on tap thi tot nghiep 12p2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.13 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

PHẦN 2: MŨ - LOGARIT

DẠNG TỐN HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM

Một số Quy tắc tính đạo hàm:

 

eu ' u e' u



 

au 'u a' ulna





'
lnu ' u

u





log



' '

a

u
u

u a



Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y2xex3sin 2x b) y5x2 lnx8cosx c)





sinx ln cos

y e  x

Bài giải:

a) '





' 3sin 2 ' 2





2 6 cos 2

x x x

y  xe  x  e  xe  x

.
b)







 



2 1

' 5 ' ln ' 8cos ' 10 8sin

y x x x x x

x

     

















sin ' ln cos ' sin ' sin cos ' cos sin tan
cos

x x x x

y e x x e xe x

x

     

.
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM.

B1: Tìm đạo hàm y’.

B2: Thay y’ vào vế “trái” của đẳng thức, biến đổi suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho hàm số y e sinx. Chứng minh rằng y'cosx y sin2xy
Bài giải:

Ta có y' cos xesinx.

Khi đó:





2 2 sin 2 sin 2 2 sin sin

'cos sin cos x sin x cos sin x x

y x y x xe  xe  x x e e y

Ví dụ 2: Cho hàm số ln1
x
y

x



 . Chứng minh rằng ' 1





. 1

y

y  x e 

,  x



0;1



Bài giải:



0;1



x
 

, ta có





1 1 1

' .

1
1

x

x
x

y

x x x x

x

 

  



 

  



 .

Suy ra





ln
1

1 1

' 1 . 1

x

y x x x x

y x e e

x x x



 

   



DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC, TÍNH BIỂU THỨC









 

0
1

1 0 .

0
.

n x y x y

n

x

x x

y

x y x xy

y x

m
n

n m

n

n n n n k nk n

n

a a a a a a

a

a a a

a a a a

a b b

a a

a b ab a a a a

b
b

 



   

 

     

 

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>





log 0, 1, 0

x

a

a  y x y a a y

log 1 0, loga  aa1 alogab b, loga

 

a



 



1 2



1 2
loga b b logab logab

1 2

loga loga loga

b
b b
b
 
 
 
 
1

loga logab

b  logab logab






log n log

a b ab

n

 loga loglogc

c

b
b

a

 log 1

log

a

b

a

 log 1 log

a

ab b




Ví dụ 1: Tính





271

0,75 5 log 2

2
1
0,25 3
16
A


 
   
 

3 8 6

log 6.log 9.log 2
B

Bài giải:





271





 

0,75 5 log 2 3 5 1log 2 1

4 4 2 2 3 3 5 3

1 1

0,25 3 2 5 3 2 5 2 135

16 2
A

 
 
  
 
           
  .





3 8 6 3 6 2 3 2

2 2 2

log 6.log 9.log 2 log 6.log 2 . log 3 log 2.log 3

3 3 3

B   

Ví dụ 2: Biểu diễn log 830 qua log 530 và log 330 .
Bài giải:





30 30 30 30 30 30

15 30

log 8 3log 2 3log 2. 3log 3 1 log 5 log 3

15 5.3

 

      

  .

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

K

a a a



 

 
 

 

 

  (a > 0).

log log log

x x x

a b c

L

a b c

 



 



a b c x, , , 0, ,x abc1



Bài giải:





4 1 2

3 3 3 4 1 4 2

1 2 3 2

3 3 3 3

1 3 1 1

1 3 1

4 4 4 4

4 4 4

. . 1 1 1

1 1

. .

a a a

a a a a a a a a a

K a

a a a a a

a a a a

a a a


 



 

 
    
 
       
 
 


 
  .

log log log

log 2log 1

log log log

x x x

abc abc

x x x

a b c a

L a

a b c bc

 

   

 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

2 5 3 2

1 1

3 3

   



   

    b) log 5 log 43  7 c) log 2 log 30,3  5 .
Bài giải:

a) Vì
1

3 và 2 5 20 18 3 2 nên

2 5 3 2

1 1
3 3
   

   
    .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1. TXĐ [a;b]. Tìm đạo hàm f ’(x).

2. Tìm xitrên khoảng (a; b) mà f x'

 

i 0

3. Tính f a f x

 

;

 

i ;f b

 

. (nếu cần thì học sinh có thể lập bảng biến thiên)

4. So sánh và kết luận maxa b;  f x

 

và mina b;  f x

 

.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x e x trên đoạn



0;ln 3



.
Bài giải:



0;ln 3



x
 

ta có:

' 2 x

y   e ; y' 0  2 ex  0 xln 2.



ln 2



2ln 2 2

y  

;



ln 3



2 ln 3 3

y  

;

 

0 1

y 

Vậy max0;ln3 y2ln 2 2 khi x = ln 2 và min0;ln3 y1 khi x = 0.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

BÀI 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) y2x3 6x2 b) y x 4  2x23 c)

3 1

1
x
y

x




 .

BÀI 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số:

a) y2x33x2 36x10 b) ysinxcosx với x 



 ;





2 1



x

y x e

c) y2x2009 ln x.
BÀI 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y x 3 3x2 9x35 trên đoạn



4; 4



. b) ysin 2x x trên đoạn
;
2




 



 

  .

c) y e xex trên đoạn



1;ln 2



. d)

2 2 1

2 x

y x e 

  trên đoạn



1; 2



.
e) y x  1 2 lnx trên đoạn



1;e



BÀI 3: Tìm các cạnh của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi của nó khơng đổi và
bằng 16cm.

BÀI 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

2 3

2 1

x
y

x




 b) 2

3
4
x
y

x




 c)

2
2

2 8 11

6 5

x x

y

x x

 



  .

BÀI 5: Cho hàm số y x 33x2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x33x2m0.

BÀI 6: Cho hàm số
4

2 3

2 2

x

y  x 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x4 2x2 3 m0.

BÀI 7: Cho hàm số

2 1

2 3

x
y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) Dùng đồ thị, hãy giải bất phương trình

2 1

8 11

2 3

x

x
x



 

 .

BÀI 8: Cho hàm số





3 2

3 3 1

y x  x   m x m 
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

b) Dùng đồ thị của hàm số, biện luận theo k số nghiệm của phương trình x33x2 k 2 0.

c) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x2.
BÀI 9: Cho hàm số y x 3 3x4.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó tại điểm cực tiểu.
BÀI 10: Cho hàm số

4 7

2
x
y

x




 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm có tọa độ ngun mà đồ thị đi qua.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song đường thẳng
2009

x y  .

ĐS:

1/ a/nb



1;1



; đb



  ; 1 ; 1;

 





, b/ nb



  ; 1 ; 0;1

 



; đb



1;0 ; 1;

 





, c/đb



 ;1 ; 1;

 





2/ a/ xcđ=-3; xct=2, b/ 4

cñ
x 

, c/

1
2
ct
x 

, d/
1
2
ct

x 

3/ a/max 4;4 y40 khi x = -1; min 4;4 y31 khi x = -4, b/ 2;

2 3

max y






 

 

 

 

khi x 3




; 2,

min y






 
 
 



khi x , c/  1;ln 2

max y e

e

   khi x = -1; min 1;ln 2 y1 khi x = 0, d/ max 1;2 ye khi x = 0;

 

9
1;2 8

min y e

   khi x = 2, e/ max 1;e y0 khi x = 2; min 1;e y 1 2 ln 2 khi x = 2. cạnh bằng 4 và 4.
4/ a/ TCN

3
2
y

, TCĐ

1
2
x

; b/ TCN y0, TCĐ x2 và x2; c/ TCN y2, TCĐ x1

và x5.

5/ m>0 hoặc m<-4 thì pt có 1 nghiệm; m=0 hoặc m=-4 thì pt có 2 nghiệm; -4<m<0 thì pt có 3
nghiệm.

6/ m<2 thì pt vơ nghiệm; m=2 hoặc m>3 thì pt có 2 nghiệm; 2<m<3 thì pt có 4 nghiệm; m=3 thì pt
có 3 nghiệm.

7/ b/

1 1

2 4

y x

; c/ x<1 hoặc x>2.

8/ b/ k<2 hoặc k>4 thì pt có 1 nghiệm, k=2 hoặc k=4 thì pt có 2 nghiệm, 2<k<4 thì pt có 3 nghiệm;
c/ m=27.





1
3
2

3 2

x x dx



  



10/ b/ (3;5) và (1;3); c/ y x8; y x4.
BÀI 11: Rút gọn biểu thức:

a. A



logablogba2 log

 

ab logabb



logba1 b.





1 1

2 2

b b

B a a

 



 

   

      

     

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

log 81

3 2log3
1

10
3



 

 

  b. 8 16 3 27

log 2 2log 3
3log 3 2log 5 2

4  .9 

5 3 3 2

1 4

log

a

a a a

a a d. log 166 biết log 2712 a.

1 1 1

3 3 3

2log 6 log 400 3log 45

 

BÀI 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. y2xex3sin 2x b. y5x2 lnx8cosx
c. y e cos2x d. y x ln sinxcosx
BÀI 14: So sánh các cặp số sau:

a. 3 và 35 b. log 23 và log 32 c. log 32 và log 113 d. log 32 và log 53
BÀI 15:

a. Chứng minh rằng y'.sinx y .cos .lnx y1 với y e cosx.
b. Chứng minh rằng ln 'yy0 với yln 3



x2009



.
ĐS:

11/ A = logba; B = 1/ab

12/ a/ 1/3; b/ 3
150 5

3 ; c/ -91/60; d/ 4(3-a)/(3+a); e/-4.

13/ a/y' 2 ex2xex6cos 2x; b/

' 10 8sin

y x x

x

  

; c/y'2sin 2xecos2x; d/

2cos
'

sin cos
x
y

x x



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

DẠNG TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

LOGARIT

DẠNG 1: DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT
Đưa về dạng:

x y

a a  xy và loga xloga y  xy

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

2 3 3 7

7 11

11 7

x x

   



   

    b. log4



x2



log2 x

Bài giải

2 3 3 7

7 11

11 7

x x

   



   

     2x 3



3x 7



 5x10 x2.





4 2

log 2 log

x x

x

  

   



  x2.

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA, LOGARIT HĨA
Đưa về dạng:





log 0

x

a

a  b x b b

và loga x b  x a b

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 5.6x1 2.51x b. 2.3x1 4.3x11 c. log3



x2



 log9



x2



4
Bài giải:

a. 5.6x1 2.51x

5 10

6 5

x
x

 

30
30x 12 log 12

x

    .

b. 2.3x1 4.3x11

4 3

3 6 1 3

3 14

x  x

     

  3 3

log 1 log 14
14

x  

.
c. log3



x2



 log9



x2



4





8
3

log 2 4 2 3 6559

2 x x x

       

.
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đưa về dạng đa thức bậc cao (bậc 2, bậc 3, hay bậc 4 trùng phương), dùng ẩn phụ đặt.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 2.16x17.4x 8 0 b. 7x1 8.71x 41 c.









2 4

log x1 log x1  5 0
Bài giải

2 8 3

2.16 17.4 8 0 1

1
2

x

x x

x

x
x

 





     

   

 .

b. 7x1 8.71x41

 

7 7

7.7 41.7 56 0 8 1

7
7

x

x x

x vn x

 



      

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>









2 4

log x1 log x1  5 0









2 2

log 1 log 1 5 0

2
x x
     









2
2

log 1 2

log 1
2
x
x
 



  

2
5
2
5
1 2
1
1

1 2 32 2

x
x
x
x 


  

 
  

  
  .

DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT
Đưa về dạng:

hoặc hoặc hoặc

x y x y x y x y

a a a a a a a a .

Và loga xloga y hoặc logaxloga y hoặc loga xloga yhoặc logaxloga y.

Tùy theo a >1 hay a <1 mà ta có kết quả. (VD: 2x 23  x3; 0, 2x 0, 2 x1)

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a. log3



x2



log9



x2



b.









0,5 0,5

log 4x11 log x 6x8









2 1 3 1

0, 2 x 0,04 x



Bài giải

a. log3



x2



log9



x2











log 2 log 2

x x

    1log3





2 x
  
2 1
x
  
1
x

   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



1;











0,5 0,5

log 4x11 log x 6x8

2 2 3 0

4 11 6 8

11
4 11 0

x x

x x x

x x
   
     
   
   
 

3
1
11
4

x
x
x
  

 
 

 


1
x

  . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



1;











2 1 3 1

0, 2 x 0,04 x


3 1
2 1
2
x
x 

   4 3 3

x x

   

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

3
;
4
 
  
 
  .

DẠNG 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA, LOGARIT HĨA

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a. 12
2
log 1
2 1
x
x




 b. 2 1 2 3

2 x 2 x 3

  c.









3 27

log 3x2  log  3x2   2

 

Bài giải:

a. 12
2
log 1
2 1
x
x



2 1

2 1 2

x
x

 

3
0
2x 1

 



2 1 0

2
x x
    
. Vậy
1
;
2
x 

 .

b. 22x1 22x3 3

2 2

1 8 1 8 3

2 2 3 2 log log 5

2 5 2 5 2

x x

x

 

         

  .

Vậy 2

log 5;
2

x  

 .









3 27

log 3x2  log  3x2   2

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a. 9x 5.3x 6 0 b.

2 5

2 1

x
x





 c.

3
3

log 1

1
log 3 2

x
x


 


Bài giải

a. 9x 5.3x 6 0 2 3 3 log 23 1

x x

      . Vậy tập nghiệm cần tìm là



log 2;13



.
b.

2 5

2 1

x
x





2 2.2 3

2 1

x x

x

 

 

 .

Đặt t2x 0.

Bất phương trình trở thành:

2 2 3

0
1

t t

t

 






0;1

 



t  

+ 0  t 1 2x  1 x0

+ 3 2 3 log 32

x

t    x

Vậy nghiệm cần tìm là x0, xlog 32 .
c.

3
3

log 1

1
log 3 2

x
x


 


3 3

log 1 2 log

1 0

log 1 log 1

x x



    

   0 log 3x1  1 x3.

Vậy nghiệm cần tìm là 1x3.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

Bài 1: Giải các phương trình:

2 3 2 3

3 2

2 3

x x

   

 

   

    b. 2.16x17.4x 8 0

c. 32x+1 – 9.3x + 6 = 0 d. 2x2x 4.2x2x 22x 4 0

    .

Bài 2: Giải các phương trình:

a. log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 b. log 3



x 2 log



5x2log3



x 2







2 2 2

log x 8 log xlog 6

d. 2 4





log log 2

x x 

e. log4



x2 log 2 1



x 

Bài 3: Giải các bất phương trình:

a. 22x1 22x2 22x3 448

   b. 9x 5.3x 6 0

3
3

3 2

x

x 

 d. 0,5x1 22x1 0

Bài 4: Giải các bất phương trình:

a. log3



x2



log9



x2



b. log3



x 3



log3



x 5



1

c. 4log4 x 33log 4 1x  d.

3 1

2log (4x  3)  log (2x  3)  2









1 5

log x  6x8 2log x 4 0
.
t

2 2 3

t  t
1
t

2 2 3

t t

t
 



-1 0 1 3 +

0 0

0
–
–
–

+ +

+
–
–

– +

–
+
+

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 5:Tìm tập xác định của các hàm số sau:





2
2

log 3 4

y x  x

b. 13
4
log

4
x
y

x




 c.





log 2x x 4

y 

 





2
1

log 2 3

x
x

x x

  
 
 

 

ĐS: 1/ a/

3
2
x

; b/

3 1

;

2 2

x x

; c/ x0;xlog 23 ; d/x0;x1.

2/ a/x0; b/x=3; x=5; c/x=4; x=2; d/x=4; e/ x=2.

3/ a/x9; b/log 23 x1; c/xlog 23 hoặc x1; d/ x>0.

4/ a/x 1; b/5x6 ; c/

11
4

4 ;1 64

x x



   ; d/

4 x ; e/ x<4.

</div>

on tap thi tot nghiep 12p2

<b>CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN</b>

PHẦN 2: MŨ - LOGARIT

 

 



























 























































<sub> </sub>





 

















 

















 

 

 

 

 

 













