PHUONG PHAP HAM SO VA CAC BAI TOAN CO THAM SO

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.25 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ

TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN

Biên soạn: Gv Nguyễn Trung Kiên 0988844088 
(Dành cho học sinh lớp 11 và LTĐH)
Trong khai triển nhị thức Niu tơn ta thường gặp hai cách khai triển sau

a+b¿n=

∑

k=0
n

Cnkakbn − k=C
n
0bn+C

n
1abn− 1

+.. ..+Cnnan

(1)

a+b¿n=

∑

k=0
n

Cnkan − kbk=Cn0an+C1nan− 1b +.. . .+Cnnbn(2)

Ngoài ra học sinh cần nắm chắc các hệ thức sau
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1

k n k

n n

k k k

n n n

k k
n n
k k
n n
k k
n n
C C

C C C

n k
C C
k
C C
k n
kC nC


 






 
 


 
















 





 







1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 !

1 1

( 2)

( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! !

k
m k

k m k m m m k m k

m k k

C  m k m m k m m k m k


 
        
        
        
1 2
1

1 1 1

2 k k

m k m k

m

m C  C 

  

 



   

  

Các hệ quả cần nắm

1+x¿n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+. .. .+Cnnxn

1+x¿n=Cn0xn+Cn1xn− 1+.. .. ..+Cnn

¿
¿

1− x¿n=Cn
0

−Cn
1

x+Cn
2

x2−Cn
3

x3+.. . .+Cn
n

xn

1− x¿n=Cn0xn− C1nxn −1+C2nxn −2.. .. .+Cnn
¿

Dạng 1: Tính tổng các số hạng trong khai triển 
Ví dụ 1: Tính các tổng sau

1. S1=Cn
0

+Cn
1

+. . .. .. Cn
n

2 . S2=C2 n0 +C2 n2 +. .. .+C2n2n

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Xét khai triển 1+x¿n=Cn
0

+Cn
1

x+Cn
2

x2+. .. .+Cn
n

xn

¿ cho x=1 ta có ngay S1=2

2. Xét khai triển 1+x¿2 n=C2 n0 +C12nx+C2 n2 x2+. .. . .. .+C2 n2 n
¿

Cho x=1 ta có 22 n=C2n0 +C2 n1 +C2 n2 +. .. .. . .+C2 n2 n

Xét khai triển 1− x¿2 n=C2 n0 −C12nx+C2 n2 x2−. .. .. . .+C2 n2 n

¿ (1)

Cho x= 1 ta có 0= C2 n

−C2 n
1

+C2 n
2

− .. . .. ..+C2 n
2 n

(2)
Cộng 2 vế (1) và (2) ta có S2 = 22n-1

Hs tự tính câu S3 tương tự như tính S2

Dạng 2: Tìm số hạng thứ k trong khai triển

Phương pháp: Viết khai triển ở dạng tổng quát
Tách riêng phần số và chữ trong khai triển
Giải điều kiện tìm hệ số

Ví dụ: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển

a. (1+x2)8 c. 1+x3+1
x¿

10
¿

b. (1 x x4 6) d. 1+2 x¿
12

(3+2 x)¿
Giải:

a.Ta có 1+x2¿8=

∑

k=0
8

C8kx2 k

X10 ứng với 2k=10 ⇔ k= 5 hệ số đó là C

8
5

b.Ta có (1 x x4 6) =

1+x¿6 − k

∑

k=0
6

C6kx4 k¿ =

1+x¿5+¿

1+x¿6+C61x4¿

C60¿

1+x¿4

C62x8¿ +…..+ C6
6

x24

Ta thấy x10 chỉ tồn tại trong khai triển 1+x¿

C62x8

¿ và nó ứng với phần hệ số của số hạng chứa x

trong khai triển (1+x)4 nhân với C

2 ⇒ hệ số chứa x10 trong khai triển là C

6
2C

2 .
c.Ta có 1+x3+1x¿10

1+x+x4

¿10
¿
¿
¿

số hạng chứa x10 trong khai triển ứng với số hạng chứa

x20 trong khai triển 1+x2+x4¿10
¿

Cách tìm số hạng chứa x20 như trong câu b

d. 1+2 x¿12

(3+2 x)¿ =

1+2 x¿12

1+2 x¿12+2 x¿

3¿

Từ đó tìm số hạng chứa x10 trong 2 khai triển và cộng lại

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1) Dùng các khai triển để tính tổng

Ví dụ 1):Chứng minh các hệ thức sau

a. .Cm0Cnk+Cm1Cnk − 1+Cm2Cnk − 2+. . .. .. .+CmmCnk −m=Cm+nk

Cnn¿2=C2 nn
Cn2¿2+. .. . .. .+¿

Cn1¿2+¿
Cn0

¿2+¿
¿

Giải

Theo kt niu tơn ta có:

1+x¿n=Cn
0

+Cn
1

x+Cn
2

x2+. .. .+Cn
n

xn

1+x¿m=Cm0+Cm1 x+Cm2 x2. .. .. .+Cmmxm

¿
¿
Từ đó suy ra

1+ x¿m+n=¿

¿ ¿(Cn
0

+Cn
1

x +Cn
2

x2+.. ..+Cnnxn)(Cm0+Cm1 x+Cm2 x2. .. .. .+Cmmxm) (1)
Mặt khác theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có

1+x¿m+n=Cm +n0 +Cm +n1 x +Cm+ n2 x2+.. .. . .+Cm +nk xk+. .. .+Cm+nm+nxm+n

¿ (2)

Phần hệ số chứa xk trong (1) là .C

m
0

Cn
k

+Cm
1

Cn
k − 1

+Cm
2

Cn
k − 2

+. . .. .. .+Cm
m

Cn
k −m
Phần hệ số chứa xk trong (2) là Ck

m+k

Từ đó suy ra điều phải cm.

Câu b chỉ là một kết quả của câu a.

Ví dụ 2:

Đặt S=

Cnn¿2

−1¿n¿

Cn3¿2+. .n. .. .+¿

Cn2¿2−¿

Cn
1

¿2+¿

Cn
0

¿2−¿
¿

Chứng minh rằng S=0 nếu n lẻ
S= −1¿

n

2(n+2)(n+4). .. . .(2 n)

2 . 4 .. . .n

nếu n chẵn.

0 1 2 2

(1 )n .... ( 1)n n n(1)

n n n n

x C C x C x C x

      

1+1
x¿

n

=Cn0+Cn11
x+Cn

2 1

x2+Cn

3 1

x3+.. .. .+Cn

n 1

xn(2)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1− x2¿n
¿

Cn0−Cn1x+Cn2x2−. .. .+(− 1¿nCnnxn)(Cn0+Cn1

1
x+Cn2

x2+. . .+Cn

n 1

xn)

Số hạng không chứa x ở vế phải của đẳng thức là

Cnn¿2

−1¿n¿

Cn3¿2+. .n. .. .+¿

Cn2¿2−¿

Cn
1

¿2+¿

Cn
0

¿2−¿
¿

Khi n lẻ mọi số hạng trong khai triển đều chứa lũy thừa bậc chẳn của x từ đó suy ra số hạng
khơng chứa x bằng 0

Khi n chẳn dễ thấy số hạng không chứa x ở vế trái ứng với số hạng chứa xn trong khai triển (1 –

x2) n và số hạng đó là −1¿

n
2C

n
n
2
¿

đó là điều phải cm.

2) Dùng đạo hàm để tính tổng

Trong q trình tính tổng nếu trước các hệ số Ck

n mà có chứa các số hoặc tích các số thì

thơng thường ta phải dùng một khai triển sau đó xét đạo hàm của nó để suy rs tổng cần tính 
Ví dụ 1) Tính tổng sau

a) S C n02Cn13Cn2...(n1)Cnn

b) S2Cn0  3C1n4Cn2 ...



n2



Cnn Với n là số tự nhiên chẵn

GIẢI:

a) Xét khai triển





0 1
0

1 n n k k .... n n

n n n n

k

x C x C C x C x



 



   

Nhân hai vế của đẳng thức với x ta có





0 1 2 1

1 n n k k .... n n

n n n n

k

x x C x C x C x C x 



 



   

Lấy đạo hàm cả hai vế ta có









1 0 1 2

1 n 1 n 2 3 ...( 1) n

n n n n

x nx x  C C C n C

       

Cho x=1 ta có S=2n+n.2n-1

b) Xét khai triển





0 1
0

1 n n k k .... n n

n n n n

k

x C x C C x C x



 



   

nhân hai vế của đẳng thức với x2 ta có





2 0 2 1 3 2

1 n n k k .... n n

n n n n

k

x x C x C x C x C x 



 



   

lấy đạo hàm hai vế ta có









1 0 1 2 2 3 1

2 1 n 1 n 2 3 4 ... ( 2) n n

n n n n

x x nx x  C x C x C x n C x 

        

Cho x=-1 ta có S=0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trong q trình tính tổng nếu trước các hệ số tổ hợp có chứa các phân số hoặc tích các phân 
số thì ta phải xét một tổng thích hợp sau đó dùng phép tính tích phân để tính tổng. Việc lấy 
cận tính tích phân là tuỳ thuộc vào tổng cần tính

Ví dụ) Tính các tổng sau 
a)

0 1 1 1 2 ... 1

2 3 1

n

n n n n

S C C C C

n

    



b)

0 1 2

1 1 1 1

...

2 4 6 2 2

n

n n n n

S C C C C

n

    



c)

2 4 2 2

0 1

2 1 2 1 2 1

...

2 4 2 2

n

n n n

S C C C

n

  
   

Giải

a) Ta có





0 1
0

1 n n k k .... n n

n n n n

k

x C x C C x C x



 



   

. Lấy tích phân trên



0;1



cả 2 vế ta có













1 1 0 1 1 0 1 2 1 1

0 0

1 1 1

1 ... ( ... )

1 2 1

n

n n n n n

n n n n n n

x

x dx C C x C x dx C x C x C x

n n



         
 



1
2 1
1
n
S
n


 


b) Xét





2 2 0 1 2 2 4 2

1 n n k k ... n n

n n n n n

k

x C x C C x C x C x



 



    

. Nhân x vào 2 vế ta có



1 2



n



0 1 3 2 5 ... n 2n 1



n n n n

x x C x C x C x C x 

     

Lấy tích phân trên



0;1



cả hai vế ta có

























1 2 1 0 1 3 2 5 2 1

0 0

1 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 1

0
0

2 1 0 1 2

0
1

1 ...

1 1 1 1 1

1 ( 1) ...

2 2 4 6 2 2

1 1 1 1 1

1 ...

2 1 2 4 6 2 2

1
2

2 1

n n n

n n n n

n

n n

n n n n

n n

n n n n

n

x x dx C x C x C x C x dx

x d x C x C x C x C x

n

x C C C C

n n
S
n





     
 
        

 
      
 
 




c) Xét





2 2 0 1 2 2 4 2

1 n n k k ... n n

n n n n n

k

x C x C C x C x C x



 



    

. Nhân x vào 2 vế ta có



1 2



n



0 1 3 2 5 ... n 2n 1



n n n n

x x C x C x C x C x 

     

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





















2 2 2 0 1 3 2 5 2 1

1 1

2 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 2

1
1

2 4 6 2 2

2 2 0 1 2

1 ...

1 1 1 1 1

1 ( 1) ...

2 2 4 6 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 ...

2 1 2 4 6 2 2

n n n

n n n n

n

n n

n n n n

n
n

n n n

x x dx C x C x C x C x dx

x d x C x C x C x C x

n

x C C C C

n n




     
 
        

 
   
      
 







1 1
5 2
2 1
n
n
n n
S
n
 

 


4) Ứng dụng số phức để tính tổng

Để giải quyết các bài tốn dạng này học sinh cần nắm chắc dạng đại số và dạng lượng giác của
số phức từ đó áp dụng nhị thức Niu tơn..

Chú ý: Nếu số phức có dạng lượng giác là z r c ( osisin )  zn r cn( osn isinn )

Ta hãy xét ví dụ sau:

Tính các tổng sau:

a) S1  1 Cn2Cn4 Cn6...
b) S2 C1n Cn3Cn5 Cn7...

Ta có





1 1 2 2 ... (1 2 4 6 ...) ( 1 3 5 7 ....)

n n n

n n n n n n n n n n

i C i C i C i C C C i C C C C

               

Mặt khác ta có





n n

1 2( os isin ) 1 2 ( os isin )

4 4 4 4

n
n

i c   i c  

      

Từ dó suy ra
1
2
n
2 os
4
n
2 sin

4
n
n
S c
S





Ta có kết quả sau (1 Cn2Cn4 Cn6...)2 +(

1 3 5 7 ...

n n n n

C  C C  C  )2=2n

Các em học sinh hãy vận dụng để tính giá trị biểu thức sau:

0 2 4 2010

1 2010 2010 2010 2010

1 3 5 2009

2 2010 2010 2010 2010

...
...

S C C C C

    

    

5) Một số bài tập khác
 Ví dụ 1) Tính tổng sau

2 2 2

0 1

....

1 2 1

n

n n n

C C C

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Giải:

Ta có

1
1

1 ! 1 ( 1)!

. .

1 1 !( )! 1 ( 1)!( )! 1

k k

n n

C n n C

k k k n k n k n k n






  

      

Từ đó suy ra







 

2 2







1 1 1

....
1

n

n n n

S C C C

n

  
 
  
 
 


Phần tiếp theo Hs tự tính

Ví dụ 2) Chứng minh rằng 0 20021

1 1

2000

n
k
k C  k





Ta có















 





 







1 !( 1)! 1 !( 1)! 2 ! 1 ! 2 ! 2 !

1 1

( 2)

( )! ( 2)( )! 2 ( 1 )! !

k
m k

k m k m m m k m k

m k k

C  m k m m k m m k m k


 
        
        
        
1 2
1

1 1 1

2 k k

m k m k

m

m C  C 

  

 



   

  

Từ đó ta có 0 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2

n

k n

k m k m m n m

m m

C  m C C  m C m

   
 
 
     
    



Thay m=2002 ta có kết quả cần
tìm

Thay m=2010 ta có kết quả sau

1 2 3 1

2010 2010 1 2010 2 2010

1 1 1 1 1

...

2008

n
n

C C C C 

  

    

Ví dụ 3) Tính tổng sau

0 1 2

1 1 1 1

...

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2)

n

n n n n

S C C C C

n n
    
 
Ta có
1
1

1 1 ! 1 1 ( 1)! 1 1

. . .

( 1)( 2) ( 1)( 2) !( )! ( 1) ( 2) ( 1)!( )! ( 1) ( 2)

k k

n n

C C

k k k k k n k n k k n k n k




  
          

2
2
1

( 1)( 2)

k
n
C
n n




</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>









2 3 2

2 2 2

0 1 2 3 2 0 1

2 2 2 2 2 2 2

2 0 1

2 2

...

( 1)( 2)

...

( 1)( 2)

1 2 3

( 1)( 2) ( 1)( 2)

n

n n n

n

n n n n n n n

n
n

n n

S C C C

n n

C C C C C C C

n n

n

C C

n n n n



  



      




 

 

      

 

         

 

 

 

    

 

   

Dạng 4) Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 
Phương pháp

Viết khai triển niutơn ở dạng tổng quát

Tách riêng phần hệ số và phần biển trong khai triển
Kí hiệu các hệ số tương ứng là A0 , A1, …Ak, …An

Ak là hệ số lớn nhất khi nó thỏa mản điều kiện

Ak ≥ Ak-1 và Ak ≥ Ak+1 giải hệ hai bpt ta suy ra giá trị của k

Ví dụ: Xét khai triển 1+2 x¿12=A0+A1x +A2x2+. .. ..+ A12x12
¿

Tìm max { A1, A2,……An}

Giải

Ta có 1+2 x¿12=

∑

k=0
12

C12k 2kxk
¿

từ đó suy ra Ak= C12k 2k giả sử Ak là hệ số max

Ta có Ak≥ Ak-1
Ak ≥ Ak+1

⇔ C12k 2k ≥ C12k+12k+1 ⇔ 12! 2k/(12-k)! k! ≥12! 2k+1/(12-k-1)! (k+1)!
C12k 2k ≥ C12k− 12k − 1 12! 2k/(12-k)! k! ≥ 12! 2k-1/ (12- k +1)! (k -1)!

⇔

12− k ≥

k +1
2

k≥
1
12− k +1

⇔ 3 k ≥23

3 k ≤25 ⇔ 7,6 ≤ k ≤ 8,3 vì k là số nguyên nên k=8

Hệ số max là A8= C12
8

CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HƠP 
Thi chung năm 2008

Khối A: Cho khai triển



1 2



0 1 2 2 ...

n n

n

x a a x a x a x

     

. Biết

1 2

0 2 4 .... 2nn 4096

a

a a

a     

. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a a0; ;...;1 an

Khối B: Chứng minh rằng

1 11

1 1 1 1

2 k k k

n n n

n

n C C  C

 

 



 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Khối D: Tìm số nguyên dương n thoả mãn

C21nC23nC25n...C22nn12048

Thi chung năm 2007 
Khối A

Chứng minh rằng: 1

2C2 n

+1
4C2 n

+1
6C2 n

+.. .+ 1
2 nC2 n

2 n −1

2 n

− 1
2 n+1

Khối B. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức newton

của (2+ x )n biết
3nCn

−3n− 1Cn
1

+3n −2Cn2−3n− 3Cn3+.. .+(−1 )nCnn=2048

Khối D

Tìm hệ số x5 trong khai triển đa thức của x(1 −2 x)5+x2(1+ 3 x)10

Thi chung năm 2006

Khối A

Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức newton của

(

x14+x

)

n . Biết rằng C2 n +11 +C2 n+12 +. ..+C2 n+1n =220−1

Khối B

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng số tập con gồm 4

phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,3, .. . n} sao cho số
tập con gồm k phần tử của A lớn nhất.

Khối D

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thơng có 12 học sinh,

gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm
vụ sao cho 4 học sinh này thuộc khơng q 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy

Thi chung năm 2005
Khối A

Tìm số nguyên dương n sao cho

C2 n +11 − 2. 2C2 n+12 +3 .22C2n +13 − 4 . 23C2 n+14 +. ..+(2 n+1)C2 n +12 n +1=2005

Khối B

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
nữ.

Khối D

Tính giá trị của biểu thức M=An+1

4 +3 A
n
3

(n+1) ! .Biết

Cn +12 +2Cn+22 +2 Cn+32 +Cn+42 =149

Thi chung năm 2004
Khối A

Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức

[

1+x2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Khối B

Một mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15
câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi dó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác
nhau, sao cho trong mỗi đề nhât thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi

khơng ít hơn 2.

Khối D

Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton

(

√

x+41

√

x

)

với x > 0

Thi chung năm 2003
Khối A

Tìm hệ số chứa x8 trong khai triển nhị thức newton của

(

x3+

√

x

)

n

biết rằng Cn +4
n +1

−Cn+3

n

=7 (n+3)

Khối B

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

Cn0+2
2− 1

2 Cn

3−1

3 Cn

+.. .+2

n+1− 1

n+1 Cn

n

2

− x
3

)

n− 1

+Cnn

(

− x
3

)

n

Biết rằng trong khai triển đó Cn3=5 Cn1 và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n.

Khối B

Cho đa giác đều A1. A2.. . A2 n ; (n ≥2) n nguyên. nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam

giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1. A2.. . A2 n , nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các

đỉnh là 4 trong 2n điểm A1. A2.. . A2 n , tìm n.

Khối D

Tìm số dương n sao cho C0n+2 Cn1+4 Cn2+.. .+2nCnn=243

QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN 
A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 1: Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi.

a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B?

b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy
cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc.

Bài 3: Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm một người bạn trong 12 người bạn của mình.

Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu:

a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?

b) Không đến thăm bạn quá một lần.

Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi cso bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình

bắt đầu ở một nhà ga và chấm dứt ở một nhà ga khác, biết từ ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ
một nhà ga khác.

Bài 5: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một bàn ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho.

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ.

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi cạnh nhau.

Bài 6: (Đại học Quốc Gia TPHCM 99)

Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6
học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi
cho các trường hợp sau?

a) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau huặc đối diện nhau thì khác trường nhau.

b) Bất kỳ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.

Bài 7:

Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một khác
nhau và.

a) Gồm 3 chữ số?

b) Gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400.

c) Gồ 3 chữ số chẵn?

d) Gồm 3 chữ số và chia hết cho 5?

Bài 8: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1997G).

Có 10.000 vé được đánh số 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.

Bài 9: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).

Xé dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn trong dãy số tự nhiên) thoả mãn chữ số
vị trí thứ 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, cá chữ số 4,5,6 đơi một khác nhau hỏi
có bao nhiêu cách?

Bài 10: (Đại học Y Hà Nội 1997).

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, …., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000
xây dựng từ các chữ số trên.

Bài 11. Cho X ={0,1,2,3,4,5,} . Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số từ X mà chữ số 1 có

mặt đúng 3 lần cịn các chữ số khác có mặt đúng một lần.

Bài 12: (Đại học Huế 1999).

Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu
nhiên thành một hàng.

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.

Bài 13: (Đại học Y Hà Nội 1999).

Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0, 2, 3, 6, 9.

Bài 14:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 15:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Bài 16:

Cho X ={0,1,2,3,4,5} .

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đơi một.

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

Bài 17: (Đại học Nông Lâm 1999)

Cho X ={0,1,2,3,4,5} . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số
đó khơng chia hết cho 3.

HỐN VỊ 
-A.Lý thuyết 
B.Cách giải

Bài 18:

Giải phương trình x !−( x − 1)!

( x+1 )! =

1
6

Bài 19:

Giải bất phương trình Pn+ 4

Pn. Pn+2

<15
Pn − 1

Bài 20:

Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử. Chứng minh:
a) Pn− Pn −1=( n− 1) Pn − 1

b) 1+P1+2 P2+3 P3+.. .+(n −1) Pn −1=Pn

Bài 21: Chứng minh với mọi n∈ N :n !≤

(

n+1

)

n

Bài 22:

Một tạp chí thể thao định ra cho 22 kỳ báo chuyên đề về 22 đội bóng, mỗi kỳ có một đội.
Hỏi có bao nhiêu cách cho.

a) Kì báo đầu tiên nói về đội bóng A?

b) Hai kì báo liên tiếp nói về hai đội bóng A và B?

Bài 23:

Tên 12 tháng trong năm được liệt kê theo thứ tự tùy ý sao cho tháng 5 và tháng 6 khơng
đứng kề nhau. Hỏi có mấy cách?

Bài 24: Người ta cần soạn một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, có chia thành 5 chủ đề, mỗi

chủ đề gồm 10 câu. Cần sắp thứ tự 50 câu hỏi sao cho các câu có cùng một chủ đề đứng gần
nhau, chủ đề 1 đứng đầu và chru đề 2, 3, khơng đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

Bài 25: Một công ty cần thực hiện một cuộc điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng về sản

phẩm của mình. Cơng ty đưa ra 10 tính chất của sản phẩm và yêu cầu khách hàng sắp xếp thứ
theo mức độ quan trọng giảm dần. Giả sử tính chất 1 và tính chất 10 đã được xếp hạng. Hỏi có
mấy cách xắp xếp?

Bài 26:

Có 5 bi đỏ và 5 bi trắng có kích thước khác nhau đơi một. Có bao nhiêu cách sắp xếp các

bi này thành một hàng dài sao cho hai bi cùng màu không được nằm kề nhau.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Có bao nhiêu các xếp 5 học sinh A, B , C, D, E vào 1 ghế dài sao cho

a) C ngồi chính giữa

b) A, E ngồi hai đầu ghế.

Bài 28: (Đại học Cần Thơ 1999).

Trong một phịng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu.

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý.

b) Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi một bàn.

Bài 29: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1999D).

Một học sinh có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 4 cuốn sách văn, 2 sách
tốn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn
sách cùng một môn sắp xếp kề nhau?

Bài 30: (Đại học Ngoại Thương 2001A)

Từ X ={1,2,3,4,5,6} thiết lập các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi các số đã lập có bao
nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.

Bài 31: (Học viện Ngân Hàng 1999D).

Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 số 1 và một chữ số 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5.
Hỏi có bao nhiêu số mà?

a) Năm chữ số 1 xếp kề nhau?

b) Các chữ số được xếp tuỳ ý.

Bài 32: (Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2000).

Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
sao cho chữ số chẵn không đứng kề nhau?

Bài 33: (Đại học Huế 1997D).

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đơi một khác nhau. Tính tổng
các số trên.

Bài 34: (Đại học An Ninh 2000D).

Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4
có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần?

CHỈNH HỢP - 
A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 35:

Chứng minh rằng với mọi n, k thuộc số tự nhiên 2≤ k <n .

a) Ank=An −1k +An − 1k − 1

b) An +k
n +2

+An+ kn+1=k2. An+kn

Bài 36: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001D).

Giải phương trình Px. Ax
2

+72=6

(

Ax
2

+2 Px

)

Bài 37: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1998B).

Giải bất phương trình A3x+5 A2x≤ 21 x

Bài 38: (Đại học An Ninh 2001G).

Tìm số âm trong dãy x1, x2, x3. .. xn . với xn=An+ 4

Pn+2−
143

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 39: (Đại học An Ninh 2001A)

Chứng minh với n∈ Nn≥ 2 thì 1

A22

+ 1

A32

+. . .+ 1
A2n

=n −1
n

Bài 40:

Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B ,…Z
và tiếp theo là 5 chữ cái khác nhau khơng có số 0.

Bài 41:

Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi
đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu?

a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào?

b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ mơn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được.

c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ mơn được, cịn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào
cũng được?

Bài 42:

Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3
cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em có một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có bao
nhiêu cách?

Bài 43:

Một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết mục múa
trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu cách khác nhau nếu các bài hát
được xếp kề nhau và các tiết mục múa được xếp kề nhau?

Bài 44:

Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về đích nhất,
nhì, ba.

Bài 45: (Học viện Ngân Hàng TPHCM 2000).

Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái
lấy từ 26 chữ cái A, B, C…Z. Các chữ số lấy từ 0, 1, …9.

a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ số cái khác chữ số O và các chữ số đơi một
khác nhau.

b) Có mấy biẻn số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ
đó giống nhau.

Bài 46.

Có 30 học sinh dự thi học sinh tốn tồn quốc. Có 6 giải thường xếp hạng từ 1 đến 6 và
không ai được nhiều hơn 1 giải. Hỏi?

a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có?

b) Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt
giải có thể có?

Bài 47:

Một lớp có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 1 lớp trưởng, 1 lớp phó
học tập và một lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 48:

Có 6 người đi vào 1 thang máy của một nhà trung cư 10 tầng. Hỏi có bao nhiêu cách để.

a) Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau.

b) 6 người này, mỗi người đi vào một tầng bất kì nào đó?

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Có 100000 chiếc vé số được đánh từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác
nhau là bao nhiêu.

Bài 50: (Đại học Cảnh Sát 1999).

Với 10 chữ số 0,1,. . . ,9 . Có thể lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau.

Bài 51: (Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đơi một khác

nhau

Bài 52: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001).

Từ 0, 1, 3, 5, 7. Có thể thiết lập bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và không
chia hết cho 5.

Bài 53: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2001).

Từ X ={0,1,2,3,4,5,6} lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau trong đó nhất thiết
phải có mặt chữ số 5.

Bài 54: (Đại học An Ninh 1997).

Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau.

Bài 55: (Đại học Quốc Gia TPHMC 1999).

Cho X ={0,1,2,3,4,5,6,7} . Có thể lập bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
từ X mà.

a) n chẵn.

b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.

Bài 56: (Đại học dân lập Thăng Long 1998).

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 có thể có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và có thể lập
bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt mà tron đó có 2 chữ số 1, 2.

Bài 57: (Học viện Cơng Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng 1999).

Từ 10 chữ số 0,1,2. . . ,9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho
các số đó đều phải có mặt 0, 1.

Bài 58: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2001).

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0).
Trong đó có một chữ số 0 nhưng khơng có mặt chữ số 1.

Bài 59: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 - 2001).

Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ 1, 3, 4, 5, 7, 8.

TỔ HỢP - 
A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 60:

Giải phương trình 1

C4x

− 1

C5x

= 1

C6x

Bài 61: (Đại học Hàng Hải 1999).

Tìm n sao cho Cn −1

n −3

An +14 <
1
14 P3

Bài 62: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2000).

Tìm x thoả mãn: 1

2 A2 x
2

− Ax
2

≤6
xCx

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 63: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2001).

Tìm x, y thoả

2 Axy+5C
x
y=90

5 Axy−2 c
x
y=80
¿{

Bài 64: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1999).

Cho k, n thỏa n ≥ k ≥ 2

Chứng minh k(k −1)Cn
k

=n(n −1)Cn − 2
k − 2

Bài 65: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).

Cho 4 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng Cnk+4 Cnk −1+6 Cnk− 2+4 Cnk −3+Cnk − 4=Cn+4k

Bài 66: (Cao Đẳng Sư Phạm TPHCM 1998).

Tìm k∈ N sao cho C14k +C14k+ 2=2C14k+ 1

Bài 67: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2000A)

Chứng minh nếu k∈ N và 0 ≤ k ≤ 2000
C2001

k

+C2001
k +1

≤ C2001
1000

+C2001
1001

Bài 68: (Đại học Y - Dược 1998).

Với mọi n, k thuộc số nguyên 0 ≤ k ≤ n . Chứng minh rằng

C2 n +kn . C2n − kb ≤

(

C2 nn

)

Bài 69: (Đại học Sư Phạm Vinh 2001).

Cho n nguyên dương, cố định và k∈ N .
Chứng minh Cn

k

lớn nhất nếu k không vượt quá n+12

Bài 70: (Trung tâm bồi dưỡng cán bộ Y tế 1998).

Cho m ,n∈ N . Chứng minh rằng:
a) mCnm=nCn −1m −1

b) Cnm=Cn− 1m −1+Cn − 2m − 1+.. .+Cmm − 1+Cm − 1m − 1

Bài 71: (Trung tâm bồi dưỡng cán bộ Y tế 2001).

Chứng minh C20010 . C20022001+C20021 . C20022001+. ..+C2001k .C2002− k2001− k+..+C20022001.C10=1001 .22002

Bài 72:

Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn câu trả lời 8 câu.

a) Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý?

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc?

c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?

Bài 73:

Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc.
Có mấy cách chọn.

a) Tuỳ ý?

b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi?

c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi huặc không cùng đi?

Bài 74:

Một người phụ nữ có 11 người bạn thân trong đó có 6 nữ. Cơ ta định mời ít nhất 3 người
trong 11 người đó đến dự tiệc. Hỏi?

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cơ ta và các khách mời, số nam và nữ bằng
nhau.

Bài 75:

Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho
mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn.

Bài 76: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997).

Có 12 học sinh ưu tú củ mơộ trường trung học. Muốn chon một đoàn đại biểu gồm 5
người (một trưởng đoàn, một thư ký và 3 thành viên ) đi dự trại quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn? (hãy giải thích).

Bài 77: (Đại học Luật 1999).

Một đồn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi
tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi?

a) Có bao nhiêu cách xếp 4 hành khách lên 3 toa?

b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 hành khách lên tàu để có 1 toa trong đó có 3 trong 4 vị
khách.

Bài 78: (Thi Đại học 2004B).

Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu đó có
thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau, sao cho mỗi đề phải có 3 loại
(Khó, trung bình, dễ) và số câu dễ khơng ít hơn 2?

Bài 79: (Đại học Y Hà Nội 1998)

Một chi đồn có 200 đồn viên trong đó có 10 nữ. Muốn chọn một tổ cơng tác có 5
người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất một nữ.

Bài 80: (Đại học Kiến Trúc 1998)

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư
là tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 3 cơng nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ
công tác?

Bài 81: (Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội 1999)

Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chon ra 1 tốp
ca gồm 5 em trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 82: (Học viện Kỹ Thuật Quân Sự).

Một đội cảnh sát gồm có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm A,
2 người làm tại B còn lại 4 người trục đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng?

Bài 83: (Đại học Y Hà Nội 2000).

Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Muốn lập một đồn cơng
tác có 3 người gồm cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà tốn học lẫn vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bài 84: (Học viện Chính Trị 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn
nghệ:

a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau.

b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó khơng q một nam.

Bài 86:

Một bộ bài 52 lá, có 4 loại cơ , rơ, chuồn, bích mỗi loại có 13 lá. Muốn lấy ra 8 lá bài
trong đó phải có đúng một lá có, đúng 3 lá rơ và khơng q 2 lá bích. Hỏi có mấy cách?

Bài 87:

Có 2 đường thẳng song song (d1) và (d2). Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt. Trên (d2) lấy 9

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 88: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000).

Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi
dự đại hội của trường sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp.

Bài 89: (Học viện Quân Sự 2001).

Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 khá và 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người , đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá.

Bài 90: (Trường Hàng Khơng 2000).

Một người có 12 cây giống trong đó có 6 cây xồi, 4 cây mít và 2 cây ổi. Người ta muốn
chọn 6 cây giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho.

a) Mỗi loại có đúng 2 cây?

b) Mỗi loại có ít nhất một cây?

Bài 91: (Đại học Huế 2000).

Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập 1 tốp ca.
Hỏi có bao nhêiu cách chọn khác nhau phải có ít nhất 2 nữ.

Bài 92: (Đại học Nông Nghiệp 2000B).

Cho tập con gồm 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các
phần tử.

Bài 93: (Đại học Sư Phạm Vinh 1999).

Một tổ sinh viên có 20 em. Trong đó chỉ có 8 em biết nói tiếng Anh, 7 em biết tiếng Pháp
và 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần chọn 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng
Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi cso bao nhiêu cách lập nhóm.

Bài 94: (Đại học Nơng Lâm 2001D).

Trong 1 hộp có 7 quả cầu xanh. 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đen khác
nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu
chọn có đủ 3 màu.

Bài 95:

Một hộp chứa 6 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi có mấy cách chọn 4 bi.

a) Màu tuỳ ý?

b) Gồm 2 bi trắng và 2 bi đen?

Bài 96: (Đại học Dân Lập Thăng Long 1999).

Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 tới 6
5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5
4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số.

b) Có bao nhiêu cách lấy 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số?

Bài 97: (Đại học Cần Thơ 2000).

Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng có kích thước đơi một khác nhau. Có bao nhiêu cách
chọn ra:

a) 6 viên bi đó có đúng 2 viên bi đỏ?

b) 6 viên bi trong đó số bi xanh đúng bằng số bi đỏ?

Bài 98: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000)

Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi
một khác nhau). Người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bơng. Có bao nhiêu cách chọn 1 bó
hoa trong đó

a) Có đúng 1 bơng hồng đỏ?

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 99: (Học viện Quân Y 2000).

Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh có bán kính giống nhau vào 1 hộc có 7 ơ
trống.

a) Hỏi có mấy cách xếp khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau so cho 3 bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 bi xanh xếp cạnh
nhau?

Bài 100: (Đại học Huế 1999).

Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn từ 4 hộp. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu?

Bài 101: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1998).

a) Cho k , n va k <n chứng minh rằng Cn
k

+Cn
k +1

=Cn+1
k+1
b) Một đa giác lồi n cạnh có mấy đường chéo.

Bài 102: (Học viện Ngân Hàng 2000A).

Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 đỉnh của H.

a) Có bao nhiêu đa giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là hai cạnh
của H.

b) Có mấy tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có mấy tam giác khơng có cạnh
nào là cạnh của H?

Bài 103: (Đại học Ngoại Thương 2001A)

Trên mặt phẳng toạ độ co 1 thập giác lồi. Xét các tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của
thập giác. Hỏi trong số các cạnh của tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều
khơng phải là 3 cạnh của thập giác?

Bài 104: (Tuyển sinh đại học khối B 2002).

Co đa giác đều A1A2…An (n Є N và n ≥2 ) nội tiếp trong đường tròn (O). Biết rằng số

tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4

trong 2n đỉnh A1A2…An. Tìm n.

Bài 105: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 1999).

Trong một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4
cặp anh em sinh đơi. Cần chọn 1 nhóm gồm 3 trong số 50 học sinh trên đi dự đại hội cháu ngoan
Bác Hồ, sao cho trong nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Bài 106:

Lớp học có 4 nữ, 10 nam. Cần chia là hai tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam. Hỏi có mấy cách?

Bài 107:

A, B, C đến nhà D mượn sách. D có 1 cuốn tiểu thuyết và 8 cuốn sách giáo khoa khác
nhau. A mượn 2 cuốn trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết. B mượn 2 cuốn giáo khoa và C mượn 3
cuốn giáo khoa. Hỏi có mấy cách khác nhau để D cho mượn sách?

Bài 108:

Có một tờ bạc 5000 đ, 1 tờ bạc 20 000đ và 1 tờ bạc 50 000đ. Từ các tờ bạc này có thể tạo
ra bao nhiêu tổng số tiền khác nhau?

Bài 109: (Đại học Kinh Tế TPHCM 2001)

Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Người ta muốn

chọn 1 tổ cơng tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau?

a) Trong tổ phải có mặt cả nam và nữ?

b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình khơng đồng thời có mặt
trong tổ?

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Số 210 có bao nhiêu ước.

CÁC BÀI TOÁN HỖN HỢP 
A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 111:

Một cuộc khiêu vũ có 10 nam, 6 nữ. Cần chọn 3 nam, 3 nữ lập thành 3 cặp. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?

Bài 112:

Có 5 bưu thiếp khác nhau, 6 bì thư khác nhau. Cần chọn 3 bưu thiếp, bỏ vào 3 bì thư, mỗi
bì một bưu thiếp và gửi cho 3 người bạn mỗi bạn một bưu thiếp. Hỏi có mấy cách?

Bài 113:

Có 4 người Việt, 4 người Nhật và 4 người Trung Quốc và 4 người Triều Tiên. Cần chọn
6 người đi dự hội nghị. Hỏi có mấy cách chọn sao cho?

a) Mỗi nước đều có đại biểu?

b) Khơng có nước nào có hơn một đại biểu?

Bài 114

a) Có 10 cái bánh khác nhau và 5 cái hộp khác nhau. Hỏi có mấy cách xếp mỗi hộp hai
bánh?

b) Nếu có 10 bánh khác nhau và 5 hộp giống nhau thì có bao nhiêu cách?

Bài 115: (Đại học Quốc Gia 2000).

Một thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau trong đó có 5 sách Văn, 4 sách Anh
văn và 3 sách Hố. Ơng lấy 6 cuốn và tặng 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.

a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng các học sinh trên những cuốn sách thuộc loại A văn
và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng.

b) Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau khi tặng xong mỗi loại Văn, Anh văn, Hố cịn ít
nhất một quyển. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

Bài 116: (Đại học Quốc Gia 1999).

Cho A={1,2,3,4,5,6,7,8}

a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà khơng chứa 2.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 123.

Bài 117: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2000)

Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó 1 và 6 đều
có mặt đúng 2 lần cịn các chữ số khác xuất hiện một lần.

Bài upload.123doc.net: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000).

a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đơi một trong đó chữ số đầu tiên là số
lẻ?

b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3
chữ số chẵn.

Bài 119: (Đại học Quốc Gia 2001D).

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có
mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt khơng q một lần?

NHỊ THỨC NEWTON

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

B.Cách giải

Bài 120: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1998)

Khai triển (3 x −1)16

Suy ra 316C
16
0 − 315C

+314C162 +.. ..+C1616=216

Bài 121:

Chứng minh

a) 2nCn0+2n −1Cn1+2n − 2Cn2+.. .+Cnn=3n

b) 3nCn0−3n− 1Cn1+3n −2Cn2+. .. .+(−1)nCnn=2n

Bài 122:

Chứng minh

∑

k=1
n −1

Cn
k

(

2n − 1−1

)

;

∑

k=0
n

Cn
k

(−1)k=0

Bài 123: (Đại học Hàng Hải 2001).

Chứng minh C2 n0 +C2 n2 32+C2 n4 . 34+. ..+C2 n2 n32 n=22 n −1

(

22n+1

)

Bài 124: (Đại học Kiến Trúc Hà Nội 1998).

Tìm hệ số đứng trước x5 trong khai triển nhị thức sau thành đa thức
f(x)=(2 x+1)4+(2 x+1)5+(2 x+1)6+(2 x +1)7

(

2x− 12

− x
3

)

n

=Cn0

(

x− 1
2

)

n

+Cn1

(

x −1
2

)

n − 1

(

− x

)

n

Hãy tìm hệ số không phụ thuộc vào x biết rằng

Cnn+Cnn −1+Cnn −2=79

Bài 133:

Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ.

(

√

3 −

√

)

124 .

Bài 134: (Tuyển sinh Đại Học 2004D).

a) Cn1+2 Cn2+3Cn3+.. .+nCnn=n. 2n −1

b) Cn1−2 C
n
2

+3Cn3−.. . .+(−1)n −1nCnn=0

c) 2n −1C
n

1−2n −1C
n

2+3 . 2n −3C
n

3−. ..+(− 1)n −1nC
n
n=n

Bài 137: (Đại học Hàng Hải 1998)

Cho ( x − 2)100=a0+a1x+a2x2+. ..+a100x100 . Tính

a) a97

b) S=a0+a1+. ..+a100

c) M =a1+2 a2+. ..+100 a100

Bài 138: (Đại học An Ninh 1998)

Cho f ( x )=(1+x )nn ≥2

a) Tính f' '(1 )

b) Chứng minh 2. 1 .Cn
2

+3 .2 .Cn
3

+4 .3 . Cn
4

+.. .+n (n −1) Cnn=n (n− 1)2n − 2

Bài 139: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2000).

Chứng minh 2n −1Cn
1

+2n − 1Cn2+3 . 2n −3.C3n+4 .2n − 4Cn4+.. .+nCnn=n 3n − 1

Bài 140: (Đại học Luật 2001)

Chứng minh Cn13n − 1+2 Cn2. 3n −2+3 Cn3. 3n −3+. .. .+nCnn=n. 4n −1

Bài 141: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1999).

Tính A=Cn1−2 C
n
2+3 C

n
3− 4 C

n

4+. .. .+(−1)n − 1nC
n
n

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Chứng minh rằng với n∈ N van>2 .

1
n

(

Cn

+2Cn
2

+. ..+nCn
n

)

<n !

Bài 143:

Chứng minh

a) 1. 2 Cn2+2 .3 Cn3+.. .+(n −1) nCnn=n (n −1 )2n −2

b) 1. 2 Cn2−2 .3 Cn3+.. . .+(− 1)n −2(n −1) nCnn=0

c) 2n −1Cn2+3 . 2n −2Cn3+.. . .+(n −1)nCnn=n(n −1)3n −2

d) 2n −1Cn2−3 . 2n −2Cn3+3 . 4 . 2n −2Cn4−. . .+(− 1)n −2(n −1) nCnn=n (n −1)

Bài 144:

Chứng minh
a) 3 .Cn

+4 Cn
1

+. .. .+(n+3) Cn
n

=2n −1(6+n )

b) 3 Cn0− 4 C
n

1+. . .+(−1)n

(n+3) Cnn=0

TÍCH PHÂN 2 VẾ 
A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 145: (Đại học Mở 1999)

Cho n∈ N va n ≥ 2
a) Tính I=



0
1

x2

(

1+x3

)

dx
b) Chứng minh 1

3Cn

+1
6Cn

+1
9Cn

+.. . .+ 1
3 (n+1)Cn

n

n +1

−1
3 (n+1)

Bài 146: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000)

Chứng minh

∑

k=0
n C

n
k
k +1=

2n+1−1
n+1

Bài 147: (Tuyển sinh Đại học khối B 2003).

Tính S=Cn
0

−1

2 Cn

− 1

3 Cn

+. ..+2

n+ 1

−1

n+1 Cn

n

Bài 148: (Đại học Giao Thông Vận Tải 1996)

Chứng minh 2Cn0−1

Cn1+1
32

Cn2+. ..+(−1)

n+12

n +1

Cnn=1+(−1)

n

n+1

Bài 149:

Chứng minh

a) (−1)nCn0+(− 1)n −11
2Cn

+.. .+ 1
n+1Cn

n

=(−1)

n

n+1

b) Cn0−1

2Cn

1+.. . .+(− 1) 1

n+1Cn
n

= 1

n+1

Bài 150: (Đại học Nơng Nghiệp Hà Nội 1999)

Tính



0
1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Rút gọn S=1
2C19

−1
3C19

+1
4C19

− .. ..+ 1
20 C19

− 1

21C19
19

Bài 151: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1997)

a) Tính



0
1

x

(

1− x2

)

ndx

b) Chứng minh 1

2Cn
0−1

4Cn
1

+1
6Cn

2−1

8Cn

3+. .. .+(−1 )b

2 n+2Cn
n

= 1

2 (n+1)

Bài 152:

Chứng minh 1

3Cn
0

+1
4Cn

1+.. . .+ 1

n+3Cn
n

n +1

(

</div>

PHUONG PHAP HAM SO VA CAC BAI TOAN CO THAM SO

<b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ</b>

<b>TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN</b>

∑

∑















 





 







∑

∑















<sub></sub>













<sub></sub>





<sub></sub>













<sub></sub>



































































