Tài liệu ôn tập toán lớp 12 và thi THPT Quốc gia lớp 12 – Chuyên đề 10. Nguyên hàm, tích phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.81 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 1

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM:
1. Qui tắc tính đạo hàm:













' '

2 2

1. ' ' ' '

2. . ' ' ' ( ) ' . '

' ' . '

3. ( 0)

u v w u v w

u v u v v u ku k u k

u u v v u k k v

k

v v v v

    

    

 

   

   

   

   



2. Bảng đạo hàm:

1 ( ) 'C 0, ' 1x  ( ) 'kx k

2 1

(x) '.x 1

(u) '.u. 'u
3

'
2

1 1

x x

 
 
 
 

'
2

1 v'

v v

 
 
 
 

 

' 1
2
x

x



 

' '

2
u
u

u


5 (sin ) 'x cosx (sin ) 'u u'.cosu
6 (co s ) 'x  sinx (cos ) 'u  u'.sinu
7 (tan ) ' 12 1 tan2

cos

x x

x

   (tan ) ' 2' '(1 tan2 )

cos
u

u u u

u

  

8 2 2

(cot ) ' (1 cot )

sin

x x

x

     2

2
'

(co t ) ' '(1 cot )

sin
u

u u u

u

    

9 (e ) 'x ex (e ) 'u e . 'u u
10 (ax) 'ax.lna (au) 'au.ln . 'a u
11 (ln ) 'x 1

x

 (ln ) 'u u'

u

12 (log ) ' 1

ax

x a

 (log ) ' '

a

u
u

u a

II. NGUYÊN HÀM

1.Định nghĩa:

Cho hàm số f x( )xác định trên K (Klà khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên Knếu F x'( ) f x( ), x K.
Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )thì họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 2





( 0)

1
4)

k

C
a







f' x dx = f x C

kf x dx = k f x dx

f x g x dx = f x dx g x dx

f ax + b dx = F ax + b

1) ( ) ( ) +

2) ( ) ( )

3) ( ) ± ( ) ( ) ± ( )

( ) ( )

3. Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số f x( ) liên tục trên Kđều có nguyên hàm trên K
4. Bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:



dx = x +C



f ax b dx = F ax b C

a

( + ) ( + )+







1

x

x dx = C

1







1

ax b

ax b dx = . C

a 1

1 ( + )

( + ) +



xdx =2 x +C3



ax b dx = ax b C

+ ( + ) +

3a
4 1dx ln x C

x  



1 dx 1ln ax b C

ax b a  



5 2

1 1

dx C

x  x





dx = . C

ax b 2 ax b

1 1 1

( + ) a +

6 1

1 1

( 1)
( 1)

dx C

x x 



  





    1

1 1

( 1)
(ax b) dx a( 1)(ax b)  C



  

  



   



e dx = ex x+C



eax bdx = eax b C

a

+ 1 + +



x

x a

a dx = C

a +



 
 

x

x a

a dx = C

a a

+ 1 +



cosxdx =sinx C+



cosax b dx = sinax b C

a

( + ) ( + )+



sinxdx =cosx C+



sinax b dx = cosax b C

a

( + ) ( + )+

11 tan

cos



2xdx = x C

+ tan

cos



2 ax b dx =a ax b C

1 1

( + )+

( + )

12 cot

sin 



2xdx = x C

+ cot

sin 



2 ax b dx = a ax b C

1 1

( + )+

( + )

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số:

Tính



f u x .u' x



( )



( )dx

1) Nếu t = u x( )dt = u' x dx( )
2) Tính



f u x .u' x dx = f t dt



( )



( )



( )
Thường được áp dụng cho các dạng sau:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 3
1 Luỹ thừa bậc lẻ đối với sinx t =cosxdt = -sinxdx

2 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx t =sinxdt = c xdxos
3 Luỹ thừa bậc lẻ cả hai đối với sinx và cosx. t =sinxhoặct =cosx
4 Luỹ thừa bậc chẵn cả hai đối với sinx và

cosx. 2

1
tan

cos

t x dt dx

x

  

5 Chứa căn bậc hai f x

 

t = f x( )t = f x2 ( )

7 Chứa 1 và lnx

x ln 

1

t = x dt = dx

x



Q xP x( )( )dx cóQ' x = k.P x( ) ( )(có mẫu) t = Q x( )(t = mẫu)
3. Phương pháp nguyên hàm từng phần:



udv = uv - vdu



Thường được áp dụng cho các dạng sau:

STT Dạng Cách đặt

sin
cos



ax b

P x . ax b dx

P x .e +dx

( ) ( + )

( )

phần còn lại





u = P x
dv =

( )



P x .( ) (ln ax b dx+ )  ln(



u = ax b

dv = P x dx

+ )
( )
3

sin
cos



 

x
x

e . ax b dx

( + )

( + ) phaàn ( )







 

từng phần 2 lần
còn lại

x

u = e
dv



x2±a dx 




2

u = x a

dv = dx

IV. MỘT SỐ KĨ THUẬT TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM

 Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: ( )

( )
P x

dx
Q x



a) Nếu bậc của tử thức P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức Q(x) thì ta thực hiện 
phép chia đa thức P(x) cho Q(x).

b) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì ta xét các trường hợp sau: 
 Nếu Q’(x) = k.P(x) thì sử dụng pp đổi biến số đặt t = Q(x)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 4
2 2

2
( )

( )( )

1 1 1 1 1

2) ln

( )( )

1 1 1 1 1

3) ln

2 2

( )

4) ...

( )( )n ( ) ( )n

P x A B

dx dx

x a x b x a x b

x a

dx dx C

x a x b a b x a x b a b x b

x a

dx dx C

x a a x a x a a x a

P x A B C M

dx dx

x a x b x a x b x b x b

 

   

     



 

     

        



 

     

     

 

      

       



 Nếu Q(x) vô nghiệm ta biến đổi về dạng:
2 2

( 0) . tan

dx a x a t

a x   



 Dạng:





n
m

x

dx
ax



 Nếu n lẻ thì ta đổi biến số t = a + x2

 Nếu n chẵn ( n = 2k ) thì ta xét 2 khả năng sau:

 Đổi biến số: x = a.tant

 PP từng phần:





n

m

u x
xdx
dv

a x



 

 

 



 Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: (Xem phương pháp đổi biến số)









2 2

2
1)

2) ln

xdx

x C t x

x

dx x x C t x x

x

     



       





 



 











2 2

( )

1
.ln

.ln
2

I x dx

x

du dx

u x

x
dv dx

v x

x x

I x x dx x x dx

x x

x x x dx dx

x

x x I x x

I x x x C

 





   

 

 



 

 





     

 

 

    



 

    

      










 

  



  

Đặt

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 5
 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx thì đặt t = sinx.

 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cả sinx và cosx thì đặt t = sinx hoặc t = cosx.
 Luỹ thừa bậc chẵn đối với sinx hoặc cosx hoặc cả hai thì:

 Sử dụng công thức hạ bậc: 2 2

1 cos 2 1 cos 2

sin ;cos

2 2

x x

x  x 

Sử dụng CT sin2x + cos2x = 1 đưa về hàm bậc chẵn theo một hàm sinx hoặc cosx. 
Đặt t = tanx

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (50 câu)

Câu 1: Tìm họ nguyên hàm F x( ) của hàm số F x( ) 3sinx 2
x

  , ta được kết quả là
A. F x( )3cosx2 ln xC. B. F x( ) 3cosx2 ln xC.

C. F x( )3cosx2 ln x C. D. F x( ) 3cosx2 ln x C.
Câu 2: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 1

2 5

f x
x


 là
A. ( ) 1ln 2 5 2017.

F x  x  B. F x( )ln 2x5 . C.





2
2

( ) .

2 5

F x

x
 


D.





2
1

( ) .

2 5

F x

x
 


Câu 3: Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )

1
x

f x

x


 là

A. F x( )ln x 1 C. B.F x( ) x ln x 1 C.
C. F x( ) x ln x 1 C. D. F x( )2 ln x 1 C.
Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số

 

sin 2 3
f x  x x là

A. F x

 

cos 2x6 .x B.

 

1cos 2 6 .
2

F x  x x

 

1 3

cos 2 .
2

F x   xx D.

 

1 3

cos 2 .
2

F x   xx

Câu 5: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) x2 3 2 x

x

   là
A.

3
4

( ) 3ln .

3 3

x

F x   x  x B.

3
2

( ) 3ln .

3 3

x

F x   x x
C.

3
2

3 4

( ) .

3 3

x

F x x

x

   D.

3
4

( ) 3ln .

3 3

x

F x   x x

Câu 6: Kết quả của 2
tan xdx



là

A.tanx x C. B. tanx 1 C. C. 2

cot x C . D.





2
1 tan x C.
Câu 7: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2

( ) x
f x e là.

A. 2

( ) x

F x e B. 2

( ) 2 x

f x  e C.

2 1
( )

2 1

x

e
F x

x





 D.

2
1
( )

x

F x  e
Câu 8:Tính ( ) sin3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 6

A. ( ) 2cos3

3 2

x

F x   C B. ( ) 2cos3

3 2

x

F x  C

C. ( ) 3cos3

2 2

x

F x   C D. ( ) 3cos3

2 2

x

F x  C

Câu 9: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )3x là
A. ( ) 3

ln 3

x

F x  B.

1
3
( )

x

F x
x





 C. ( ) 3

x

F x  D. ( ) 3

x

F x
x




Câu 10: Tính 3

s s

) in co

(

F x 



x xdx
A.

4
sin

( ) .

4
x

F x  C B.

( ) n .

4
x
x

F   C C.

4
cos

( ) .

4
x

F x  C

4
co

( ) s .

4
x
x

F   C

Câu 11: Họ nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2
1
x
f x

x


 là

A. F x( )2x C B. 1





( ) ln 1

F x  x  C





( ) ln 1

F x  x  C D. ( ) 1ln 1

2 1

x

F x C

x


 


Câu 12: Tìm F x( )



lnxdx

A. F x( )xlnx x C B. F x( )xlnx x C C. F x( )xlnx C D.
1

( )

F x C

x
 

Câu 13: Tính F x( ) ex 3 52x dx
x e

 

   

 



A. ( ) 3 14
2

x

F x e C

x

   B. ( ) 3 14

x

F x e C

x

   

C. ( ) 3 14
2

x

F x e C

x

   D. ( ) 3 14

x

F x e C

x

   

Câu 14: Tính F x( )



xsinxdx?

A. F x( )xsinxcosx C B. F x( )xcosxsinx C
C. F x( ) xsinxcosx C D. F x( ) xcosxsinx C
Câu 15: Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )xex là

A. F x( )exC B. F x( )ex



x1



C
C. F x( )ex



x1



C D.

2
( )

x

F x  e C

Câu 16:Cho 3 2

( ) 3 2

f x  x  x  x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F

 

1 0 là
A.

3 2 1
( )

4 4

x

F x   x x  B.

3 2 1
( )

4 4

x

F x   x x 
C.

3 2

( ) 1

4
x

F x   x x  D.

3 2

( ) 1

4
x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 7
Câu 17: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số

2 1

( ) x x

f x

x
 

 biết

 

1 1

2
F  .
A.

( ) 2 ln 2

2
x

F x   x x B.

( ) 2 ln 2

2
x

F x   x x
C.

( ) 2 ln

2 2

x

F x   x x D.

( ) 2 ln

2 2

x

F x   x x
Câu 18: Cho hàm số

2
2

2 1

( )

2 1

x x

f x

x x

 


  . Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(1)0 là:

A. ( ) 2 2

1
F x x

x

  

 B.

( ) 2

1
F x x

x

  



C. ( ) 2 2

1
F x x

x

  

 D.





2
( ) 2 ln 1
F x x x

Câu 19: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 3x4 biết F

 

0 2.
A. ( ) 2



3 4



3 2

9 9

F x  x  B. ) 2



3 4



3 2

9 9

(

F x  x 

C. 2



3 4



3 10

3 3

( )

F x  x  D. 2



3 4



3 10

3 3

( )

F x  x 

Câu 20: Cho hàm số f x( )2xsinx2 cosx. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa
(0) 1

F  là

A. 2

( ) cos 2 sin

F x x  x x B. 2

( ) cos 2 sin 2
F x x  x x
C. F x( ) 2 cosx2sinx D. 2

( ) cos 2 sin 2
F x x  x x

Câu 21: Tìm 2 1

( ) 3 2

F x x dx

x

 

    

 



( ) ln 2

3
x

F x   x  x C B. 3

2
1

( ) 2

F x x x C

x

   

C. 3

( ) ln

F x x  x C D. 3

( ) ln 2

F x x  x x C
Câu 22: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )



x3



4 là





4
3
( )

4
x

F x   B. F x( )4



x3



3 C.





5
3
( )

5
x

F x   D.





3
3
( )

3
x
F x  

Câu 23: Tìm 3 1

2
1

( ) x

F x e dx

x



 

   

 



A. 1 3 1 1

( )
3

x

F x e C

x



   B. 3 1 1

( ) 3 x

F x e C

x



  

C. 3 1 1

( ) 3 x

F x e C

x



   D. 1 3 1 1

( )
3

x

F x e C

x



  

Câu 24: Nguyên hàm F x( ) của hàm số 3 5
2
x
y

x



 là

A. F x( )3x4 ln x2 C B. F x( ) 3xln x2C
C. F x( )3xln x2C D. F x( )3xln x2C
Câu 25: Họ nguyên hàm F x( ) của hàm số 2

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 8
A.

 

1 sin 2

2 2

x

F x  x C

  B.

 

1 cos 2

2 2

x
F x  x C

 

 

1 sin 2

2 2

x
F x  x C

  D.

 





sin 2
2

F x  x x C
Câu 26: Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3cos 12

sin

f x x

x

  là

A. F x( ) 3sinxtanx C B.F x( ) 3sinxcotx C
C. F x( )3sinxcotx C D. F x( )3sinxcotx C
Câu 27:Ta có





3 1

( )

2
1

f x

x
x

 



 . Tính



f x dx( ) F x( )C

A. ( ) 3 1

1 2

F x C

x x

  

  B.

( ) ln 2

F x x C

x

    



C. ( )F x 3ln x 1 ln x2C D. ( ) 3ln 1 1
2

F x x C

x

    


Câu 28: Nguyên hàm F x( )của hàm số





1
( )

3
f x

x x


 là
A. ( ) 1ln

3 3

x

F x C

x

 

 B.

1
( ) ln

3 3

x

F x C

x

 



C. ( ) 1ln 3
3

x

F x C

x


  D. ( ) 1ln 3

3
x

F x C

x


 

Câu 29: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số sin
( ) cos . x

f x  x e là

A. sin

( ) x

F x e B. cos

( ) x

F x e C. sin

( ) x

F x e D. sin

( ) sin . x
F x  x e

Câu 30: Tính 2

( ) 1

F x 



x x  dx





2
2

( ) 1 1

F x  x  C B.





3
2

( ) 1 1

F x  x  C





4
2

( ) 1 1

F x  x  C D.





3
2

( ) 1

F x  x  C
Câu 31: Tính F( )x 



lnxdx

A. F x( )xlnx x C B. F x( )xlnx x C
C. F x( ) xlnx x C D. F x( ) xlnx x C
Câu 32: Tính F(x)



x.cosxdx

A. F x( )xsinxcosx C B. F x( )xsinxcosx C
C. F x( ) xsinxcosx C D. F x( ) xsinxcosx C
Câu 33: Tính F x( ) lnxdx

x




A. 2

( ) ln

F x  x C B. ( ) 1ln
2

F x  x C C. 1 2

( ) ln
2

F x  x C D. 2

2
1
( ) ln

F x x C

x

 

Câu 34: Họ các nguyên hàm của hàm số f x( )tanx là
A. ( ) 12

cos

F x C

x

  B. ( ) 12

sin

F x C

x

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 9
Câu 35: Tính ( )

x
x

e

F x dx

e






A. F x( ) ex 3 C B. F x( )2 ex 3 C

C. F x( )ex 3 C D. ( )

x
x

e

F x C

e x

 



Câu 36: Cho hàm số f x( )x e. x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(0) 1 là
A. F x( ) (x1)ex1 B. F x( ) (x1)ex2

C. F x( )(x1)ex1 D. F x( )(x1)ex2

Câu 37: Tìm hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( )xcos 3x, biết F(0) 1 .
A. ( ) 1 sin 3 1cos 3

3 9

F x  x x x C B. ( ) 1 sin 3 1cos 3 1

3 9

F x  x x x

C. 1 2

( ) sin 3
6

F x  x x D. ( ) 1 sin 3 1cos 3 8

3 9 9

F x  x x x
Câu 38: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2

( ) tan

f x  x, biết 1.

4
F 

 



 

tan

F x  x x  B.

 

tan

F x  x x  C.

 

tan
4

F x  x x D.

 

tan
4
F x  x x
Câu 39: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )

x
x

e
f x

e


 thỏa F(0) ln 3 là

A. ( ) ln



x 2



ln 3

F x  e   B. ( ) ln



x 2



2 ln 3

F x  e  
C. ( ) ln



x 2



ln 3

F x  e   D. ( ) ln



x 2



2 ln 3

F x  e  
Câu 40: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2

( ) sin 2
f x  x biết

8 16
F 

 

 

.
A. ( ) 1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x B. ( ) 1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x
C. ( ) 1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x D. ( ) 1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x
Câu 41: Nguyên hàm của hàm số f x

 

e3x.3x là

 









3
3
3.

.
ln 3.

x

e

F x C

e

  B.

 





3
3

3. .

ln 3.

x

e

F x C

e

 

 









ln 3.

x

e

F x C

e

  D.

 





3
3.

.
ln 3

x

e

F x  C

Câu 42: Tính ( ) 2 1 2
sin .cos

F x dx

x x





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 10
Câu 43: Nguyên hàm của hàm số f x

 

x x 2 x

x


 là

A. F x

 



x 1



C.
x


  B.

 



2



2 1

.
x

F x C

x


 

C. F x

 

2 3 x C.

x


  D. F x

 

1 2 x C.

x


 

Câu 44: Tính ( )



3.2x



F x 



 x dx

A. ( ) 2 2 3 .

ln 2 3

x

F x   x C B. ( ) 3. 2 2 3 .

ln 2 3

x

F x   x C

C. ( ) 2 2 3 .

3.ln 2 3

x

F x   x C D. ( ) 3. 2 3 .

ln 2

x

F x   x C
Câu 45: Nguyên hàm của hàm số f x

 

2 .33x 2x là

 

3 2

2 3

. .

3ln 2 2 ln 3

x x

F x  C B.

 

72 .

ln 72

F x  C

 

3 2
2 .3

.
ln 6

x x

F x  C D.

 

ln 72 .

F x  C

Câu 46: Nguyên hàm của hàm số

 

1 2 3
3 x.2 x

f x 

 là

 

8
9

.
8

x

F x C

 
 
 

  B.

 

9
8

3 .

8
ln

x

F x C

 
 

 

 

 

8
9

3 .

8
ln

x

F x C

 
 
 

  D.

 

8
9

3 .

9
ln

x

F x C

 
 
 

 

Câu 47: Nguyên hàm của hàm số

 

1
3

x
x

f x



 là

 

4
3

3 .

3
ln

x

F x C

 
 
 

  B.

 

3
4

.
3
ln

x

F x C

 
 
 

 

 

2
x

F x  C D.

 

3
4

3 .

3
ln

x

F x C

 
 
 

 

Câu 48: Nguyên hàm của hàm số

 

3
.3

x x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

GV: Nguyễn Thanh Nguyệt 11
A.

 









3
3
3.

.
ln 3.

x

e

F x C

e

  B.

 





3
3

3. .

ln 3.

x

e

F x C

e

 

 









ln 3.

x

e

F x C

e

  D.

 





3
3.

.
ln 3

x

e

F x  C

Câu 49: Tính ( ) 2 1

6 9

F x dx

x x



 



A. ( ) 1 .

F x C

x

  

 B.

( ) .

F x C

x

 



C. ( ) 1 .

F x C

x

  

 D.

( ) .

F x C

x

 


Câu 50: Tính

2 3

( ) .

x x

F x dx

x
 






( ) 2 ln 1 .

2
x

F x   x x C B.

( ) ln 1 .

2
x

F x   x x C

( ) 2 ln 1 .

2
x

F x   x x C D. F x( )x2 ln x 1 C.

CÂU 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ĐA B A C C A A D A A A

CÂU 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ĐA B A C D B A B C B D

CÂU 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ĐA D C D C A C B A A B

CÂU 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

ĐA B A C D B B D A A A

CÂU 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

</div>

Tài liệu ôn tập toán lớp 12 và thi THPT Quốc gia lớp 12 – Chuyên đề 10. Nguyên hàm, tích phân

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM













 

 



















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>



<sub></sub>









<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>





<sub></sub>





<sub></sub>

 



<sub></sub>

<sub></sub>







<sub></sub>





<sub></sub>





































