Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (844.87 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức 
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung. 
- Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân các giới hạn để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn lim



n3n2 n 1



Ta có: lim



n3 n2 n 1



limn3 1 1 12 13

n n n

 

         

 

2. Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ 
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

- Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.
Ví dụ: Tính giới hạn lim2 1

n


 .

Ta có:

1
2

2 1 2

lim lim 2

1 1 1

n n

n




  

 

3. Dạng 3: Giới hạn của dãy số chứa căn thức 
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp ở dạng 1 có dùng được khơng.
+) Nếu được thì ta dùng phương pháp ở dạng 1.

+) Nếu không ta sẽ chuyển qua bước dưới đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp và đưa về dạng 1.
Ví dụ: Tính giới hạn lim



n2 2nn



Ta có:





lim n 2nn 











2 2

lim

n n n n n n

n n n

   

 





2 2

2
lim

n n n

n n n

 



  2

2
lim

2
n

n n n



 

2 2

lim 1

1 1
2

1 1

n

  


 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2
Phƣơng pháp:

- Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa với cơ số lớn nhất.
- Bước 2: Sử dụng nhận xét limqn 0 với q 1.

Ví dụ:

2
1

2 5 5 0 1 1

lim lim

2.3 3.5 3 2.0 3 3

2. 3.1
5

n
n n

n

n n

  
 

      

    

 

 

5. Dạng 5: Tính giới hạn bằng chứng minh hoặc dùng định nghĩa 
Phƣơng pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số

     

un , vn , w . n
Nếu un vn wn,n và limun limwn  L limvn L.

Ta thường sử dụng phương pháp này cho việc tính giới hạn các dãy số có chứa sin, cos.
Ví dụ: Tính limsin 3n

n .

Ta có: 1 sin 3n 1 1 sin 3n 1

n n n



     

Mà lim 1 0; lim 1 0

n n

   

   

    nên

sin 3

lim n 0

n  .

6. Bài tập

Câu 1. Tính giới hạn của dãy số

2 1

n

n k

k

k
u








.:

A.  B.  C. 3 D. 1

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có: 1 1 1 12 ... 11 2 11

2 2 2 2 2 2

n n n n

n

u  u        

 

1 3 2 1

lim 3

2 n 2 2n n

n

u  u

     .

Câu 2. Tính giới hạn của dãy số 2

n
n

k

n
u

n k







.:

A.  B.  C. 3 D. 1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

Ta có: 2 2 2 1 21

1 1 1

n n

n n n

n u n u

n n n n n

 

     

   

1 0 lim 1

n n

n

u u

n

     

 .

Câu 3. Tính giới hạn của dãy số 2

2 ... n

n

u  q q  nq với q 1.:

A.  B.  C.





1
q

q

 D.





1
q

q



Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có: 2 3 1

... n n

n n

u qu  q q q  q nq 

1
(1 )

n
n
n

q

q u q nq

q





   

 . Suy ra lim





n

q
u

q



 .

Câu 4. Biết





3 3 3 3

1 2 3 ...

lim ,

n a

a b

n b

     

 . Giá trị của

2 2

2a b là:

A. 33 B. 73 C. 51 D. 99

Hƣớng dẫn giải 
Chọn D.

Câu 5. Tính giới hạn của dãy số 1 1 ... 1

2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1

n

u

n n n n

   

     :

A.  B.  C. 0 D. 1

Hƣớng dẫn giải 
Chọn D.

Ta có: 1 1 1

(k1) k k k1 k  k1

Suy ra 1 1 lim 1

n n

u u

n

   



Câu 6. Tính giới hạn của dãy số

3 3 3

( 1) 1 2 ...

3 2

n

n n

u

n n

   



  :

A.  B.  C. 1

9 D. 1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Chọn C.

Ta có:

3 3 3 ( 1)

1 2 ...

3
n n

n   

     

 

Suy ra

2
3

( 1) 1

lim

3(3 2) 9

n n
n n
u u
n n


  
  .

Câu 7. Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1. Tìm giới hạn

2
2
1 ...
lim
1 ...
   

   
n
n

a a a

I

b b b .

A.  B.  C. 1




b

a D. 1

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có 1, ,a a2,...,a là một cấp số nhân công bội n a

1
2 1
1 ...
1


    

n
n a

a a a

a
Tương tự
1
2 1
1 ...
1



    

n
n b

b b b

b

Suy ra lim

1
1
1
1
1
lim
1 1
1





 
 

n
n
a

b
a
I
b a
b

( Vì a 1,b1 liman1limbn10).

Câu 8. Cho dãy số (un) được xác định bởi:

0
1 2
2011
1
n n
n
u
u u
u




  

 . Tìm

limun

n .

A.  B.  C. 3 D. 1

Hƣớng dẫn giải 
Chọn C.

Ta thấy un 0, n
Ta có: 3 3

1 3 6

3 1
3
n n
n n
u u
u u

     (1)

Suy ra: 3 3 3 3

1 3 0 3

n n n

u u   u u  n (2)

Từ (1) và (2), suy ra:





3 3 3

1 3 3 2 2

0 0

1 1 1 1

3 3

3 3 3 9

n n n

u u u

u n u n n n

         

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5
Do đó: 3 3

0 2

1 1

1 1 1 1

3 9

n n

n

k k

u u n

k k

 

  







(3)

Lại có: 2

1 1 1 1 1

1 ... 2 2

1.2 2.3 ( 1)

n

k k n n n

       





. 2

1 1

n n

k k

n n

k k

 

 



Nên: 3 3 3

0 0

2 2

3 3

9 3

n

u  nu u  n 

Hay

3 3 3

0 0 2 2

3 3

9 3

n

u u u

n n n n n

      .

Vậy

limun 3
n  .

Câu 9. Cho dãy số

 

un được xác định bởi





1
3

2 1 n n 2

u

n u  nu n





    

 Tính limu n.

A. limun 1. B. limun 4. C. limun 3. D. limun 0.
Hƣớng dẫn giải

Chọn A.

Câu 10. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1
2

, 1
2

n

u

u n

u



 



  




. Tìm kết quả đúng của limu . n

A. 0. B. 1. C. 1. D. 1
2
Hƣớng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5.;...

2 3 4 5 6

u  u  u  u  u 

Dự đoán

n

n
u

n



 với

n

Dễ dàng chứng minh dự đốn trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó lim lim lim 1 1

1
1

n

u

n

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội 
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên 
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng 
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và 
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các 
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường 
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp 
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả 
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

<b>MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ </b>































     













<sub></sub>

<sub></sub>



















 





<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về