Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan Toán 11 có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Trang | 1

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ

CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỐN 11 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Phương pháp:

Để chứng minh d1 d2 ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:

 Chứng minh d1 d2 ta chứng minh u u1 2 0 trong đó u u1, 2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d1
và d2.

 Sử dụng tính chất b c a b
a c



 
 

 .

 Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d d1, 2 và tính trực tiếp góc đó.
 Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

 Tính tích vơ hướng…

Câu 1: Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào có thể sai?

A. A C  BD. B. BB BD. C. A B DC. D. BCA D .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau cịn gọi

là hình hộp thoi.

A đúng vì:

//
A C B D

A C BD
B D BD

   

  

 

  

 .

B sai vì: 
C đúng vì:

A B AB

A B DC

AB DC

  

  

 

  

 .

D đúng vì:

//
BC B C

BC A D
B C A D

 

  

 

  

 .

Câu 2: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB AC. AC AD.  AD AB. thì ABCD, ACBD
, ADBC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

D'

B' C'

B

A

D

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Trang | 2

Bước 1: AB AC. AC AD.  AC AB.



AD



0  AC.DB0  ACBD.

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.ADAD.AB ta được ADBC và AB.AC AD.AB ta được
ABCD.

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. 
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 1. D. Sai ở bước 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD . Mặt phẳng

 

P song song với AB và CD lần 
lượt cắt BC DB AD AC, , , tại M N P Q, , , . Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang. B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác khơng phải là hình thang.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:







 



// .
MNPQ AB

MQ AB

MNPQ ABC MQ

 



 



Tương tự ta có: MN CD NP AB QP C// , // , // D.
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
lại có MN MQ do AB



CD



.
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 5: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M N P Q R, , , , lần lượt là trung điểm của

, , ,

AB CD AD BC và AC .

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. MNRP MN, RQ B. MNRP,MN cắt RQ

C. MN chéo RP; MN chéo RQ D. Cả A, B, C đều sai 
b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Trang | 3

C.



AB CD,



450 D.



AB CD,



900

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 3

 a

MC MD nên tam giác MCD cân tại M , do đó MNCD . 
Lại có RP CDMNRQ.

b) Tương tự ta có QP AD
Trong tam giác vng PDQ ta có

2 2

2 2 2 3

2 2 2

   

      

 

a a a

QP QD DP Ta có :

2 2

2 2 2 2

2 2

   

      

   

a a

RQ RP a QP

Do đó tam giác RPQ vng tại R, hay RPRQ.

Vì vậy


  



 



AB RQ

CD RP AB CD

RP RQ

Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau. Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AC CB BC, , và C A . Tứ giác

MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vng. D. Hình thang.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì M N P Q, , , nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành.
Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác ABC và ABC nên CH AB
C H AB



  



Suy ra AB



CHC



. Do đó AB CC .

Ta có:
//
//
PQ AB

PN CC PQ PN

AB CC


   



  



Vậy tứ giác MNPQlà hình chữ nhật.

N

M P

Q

R
A

B

D

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trang | 4
Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành với . ABa AD, 2a.

Tam giác SAB vuông can tại A, M là một điểm trên cạnh AD( M khác A và D). Mặt phẳng

 

 đi
qua M và song sog với



SAB cắt



BC SC SD, , lần lượt tại N P Q, , .

a) MNPQ là hình gi?.

A. MNPQ là hình thang vng. B. MNPQ là hình vng.

C. MNPQ là hình chữ nhật. D. MNPQ là hình bình hành. 
b)Tính diện tích của MNPQ theo a .

A. 
2
3
8

MNPQ
a

S B. 
2
8

MNPQ
a
S C. 
2
3
4

MNPQ
a
S D. 
2
4

MNPQ
a
S

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

  





 



  






 

  

SAB

SAB ABCD AB

ABCD MN




MN AB.

Tương tự

  





 



  





  

  

SAB

SBC SAB SB NP SB

SBC NP




  





 



  





  

  

SAB

SAD SAB SA MQ SA

SAD MQ




Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ là hình bình hành

Lại có

  

 

MN AB

MQ SA MN MQ

AB SA

Vậy MNPQ là hình thang vng.
b) Ta có MNABa ,

2 2

 SA a

MQ ,

2 2

CD  a

PQ .

Vậy 1





 

MNPQ

S MN PQ MQ

1 3

2 2 2 8

 

    

 

a a a

a .

Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh a . Trên các cạnh DC và . ' ' ' ' BB' lấy các điểm M và
N sao cho MDNBx



0 x a . Khẳng định nào sau đây là đúng?



a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Trang | 5

A. AC'B D ' ' B. AC’ cắt B’D’

C. AC’và B’D’ đồng phẳng D. Cả A, B, C đều đúng
b) khẳng định nào sau đây là đúng ?.

A. AC'MN

B. AC’ và MN cắt nhau 
C. AC’ và MN đồng phẳng 
D. Cả A, B, C đều đúng

Hướng dẫn giải:

Đặt AA'a AB, b AD, c.

a) Ta có AC'  a b c, B D' ' c b nên



 

'. ' '   

AC B D a b c c b

 

2 2 2 2

a c b c b a a 

' ' '

AC B D .

b) MN  ANAM 



ABBN

 

 ADDM



    -   1- 

-     

x x x x

b a c b a b c

a a a a

Từ đó ta có '. 



 



[    -   1-  - ]

     

x x x x

AC MN a b c b a c b a b c

a a a a

2 2 2 2 2

1 . 1 0

   

          

   

x x x

a b c x a a a

a a a .

Vậy AC'MN .

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có ACa, BD 3 a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . 
Biết AC vng góc với BD. Tính MN .

A. 10

2
a

MN . B. 6

3
a

MN  . C. 3 2

2
a

MN  . D. 2 3

3
a

MN  .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Ta có: //



 



//
EN AC

AC BD NE NF NE NF

NF BD


     



 (1).

Mà:

1
2
1
2

NE FM AC

NF ME BD

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Trang | 6
Từ (1), (2) MENF là hình chữ nhật.

Từ đó ta có:

2 2 2 2

2 2 3 10

2 2 2 2 2

AC BD a a a

MN NE NF            

        .

Chọn D

Câu 10: Trong không gian cho ba điểm ,A B C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? ,

A. 2 2 2

2AB AC. AB AC BC B. 2 2 2

2AB AC.  AB AC 2BC

C. 2 2 2

. 2

AB AC AB AC  BC D. 2 2 2

AB AC AB AC BC

Hướng dẫn giải:

Chọn A.





2 2 2 2 2

2 . .cos , 2. .

BC AB AC  AB AC AB AC  AB AC  AB AC

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh bằng . a . Tính AB EG.

A. a2 3. B. a2 C.

2
2

a

D. a2 2
Hướng dẫn giải:.

Chọn B.

Ta có AB EG.  AB AC. , mặt khác AC ABAD.

Suy ra





2 2

. . .

AB EGAB AC AB ABAD  AB AB ADa
Câu 12: Cho tứ diện ABCD có ABa BD, 3a. Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vng góc với BD.
Tính MN

A. 6

a

MN  B. 10

a

MN  C. 2 3

a

MN  D. 3 2

a
MN

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Kẻ NP//AC P



AB



, nối MP.

NP là đường trung bình ABC 1

2 2

a

PN AC

   .

MP là đường trung bình ABD 1 3

2 2

a

PM BD

   .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trang | 7

Vậy 2 2 10

a
MN  PN PM  .

Câu 13: Cho tứ diện ABCD trong đó AB6, CD3, góc giữa AB và CD là 60 và điểm M trên
BC sao cho BM 2MC. Mặt phẳng

 

P qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt 
tại M , N , Q. Diện tích MNPQ bằng:

A. B. 2 C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Thiết diện MNPQ là hình bình hành.
Ta có



AB CD,

 

 QM MP,



QMP 60 .
Suy ra SMPNQQN QN. .sin 60.

Lại có

2
3

CM MO

CMQ CBA MQ

AB AB

 #      

2
3

AQ QN

AQN ACD QN

AC CD

 #      

Do đó SMPNQQM QN. .sin 60 2.2.sin 60 2 3.

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB4, CD6. M là điểm thuộc cạnh BC 
sao cho MC2BM. Mặt phẳng

 

P đi qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của

 

P 
với tứ diện là?

A. 5 B. 6 C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có



AB CD,

 

 MN MQ,



NMQ 90 .
Suy ra thiết diện là hình chữ nhật.
Lại có:

2 2 2 3 3

17
3

16
3

MNPQ

CM MN

CMN CBA MN

CB AB

AN NP

ANP ACD MP

AC CD

      

1 4

3 3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Trang | 8
Suy ra SMNPQ MN.NP16.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Trang | 9
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội 
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và 
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường 
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi 
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan Toán 11 có đáp án chi tiết

<b>CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ </b>

<i><b>CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỐN 11 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT </b></i>





 







 



















 





  





 



  



  





 



  



  





 



  













 

 



 









 















 



 



 

 



 



<i>Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai </i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về