiếu thẳng góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song
song khi phương chiếu vng góc với mặt phẳng chiếu. Ngồi các tính
chất của phép chiếu song song, phép chiếu thẳng có tính chất riêng,
chẳng hạn: "Cần và đủ để một góc vng biến thành góc vng là
một cạnh của góc vng song song với mặt phẳng chiếu."
Cách trình bày phép chiếu và các phương pháp chứng minh ở đây
hồn tồn sơ cấp, ít khi được trình bày trong các giáo trình hình học.
Thực ra vấn đề đơn giản hơn nếu ta bổ sung thêm điểm vô tận
trên mỗi đường thẳng và đường thẳng vô tận trên mỗi mặt phẳng để
giải quyết cái mà ta gọi là "đường thẳng kỳ dị" trên mỗi mặt phẳng,
"điểm kỳ dị" trên mỗi đường thẳng. Để có sự bình đẳng của các điểm
và các đường thẳng người ta đưa vào mặt phẳng một số quy ước sau:
Trên mỗi mặt phẳng có một đường thẳng xa vơ tận, cho đường thẳng
kỳ dị δ chiếu thành đường thẳng xa vô tận x ∈ Π và đường thẳng
kỳ dị δ trên Π có hình chiếu là đường thẳng vơ tận x ∈ Π. Khi đó
ta cũng nói mỗi điểm X ∈ δ trong Π được chiếu thành điểm xa vô
tận của Π . Các đường thẳng trong Π đi qua X chiếu thành các đường
thẳng song song trên Π và được coi là cắt nhau tại một điểm vô tận.

Mặt phẳng được bổ sung các điểm vô tận và đường thẳng vô tận theo
quy ước trên được gọi là "mặt phẳng xạ ảnh".


13

1.3

Biến đổi chiếu của đường thẳng, của đường
tròn và của mặt phẳng

Dựa vào phép chiếu (không phân biệt xuyên tâm hay song song)
Ta định nghĩa được phép biến đổi chiếu của đường thẳng, của đường
trịn và của mặt phẳng, đó là các khái niệm cơ bản của Hình học xạ
ảnh nhưng được diễn đạt bằng ngôn ngữ phép chiếu. Công cụ này
giúp ta giải được nhiều bài toán liên quan đến đường thẳng và đường
trịn. Ta đã có định nghĩa biến đổi chiếu của đường thẳng. Tính chất
cơ bản của phép biến đổi chiếu của đường thẳng là bảo toàn tỷ số kép
của 4 điểm trên đường thẳng đó. Từ đó ta cũng suy ra mỗi phép biến
đổi chiếu hồn toàn xác định khi biết ảnh của ba điểm cho trước.
Mệnh đề 1.9. Cho đường thẳng l, một đường tròn C và các điểm
M, N ∈ C, M, N ∈
/ l. Gọi f = prM : l → C, g = prN : C → l và đặt
δ = g ◦f (nếu X ∈ l thì ϕ(X) = N Y ∩l, trong đó Y = M X ∩C = M ).
Khi đó ϕ là một biến đổi xạ ảnh.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4 chỉ cần chứng minh ϕ bảo toàn tỷ
số kép. Lấy bất kỳ A = ϕ(A), B = ϕ(B), C = ϕ(C), D = ϕ(D),
đặt a, b, c, d tương ứng là các đường thẳng M A, M B, M C, M D và
a , b , c , d tương ứng là các đường thẳng N A , N B , N C , N D . Khi đó
theo mệnh đề ta có (ABCD)=(abcd) và (A B C D ) = (a b c d ) và

định lý về góc nội tiếp (a, c) = (a c ), (b, c) = (b c ), ... Từ đó suy ra:
(abcd)=(a’b’c’d’).
Mệnh đề 1.10. Cho đường thẳng l, một đường tròn C và các điểm
M, N ∈ C, M, N ∈
/ l. Gọi f = prM : l → C, g = prN : C → l còn D
là phép dời hình bảo tồn đường trịn C (tức D là phép quay tâm quay
tâm quay là tâm đường tròn hoặc D là phép đối xứng qua một đường
kính của C). Khi đó f −1 ◦ D ◦ f là một biến đổi xạ ảnh.
Chứng minh. Gọi N = D−1 (M ), m = D(l), p = prN : l → C, q =
prM : m → l. Khi đó f −1 ◦ D ◦ f = q ◦ D ◦ p−1 ◦ f. Nhưng theo Mệnh
đề 1.9, p−1 ◦ f là một biến đổi xạ ảnh.


14

Định nghĩa 1.8. Cho các đường tròn S, S1 , ..., Sn ≡ S và các đường
thẳng d1 , d2 , ..., dn−1 . Ký hiệu các phép chiếu như sau:
f1 = prO1 : S → d1 , với tâm O1 ∈ S, f2 = prO2 : d1 → d2 , với tâm O2
nào đó
f3 = prO3 : d2 → S3 , với tâm O3 ∈ S3 ,
f4 = prO4 : S3 → d4 , với tâm O4 ∈ S3 , O4 = O3 ,
... = ...
fn = prOn : dn → Sn = S, với tâm On ∈ S.
Ánh xạ tích ϕ = fn ◦ ... ◦ f2 ◦ f1 : S → S được gọi là phép biến đổi
chiếu của đường tròn.
Như vậy, qua một biến đổi chiếu của đường tròn, ảnh của điểm
A ∈ S → A1 ∈ d1 → A2 ∈ d2 → ... → A ∈ S. Đối với 4 điểm
A, B, C, D ∈ S ta sẽ coi tỷ số kép của 4 điểm đó là tỷ số kép của 4
điểm A1 , B1 , C1 , D1 là ảnh của A, B, C, D qua phép chiếu prP : S →
l(nào đó). Như vậy (ABCD) = (A1 B1 C1 D1 ) = (P A, P B, P C, P D).

Do phép chiếu (từ đường thẳng lên đường tròn, từ đường tròn lên
đường thẳng) bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm. Phép biến đổi này cũng
được xác định khi biết ảnh của 3 điểm bất kỳ trên đường tròn. Tương
tự với phép biến đổi chiếu trên đường thẳng ta có phép biến đổi chiếu
trên mặt phẳng.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ δ từ mặt phẳng Π lên măt phẳng Π được
gọi là ánh xạ chiếu nếu nó là tích của các phép chiếu xun tâm và
các ánh xạ affine (ánh xạ bảo tồn tính thẳng hàng của 3 điểm). Khi
Π ≡ Π thì f được gọi là phép biến đổi chiếu của mặt phẳng Π.

1.4

Phép chiếu nổi trong không gian

Định nghĩa 1.10. Trong không gian cho mặt cầu σ và mặt phẳng
Π tiếp xúc mặt cầu tại điểm A. Gọi điểm xuyên tâm đối của A là
O. Ta gọi phép chiếu nổi trên σ lên Π là phép chiếu xuyên tâm O
M ∈ σ → M = OM ∩ Π , M = O.


15

Hình 1.5: Phép chiếu nổi M → M

Ta xét một tính chất quan trọng của phép chiếu nổi: "Phép chiếu
nổi biến mỗi đường tròn C trên mặt cầu σ thành đường tròn C hay
đường thẳng d trên Π và ngược lại mỗi đường tròn C hay đường thẳng
d trên Π là ảnh của đường trịn nào đó trên σ.
Thật vậy, trường hợp đường tròn C đi qua tâm chiếu O kết luận là
hiển nhiên. Trong trường hợp đường tròn C khơng đi qua O ta coi C

là đường trịn tiếp xúc giữa mặt cầu σ và một mặt nón N hoặc giữa
mặt cầu σ và mặt trụ T . Lấy bất kì M ∈ C gọi M ∈ Π là hình chiếu
của M , qua phép chiếu nổi, gọi P = OP ∩ Π với P là đỉnh của hình
nón hoặc P = Om ∩ Π với Om là trục của hình trụ. Từ việc xét các
tam giác đồng dạng (trong cả hai khả năng) ta suy ra quỹ tích điểm
M là đường trịn tâm P , bán kính khơng đổi. Phần ngược lại làm
tương tự.
Từ tính chất trên ta suy ra hai kết quả liên quan đến ảnh của đường
tròn qua phép chiếu xuyên tâm.
Hệ quả 1.2. Giả sử trên mặt phẳng Π cho đường tròn C và một
đường thẳng l khơng cắt đường trịn. Khi đó tồn tại một phép chiếu
xuyên tâm P RO : Π → Π = Π sao cho C = P RO (C) là một đường
tròn trên Π còn l biến thành đường thẳng xa vô tận của Π .


16

Hình 1.6: Hệ quả 1.2,P R0 : Π → Π = Π, C → C , l → δ

Chứng minh. Dựng mặt cầu σ chứa C và khơng có điểm chung với l.
Sau đó dựng mặt phẳng α chứa l và tiếp xúc với σ. Gọi O là tiếp điểm
của α và σ, dựng Π α, tiếp xúc với mặt cầu σ tại điểm A. Qua phép
chiếu P RO : Π → Π đường tròn C biến thành đường tròn C ⊂ Π
(theo tính chất phép chiếu nổi), cịn đường thẳng l do nằm trên α Π
nên biến thành đường thẳng xa vô tận của Π .
Hệ quả 1.3. Giả sử trên mặt phẳng Π cho đường tròn C và một
điểm Q ở trong đường trịn. Khi đó tồn tại một phép chiếu xuyên tâm
P RO : Π → Π = Π sao cho C = P RO (C) là một đường trịn trong Π
có tâm là Q = P RO (Q).
Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp Q không là tâm của C. Kẻ

qua Q hai dây cung AC, BD bất kỳ và xét tứ giác ABCD nội tiếp
trong C. Gọi E = AB ∩ CD, F = AD ∩ BC. Do các tiếp tuyến kẻ từ E
tới C tiếp xúc với đường tròn tại các điểm nằm trên các cung AB, CD
nên EF không cắt C. Dùng phép chiếu từ Π lên Π = Π sao cho C biến
thành một đường trịn nào đó, cịn EF biến thành đường thẳng xa
vô tận (thực hiện được do hệ quả 1.3). Khi đó tứ giác ABCD sẽ biến
thành hình bình hành A B C D nội tiếp trong C , tức A B C D là
hình chữ nhật. Giao điểm Q = BD ∩ AC biến thành Q = A C ∩ B D
(giao hai đường chéo hình chữ nhật), tức tâm của C .


17

Hình 1.7: Hệ quả 1.3,P R0 : Π → Π = Π, C → C l → δ ,

1.5

Ứng dụng của phép chiếu trong giải toán

Ta gọi phương pháp lựa chọn phép chiếu thích hợp chuyển bài tốn
về bài tốn đơn giản hơn là Phương pháp chiếu. Sau đây ta sẽ xét các
bài toán giải bằng phương pháp chiếu theo các kỹ thuật sau: lợi dụng
các tính chất của "đường thẳng kỳ dị" (cũng là chọn được phép chiếu
thích hợp), sử dụng tích các phép chiếu giải các bài tốn chứng minh,
dùng các khái niệm điểm bất động để dựng hình.
1.5.1

Phương pháp chiếu với đường thẳng kỳ dị

Khái niệm đường thẳng kỳ dị trên mặt phẳng Π hoặc Π trở thành

một cơng cụ có ích trong các phép chứng minh. Trong nhiều trường
hợp đường thẳng kỳ dị định hướng cho ta xác định phép chiếu thích
hợp. Ta ln có thể tìm được phép chiếu xuyên tâm để một đường
thẳng ∆ cho trước trở thành đường thẳng kỳ dị: Thực hiện phép chiếu
xuyên tâm từ Π lên mặt phẳng sao cho đường thẳng ∆ thành đường
thẳng kỳ dị δ trong Π bằng cách dựng qua ∆ một mặt phẳng bất kỳ


18

(Π1 Π , Π1 = Π ), sau đó lấy điểm O ∈ Π1 , thực hiện phép chiếu
prO : Π → Π thì ∆ trở thành đường thẳng kỳ dị trong Π.
Sau đây ta áp dụng cách làm như trên (biến đường thẳng đã cho
thành đường thẳng kỳ dị) để chứng minh một số định lý nổi tiếng.
Ví dụ 1.5.1. (Định lý Desargues) Trên mặt phẳng Π cho hai tam giác
ABC, A1 B1 C1 . Khi đó AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại O khi và chỉ khi
P = BC ∩ B1 C1 , Q = AC ∩ A1 C1 , R = AB ∩ A1 B1 thẳng hàng.

Hình 1.8: Minh họa Định lý Desargues

Chứng minh. Phần thuận. Chiếu mặt phẳng Π lên mặt phẳng Π sao
cho đường thẳng QR trở thành đường thẳng kỳ dị δ của Π. Ta có hình
vẽ a. biến thành hình vẽ b. Theo tính chất của phép chiếu xuyên tâm:
OC
OA
OB
OA
A B A1 B 1 , A C A1 C 1 . Suy ra:
=
và

=
O1C 1
O 1 A1
O1B 1
O 1 A1
OC
OB
tức là
=
, do đó B C
B 1 C 1 và giao điểm P của hai
O1C 1
O1B 1
đường thẳng BC, B1 C1 phải nằm trên δ ∈ Π, tức là P ∈ QR.
Phần đảo. Thực hiện phép chiếu xuyên tâm từ Π lên Π sao cho đường
thẳng (P QR) trở thành đường thẳng kỳ dị δ ∈ Π. Khi đó các tam giác
ABC,A1 B1 C1 biến thành các tam giác đồng dạng A B C , A1 B1 C1 với