De HSG Toan 12 Soc Trang 2008 2009

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.74 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009

---oOo---

---///---Đề chính thức

Mơn: Tốn - Lớp 12

(Thời gian 180 phút, khơng kể phát đề)
_____________

Đề thi này có một trang
Bài 1: (2điểm)

Cho a và b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: a, b – 1 và a + b = 1. Chứng
minh rằng:

1 1 6

a  b 
Bài 2: (4điểm)

Giải hệ phương trình:

3 3

2 2

65
20

x y

x y y x

  




 



Bài 3: (2điểm)

Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn điều kiện:
f(2– x) + xf(x) = x (x  R\{1})

Bài 4: (4điểm)

Giải phương trình:

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6
Bài 5: (4điểm)

Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành một

cấp số nhân với công bội q = 2. Chứng minh rằng:

1 1 1

sinA sinB sinC
Bài 6: (4điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chân đường
cao trùng với tâm O của đáy. Từ trung điểm I của đường cao SO hạ đoạn vng
góc với cạnh bên SC vàđoạn vng góc với mặt bên SBC, haiđoạn vng góc này
cóđộ dài lần lượt là a và b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---2

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SĨC TRĂNG Năm học 2008 – 2009

---oOo---

---///---Đề chính thức

Hướng dẫn chấmToán - Lớp 12

____________

Bài 1: Áp dụng bấtđẳng thức Bunhiacopskiđối với 2 cặp số (1 ; 1) và
( a1; b1):







1. a 1 1. b 1 1 1 1   a b 1 (1điểm)
 a 1 b 1 6 (vì a + b = 1) (0,5điểm)
dấu “=” xảy ra khi a + 1 = b + 1  a = b = 1

2 (0,5điểm)
Bài 2:

3 3

2 2

65
20

x y

x y y x

  




 



Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, hệ phương trình biếnđổi thành: (0,5điểm)



 







3 65

x y x y xy

xy x y

     

  



  



(1) (1điểm)

Đặt u = x  y , v = xy (u, v≥ 0)(1) trở thành:





3 65
20

u u v

uv

  







2 60

65
20

u u
u
uv

    

  

 


 


(1điểm)

5
4
u
v



 

 

5
4
x y
xy

  






 (0,5điểm)

Giải hệ nàyđược nghiệm:
16

1
x
y



 

 hoặc

1
16
x
y



 

 (1điểm)

Bài 3: Từf(2– x) + xf(x) = x (1)
Thay x bởi 2 – x tađược:

f(x) + (2– x)f(2– x) = (2– x) (2) (0,5điểm)
Nhân (1) cho 2– x:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3
f(x)(1– x(2 – x)) = x2– 3x + 2

f(x)(x2– x2 + 1) = x2– 3x + 2. Với x ≠ 1 thì:

3 2 2

( )

2 1

x x x

f x

x

x x

  

 



  (0,5điểm)

Thử lại thấy hàm số ( ) 2
1

x
f x

x




 thỏa mãnđiều kiện.

Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 2
1

x
f x

x




 (0,5điểm)

Bài 4:Điều kiện: x ≠
2

k (0,5điểm)

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6

 (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2– 2 + (tanx + cotx)3– 3(tanx + cotx) = 6
 (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2– 2(tanx + cotx)– 2= 6

Đặt t = tanx + cotx (t≥ 2), tađược: t3 + t2 – 2t– 8= 0 (1điểm)
 (t– 2)(t2 + 3t + 4) = 0

 (t– 2) = 0 (vì t2 + 3t + 4>0)  t = 2 (1điểm)
Vậy:tanx + cotx = 2

 tan 1 2

tan
x

x

   tan2

x– 2tanx + 1 = 0  tanx = 1

 ( )

x  k kZ . (1điểm)

Thỏa mãnđiều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là:

( )

x  k kZ (0,5điểm)

Bài 5: Ta có:
2
4
A B C

B A

C A



  


 

 


2 4

; ;

7 7 7

A  B  C 

   

(1điểm)

Ta cần chứng minh: 1 12 14
sin sin sin

7 7 7

     . Ta có:

4 2

s in s in

1 1 7 7

2 4 2 4

sin sin sin .sin

7 7 7 7

 

   



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

H
I

D C
O

A B

3
2s in .cos

7 7

2 4

sin .sin

7 7

 

 2 cos7

2sin .cos

7 7



 

 (vì sin3 sin4

7 7

  

)
1

sin
7



 (đpcm) (3điểm)

Bài 6:

SE
IH
EO
SI
EO

IH
SE

SI

. 




 

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

. . 16 16 4 1

2 2 4 4

y x x b y

b SE x y b y b y b x x

y b

 

        



 

Xét hai tam giácđồng dạng SKI và SOC ta có: (1 điểm)

. .

SI KI

SI OC KI SC

SC  OC  

 

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 8

. . 8 8 4 2

2 2 2 4

y x x a y

a SC x y a y a y a x x

y a

 

        



 

(1điểm)

(1) & (2)

2 2
2

2 2 2 2

4 2

2 2

a b ab

y y

b a b a

  

  

2 2
2

2 2

8a b

x

a b



 (1điểm)

Vậy V =





2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

1 8 2 16

3 2 3 2

a b ab a b

a b b a  a b b a (0,5điểm)
--- Hế

t---Kẻ IK SC

Kẻ IH SE IH (SBC) (0,5điểm)
Gọi x, y lần lượt là cạnhđáy và chiều
cao của khối chóp, ta có:

V  x y

</div>

De HSG Toan 12 Soc Trang 2008 2009









 











 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về