TAI LIEU ON TAP TOAN LOP 9

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn
tốn
BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN
Bài 1 :
1) Đơn giản biểu thức :

P=

14 6 5  14  6 5 .

x 2
x  2  x 1
2) Cho biÓu thøc : Q = 

 x  2 x  1 x  1  . x


a) Ruựt goùn bieồu thửực Q.
b) Tìm x để Q > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Hớng dẫn :

1. P = 6

2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : Q =

2
.
x 1

b) Q > - Q  x > 1.
c) x =  2;3 th× Q  Z
Bài 2 : Cho biĨu thøc P =

1
x

x 1
x x

a) Rút gọn biểu thức sau P.
1
.
2

b) Tính giá trị cđa biĨu thøc P khi x =

Híng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : P =
b) Víi x =

x 1
.
1 x

1
th× P = - 3 – 2 2 .
2

Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A =

x x 1

x 1

x 1
x 1

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
4

c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để A = A.
Hớng dẫn :
a) §KX§ : x  0, x  1. BiĨu thøc rót gän : A =
b) Víi x =

x
.
x1

1
th× A = - 1.
4

c) Víi 0  x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th× A = A.

1 
3 
 1

Bài 4 : Cho biĨu thøc : A = 
 1

a 3
a
 a3
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >

1
.
2

Hớng dÉn :
Trang 1


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
2

a) §KX§ : a > 0 vµ a 9. BiĨu thøc rót gän : A =
b) Víi 0 < a < 1 th× biĨu thøc A >

a 3

.

1
.
2

 x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003


Baøi 5 : Cho biÓu thøc:
A= 
.
.
x2  1 
x
 x  1 x 1
1) Tìm điều kiện đối với x để biĨu thøc cã nghÜa.
2) Rót gän A.
3) Víi x  Z ? để A Z ?
Hớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠  1.
b) BiÓu thøc rót gän : A =

x  2003
víi x ≠ 0 ; x ≠
x

 1.

c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z .





 x x  1 x x 1  2 x  2 x 1

A = 
.
 :
x

1
x

x
x

x



Bài 6 : Cho biĨu thøc:

a) Rót gän A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hớng dẫn :
x 1

a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A =

x1

.

b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.
c) x =  4;9 th× A  Z.
Bài 7 : Cho biĨu thøc:

 x2
x
1  x1


 :
A = 
2
 x x  1 x  x 1 1  x 

a) Rót gän biĨu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.
Híng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

2
x  x 1

b) Ta xÐt hai trêng hỵp :
+) A > 0 
+) A < 2 

2
x  x 1
2
x  x 1

> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
< 2  2( x 

x 1 )

>2 

x

x

> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biÓu thøc: P =

a 3

a 2

a1 4 a 4

(a  0; a  4)
4 a
a 2

a) Rót gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Híng dÉn :
a) §KX§ : a  0, a 4. BiĨu thøc rót gän : P =
b) Ta thÊy a = 9

 §KX§ . Suy ra

4
a 2

P=4

Trang 2


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

a  a  a  a 
 1 

Baøi 9 : Cho biÓu thøc:
N =  1 

a  1  
a  1 

1) Rót gän biĨu thøc N.
2) T×m giá trị của a để N = -2004.

Ti liu ụn thi vào lớp 10 mơn

Híng dÉn :
a) §KX§ : a  0, a 1. BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .
b) Ta thÊy a = - 2004  §KX§ . Suy ra N = 2005.
x x  26 x  19

x2 x  3

Baøi 10 : Cho biĨu thøc P 

2 x

x 1

x 3
x 3

a. Rót gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x 7 4 3
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Hớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. BiĨu thøc rót gän : P 
b) Ta thÊy x 7 

c) Pmin=4 khi x=4.

x  16
x 3

 §KX§ . Suy ra P  103  3

4 3

3

22

 2 x

x

3x  3   2 x  2


 1
x 3


Bài 11 : Cho biĨu thøc P  x  3  x  3  x  9 :


b. Tìm x để P 1

a. Rút gọn P.

2

c. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa P.

Híng dÉn :
a. ) §KX§ : x  0, x 9. BiĨu thøc rót gän : P 

 3
x 3

b. Víi 0  x  9 th× P   1
2

c. Pmin= -1 khi x = 0
 a 1
Bµi 12: Cho A= 

 a1
a. Rót gän A



 
a1
1 
 4 a  .  a 
 víi x>0 ,x 1
a 1
a







b. TÝnh A víi a = 4  15 .

10 



6 .

4  15



( KQ : A= 4a )
 x 3 x   9 x
x 3
x  2
Bµi 13: Cho A= 
 1 : 


 víi x 0 , x 9, x 4 .
x

9

x

x

6
x

2
x

3

 

a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m x  Z ®Ó A  Z
3
(KQ : A=
)
x 2
15 x  11 3 x  2 2 x  3
víi x 0 , x 1.


x  2 x  3 1 x
x 3
Rút gọn A.
Tìm GTLN của A.

Bài 14: Cho A =
a.
b.

Trang 3


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
tốn
1
c. T×m x ®Ĩ A =
2
2
2 5 x
d. CMR : A  .
(KQ: A =
)
3
x 3
Bµi 15: Cho A =

x2
x 1
1


x x  1 x  x 1 1  x

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

víi x 0 , x 1.

a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A .
Bài 16: Cho A =

x
)
x  x 1

( KQ : A =

1
3
2


víi x 0 , x 1.
x 1 x x 1 x  x 1

a . Rót gän A.
b. CMR : 0  A 1

( KQ :

A=

x
)
x 1

x

 x 5 x  
25  x
x 3
x  5
Bµi 17: Cho A = 
 1 : 



x 5
x  3 
 x  25
  x  2 x  15
a. Rót gọn A.
b. Tìm x Z để A Z
( KQ :
A=
5
)
x 3
2 a 9

a  5 a 6
a. Rót gọn A.
b. Tìm a để A < 1

Bài 18: Cho A =

a  3 2 a 1

a  2 3 a

c. Tìm a Z để A Z

với a 0 , a 9 , a 4.

( KQ : A =

a 1
)
a 3

 x  x 7
1   x 2
x 2 2 x
Bµi 19: Cho A= 

:




 víi x > 0 , x 4.
 x 4
x  2   x  2
x  2 x  4 


a. Rót gän A.
x 9
1
b. So s¸nh A víi
( KQ : A =
)
6 x
A
3
3
 x y
x  y 
Bµi20: Cho A = 
:

 x y
y x 


a. Rót gän A.

b. CMR : A 0

Bµi 21 : Cho A =

( KQ :



x

y



2

 xy

víi x 0 , y 0, x  y

x y

A=

xy
x

xy  y

)

x x  1 x x 1 
1   x 1
x  1

 x 


 . 

x x
x x 
x  x1
x  1 
Trang 4

Víi x > 0 , x 1.


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
tốn
a. Rót gọn A.
b. Tìm x để A = 6

Ti liu ụn thi vào lớp 10 môn

( KQ : A =





2 x  x 1

)

x


x 4

3   x 2
x 
Bµi 22 : Cho A = 

: 


 x x 2
x  2 
x
x  2 


a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x = 6  2 5
(KQ:
A = 1 x )





víi x > 0 , x 4.

1   1
1 
1
 1
Bµi 23 : Cho A= 
víi x > 0 , x 1.



 :

 1 x 1 x   1 x 1 x  2 x
a. Rót gän A
3
b. TÝnh A víi x = 6  2 5
(KQ:
A=
)
2 x
 2 x 1
1  
x4 
Bµi 24 : Cho A= 

 :  1 
3
 víi x 0 , x 1.

x  1   x  x 1 
 x 1
a. Rút gọn A.
x
b. Tìm x Z để A  Z
(KQ:
A=
)
x 3

 1
  1
2 x 2
2 
Bµi 25: Cho A= 


 : 
 víi x 0 , x 1.
x

1
x

1
x
x

x

x

1
x

1

a. Rút gọn A.
b. Tìm x Z để A Z
x1
c. Tìm x để A đạt GTNN .
(KQ: A =
)
x 1
 2 x
x
3x  3   2 x  2 
Bµi 26 : Cho A = 


 1 víi x 0 , x 9
 : 
 x 3
x

9
x

3
x

3



.
a. Rút gọn A.

1
b. Tìm x để A < 2
3
( KQ : A =
)
a 3
 x 1
x  1 8 x   x  x 3
1 
Bµi 27 : Cho A = 


:



 víi x 0 , x 1.
 x1
  x 1
x

1
x

1
x

1

 


a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x = 6  2 5
(KQ:
A= 4 x )
x4
c . CMR : A 1
Bµi 28 :

1 
x 1
 1
Cho A = 

:
x  1  x  2 x 1
 x x
a.

Rót gän A

(KQ:

b.So s¸nh A víi 1
Trang 5

víi x > 0 , x 1.
A=

x1

)
x


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
toán
 x1
1
8 x   3 x  2
1
Bµi 29 :
Cho A = 
Víi x 0, x 


:
1




 3 x  1 3 x 1 9 x  1  
9
3 x  1 


a. Rút gọn A.
6
b. Tìm x để A =

5
c. Tìm x ®Ĩ A < 1.
x x
( KQ : A =
)
3 x1
 x 2
x  2  x2  2x 1
Bµi30 : Cho A = 
víi x 0 , x 1.

 x  1 x  2 x  1  .
2


a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2 2
d. T×m GTLN cđa A
(KQ: A = x (1  x ) )
 x2
x
1  x1
Bµi 31 : Cho A = 
 x x  1  x  x  1  1  x  : 2



víi x 0 , x 1.

a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x 0 , x 1 thì A > 0 , (KQ:
Bài 32 :

4
1  x 2 x

:
x 1 x  1  x  1


Cho A =  1 


A=

2
)
x  x 1

víi x > 0 , x 1, x 4.

a. Rút gọn
b. Tìm x để A =

1
2

x 1 x  2 x  3   x  3
2 

Bµi 33 : Cho A = 

 : 
 víi x 0 , x 1.
 x  1
x 1   x 1
x 1 

a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. Tìm x Z để A Z

x   x 3
x 2
x 2 
Bµi 34 : Cho A=  1 


 : 
 víi x 0 , x 9 , x 4.
 1 x   x  2 3  x x  5 x  6 
a. Rót gän A.
b. T×m x  Z ®Ĩ A  Z
x 2
c. T×m x ®Ĩ A < 0
(KQ: A =
)
x 1
BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
2 a b

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt : 
 4   a  b
Trang 6



a 3

b   1


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán
VËy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1

Ti liu ụn thi vo lp 10 mụn

2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b»ng

1
3

.
Bài 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm sè y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
Hớng dẫn :
1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m =

3
.
4
y x 2
2 x 1

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiệm của hệ pt :
y
(x;y)
=
(1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Víi (x;y) = (1;1)  m =

 1
2

Bài 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã
x
1

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0  
2
y
VËy víi mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố ®Þnh (1;2).
0

0

Bài4 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
1 a  b
a  2


Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hƯ pt : 
 1  2 a  b

b 3
VËy pt ®êng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song với đờng thẳng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm
 3m   2
m

C(0 ; 2) ta cÇn : 
m = 2.

 2m  2 2
m
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua điểm C(0 ; 2)
2
2

Bài 5 : Cho hµm sè y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 .
Híng dÉn :
1) m = 2.
2) Gäi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta cã
Trang 7


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

y0 = (2m – 1)x0 + m - 3  (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 
VËy víi mäi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (


x0



y
0



1
2
5

2



1 5
).
;
2
2

Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :

6 x
4x 5
y=
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3
Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b ®Ĩ (d) ®i qua hai ®iĨm A(1; 3) vµ
B(-3; -1).
Bài 8 : Cho hµm sè : y = x + m
(D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Chủ đề :

Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =

a
.
b

+ Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm.

by c
ax

2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :
a' x b' y c'
Phơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta
đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy ®ång hƯ sè mét Èn nµo ®ã (lµm cho mét ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thø hai.
B. VÝ dô minh häa :
VÝ dô 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)

x
x

2
x -1 x 2

§S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S =  4  .

2x 3 - 1
=2
x 3 x 1
Giải : ĐKXĐ : x 3  x  1 ≠ 0. (*)

 3
2x 3 - 1
Khi ®ã : 3
= 2  2x = - 3  x =
2
x  x 1

b)

Víi  x =
VËy x =

 3 3  3
 3
thay vµo (* ) ta có (
) +
+10
2
2
2

3
là nghiệm.
2

Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m2 – 4 = 0
(1)
+ NÕu m 2 th× (1)  x = - (m + 2).
+ NÕu m = 2 thì (1) vô nghiệm.

Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -

để pt có nghiệm nguyên th× 4 2m – 3 .
Trang 8

4
.
2m - 3


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
tốn
Gi¶i ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
Giải :
a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y =

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
7x + 4y = 23.

23 - 7x
x 1
= 6 – 2x +
4
4

V× y Z x 1 4.
Giải ra ta đợc x = 1 vµ y = 4.
BÀI TẬP PHẦN HỆ PHệễNG TRèNH
Baứi 1 : Giải hệ phơng trình:
2x 3y  5
a) 
b)
  3x  4y 2

 x  4y 6

 4x  3y 5
5
2
 x  x  y 2

f) 
 3  1 1, 7
 x x  y

2x  4 0
e) 
 4x  2y  3

2x  y 3
c) 
5  y 4x

 x  y 1

d) 
 x  y 5

Baøi 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2

x my 1
1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Hớng dẫn :
Baứi 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m

2x y 3(m 2)
1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Baứi 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x  y a
cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).

 x (a 1)y 2
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mÃn 6x2 17y = 5.
2x 5y
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x y
Baứi 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1

(1)

ax y 2
1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
mx y n
Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình 
 nx  my 1
cã nghiƯm lµ  1; 3 .





Trang 9


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
toán
 a  1 x y 4
Baứi 7 : Cho hệ phơng trình
(a là tham số).
ax y 2a
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2.
 x - (m  3)y 0
Baøi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :
(m - 2)x  4y m - 1 (m lµ tham sè).
a) Giải hệ khi m = -1.

b) Giải và biện luận pt theo m.
 x - m y 0
Baøi 9 : (trang 24): Cho hệ phơng trình :
mx 4y m 1 (m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 4
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau

4
giờ thì đầy bể.
5

6
giờ nữa mới nay bể . Nếu một
5

mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải
dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C.

Hường dãn :
 x  y 10
 x 2,5
Ta có hệ pt : 100x  20y 400  
 y 7,5
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C.
Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch ban
đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :

(x
 y


(x

 y






200)
.100% 50%
200
200)
.100%  40%

500



 x  400

1000
y 

Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%.
Phơng trình bậc hai
định lý viet và ứng dụng
A.Kin thc cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a 0
Trang 10


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán
Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc  / = b/2 – ac
*  < 0 (  / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm

Tài liệu ơn thi vào lớp 10 môn

*  = 0 (  / = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = (hoặc x1,2 = -

b
2a

b/
)
a

*  > 0 (  / > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
(hoặc x1 =

 b 
2a
 b/ 
a

/

; x2 =

 b 
2a

; x2 =

 b /  /
)
a

2. Định lý Viét.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì
S = x 1 + x2 = p = x1x2 =

b
a

c
a

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cđa phơng trình bậc 2:
x2 S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình .Ta có
các kết quả sau:
x1 và x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 )  p = x1x2 < 0
Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > 0 và x2 > 0 )
Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 vµ x2 < 0) 

0

0

0



 p


S



 p
S


0

0

0


0


0
 p
S

0


0


0
p

S

0


Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) 
Mét nghiƯm b»ng 0 vµ 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0)
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

c
a



Nếu a + b + c = 0 thì phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 1 , x2 =



NÕu a b + c = 0 thì phơng trình cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = -



NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm
x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

c
a

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2
- LËp tÝch p = x1x2
- Phơng trình cần tìm là : x2 S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện cho trớc.
(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
1 1 x1  x 2
S


*)
=
p
x1 x 2
x1 x 2

Trang 11


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn
toán
2
2
x1 x 2 x1  x 2
S2  2p

*)
=
 
p
x 2 x1
x1 x 2
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
x  x 2  2a
1
1
S  2a

 1

*)
x1  a x 2  a ( x1  a)( x 2  a ) p  aS  a 2
(Chó ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiện 0 )
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai cã mét nghiƯm x = x1 cho tríc .T×m nghiệm
thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đà cho cã 2 nghiƯm:
 0 (hc / 0 ) (*)
- Thay x = x1 vào phơng trình đà cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn
x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đà cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy
ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ
2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta cã / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ NÕu / > 0  m2 – 9 > 0  m < - 3 hc m > 3 .Phơng trình đà cho có 2 nghiệm ph©n biƯt:
x1 = m + 1 - m 2  9 x2 = m + 1 + m 2  9
+ NÕu / = 0  m = 3
- Víi m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm lµ x1.2 = -2
+ NÕu / < 0  -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình cã nghiƯm x = -2
 Víi m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm ph©n biƯt


x1 = m + 1 - m 2  9 x2 = m + 1 +
Víi -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

m2 9

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – 6 = 0
Híng dÉn
 NÕu m – 3 = 0 m = 3 thì phơng trình ®· cho cã d¹ng
- 6x – 3 = 0

1
 x=-

2

* NÕu m – 3 0  m  3 .Ph¬ng trình đà cho là phơng trình bậc hai có biệt sè / = m2 – (m
– 3)(m – 6) = 9m – 18
- NÕu / = 0  9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiÖm kÐp
Trang 12


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán
/
x1 = x2 = - b  2

a

2 3

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

=-2

- NÕu / > 0  m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 = m 3 m  2
m 3

- NÕu / < 0  m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

1
2

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

m 3 m 2
m 3

Bài 3: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Gi¶i
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 =

c  2009


a
2

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = -1 ,
x2 = -

c
204
= - 12

a
17

c) x2 + ( 3  5 )x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã :
x1 + x2 = -( 3  5 ) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3 ) 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5
(hc x1 = 5 , x2 = - 3 )
d ) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta cã

 x 1  x 2 3 - 2 7


- 6 7 3(-2
x 1 x 2

7)

Vậy phơng trình có 2 nghiƯm x1 = 3 , x2 = - 2

7

Bµi 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Híng dÉn :
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0
Suy ra :
x1 = 2
Hc x2 =

m 1
3

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0  m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0  x = - 1
*m–3

0  m

 x1  1
 x 2  2m  2
m 3


 3 (*)  

Bµi 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0
a) TÝnh:
Trang 13


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán
A = x12 + x22
B = x1  x 2
C=

1
1

x1  1 x 2  1

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn

D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
1
1
vµ
x1  1
x2  1

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là

Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 3x 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân

biệt x1 , x2 .
Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1  x 2 = S 2  4 p  37
( x1  x 2 )  2
1
1
S 2
1



+C=
=
x1  1 x 2  1
( x1  1)( x 2  1) p  S  1
9
2
2
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :
1
1
1


(theo c©u a)

x1  1 x 2  1
9
1
1
1


p=
( x1  1)( x 2 1)
p S 1
9
1
1
Vậy
và
là nghiệm của hơng trình :
x1  1
x2  1
1
1
X2 – SX + p = 0  X2 +
X= 0  9X2 + X - 1 = 0
9
9

S=

Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

= (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 = 5(k2 – 2.

6
9
k+
)
5
5

3
9
36
3
36
k+
+
) = 5(k )+
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình
5
25
25
5
5

(1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu  p < 0
1
1
7
+
)<0
 - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2. k +



2
4
4
1 2 7
-(k ) < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu víi
2
4

mäi k
3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2
 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -

5 2 87
) +
]

4
16

Trang 14


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

5 2 87
) +
] >0
4
16
5 2 87
k – 1 > 0 ( v× (2k ) +
> 0 víi mäi k)
4
16

Do ®ã x13 + x23 > 0  (k – 1)[(2k -



 k>1
VËy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3. Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần
2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x1 = 1 , x2 = - 9
2. Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5
= m2 + 2.m.

1
1
19
1 2 19
+
+
= (m +
) +
> 0 với mọi m
2
4
4
2
4

Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
3. Vì phơng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4
Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
1 2 19
) +

]
2
4
1
1
=> x1  x 2 = 2 (m  1 ) 2  19 2 19 = 19 khi m +
=0  m=2
2
2
4
4
1
VËy x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

Bµi 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -

9
2

2) Chứng minh rằng phơng trình đà cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này
gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -

9
vào phơng trình đà cho và thu gọn ta đợc

2

5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + NÕu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đà cho trở thành;
5x 5 = 0 x = 1
+ NÕu : m + 2  0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đà cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt
x1 =

2m  1  5 2m  4
=
1
2( m  2)
2m  4

x2 =

2m  1  5 2( m  3) m  3


2(m  2)
2(m 2) m 2

Tóm lại phơng trình đà cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
m 3
9

giải ra ta đợc m = (đà giải ở câu 1)
m2
2
m 3
11
1= 3.
(thoả mÃn ®iỊu kiƯn m
 m + 2 = 3m – 9  m =
m2
2

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2  3 =
Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 

 - 2)
KiĨm tra lại: Thay m =

11
vào phơng trình đà cho ta đợc phơng trình :
2

15x2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
Trang 15


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán
x1 = 1 , x2 =

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mụn

5
1
=
(thoả mÃn đầu bài)
15
3

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .
1. BiƯn ln theo m sù có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x =

3
4

+ NÕu m 0 .LËp biÖt sè / = (m – 2)2 – m(m-3)
= m2- 4m + 4 – m2 + 3m
=-m+4
/ < 0  - m + 4 < 0  m > 4 : (1) v« nghiƯm

/ = 0  - m + 4 = 0  m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp
/
x1 = x2 = - b  m  2  4  2  1

a

m

2

2

/ > 0  - m + 4 > 0  m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m  2 

 m4

x2 = m  2   m  4

;

m

m

Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

1
2

0 m < 4 : phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 = m  2 

 m4

x2 = m  2   m  4

;

m

m

3
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
c
m 3
2. (1) có nghiệm trái dấu
<0
<0
a
m


Trờng hợp

3 
m 

m  0

0

3 
m 

m  0

0

m  3

m 0











m

m




3
0

m

m




3
0

không thoả mÃn

m 3

Trờng hợp
0m 0
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

m 4 (*) (ở câu a đà có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta cã :

/  0  0

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0  4m = -9  m = - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

9
4

9
thoả mÃn
4

*) Cách 2: Không cần lập ®iỊu kiƯn /  0 mµ thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = 9
vào phơng trình (1) :
4
9
9
9
- x2 – 2(- 2)x -3=0
4
4
4

thay m = -

 -9x2 +34x – 21 = 0

 x1 3

cã / = 289 – 189 = 100 > 0 => 
 x2  7



9

Trang 16

9
.Sau ®ã
4


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
tốn
VËy víi m = -

Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn

9
th× phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
4

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -

9
7
vào phơng trình đà cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =
(Nh phần
4
9

trên đà làm)
Cách 2: Thay m = -

9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
4

2( m  2)
x1 + x2 =

m

 x2 =
C¸ch 3: Thay m = -

2(

9
2)
34
4

9
9
4

34
34
7

- x1 =
-3=
9
9
9
9
vào công trức tính tÝch hai nghiƯm
4

9
 3
m 3
21
21
21
7
4
x1x2 =
=> x2 =
: x1 =
:3=


9
9
9
9
m
9


4
Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện :
x12 + x22 = 10
Giải.
1.Phơng trình (1) cã nghiÖm kÐp  / = 0  k2 – (2 – 5k) = 0


 k2 + 5k – 2 = 0 ( cã  = 25 + 8 = 33 > 0 )
 k1 =  5 

33 ; k =  5  33
2
2
2
VËy cã 2 gi¸ trị k1 = 5 33 hoặc k2 = 5 33 thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2
2

2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng tr×nh (1) cã nghiƯm:
2
/  0  k + 5k – 2  0 (*)
2
2
Ta cã x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = -

b
- 2k vµ x1x2 = 2 – 5k
a

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – 7 = 0
(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

7
2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k – 2
+ k1 = 1 => / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n
+ k2 = -

7
49 35
49  70  8
29
=> / =
không thoả mÃn

2

2
4
2
4
8

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

7
(cách tìm nh trên)
2

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3
Trang 17


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

7
39
(1) => x2- 7x +
= 0 (cã  = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
2
2

+ Với k2 = -

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI
Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 là hai nghiệm của phơng trình. Không giải phơng tr×nh, h·y tÝnh:
1) x12 + x22

2) x1 x1  x 2 x 2
3)

x12  x 22  x1x x  x1  x 2 







x12 x12  1  x 22 x 22 1



.

Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x2 – 5x + 1 = 0.
TÝnh x1 x 2  x 2 x1 (víi x1, x2 lµ hai nghiƯm của phơng trình).
Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị cđa m tho¶ m·n x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 4 : Cho phơng trình:
x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x12(1 x22) + x22(1 x12) = -8.
Baứi 5 : Cho phơng trình:

x2 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.
1) Gi¶i phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị cđa m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4.
Bài 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n x13 + x23  0.
Bài 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9.
Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1
 XÐt 2m-10=> m 1/2 khi ®ã ta cã
2
2
, = m -2m+1= (m-1) 0 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
m  m 1
1
=
2m  1
2m  1
1
pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<

<0
2m  1

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=

1

1  0

 2m  1

2
m

1

0




2m

 0
1

2
m

1


0


=> 
 2m 

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
GIAI BAỉI TOAN BAẩNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Trang 18


GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn
tốn
Bài 1 : Hai « tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô
.
Hửụựng daón : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có :
Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h).
Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình :

300
300
1
x - 10
x

Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Bài 2 : Mét ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quÃng đờng với
vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quÃng đờng còn
lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quÃng đờng AB.
Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).
Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình :

2x
x
x
1


 .
3 . 50
3. 40 50 2

Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).
Vậy quảng đường AB laứ : 300km.
Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Neỏu chảy cùng một thời gian
nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì
sau bao lâu đầy bể.
Hớng dẫn : Gọi x, y lần lợt là thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể .
1


1
5

y
24
3

x
2y


x

Theo bài ra ta có hệ phơng trình :
1



Giải ra ta đợc :

y 12

x 8

(tmđk)

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ .
Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ.
Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quÃng
đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .
Híng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự định là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0.

35( y  2) x
Theo baøi ra ta có hệ pt : 
50(y - 1) x
suy ra : 35y + 70 = 50y -50  y = 8 (TMĐK)
Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK).
Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km).
Thời gian dự định đi : 8 (giờ).
Bài 5 : Qu·ng ®êng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc
của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai
2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Hửụựng daón : Gọi x (km) là vận tốc của ôtô thứ 2. ĐK x > 0.
Theo gt bài toán ta có pt :

180
180

2
x
x 15

Giải ra ta đợc : x = 30 ; x = -45(loại).
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ hai : 30 (km/h)
Vận tốc ôtô thứ nhât : 45 (km/h).
Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đà trồng đợc
tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng
nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ
của tổ.
Giải : Gọi số học sinh nam là x (em) . ĐK : x nguyên dơng, x 13.
Trang 19

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 64 65 97)
toán

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn

40
40

3  3x2 – 119x + 520 = 0 (
x
13 - x
119  89
Gi¶i ra ta đợc : x =
(loại) ; x = 5 (TMĐK)
6

Theo gt bài ra ta có pt :



= 89)

Đáp số : Sè HS nam : 5 (em)
Sè HS n÷ : 8 em.
Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở
B rồi trở lại tõ B vỊ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc về kém vận tốc
lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
Giải : Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h). ĐK : x > 5.
180 3 180

 
10  17x2 – 805x + 1800 = 0 (
x
2 x -5
805 725
Giải ra ta đợc : x =
(loại) ; x = 45 (TMĐK).
34

Theo gt bài ra ta có pt :



= 725)

Đáp số : Vận tốc lúc ®i : 45 (km/h)
Bài 8 : Mét ca n« xu«i dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cïng lóc ®ã cịng tõ
A mét bÌ nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi
tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Giải : Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h). ĐK x > 4.
Theo gt bµi ra ta cã pt :

24
16

2
x 4 x-4

2x2 40x = 0

Giải ra ta đợc : x = 0 (loại) ; x = 20.
Đáp số : VËn tèc thùc cđa can« : 20 (km/h)
Bài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.
Giải : Gäi vËn tèc cđa xe thø hai lµ x (km/h). §K x > 0.
Theo gt bµi ra ta cã pt :

108 108
1


x
x6 5

 x2 + 6x – 3240 = 0 (

'

= 57 )

Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54.
Đáp số : Vận tốc xe thø nhÊt lµ : 60 (km/h)
VËn tèc xe thø hai là : 54 (km/h)
Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh nhau.
Giải : Gọi x là số công nhân lúc đầu ( công nhân). ĐK : x nguyên dơng, x > 3.
Theo gt bài ra ta cã pt :

360 360

4
x 3
x

 x2 – 3x 270 = 0

(



= 33 )

Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18.
Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)
Baứi 12 : Ba chiÕc b×nh cã thĨ tÝch tỉng céng 120lÝt . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình .
Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình . ĐK : x,y, z > 0.
Theo gt bài ra ta có hpt :


x


x

x





y

z
y

z

120
1
y
2
1

z
3






x

y

z



50
40

30

(TMĐK)
Đáp số : Bình thứ nhất cã thĨ tÝch : 50 (lÝt)
B×nh thø hai cã thĨ tÝch : 40 (lÝt)
B×nh thø ba cã thĨ tÝch : 30 (lít)
Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lóc 6h45' mét ngêi ®i tõ A víi vËn tèc 10km/h. Sau
Trang 20