Bai tap Hinh Hoc on ky I

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chương I
VECTƠ
<b>A. KHÁI NIỆM VECTƠ</b>

1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác

⃗

0

Cho tứ giác ABCD

a/ Có bao nhiêu vectơ khác

⃗

₀

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :

_MQ

<i>→</i> =

_NP

<i>→</i>

2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.

a/ Xác định các vectơ cùng phương với

_MN

<i>→</i>
b/ Xác định các vectơ bằng

_NP

<i>→</i>

3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ

_EH

<i>→</i> và

_FG

<i>→</i> bằng

_AD

<i>→</i>
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ

_CI

<i>→</i> =

_DA

<i>→</i> . CMR :
a/ I là trung điểm AB và

_DI

<i>→</i> =

_CB

<i>→</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

_MK

<i>→</i> =

_CP

<i>→</i> và

KL

<i>→</i> =

BN

<i>→</i>

a/ CMR :

_KP

<i>→</i> =

_PN

<i>→</i>
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :

_AL

<i>→</i> =

⃗

₀

<b>5.. Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết điêù nào đúng ?</b>

a)

_AB

<i>−→</i> =

_BC

<i>−→</i> b)

_AB

<i>−→</i> =

_DC

<i>−→</i> c)

_OA

<i>− →</i> = 

_OC

<i>− →</i> d)

OB

<i>− →</i> =

OC

<i>− →</i>

e) |

_AB

<i>−→</i> | = |

_CD

<i>−→</i> | f) |

_OB

<i>− →</i> | = |

_OC

<i>− →</i> |

<b>1.12. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O .Hãy tìm các véc tơ </b>
a) Bằng với

_AB

<i>−→</i>

b) Đối với

_AC

<i>−→</i>
<b>1.14. Cho hình vng ABCD cạnh 4cm , tâm O , M là trung điểm AB. Tính độ lớn véc tơ </b>

_AB

<i>−→</i> ,

_AC

<i>−→</i>
,

_OA

<i>− →</i> ,

_OM

<i>− →</i>

<b>1.15. Cho tríc hai ®iĨm A, B . Tìm tập hợp các điẻm M thoả : </b>
|

_MA

<i>−→</i> | = |

_MB

<i>−→</i> |

<b>B. PHÉP CỘNG CÁC VECTƠ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a) Chûáng minh <i>−− →</i>

_AB

+

_CD

<i>−→</i> = <i>−− →</i>

_AD

+

_CB

<i>−→</i>

b) Chûáng minh nïëu coá <i>−− →</i>

_AB

=

_CD

<i>−→</i> thò <i>−− →</i>

_AC

=

_BD

<i>−→</i>

c) Vúâi ăiïìu kiïơn nađo thị <i>−− →</i>

_AB

+ <i>−− →</i>

_AC

nùìm trïn ặúđng phín giâc ca gôc

BAC

2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.

CMR :

_AB

<i>→</i> +

_CD

<i>→</i> +

_EA

<i>→</i> =

_CB

<i>→</i> +

_ED

<i>→</i>
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.

CMR :

_AD

<i>→</i> +

_BE

<i>→</i> +

_CF

<i>→</i> =

_AE

<i>→</i> +

_BF

<i>→</i> +

_CD

<i>→</i>
Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.

CMR :

_AC

<i>→</i> +

_BF

<i>→</i> +

_GD

<i>→</i> +

_HE

<i>→</i> =

_AD

<i>→</i> +

_BE

<i>→</i> +

_GC

<i>→</i> +

_HF

<i>→</i>
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :

a/

_DO

<i>→</i> +

_AO

<i>→</i> =

_AB

<i>→</i>
b/

_OD

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> =

_BC

<i>→</i>

c/

_OA

<i>→</i> +

_OB

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> +

_OD

<i>→</i> =

⃗

₀

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

CMR :

_OD

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> =

_AD

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i>

Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý

_AA

<i>→</i>

<i>_'</i>

,

_BB

<i>→</i>

<i>_'</i>

,

_CC

<i>→</i>

<i>_'</i>

CMR :

_AA

<i>→</i>

<i>_'</i>

+

_BB

<i>→</i>

<i>_'</i>

+

_CC

<i>→</i>

<i>_'</i>

=

_BA

<i>→</i>

<i>_'</i>

+

_CB

<i>→</i>

<i>_'</i>

+

_AC

<i>→</i>

<i>_'</i>

.
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 

_AB

<i>→</i>

₊

_AD

<i>→</i>  theo a

Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính 

_AB

<i>→</i>

₊

_AD

<i>→</i> 

b/ Dựng

⃗

<i>u</i>

=

_AB

<i>→</i>

₊

_AC

<i>→</i> . Tính 

⃗

<i>u</i>



Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a

a/ Dựng

⃗

<i>v</i>

=

_AB

<i>→</i>

₊

_AC

<i>→</i> .

b/ Tính 

⃗

<i>v</i>

.

<b>2.6.</b> Cho hịnh bịnh hânh ABCD cố O lâ têm.

a) Chûáng minh :

_OA

<i>− →</i> +

_OB

<i>− →</i> +

_OC

<i>− →</i> +

_OD

<i>−→</i> =

⃗

₀

b) M tuyâ yá trïn d . Chûáng minh :

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

_MC

<i>−→</i> +

_MD

<i>− →</i> = 4

_MO

<i>→</i>

c) Xâc ắnh võ trđ ca M trïn d ăïí 

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

_MC

<i>−→</i> +

_MD

<i>− →</i> nhoê nhíịt

<b>C. PHÉP TRỪ HAI VECTƠ</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :

a/*

_CD

<i>→</i> +

_FA

<i>→</i> 

_BA

<i>→</i> 

_ED

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i> 

_FE

<i>→</i> =

⃗

0

b/

_AD

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> 

_EB

<i>→</i> =

_MA

<i>→</i> 

_EA

<i>→</i> 

_FB

<i>→</i>

c/

_MA

<i>→</i> 

_DC

<i>→</i> 

_FE

<i>→</i> =

_CF

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i>

Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :

a/

_MA

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> =

⃗

0

b/

_MB

<i>→</i> 

_MC

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i> =

⃗

0

c/

_MB

<i>→</i> 

_MC

<i>→</i> +

_MA

<i>→</i> =

⃗

0

d/

_MA

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> 

_MC

<i>→</i> =

⃗

0

e/

_MC

<i>→</i> +

_MA

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i> =

⃗

0

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 

_AD

<i>→</i> 

_AB

<i>→</i> 

b/ Dựng

⃗

<i>u</i>

=

_CA

<i>→</i> 

_AB

<i>→</i> . Tính 

⃗

<i>u</i>



Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b/ Tính 

_BA

<i>→</i> 

_BI

<i>→</i> 

Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.

Tính 

_AB

<i>→</i>

<i>₋</i>

_AC

<i>→</i> 

<b>D. PHÉP NHÂN VECTÔ</b>

Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR :

_AM

<i>→</i> +

_BN

<i>→</i> +

_CP

<i>→</i> =

⃗

₀

b/ CMR :

_OA

<i>→</i> +

_OB

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> =

_OM

<i>→</i> +

_ON

<i>→</i> +

_OP

<i>→</i>
Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M  BC sao cho

_BM

<i>→</i> = 2

_MC

<i>→</i>

a/ CMR :

_AB

<i>→</i> + 2

_AC

<i>→</i> = 3

_AM

<i>→</i>

b/ CMR :

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> = 3

_MG

<i>→</i>

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :

_AD

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i> = 2

_EF

<i>→</i>

b/ CMR :

_OA

<i>→</i> +

_OB

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> +

_OD

<i>→</i> =

⃗

₀

c/ CMR :

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> +

_MD

<i>→</i> = 4

_MO

<i>→</i> (với M tùy ý)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a/ CMR :

_AF

<i>→</i> +

_BG

<i>→</i> +

_CH

<i>→</i> +

_DE

<i>→</i> =

⃗

₀

b/ CMR :

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> +

_MD

<i>→</i> =

_ME

<i>→</i> +

_MF

<i>→</i> +

_MG

<i>→</i> +

_MH

<i>→</i>
c/ CMR :

_AB

<i>→</i> +

_AC

<i>→</i> +

_AD

<i>→</i> = 4

_AG

<i>→</i> (với G là trung điểm FH)

Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.

CMR :

_AD

<i>→</i> +

_BE

<i>→</i> +

_CF

<i>→</i> = 3

_GH

<i>→</i>

Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/

_OA

<i>→</i> +

_OB

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> +

_OD

<i>→</i> =

⃗

₀

b/

_EA

<i>→</i> +

_EB

<i>→</i> + 2

_EC

<i>→</i> = 3

_AB

<i>→</i>
c/

_EB

<i>→</i> + 2

_EA

<i>→</i> + 4

_ED

<i>→</i> =

_EC

<i>→</i>

Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho

_AN

<i>→</i> =

1

2

NC

<i>→</i>

. Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :

_AK

<i>→</i> =

1

4

AB

<i>→</i>

+

1

6

AC

<i>→</i>

b/ CMR :

_KD

<i>→</i> =

1

4

AB

<i>→</i>

+

1

3

AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Cho ABC. Treân hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho

_AD

<i>→</i> = 2

_DB

<i>→</i> ,

_CE

<i>→</i> = 3

EA

<i>→</i> . Gọi M là trung điểm DE và I là trung ñieåm BC. CMR :
a/

_AM

<i>→</i> =

1

3

AB

<i>→</i>

+

1

8

AC

<i>→</i>

b/

_MI

<i>→</i> =

1

6

AB

<i>→</i>

+

3

8

AC

<i>→</i>

Cho 4 điểm A, B, C, D thoûa 2

_AB

<i>→</i> + 3

_AC

<i>→</i> = 5

_AD

<i>→</i>
CMR : B, C, D thẳng hàng.

Cho ABC, laáy M, N, P sao cho

_MB

<i>→</i> = 3

_MC

<i>→</i> ;

_NA

<i>→</i> +3

_NC

<i>→</i> =

⃗

0

vaø

_PA

<i>→</i> +

_PB

<i>→</i>

=

⃗

₀

a/ Tính

_PM

<i>→</i> ,

_PN

<i>→</i> theo

_AB

<i>→</i> vaø

_AC

<i>→</i>
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

<b>3.1.</b> Cho ABC ; I ; J nựỗm trùn caồnh BC vaõ BC kếo dâi sao cho

2CI = 3BI ; 5JB = 2JC .

a) Tñnh

_AI

<i>− →</i> theo <i>−− →</i>

_AB

; <i>−− →</i>

_AC

b) Tñnh

_AJ

<i>−→</i> theo vec tú

_AB

<i>−→</i> ;

AC

<i>−→</i>

c) G lâ trổng têm ABC. Tđnh

_AG

<i>− →</i> theo <i>−− →</i>

_AB

vaâ <i>−− →</i>

_AC

ÀS: a)

3

5

AB

<i>−→</i>

+

2

5

AC

<i>−→</i>

b)

_AJ

<i>−→</i> =

5

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>3.2.</b> Cho ABC ; G laâ trổng têm  vâ I lâ àiïím àưëi xûáng ca B qua G. M lâ

trung àiïím BC Tđnh

a)

_AI

<i>− →</i> theo <i>−− →</i>

_AB

vaâ <i>−− →</i>

_AC

b)

_CI

<i>−→</i> theo <i>−− →</i>

_AB

; <i>−− →</i>

_AC

c)Tñnh

_MI

<i>→</i> theo <i>−− →</i>

_AB

; <i>−− →</i>

_AC

ÀS: a)

_AI

<i>− →</i> =

2

3

AC

<i>−→</i>

-

1

3

AB

<i>−→</i>

b)

_CI

<i>−→</i> = -

1

3

AB

<i>−→</i>

-

1

2

AC

<i>−→</i>

c)

MI

<i>→</i> =

₆

1

AC

<i>−→</i> -

5

₆

AB

<i>−→</i>

<b>3.3.</b> Cho ABC . Gổi I lâ àiïím àưëi xûáng ca trổng têm G qua B .

a) Chûáng minh :

_IA

<i>→</i> – 5.

_IB

<i>→</i> +

_IC

<i>→</i> =

⃗

₀

b) Àùåt

_AG

<i>− →</i> =

⃗

<i>a</i>

;

_AI

<i>− →</i> =

⃗

<i>_b</i>

. Tñnh

_AB

<i>−→</i> ;

_AC

<i>−→</i> theo

⃗

<i>a</i>

;

⃗

<i>_b</i>

ÀS: b)

_AB

<i>−→</i> =

1

2

(

⃗

<i>a</i>

+

⃗

<i>b</i>

) ;

AC

<i>−→</i>

=

5

2

⃗

<i>a</i>

–

1

2

⃗

<i>b</i>

<b>3.4.</b> Cho ABC. M di àöång . Chûáng minh vectú : 3

_MA

<i>−→</i> – 2

_MB

<i>−→</i> –

_MC

<i>−→</i> lâ

vectú khưng àưíi vïì àưå lúán vïì hûúáng ? Vệ tưíng àố ?

<b>3.5.</b> Cho hịnh vng ABCD cẩnh a. Chûáng minh cấc vec tú sau ờy laõ caỏc vec

tỳ hựỗng vaõ tủnh ửồ lỳỏn cuãa noá :

⃗

<i>a</i>

= 2.

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> –

_MC

<i>−→</i> – 2.

_MD

<i>− →</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>v</i>

<i>→</i>

= 3.

_MA

<i>−→</i> –

_MB

<i>−→</i> – 2.

_MC

<i>−→</i> cố hûúáng vâ àưå lúán khưng àưíi ? Dûång

<i>v</i>

<i>→</i>

?

Tđnh àưå lúán ca <i>→</i>

<i>_v</i>

? ÀS :

<i>_a</i>

_√

₁₃

<b>4.1.</b> Cho ABC. Dûång caác àiïím M ; N thoẫ

a)

_MA

<i>−→</i> + 2.

_MB

<i>−→</i> = 2.

_CB

<i>−→</i> b) <i>−− →</i>

_AN

– 2

_BN

<i>−→</i> =

⃗

₀

<b>4.2.</b> Cho ABC; O lâ àiïím tu . Dûång cấc àiïím D ; E ; F thoẫ :

OD

<i>−→</i> =

OC

<i>− →</i> + <i>−− →</i>

AB

;

OE

<i>−→</i> =

OA

<i>− →</i> +

BC

<i>−→</i> ;

OF

<i>−→</i> =

OB

<i>− →</i> +

CA

<i>−→</i>

a) Chûáng tỗ võ trđ ca D; E; F khưng ph thåc vâo võ trđ O

b) So sấnh hai tưíng vec tú sau :

_OA

<i>− →</i> +

_OB

<i>− →</i> +

_OC

<i>− →</i> vaâ

_OF

<i>−→</i> +

_OE

<i>−→</i> +

OD

<i>−→</i>

<b>4.3.</b> Cho ABC vaâ M tuyâ yá

a) Chûáng minh <i>→</i>

<i>_v</i>

=

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

_MC

<i>−→</i> khưng ph thåc vâo võ trđ

ca M ?

b) Dûång àiïím D thoẫ

_CD

<i>−→</i> = <i>→</i>

<i>_v</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

a)

_MA

<i>−→</i> – 2

_MB

<i>−→</i> –

_MC

<i>−→</i> =

⃗

₀

b)

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

MC

<i>−→</i> =

BC

<i>−→</i>

<b>4.5.</b> Cho ABC. Dûång cac á àiïím M ; J thoẫ

a)

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

_MC

<i>−→</i> =

_AB

<i>−→</i> – 2.

_AC

<i>−→</i> b)

_AJ

<i>−→</i> +

_BJ

<i>− →</i> + 2.

CJ

<i>−→</i>

=

_AB

<i>−→</i>

<b>4.6.</b> Cho ABC. Xâc ắnh sưị thûơc k vađ ăiïím I ăïí câc ăùỉng thûâc sau ăng

vúái mổi àiïím M

a)2

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> –

_MC

<i>−→</i> = k

_MI

<i>→</i> b)

_MA

<i>−→</i> +2

_MB

<i>−→</i> – k

_MI

<i>→</i> =

⃗

0

<b>4.7.</b> Cho hònh bònh hađnh ABCD. Xâc ắnh sưị thûơc k vađ ăiïím I ăïí câc ăùỉng

thûác sau àng vúái mổi àiïím M :

_MA

<i>−→</i> +

_MB

<i>−→</i> +

_MC

<i>−→</i> = k

_MI

<i>→</i> – 3

_MD

<i>− →</i>

<b>4.8.</b> Cho ABC. Dûång cấc àiïím K ; M thoẫ

a)

_AK

<i>− →</i> +2

_BK

<i>−→</i> =

_AC

<i>−→</i> b)2

_MA

<i>−→</i> –

_MB

<i>−→</i> +3

MC

<i>−→</i> =

AB

<i>−→</i> +

AC

<i>−→</i>

c) Tịm m àïí

_AJ

<i>−→</i> +

_BJ

<i>− →</i> + m

_CJ

<i>−→</i> =

_AB

<i>−→</i> àuáng vúái moåi J

<b>E. TRỤC - TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

a/ Tìm tọa độ của

_AB

<i>→</i> .

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2

_MA

<i>→</i> + 5

_MB

<i>→</i> =

⃗

₀

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

NA

+ 3

NB

= 1

Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> 

_MC

<i>→</i> =

⃗

0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2

_NA

<i>→</i>  3

_NB

<i>→</i> =

_NC

<i>→</i>

Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3

MA

 2

MB

= 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho

NA

+ 3

NB

=

AB

Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR :

1

AC

+

1

AD

=

2

AB

b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :

_{IC .ID}

=

IA

2

c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :

AC . AD

=

AB. AJ

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Viết tọa độ của các vectơ sau :

⃗

<i>a</i>

=

⃗

<i>i</i>

 3

⃗

<i>j</i>

,

⃗

<i>b</i>

=

1

2

⃗

<i>i</i>

+

⃗

<i>j</i>

;

⃗

<i>c</i>

= 

⃗

<i>i</i>

+

3

2

⃗

<i>_j</i>

;

⃗

<i>_d</i>

= 3

⃗

<i>_i</i>

;

⃗

<i>e</i>

= 4

⃗

<i>j</i>

.

Viết dưới dạng

⃗

<i>u</i>

= x

⃗

<i>_i</i>

+ y

⃗

<i>_j</i>

, biết rằng :

⃗

<i>u</i>

= (1; 3) ;

⃗

<i>u</i>

= (4; 1) ;

⃗

<i>u</i>

= (0; 1) ;

⃗

<i>u</i>

= (1, 0) ;

⃗

<i>u</i>

= (0, 0)

Trong mp Oxy cho

⃗

<i>a</i>

= (1; 3) ,

⃗

<i>b</i>

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :

a/

⃗

<i>u</i>

= 3

⃗

<i>a</i>

 2

⃗

<i>b</i>

b/

⃗

<i>v</i>

= 2

⃗

<i>a</i>

+

⃗

<i>b</i>

c/

⃗

<i>w</i>

= 4

⃗

<i>a</i>



1

2

⃗

<i>b</i>

Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ

_AB

<i>→</i> ,

_AC

<i>→</i> ,

_BC

<i>→</i>
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :

_CM

<i>→</i> = 2

_AB

<i>→</i>  3

_AC

<i>→</i>

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :

_AN

<i>→</i> + 2

_BN

<i>→</i>  4

_CN

<i>→</i> =

⃗

0

Trong mp Oxy cho ABC coù A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Trong mp Oxy cho ABC coù A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC.

b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

c/ Tìm tọa độ tâm I của đường trịn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường trịn đó.

Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hồnh các điểm M sao cho ABM vuông tại M.

Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hồnh 1 điểm C sao cho ABC cân tại C.

b/ Tính diện tích ABC.

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C khơng thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

c/ CMR : ABC vuông cân.

d/ Tính diện tích ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>9.7.</b> Cho A(1, 1) ; B(5, 3) ; C(0, -1).Tịm toaơ ăươ chín ặúđng phín giâc trong AD

vâ phên giấc ngoâi AE ca gốc A trong _ABC ?

ÀS: D(5/3 ; 1/3) ; E(-5, -5)

a) Tịm toaơ ăươ tím ặúđng trođn ngoaơi tiïịp ABC vúâi

A(6, –2) ; B(–2, 4) ; C(5, 5)

b) Tũm iùớm M nựỗm trùn chiùỡu dûúng ca trc hoânh sao cho MAB vng tẩi M

vúái A(–3, 2) ; B(4, 3) ? ÀS: a)(2, 1) b)(3, 0)

<b>ÔN TẬP CHƯƠNG I</b>
Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.

a/ CMR : 2

_IA

<i>→</i> +

_IB

<i>→</i> +

_IC

<i>→</i> =

⃗

₀

b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2

_OA

<i>→</i> +

_OB

<i>→</i> +

_OC

<i>→</i> = 4

_OI

<i>→</i>

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.

a/ CMR : 2

_AI

<i>→</i> = 2

_AO

<i>→</i> +

_AB

<i>→</i>

b/ CMR : 3

_DG

<i>→</i> =

_DA

<i>→</i> +

_DB

<i>→</i> +

_DC

<i>→</i>

Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho

_BC

<i>→</i> = 3

_BN

<i>→</i> . Tính

_AN

<i>→</i> theo

_AB

<i>→</i> và

AC

<i>→</i>

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :

_AI

<i>→</i> =

1

2

(

AD

<i>→</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

b/ CMR :

_OA

<i>→</i> +

_OI

<i>→</i> +

_OJ

<i>→</i> =

⃗

₀

c/ Tìm điểm M thỏa :

_MA

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> =

⃗

0

Cho ABC vaø 1 điểm M tùy ý.

a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho

_MD

<i>→</i> =

_MC

<i>→</i> +

_AB

<i>→</i> ,

_ME

<i>→</i> =

_MA

<i>→</i> +

BC

<i>→</i> vaø

MF

<i>→</i> =

MB

<i>→</i> +

CA

<i>→</i> . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> =

_MD

<i>→</i> +

_ME

<i>→</i> +

_MF

<i>→</i>

Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :

a/

_MA

<i>→</i> =

_MB

<i>→</i>

b/

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> =

⃗

₀

c/ 

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i>  = 

_MA

<i>→</i> 

_MB

<i>→</i> 

d/ 

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i>  = 

_MA

<i>→</i>  + 

_MB

<i>→</i> 

e/ 

_MA

<i>→</i> +

_MB

<i>→</i>  = 

_MA

<i>→</i> +

_MC

<i>→</i> 

Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi

_AD

<i>→</i> = 2

_AB

<i>→</i> ,

_AE

<i>→</i> =

2

5

AC

<i>→</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.

Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi

_AD

<i>→</i> =

2

5

AC

<i>→</i>

và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính

_AM

<i>→</i> theo

_AB

<i>→</i> và

_AC

<i>→</i> .

b/ AM cắt BC tại I. Tính

IB

IC

và

AM

AI

Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).

a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích  OAB

c/ Tìm tọa độ trong tâm  OAB.

d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo
các tỉ số nào ?

e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.

 


Chương 2

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC &
TRONG ĐƯỜNG TRÒN

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

So sánh các cặp số sau :

a/ sin60o_{và cos30}o_. _{b/ sin100}o_{và sin110}o
c/ sin90o_{10' và sin90}o_20' _{d/ sin80}o_{và sin100}o
e/ sin50o_{15' và sin50}o_25' _{f/ cos40}o_{và cos50}o
g/ cos112o_{và cos115}o _{h/ cos90}o_{và cos180}o
i/ cos45o_{và sin135}o _{j/ cos90}o_{5' và cos90}o_10'
Tính giá trị các biểu thức sau :

a/ A = acos0o_{+ bsin0}o_{+ csin90}o_{+ dcos90}o
b/ B = asin180o_{+ bcos180}o_{+ ccos90}o
c/ C = a2_sin90o_{+ 2abcos0}0

 b2cos180o

d/ D = 5  cos20o + 3sin230o 4cotg245o

e/ E = 8b2_cos2₄₅o

 5(btg45o)2 + (4asin45o)2

f/ F =

2 cos

2

0

<i>o</i>

<i>−</i>

3 sin

2

90

<i>o</i>

5 cot

<i>g</i>

45

<i>o</i>

+

3 sin180

<i>o</i>

<i>−</i>

2 tg 45

<i>o</i>

g/ G =

4

3

sin

2

60

<i>o</i>

+

4 sin

2

30

<i>o</i>

4

3

cos

2

₃₀

<i>o</i>

+

4 cos

2

60

<i>o</i>

Tính giá trị biểu thức sau :

a/ A = sin2x  3cosx (với x = 0o, 30o, 45o)

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

c/ C = tg2_{x + cotg}2_x _{(với x = 30}o_{, 45}o_{, 60}o₎
d/ D = (acos0o₎2

 2asin90o.bcos180o b2cos180o

e/ E = 4a2_cos2₄₅o_{+ 7(atg45}o₎2

 (3asin90o)2

Xác định dấu của các biểu thức sau :

a/ A = sin50o_cos100o _{b/ B = sin130}o_cos40o
c/ C = cotg110o_sin140o _{d/ D = tg50}o_cos100o
e/ E = tg70o_cotg160o_cos100o

Cho 0 < x < 90o_{. Xét dấu của cos(x + 90}o_{) và tg(x + 90}o₎
<b>B. HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC</b>
Cho cos = 

4

5

. Tính sin, tg, cotg
Cho sin =

8

17

(90o <  < 180o). Tính cos, tg, cotg
Cho tg = 3. Tính cotg, sin, cos.

Cho cotg = 

1

2

. Tính tg, sin, cos.
Cho tgx = 2. Tính A =

3 sin

<i>x</i>

+

cos

<i>x</i>

sin

<i>x −</i>

cos

<i>x</i>

Cho sinx =

2

3

. Tính B =

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Rút gọn biểu thức :
A =

2cos

2

<i>x −</i>

1

sin

<i>x</i>

+

cos

<i>x</i>

B =

cos

<i>x</i>

. tgx

sin

2

<i>_x</i>

 cotgx.cosx

C = (1  sin2x)cotg2x + 1  cotg2x

D =

cos

2

<i>_{x −}</i>

_cot

<i>_g</i>

2

<i>_x</i>

sin

2

<i>x</i>

. tg

2

<i>x</i>

E =

_√

sin

2

<i>x</i>

(

1

+

cot gx

)+

cos

2

<i>x</i>

(

1

+

tgx

)

Chứng minh các đẳng thức sau :
a/ sin4_{x + cos}4_{x = 1}

 2sin2xcos2x

b/ sin6_{x + cos}6_{x = 1}

 3sin2xcos2x

c/

cos

<i>x</i>

1

+

sin

<i>x</i>

+ tgx =

1

cos

<i>x</i>

d/

2

sin

<i>x</i>



sin

<i>x</i>

1

+

cos

<i>x</i>

=

1

+

cos

<i>x</i>

sin

<i>x</i>

e/ cotg2_x

 cos2x = cotg2x.cos2x

f/

tgx

<i>−</i>

sin

<i>x</i>

sin

3

<i>x</i>

=

1

cos

<i>x</i>

(

1

+

cos

<i>x</i>

)

g/

1

+

cos

2

<i>x</i>

1

<i>−</i>

cos

2

<i>x</i>

= 1 + 2cotg

2_x
h/

1

+

cos

<i>x</i>

1

<i>−</i>

cos

<i>x</i>



1

<i>−</i>

cos

<i>x</i>

1

+

cos

<i>x</i>

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

i/

1

+

2 sin

<i>x</i>

cos

<i>x</i>

sin

2

<i>x −</i>

cos

2

<i>x</i>

=

tgx

+

1

tgx

<i>−</i>

1

j/

sin

<i>x</i>

+

cos

<i>x</i>

cos

3

<i>x</i>

= tg

3_{x + tg}2_{x + tgx + 1}
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x.

A = 2(sin6_{x + cos}6_x)

 3(sin4x + cos4x)

B = cos4_{x + cos}2_xsin2_{x + sin}2_x
C = (tgx + cotgx)2

 (tgx  cotgx)2

D =

cos

2

<i>x −</i>

sin

2

<i>y</i>

sin

2

<i>x</i>

. sin

2

<i>y</i>

 cotg

2_x.cotg2_y
<b>Bµi 11: Tính giá trị của :</b>

A = tg10O_.tg20O_tg30O_.tg40O_.tg50O_.tg60O_.tg70O_.tg80O
B = cotg1O_.cotg2O_.cotg3O_{. . . cotg87}O_.cotg88O_.cotg89O

C = cos10O _{+ cos20}O_{+ cos30}O_{+ . . . + cos150}O_{+ cos160}O_{+ cos170}O
D = sin2₁₀O_+sin2₂₀O_+sin2_{30 + . . . +sin}2₁₅₀O_+sin2₁₆₀O_+sin2₁₇₀O_{+ sin}2₁₈₀o
E = tg20O_{+ tg40}O_{+ tg60}O_{+ tg80}O_{+ . . .+ tg160}O_{+ tg180}O

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

G =

sin

(

<i>−</i>

234

<i>O</i>

)

<i>−</i>

cos 216

<i>O</i>

sin 144

<i>O</i>

<i>−</i>

cos 126

<i>O</i>

. tg36

<i>O</i> _H=

cos 676

<i>o</i>

cos 406

<i>O</i>

.

(

cot

<i>g</i>

224

<i>O</i>

<i>−</i>

tg

(

<i>−</i>

406

<i>O</i>

))

H=

1

tg 368

<i>O</i>

+

2 sin 2550

<i>O</i>

.cos

(

<i>−</i>

188

<i>O</i>

)

2. cos 638

<i>O</i>

+

cos 98

<i>O</i> I =

sin 486

<i>O</i>

<i>₋</i>

_{cos 936}

<i>O</i>

sin 846

<i>O</i>

<i>−</i>

cos 486

<i>O</i>

. tg216

<i>O</i>

J=

(

cot

<i>g</i>

44

<i>O</i>

+

tg 226

<i>O</i>

)

.cos 406

<i>O</i>

cos 316

<i>O</i>

<i>−</i>

cot

<i>g</i>

72

<i>O</i>

.cot

<i>g</i>

18

<i>O</i>

K =

cos

(

<i>−</i>

216

<i>O</i>

)+

sin

(

<i>−</i>

144

<i>O</i>

)

cos

(

<i>−</i>

216

<i>O</i>

)+

sin 234

<i>O</i>

<i>−</i>

1

2 cot

<i>g</i>

36

<i>O</i>

L = sin( - a) - cos(

<i>π</i>

2

- a) + cotg(2 - a) + tg(

3

<i>π</i>

2

- a)

Cho ABC. Chứng minh rằng :

a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C)

c/ sin

<i>A</i>

+

<i>B</i>

2

= cos

<i>C</i>

2

d/ sin

<i>A</i>

2

= cos

<i>B</i>

+

<i>C</i>

2

e/ sin

<i>A</i>

+

<i>B −C</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>C. TÍCH VƠ HƯỚNG</b>

Cho ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a.

Tính

_AB

<i>→</i> .

_AC

<i>→</i> ,

_CA

<i>→</i> .

_AB

<i>→</i> ,

_CB

<i>→</i> .

_CA

<i>→</i> ,

_AB

<i>→</i> .

_BC

<i>→</i>
Cho ABC coù AB = 5, BC = 7, AC = 8

a/ Tính

_AB

<i>→</i>

_AC

<i>→</i> rồi suy ra góc A
b/ Tính

_CA

<i>→</i> .

_CB

<i>→</i>

c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA sao cho CD = 3. Tính

_CD

<i>→</i> .

_CB

<i>→</i> ,

_AD

<i>→</i> .

_AB

<i>→</i>
Cho hình vuông ABCD cạnh a.

a/ Tính

_AB

<i>→</i> .

_AC

<i>→</i>
b/ Tính

_AB

<i>→</i> .

_BD

<i>→</i>

c/ Tính (

_AB

<i>→</i> +

_AD

<i>→</i> )(

_BD

<i>→</i> +

_BC

<i>→</i> )
d/ Tính (

_AC

<i>→</i> 

_AB

<i>→</i> )(2

_AD

<i>→</i> 

_AB

<i>→</i> )

Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC. Tính các tích :

_AB

<i>→</i> .

_AI

<i>→</i> ,

_AC

<i>→</i> .

BC

<i>→</i> ,

AI

<i>→</i> .

BC

<i>→</i> ,

AI

<i>→</i> .

CA

<i>→</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

a/ Tính

_AB

<i>→</i> .

_AC

<i>→</i>
b/ Tính BC

c/ Tính độ dài trung tuyến AM

d/ Gọi I, J là 2 điểm xác định bởi 2

_IA

<i>→</i> 

_IB

<i>→</i> =

⃗

0

;

JB

<i>→</i>  2

_JC

<i>→</i> =

⃗

0

. Tính IJ

Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)

a/ CMR ABC vuông tại A

b/ Tính

_BA

<i>→</i> .

_BC

<i>→</i>
c/ Tính cosB

<b>1.11</b> Cho ABC coá AB = 2 ; BC= 4 ; AC = 3

a) Tñnh <i>−− →</i>

_AB

. <i>−− →</i>

_AC

vâ suy ra cosA ?

b) Gổi G lâ trổng têm . Tđnh <i>−− →</i>

_AG

.

_BC

<i>−→</i> ?

ÀS: a) -

3

2

;

-1

4

b)

5

3

<b>1.12</b> Cho ABC coá AB = 2 ; AC = 3 ; A = 120o

a) Tñnh <i>−− →</i>

_AB

. <i>−− →</i>

_AC

vâ suy ra àưå dâi cẩnh BC ?

b) Tđnh àưå dâi trung tuën AM ?

ÀS: a) BC =

_√

₁₉

b)

_√

₇

/2

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

a) Tñnh <i>−− →</i>

_AD

theo <i>−− →</i>

_AB

; <i>−− →</i>

_AC

vaâ <i>−− →</i>

_AB

. b) Tñnh AD ?

ÀS: a) <i>−− →</i>

_AD

=

3

5

AB

<i>−− →</i>

+

2

5

AC

<i>−− →</i>

; -

3

2

b)

3

5

√

6

<b>1.14.</b> Cho ABC coá AB = 2 ; AC = 3 ; BC =

_√

19

. Goåi I ; J lâ hai àiïím thoẫ hïå

thûác 2.

_IA

<i>→</i> +

_IB

<i>→</i> = <i>→</i>

₀

;

_JB

<i>→</i> - 2

_JC

<i>→</i> = <i>→</i>

₀

. Tñnh <i>−→</i>

_IJ

theo <i>−− →</i>

_AB

;

AC

<i>−− →</i>

vaâ IJ ? ÀS: IJ =

2

3

√

133

<b>1.15.</b> Cho ABC coá AB= 8 ; BC = 7 ; AC = 5.

a) Tñnh goác A cuãa ABC ?

b) Gổi G lâ trổng têm ; M ; N ; P lâ trung àiïm BC ; CA ; AB Tđnh cấc biïíu thûác

P = <i>−− →</i>

_AB

.

_BC

<i>−→</i> +

_BC

<i>−→</i> .

_CA

<i>−→</i> +

_CA

<i>−→</i> . <i>−− →</i>

_AB

vaâ

Q =

_AM

<i>−− →</i> .

_BC

<i>−→</i> +

_BN

<i>−→</i> .

_CA

<i>−→</i> +

_CP

<i>− →</i> . <i>−− →</i>

_AB

ÀS: a) 60o_{b) P = - 69 ; Q = 0}

<b>1.16.</b> Cho A(1, 0) ; B(2, 4) ; C(10, -2)

a) Chûâng minh ABC vng vađ tđnh bân kđnh ặúđng trođn ngoaơi tiïịp; toaơ

ăươ tím I ca ặúđng trođn ?

b) Tđnh

_BA

<i>−→</i>

_BC

<i>−→</i> vaâ cosB ; cosC ?

<b>1.17.</b> Cho A(-1, -1) ; B(1, 3) ; C(5, -1)

a)Tịm toaơ ăươ chín ặúđng cao AA’ ca _ABC ?

b)Tịm toẩ àưå trûåc têm H vâ trổng têm G ca _ABC ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

d) Tđnh sưë ào gốc C ca _ABC ?

ÀS: a)(2, 2) b)H(1, 1); G(

5

3

,

1

3

) c)(2, 0) ;

√

10

d)

<i>π</i>

4

<b>1.18.</b> Cho A(1, 1) ; B(-3, -1) ; C(0, -1)

a) Tđnh sưë ào gốc A ca _ABC ?

b) Tịm toaơ ăươ chín ặúđng phín giâc trong ca gôc A

c) Tịm toaơ ăươ tím ặúđng trođn ngoaơi tiïịp _ABC ?

d) Tịm toaơ ăươ chín ặúđng cao AH ?

e) Tđnh diïån tñch _ABC ?

ÀS: a) 4/5 b)(-1,-1) c) I(-

3

2

,1) d) H(1,-1) e) S = 3

Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5)
a/ CMR ABC vuông.

b/ Tính

_AB

<i>→</i> .

_AC

<i>→</i>
c/ Tính cosA

Cho

⃗

<i>a</i>

= (4; 3) ,

⃗

<i>_b</i>

_{= (1; 7)}

a/ Tính

⃗

<i>a</i>

.

⃗

<i>_b</i>

b/ Tính góc

<b>HÏÅ THÛÁC LÛÚÅNG </b>
<b>TRONG TAM GIẤC VNG</b>

<b>1.1.</b> Chûáng minh trong ABC vng gốc tẩi A

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

b) S =

1

2

a.c.sinB =

1

2

a.b.sinC

c) cotgB + cotgC =

<i>a</i>

<i>h</i>

d)

sin

<i>B</i>

+

sin

<i>C</i>

sin

<i>A</i>

=

<i>b</i>

+

<i>c</i>

<i>a</i>

e) tgB + tgC =

<i>b</i>

.

<i>c</i>

<i>h</i>

2 f) sin

2_{A +sin}2_{B +sin}2_{C = 2}

<b>1.2.</b> ABC  taơi A coâ AB = 3; AC = 4; ặúđng cao AH . Tđnh bân kđnh ặúđng

trôn ngoẩi tiïëp ; HB ; HA ; HC ? ÀS: 2,5 ; 1,8 ; 3,2 ; 2,4

<b>1.3.</b> ABC  taơi C coâ CD lađ ặúđng cao . Biïịt AD = 9 ; BD = 16. Tñnh CD ; AC ;

BC ? ÀS: 15 ; 20 ; 12

<b>1.4.</b> ABC  taåi A coá

AB

AC

=

2

3

; ặúđng cao AH = 6. Tñnh HB ; HC ; AB ?

ÀS: 4 ; 9 ; 2

_√

₁₃

<b>1.5.</b>  ABC  tẩi C cố AA1 lâ phên giấc trong

BA1 = 5 ; A1C = 4 . Tñnh ba caơnh ; bân kđnh ặúđng trođn ngoaơi tiïịp ĂS: 15

; 12 ; 9 ; 7,5

<b>1.6.</b> ABC  tẩi A cố AB = 3a ; AC = 4a ; I lâ àiïím trïn caånh AB sao cho IA =

2IB ; CI cùưt ặúđng cao AH taơi E. Tñnh CE ? ĂS:

16

11

√

5

<i>a</i>

<b>1.7.</b> Ba ặúđng trođn (O1; r1 = 3) ; (O2; r2 = 3) ;

(O3; r3 = 2) tiïëp xc ngoai vúái nhau tẩi cấc tiïëp àiïím A;

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

ÀS: O1O2O3 : 5 ; 5 ; 6 ; ABC :

12

5

<i>;</i>

6

5

√

5

<b>1.8.</b> Cho (O1; r1 = 5); (O2; r2 = 3) nựỗm ngoaõi nhau AB laâ tiïëp tuyïën chung

ngoaâi ; CD laâ tiùởp tuyùởn chung trong ; A ; C nựỗm trùn (O1) ; biïët AB =

3

2

CD.

Tđnh ăươ dađi ặúđng nưịi tím ? ĂS: k O2E // CD O1O2 = 9

<b>1.9.</b> Cho (O1; r1 = 9) ; (O2; r2 = 4) tiïëp xc ngoâi nhau. Tđnh àưå dâi tiïëp tuyïën

chung ngoaâi ? ÀS: 12

<b>1.10.</b>ABC vng tẩi A AH. HD AB ; HE  AC .

a) Chûáng minh AD.AB = AE.AC

b) Cho BC = 2a ; ACB = 30o_{. Tđnh EC}

<b>A. ĐỊNH LÝ COSIN</b>
<b>1. Cho </b> ABC. Biết

a/ AB = 5 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_. _{Tính BC}
b/ AB = 6 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 120}o_. _{Tính BC}
c/ AB = 4 ; AC = 2

_√

2

;

^

<i>_A</i>

_{= 45}o_{. Tính BC}
d/ AB =

_√

3

; AC = 2 ;

^

<i>_A</i>

_{= 30}o_. _{Tính BC}
e/ AB = 2

_√

3

; BC = 4 ;

<i>_B</i>

^

_{= 30}o_{. Tính AC}

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

g/ AB = 8 ; BC = 13 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_. _{Tính AC}

h/ AB =

_√

3

; BC =

_√

2

;

<i>_C</i>

^

_{= 60}o_{.Tính AC}
i/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_{; AC = 8 ; BC = 7 .} _{Tính AB}
j/

<i>_B</i>

^

_{= 120}o_{; BC = 10 ; AC = 14 .} _{Tính AB}
<b>2. Cho </b>ABC. Bieát :

a/ AB = 3 ; BC = 7 ; AC = 8. Tính

^

<i>_A</i>

b/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14. Tính

^

<i>_A</i>

c/ AB = 5 ; BC = 8 ; AC = 7. Tính

<i>_B</i>

^

d/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14. Tính

<i>_B</i>

^

e/ BC = 2 ; AC =

_√

6

; AB =

_√

3

+ 1. Tính

^

<i>_A</i>

_;

<i>_B</i>

^

_;

<i>_C</i>

^

f/ BC = 2

_√

3

; AC = 3

_√

2

; AB = 3 +

_√

3

. Tính

^

<i>_A</i>

_;

<i>_B</i>

^

_;

<i>_C</i>

^

g/ BC = 6 ; AC = 2

_√

6

; AB = 3

_√

2



_√

6

. Tính

^

<i>A</i>

;

<i>B</i>

^

;

<i>C</i>

^

h/ BC = 2

_√

3

; AC = 2

_√

2

; AB =

_√

6



√

2

. Tính

^

<i>A</i>

;

<i>B</i>

^

;

<i>C</i>

^

i/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15. Chứng minh

<i>_B</i>

^

_{là góc nhọn}

<b>B. ĐỊNH LÝ SIN </b>

<b>1. Cho </b> ABC. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

c/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_{; AB = 3 ; AC = 8}
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7

e/ AB = 5 ; AC = 2

_√

3

; BC =

_√

7

<b>2. Cho </b> ABC. Bieát

a/ AC = 3 ; R =

_√

3

. Tính

<i>_B</i>

^

b/ BC = 2 ; R =

_√

2

. Tính

^

<i>_A</i>

c/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_{; R =}

√

21

. Tính BC
d/ Cos

^

<i>_A</i>

₌

3

5

; R = 10 . Tính BC
e/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_;

<i>_B</i>

_^

_{= 45}o_{; BC =}

√

3

. Tính AC
<b>C. DIỆN TÍCH TAM GIÁC</b>

<b>1. Tính diện tích </b> ABC. Bieát :

a/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_{; AB = 6 ; AC = 8}
b/

<i>_B</i>

^

_{= 45}o_{; AB = 2}

√

2

; BC = 5
c/

<i>_C</i>

^

_{= 30}o_{; AC = 7 ; BC = 8}
d/

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_{; AC = 2}

√

3

+ 1 ; AB = 2

_√

3

 1

e/ Cos

^

<i>_A</i>

₌

3

5

; AC = 7 ; AB = 5
f/ AB = 13 ; BC = 14 ; AC = 15

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

h/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
i/ AB = 6 ; AC = 10 ; BC = 14
j/ BC = 6 ;

<i>_B</i>

^

_{= 60}o_;

<i>_C</i>

_^

_{= 45}o

<b>2. Cho </b> ABC. Tính độ dài các đường cao, biết :

a/ AB = 5 ; BC = 7 ; CA = 8.
b/ AB = 10 ; BC = 16 ; AC = 14.
c/ AB = 3 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o_.
d/ AB = 6 ; AC = 10 ;

^

<i>_A</i>

_{= 120}o_.
e/ AC = 4 ; AB = 2 ; S = 2

_√

3

f/ BC =

_√

3

; AC = 1 ;

<i>_B</i>

^

_{= 30}o_.

<b>3. Cho </b> ABC. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R

a/ AB = 3 ; AC = 7 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
c/ AB = 3 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o
d/ AB = 6 ; AC = 10 ;

^

<i>_A</i>

_{= 120}o
e/ AB = 16 ; AC = 10 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o

<b>4. Cho </b> ABC. Tính bán kính đường trịn nội tiếp r.

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

d/ BC = 6 ;

<i>_B</i>

^

_{= 60}o_;

<i>_C</i>

_^

_{= 45}o
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; BC = 2

<b>D. ĐỊNH LÝ TRUNG TUYẾN </b>

* Cho  ABC. Tính độ dài các trung tuyến

a/ AB = 5 ; AC = 6 ; BC = 8
b/ AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 4
c/ AB = 8 ; AC = 9 ; BC = 10
d/ BC = 4 ; AC = 2

_√

7

; AB = 2
e/ AB = 3 ; AC = 4 ; S = 3

_√

3

<b>5.1.</b>ABC coá G lâ trổng têm .

Chûáng minh : GA2_{+ GB}2_{+ GC}2₌

1

3

(a2 + b2 + c2 )

<b>5.2.</b> Cho ABC coá hai trung tuyïën BM = 6cm ; CN = 9cm ; goác húåp búãi hai

trung tuën 120o_{. Tđnh ba cẩnh ?}

ÀS: TH1:

₂

_√

₁₃

<i>_;</i>

₄

_√

₇

<i>_;</i>

₂

_√

₁₉

– TH2 :

₂

_√

₁₉

<i>_;</i>

₂

_√

₃₄

<i>_;</i>

₂

_√

₇

<b>5.3.</b> Hịnh bịnh hânh ABCD cố AB = a ; BC = b. Tđnh tỗng cấc bịnh phûúng

ca hai ặúđng chêo theo a ; b ?
ĂS: AC2_{+ BD}2_{= 2(a}2_+b2₎

<b>5.4.</b> Cho ABC cố hai trung tuën BM vâ CN vng gốc vúái nhau .Chûáng minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

<b>5.5.</b> Cho ABC coá trung tuyïën AM =

1

2

c. Chûáng minh : a) 2b2 = a2 + c2

b) sin2_{A = 2sin}2_{B – sin}2_C

<b>5.6.</b> Cho ABC coá hai trung tuyïën BM ; CN thoaã

c : b = mb : mc 1 . Chûáng minh :

a) 2a2_{= b}2_{+ c}2 _{*b) 2cotgA = cotgB + cotgC}

<b>5.7.</b> Cho hai ăiïím A ; B cưị ắnh vađ AB = a. Tịm tíơp húơp câc ăiïím M thoă :

a) MA2_{+ MB}2₌

3

4

a2 b) MA2 + MB2 = a2

<b>E. PHÂN GIÁC TRONG</b>

* Cho  ABC. Tính độ dài đường phân giác trong AD

a/ AB = 6 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o
b/ AB = 4 ; AC = 8 ;

^

<i>_A</i>

_{= 60}o
c/ AB = 3 ; AC = 8 ; BC = 7
d/ AB = 5 ; AC = 8 ; BC = 7
e/ AB = 10 ; AC = 16 ; BC = 14
<b>F. TOÁN TỔNG HỢP</b>

<b>1. Cho </b> ABC coù AB = 5, AC = 8,

^

<i>A</i>

= 60o.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

<b>2. Cho </b> ABC coù AB = 13, BC = 14, AC = 15.

Tính S, AH, R, r, trung tuyến AM

<b>3. Cho </b> ABC có AB = 3, AC = 8,

^

<i>A</i>

= 60o.

Tính S, BC, AH, R, r, trung tuyeán BN
<b>4. Cho </b> ABC coù AB = 5, AC = 8, BC = 7.

Tính

^

<i>_A</i>

_{, S, AH, R, r, trung tuyến CK}

<b>5. Cho </b> ABC coù AB = 10, AC = 16,

^

<i>A</i>

= 60o.

Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến AM
<b>6. Cho </b> ABC có AB = 13, AC = 8, BC = 7

Tính

^

<i>_A</i>

_{, S, AH, R, r, trung tuyeán AM}

<b>7. Cho </b> ABC coù AB = 6, AC = 10,

^

<i>A</i>

= 120o.

Tính BC, S, AH, R, r, trung tuyến BN
<b>8. Cho </b> ABC coù AB = 10, AC = 16, BC = 14.

Tính

^

<i>_A</i>

_{, S, AH, R, r, trung tuyến BN và phân giác AD}

<b>3.1.</b>Tđnh gốc A ca ABC khi cấc cẩnh ca nố thoẫ

a) b.(b2_{– a}2_{) = c(c}2_{– a}2_{) vúái b}__c

b) b3_{+ c}3_{= a}2_{(b + c)}

ÀS: a) 120o_{b) 60}o

<b>3.3.</b> Ba caånh cuóa ABC liùn hùồ vỳỏi nhau bựỗng hùồ thỷỏc

(b2_{+ c}2_{– a}2₎2₊

√

6

b2_c2_{= (}

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Tđnh gốc A? ÀS: 30o_{v 45}o

<b>3.4.</b> Chûáng minh trong mổi ABC ta ln cố :

cotgA + cotgB + cotgC =

(

<i>a</i>

2

+

<i>b</i>

2

+

<i>c</i>

2

)

<i>R</i>

<i>a</i>

.

<i>b</i>

.

<i>c</i>

<b>3.5.</b>ABC coâ a = 7 ; b = 8 ; A = 60o. Tñnh caơnh c vađ bân kđnh ặúđng trođn

ngoẩi tiïëp R? ÀS: c= 5; R =

7

3

√

3

<b>3.6.</b>ABC coá a + b = 2c

a) Chûáng minh sinA + sinB = 2.sinC

b) Biït a = 2R vâ c = 4. Tđnh gốc A ; vâ ba cẩnh ?
ÀS: b) 900_{; 5 ; 3 ; 4}

<b>HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRỊN</b>
<b>A. PHƯƠNG TÍCH :</b>

<b>1. Cho đường tròn (O, R) và 1 điểm M. Tính P</b>_{M/(O) , biết :}
a/ OM = R

_√

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

c/ OM =

2

3

; R =

4

3

d/ OM = R

e/ OM =

3

<i>R</i>

2

<b>2. Cho đường trịn (O; R) và 1 điểm M. Tính OM biết :</b>
a/ P_{M/(O) = 3R}2

b/ P_{M/(O) =}

<i>R</i>

2

4

c/ P_{M/(O) = 0}
d/ P_{M/(O) =}R2

e/ P_{M/(O) = 5R}2

<b>3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trực tâm H.</b>
a/ Tính P_B/(AC)

b/ Tính P_H/(AC)

<b>4. Cho </b>ABC vng tại A. Biết AB = 3, AC = 4 và đường cao AH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

c/ Tìm P_B/(AC)

<b>5. Trong đường tròn (O) cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau ở I.</b>
a/ Biết IA = 3, IB = 4, CD = 8. Tính IC, ID.

b/ Biết IA = 12, IB = 18,

IC

ID

=

3

8

. Tính CD.
c/ Biết IA = 12, IB = 16, CD = 32. Tính IC, ID.
d/ Biết IA = 8, IB = 24, CD =

91

3

. Tính IC, ID.
e/ Biết P_{I/(O) =}28 , AB = 3. Tính IA, IB

<b>6. Cho đường tròn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ 2 cát tuyến IAB và ICD.</b>
a/ Biết IA = 12, IB = 6, CD = 1. Tính IC, ID.

b/ Bieát IA = 5, IB = 6, CD = 13. Tính IC, ID.
c/ Biết IA = 3, IB = 8,

IC

ID

=

2

3

. Tính CD.
d/ Bieát IA = 4, AB = 5, CD = 35. Tính IC, ID.
e/ Biết P_{I/(O) = 28 , CD = 3. Tính IC, ID.}

<b>7. Cho đường trịn (O) và 1 điểm I ở ngoài (O). Kẻ cát tuyến IAB và tiếp tuyến IT.</b>
a/ Biết IA = 4, IB = 9. Tính IT

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

c/ Biết IT =

_√

3

, AB = 2. Tính IA, IB
d/ Biết P_{I/(O) = 49. Tính IT}

<b>B. TỨ GIÁC NỘI TIẾP & TIẾP TUYẾN</b>

<b>1. Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Gọi (O) là đường trịn đường kính AB; d là đường thẳng qua C và</b>
vng góc với BC. Gọi M, N là 2 điểm tùy ý trên (O) và AM, AN lần lượt cắt d tại M’, N’. CMR : M,
M’, N, N’ cùng nằm trên 1 đường tròn.

<b>2. Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A & B. Gọi M là điểm tùy ý trên AB (nằm ngoài đoạn</b>
AB). Vẽ tiếp tuyến MT với (O) và cát tuyến MCD với (O’).

CMR : MT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp TCD tại T

<b>3. Cho đường tròn (O), R = 5 và 1 điểm I sao cho OI = 9.</b>
a/ Tính P_I/(O)

b/ Vẽ cát tuyến IAB, biết IA = 7, Tính IB.

c/ Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M. Vẽ MH  IO. CMR : M, B, O, H, A nằm trên

đường trịn . Tính IH.

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>4. Cho đường trịn (O), đường kính BC. Trên (O) lấy điểm A sao cho AB = R.</b>
a/ Tính AC theo R

b/ Trong ABC kẻ đường cao AH. CMR : AB tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp AHC.

c/ Gọi K là trung điểm AC và BK cắt đường trịn (O) tại E. Tính P_{K/(O) và độ dài KE.}

Bađi 7: Cho hai ăiïím C ; D trïn ặúđng trođn ặúđng kñnh AB.Dûơng ặúng thùỉng d

AB tẩi H. AC ; AD lêìn lûúåt cùỉt d tẩi E ; F. Chûáng minh CEDF nöåi tiïëp

Bađi 8: Cho ặúđng trođn ặúđng kñnh AB.Goơi AM ; BN lađ hai díy cung cùưt nhau

taơi I. Keê IH  AB ặúđng nađy cùưt (O) taơi J. Chûâng minh :

a) BHIM vađ AHIN lađ câc tûâ giâc nươi tiïịp ?
b)AƠ lađ tiïịp tịn ca ặúđng trođn (IJM) ?

c) Tđch sưë <i>−− −</i>

_AI

_AM

<i>− −−</i>

₊

<i>− −−</i>

_BI

_BM

<i>− −−</i> khöng phuå thuöåc vâo võ trđ àiïím I

Bađi 9: Cho ặúđng trođn (O) vađ díy BC. Goơi M lađ trung ăiïím BC. V ặúđng
trođn (O’) qua hai ăiïím O ; M. (O’) cùưt (O) taơi A ; D vađ cùưt BC taơi E. AD cùưt
BC taơi F. CMR

a) <i>−− −</i>

_FB

<i>−−−</i>

_FC

₌

<i>− −−</i>

_FE

_FM

<i>− −−</i> b)

_EB

<i>−− −</i>

_EC

<i>−−−</i>

₌

<i>− −−</i>

_EF

_EM

<i>−− −</i>
c)EA lađ tiïịp tuýịn cuêa ặúđng trođn (AMF)

Baâi 10: Cho (O) vaâ (O) cựổt nhau theo dờy chung AB. M nựỗm trùn AB vâ úã
ngoâi àoẩn AB. Kễ tiïëp tuën ME cuãa (O) ; MF cuãa (O’)

a) Chûáng minh ME = MF ?

b) Kễ cất tuën MCD ca (O) vâ cất tuyïën MÕ cuãa (O’). Chûáng minh CDJI
nöåi tiïëp

Bađi 11: Cho (O) ặúđng kđnh AB; M di ăương trïn (O). V ặúđng trođn tím M tiïịp
xc AB taơi P; MP cùưt (M) taơi N vađ cùưt (O) taơi Q. Chûâng minh

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Baâi 12: Cho (O) vaâ IAB lâ cất tuën ca (O). Tiïëp tuën tẩi A ; B cùỉt nhau

tẩi M . Kễ MH OI ; MH cùỉt AB tẩi N ; K lâ trung àiïím AB. Chûáng minh

a) 5 ăiïím O; A ; B ; M ; H cuđng nùìm trïn 1 ặúđng trođn
b) <i>−− −</i>

_IB

<i>−−−</i>

_IA

₌

<i>− −−</i>

_IK

<i>− −−</i>

_IN

c)

_KN

<i>−− −− −−</i>

_KI

₌

_KA

2

Bađi 13: Cho (O, R = 4). I lađ ăiïím OI = 6; A ; B lađ hai ăiïím nùìm trïn ặúđng trođn
sao cho IA = 5 ; IB = 6. IA ; IB líìn lûúơt cùưt ặúđng trođn taơi A’ ; B’.

a) Tñnh IA’ ; IB’ b) Tñnh SOAT ; SOBJ .

ÀS a)10/3 ; 4 b) Duâng ct Herron

Bađi 14: Cho ba ăiïím A ; B ; C thùỉng hađng ; goơi (O) lađ ặúđng trođn ăi qua B; C .
AD vađ AD’ lađ tiïịp tuýịn cuêa (O). Chûâng minh :

a) DD’  AO tẩi H b) BCOH nưåi tiïëp

c) M di àưång trïn DD’. kễ AN  OM. Chûáng minh tđch sửở OM.ON laõ hựỗng sửở

tủnh hựỗng sửở ?

S OM.ON = R2_.

Bađi 15: Cho (O) ; (O’) cô díy chung AB. Goơi EF lađ tiïịp tuýịn chung cuêa hai
ặúđng trođn .Chûâng minh

a) AB ài qua trung àiïím cuãa EF ?

b) Goơi H lađ giao ăiïím cuêa AB vađ OO’. Chûâng minh AB lađ truơc ăùỉng phûúng
cuêa hai ặúđng trođn (OEJH) vađ (O’FIH)

Bađi 16: Tam giaâc ABC cô M; N lađ trung ăiïím ca AB ;
AC. Chûâng minh ặúđng cao AH lađ truơc ăùỉng phûúng
cuêa hai ặúđng trođn ặúđng kñnh BN ; CM ?

Bađi 17: Cho nûêa ặúđng trođn (O) ặúđng kñnh AB vađ ăiïím M nùìm trïn nûêa

ặúđng trođn . H lađ hònh chiïịu  cuêa M lïn AB. Ăûúđng trođn ặúđng kđnh MH

cùỉt MA tẩi P vâ cùỉt MB tẩi Q ; cùỉt cungAB tẩi àiïím thûá hai E

a) Chûâng minh ABQP nươi tiïịp vađ xâc ắnh truơc dùỉng phûúng cuêa 2 ặúđng
trođn (ABQP) ; (O)

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Bađi 18: Cho ABC coâ AA’ ; BB’ ; CC’ lađ ặúđng cao. Giaê sûê A’B’ cùưt AB taơi M ;

B’C’ cùỉt BC tẩi N ; A’C’ cùỉt AC tẩi P. Chûáng minh

a) Tûâ giâc BCB’C’ nươi tiïịp vađ suy ra P nùìm trïn truơc ăùỉng phûúng hai ặúđng
trođn (ABC) ; (BCB’C’)

b) Ba àiïím M ; N ; P thùèng hâng

Bađi 19: Cho ăoaơn AB cưị ắnh . (C ) tím O vađ (C’) tím O’ lađ hai ặúđng trođn di

ăöơng nhûng luön luön tiïịp xuâc AB taơi A ; B. Goơi (C1) lađ ặúđng trođn tím O

bân kđnh OB vađ (C2) lađ ặúđng trođn tím O’ bân kđnh O’A; (C1) cùưt (C2) taơi

M;N. Chûâng minh MN lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa (C ) vađ (C') tûđ ăô suy ra MN
ln ln ăi qua mươt ăiïím cưị ắnh

Bađi 20: Cho hai ặúđng trođn (O,R) vađ (P,R) tiïịp xuâc ngoađi vúâi nhau taơi . Tûđ
O veô tiïịp tuýịn vúâi (P,R) ; Tiïịp tuýịn nađy cùưt (O) taơi M ; N . Tđnh bân kđnh

cuêa ặúđng trođn (PMN) ? <i>ĂS: </i>

<i>R</i>

√

13

2

Bađi 21: Cho nûêa ặúđng trođn ặúđng kđnh AB ; vúâi hai díy AM ; BN cùưt nhau
taơi I. Chûâng minh :

PA / (IBM) + P B / (IAN)

khöng phuơ thuöơc vađo võ trñ cuêa M ; N trïn ặúđng trođn

Bađi 22: Cho ăoaơn AB cô trung ăiïím I . Biïịt phûúng tđch ca A ; B ; I ăưịi vúâi
cuđng ặúđng trođn (O) lađ p1 ; p2 ; p3

Chûáng minh AB =

_√

2

(

<i>p</i>

₁

+

<i>p</i>

₂

<i>− p</i>

₃

)

Baâi 23: Cho hiânh chûä nhêåt ABCD nưåi tiïëp trong (O). M lâ àiïím bêët kị H ; H’ ;
K ; K’lêìn lûúåt lâ chiïëu ca M xëng AB ; CD ; AD ; BC. Chûáng minh :

PM / (O) =

MH

<i>− −−</i>

MH

<i>−− −</i>

<i>'</i>

+

MK

<i>−− −</i>

MK

<i>−−−</i>

<i>'</i>

Bađi 24: Cho hai ặúđng trođn tím (O,R) vađ (O’, R.

_√

₃

) cùưt nhau taơi A ; B .

AM ; BN líìn lûúơt lađ hai ặúđng kñnh cuêa (O) ; (O’).
a)Chûâng minh PM /(O’) + PN / (O) = 4O’O2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

ÀS: b)

4

9

R2.

Bađi 25: Cho (O) coâ CD lađ ặúđng kđnh . Trïn CD líịy A ; B sao cho

_OA

<i>−− −</i>

_OB

<i>−− −</i> = R2

. Chûáng minh

a) PA / (O) + PB / (O) = AB2. b)

<i>P</i>

<i>B</i>/(¿<i>O</i>)

=

<i>−</i>

1

<i>R</i>

2

<i>P</i>

<i>_A</i>_/(_¿<i>_O</i>₎

+

1

¿

1

¿

Bađi 26: Cho (O,R) cô ặúđng kđnh AB cưị ắnh ; CD lađ mươt ặúđng kđnh di
ăương. d lađ tiïịp tuýịn taơi B cuêa (O); AC vađ AD líìn lûúơt cùưt d taơi M ; N.
a) Chûâng minh MNDC nöơi tiïịp. Goơi ặúđng trođn ngoaơi tiïịp MNDC lađ (O’)
b)Ăùơt CAB =  ( 0o < < 90o) Tđnh bân kđnh R’ ca ặúđng trođn (O’) theo  vađ

R. Xấc àinh  àïí R’ nhỗ nhêët ?

ÀS: b) 45o

<b>8.1.</b> Cho (O) ; (O’) cô díy chung AB. Goơi EF lađ tiïịp tuýịn chung cuêa hai ặúđng

troân .Chûáng minh

a) AB ài qua trung àiïím cuãa EF ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

<b>8.2.</b> Tam giâc ABC cô M; N lađ trung ăiïím cuêa AB ;
AC. Chûâng minh ặúđng cao AH lađ truơc ăùỉng phûúng
cuêa hai ặúđng trođn ặúđng kñnh BN ; CM ?

<b>8.3.</b> Cho nûêa ặúđng trođn (O) ặúđng kđnh AB vađ ăiïím M nùìm trïn nûêa ặúđng

trođn . H lađ hònh chiïịu  cuêa M lïn AB. Ăûúđng trođn ặúđng kñnh MH cùưt MA

tẩi P vâ cùỉt MB tẩi Q ; cùỉt cungAB tẩi àiïím thûá hai E

a) Chûâng minh ABQP nươi tiïịp vađ xaâc ắnh truơc dùỉng phûúng cuêa 2 ặúđng
trođn (ABQP) ; (O)

b) Goơi I lađ giao ăiïím cuêa ME vađ PQ. Chûâng minh ăiïím I cô cuđng phûúng tđch
vúâi hai ặúđng trođn (ABQP) vađ (MEH) suy ra AB ; ME ; PQ ăưìng qui taơi I

<b>8.4.</b> Cho ABC coâ AA’ ; BB’ ; CC’ lađ ặúđng cao. Giă sûê A’B’ cùưt AB taơi M ;

B’C’ cùỉt BC tẩi N ; A’C’ cùỉt AC tẩi P. Chûáng minh

a) Tûâ giâc BCB’C’ nươi tiïịp vađ suy ra P nùìm trïn truơc ăùỉng phûúng hai ặúđng
trođn (ABC) ; (BCB’C’)

b) Ba àiïím M ; N ; P thùèng hâng

<b>8.5.</b> Cho ăoaơn AB cưị ắnh . (C ) tím O vađ (C’) tím O’ lađ hai ặúđng trođn di

ăương nhûng luön luön tiïịp xuâc AB taơi A ; B. Goơi (C1) lađ ặúđng trođn tím O

bân kđnh OB vađ (C2) lađ ặúđng trođn tím O’ bân kđnh O’A; (C1) cùưt (C2) taơi

M;N. Chûâng minh MN lađ truơc ăùỉng phûúng cuêa (C ) vađ (C') tûđ ăoâ suy ra MN
ln ln ăi qua mươt ăiïím cưị ắnh

<b>8.6.</b> Cho hai ặúđng trođn (O,R) vađ (P,R) tiïịp xuâc ngoađi vúâi nhau taơi . Tûđ O

veä tiïëp tuyïën vúái (P,R) ; Tiïëp tuën nây cùỉt (O) tẩi M ; N . Tđnh bấn kđnh

ca ặúđng trođn (PMN) ? <i>ĂS: </i>

<i>R</i>

√

13

2

<b>8.7.</b>Cho nûêa ặúđng trođn ặúđng kñnh AB ; vúâi hai díy AM ; BN cùưt nhau taơi I.

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

PA / (IBM) + P B / (IAN)

khưng phuơ thơc vađo võ trđ ca M ; N trïn ặúđng trođn

<b>8.8.</b> Cho àoẩn AB cố trung àiïím I . Biïët phûúng tñch cuãa A ; B ; I àöëi vúái

cuđng ặúđng trođn (O) lađ p1 ; p2 ; p3

Chûáng minh AB =

_√

2

(

<i>p</i>

₁

+

<i>p</i>

₂

<i>− p</i>

₃

)

<b>8.9.</b> Cho hiânh chûä nhêåt ABCD nöåi tiïëp trong (O). M lâ àiïím bêët kị H ; H’ ; K ;

K’lêìn lûúåt lâ chiïëu ca M xëng AB ; CD ; AD ; BC. Chûáng minh :

</div>

<!--links-->