Bài soạn Đề & ĐA số 3/2011

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 12/2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu I:
Cho hàm số
( )
x 2
y C .
x 2
+
=
−
1. Khảo sát và vẽ
( )
C .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
, biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
A 6;5 .−
Câu II:
1. Giải phương trình:
cosx cos3x 1 2 sin 2x
4
π
 
+ = + +
 ÷
 

.
2. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2 3
x y 1
x y 2xy y 2

+ =


+ + =


Câu III:
Tính
( )
4
2 3x
4
dx
I
cos x 1 e
π
−
π
−
=
+
∫
Câu IV:

Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng 2. Với
giá trị nào của góc
α
giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho
a,b,c 0 : abc 1.> =
Chứng minh rằng:
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
Câu VI:
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm
( ) ( ) ( ) ( )
A 1;0 ,B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5− −
và đường thẳng
d :3x y 5 0− − =
. Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng
nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
d : ; d : y 1 t
2 1 1

z 3
= − +

− +

= = = +

−

=

Câu VII:
Tính:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C
A ...
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012
= − + − + +
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2
Câu I:
1. a) TXĐ:
{ }
\ 2¡ \
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
+)
x 2 x 2
lim y , lim y x 2
− +

→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là tiệm cận đứng.
+)
x x
lim y lim y 1 y 1
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
-) Bảng biến thiên :
( )
2
4
y' 0 x 2
x 2
= − < ∀ ≠
−
c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại
( )
2;0−
, cắt Oy tại
( )
0; 1−
, nhận
( )
I 2;1
là tâm đối xứng.
2. Phương trình đường thẳng đi qua
( )

A 6;5−
là
( ) ( )
d : y k x 6 5= + +
.
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
4 x 2
x 2
x 6 5
k x 6 5
x 2
x 2
x 2
4
4

k
k
x 2
x 2
4x 24x 0
4 x 6 5 x 2 x 2 x 2
x 0;k 1
4
4
1
k
k
x 6;k
x 2
4
x 2
+

+

− × + + =
+ + =


−
−
−
 
⇔
 

 
= −
= −
−
 
−




− =
− + + − = + −
= = −




⇔ ⇔ ⇔
 
= −

= −
= = −
 
−

−


Suy ra có

2 tiếp tuyến là :
( ) ( )
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= − − = − +

Câu II:
( )
( ) ( )
2
1. cosx cos3x 1 2 sin 2x
4
2cosx cos2x 1 sin 2x cos2x
2cos x 2sin x cos x 2cosx cos2x 0
cosx cosx sinx cos2x 0
cosx cosx sinx 1 sinx cosx 0
x k
2
cosx 0
cosx sinx 0 x k
4
1 sinx cosx 0
sin x
4
π
 
+ = + +
 ÷

 
⇔ = + +
⇔ + − =
⇔ + − =
⇔ + + − =
π
= + π
=

π

⇔ + = ⇔ = − + π


+ − =

π
 
−
 ÷
 
x k
2
x k
4
x k2
1
4 4
5
2

x k2
4 4
x k
2
x k
4
x k2
π

= + π




π


=− + π


⇔
 
π π
 
− = − + π
 
=−
 
π π



− = + π

π

= + π


π

⇔ = − + π


= π



( )
( )
( )
1 3
1 1 3 3
2x
2 x y
y x
y x x y
2.
1 3
1 3
2y

2x
x y
y x
x y
4 x y
2 x y
xy 2
xy
1 3
1 3
2x
2x
y x
y x
x y
1 3
x y 1
2x
x x
x y 1
2
x 2,y 2
y
x
x 2,y 2
x 3
2x
2 x

   


+ =
− + − = −

 ÷  ÷

 
   
⇔
 
 
+ =
+ =
 



=
 −

− =−



=−
 

⇔ ⇔
 
 

+ =
+ =
 



=




= =


+ =



= =−

⇔ ⇔


= =−
=−




=− =



− =










Câu III:
( )
( )
2
1 1 1
2
4 2 2
2 2
0 0 0
3
1
2
2 2
2
1
0
2

2
d x
xdx 1 1 dt
I
x x 1 2 2 t t 1
x x 1
1 dt 1 du
2 2
1 3 3
t u
2 2 2
= = =
+ + + +
+ +
= =
   
 
+ + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Đặt
2
3 3 dy
u tan y, y ; du
2 2 2 2 cos y
π π

 
= ∈ − ⇒ = ×
 ÷
 
( )
3 3
2 2
6 6
1 3
u y ;u y
2 6 2 3
3
dy
1 1
2
I dy
3
2
3 6 3
cos y 1 tan y
4
π π
π π
π π
= ⇒ = = ⇒ =
π
⇒ = = =
× × +
∫ ∫
Câu IV:

Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:
·
( )
( )
( )
( )
2
ABCD
2
SABCD
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
SABCD
SMN ,d A; SBC d N; SBC NH 2
NH 2 4
MN S MN
sin sin sin
tan 1
SI MI.tan
sin cos
1 4 1 4
V
3 sin cos 3.sin .cos
sin sin 2cos 2
sin .sin .2cos
3 3
1

sin .cos
3
V min sin .cos max
s
= α = = =
⇒ = = ⇒ = =
α α α
α
= α = =
α α
⇒ = × × =
α α α α
α + α + α
α α α ≤ =
⇒ α α ≤
⇔ α α
⇔
2 2
1
in 2cos cos
3
α = α ⇔ α =
Câu V:
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2

3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c
1 1 c
a b 1
a b c
ab a b c
+ = + − + ≥ +
⇒ + + ≥ + + = + + = + +
⇒ ≤ =
+ +
+ +
+ +
Tương tự
suy ra OK!
Câu VI:
N
M
I
D
A
B
C
S
H

1. Giả sử
( )
M x; y d 3x y 5 0.∈ ⇔ − − =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
AB
CD
MAB MCD
AB 5,CD 17
AB 3;4 n 4;3 PT AB: 4x 3y 4 0
CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0
S S AB.d M;AB CD.d M;CD
4x 3y 4 x 4y 17
5 17 4x 3y 4 x 4y 17
5
17
3x y 5 0
4x 3y 4 x 4y 17
3x y 5 0
3x 7y 21 0
= =
− ⇒ ⇒ + − =
⇒ − ⇒ − + =
= ⇔ =
+ − − +
⇔ × = × ⇔ + − = − +
− − =



⇒

+ − = − +


− − =

+ − =
⇔
uuur uuur
uuur uuur
( )
1 2
7
M ;2 ,M 9; 32
3
3x y 5 0
5x y 13 0




 

⇒ − −
 ÷

− − =
 




− + =



2. Gọi
( ) ( )
1 2
M d M 2t;1 t; 2 t , N d N 1 2t ';1 t ';3∈ ⇒ − − + ∈ ⇒ − + +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
MN 2t 2t ' 1;t t'; t 5
2 2t 2t ' 1 t t' t 5 0
MN.u 0
2 2t 2t ' 1 t t ' 0
MN.u 0
6t 3t ' 3 0
t t ' 1
3t 5t ' 2 0
M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4
x 2 y z 1
PT MN :
1 2 4
⇒ − + − + − +



− + − − + + − + =
=
 
⇔
 
− + − + + =
=




− + + =

⇔ ⇔ = =

− + − =

⇒ − −
− +
⇒ = =
−
uuuur
uuuur uur
uuuur uur
uuuur
Câu VII:
0 0 1 1 2 2 3 3 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010
2 C 2 C 2 C 2 C 2 C

A ...
1 2 3 4 2011
= − + − + +
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k k
k k
k
2010
k
k 1
k 1
2011
1 2 2011
1 2 2011
2011 2011 2011
2011 0
0
2011
2 2010! 2 2010!

2 C
1
k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1 ! 2010 k !
2 2011!
1 1
2 C
2011 k 1 ! 2011 k 1 ! 4022
1
A 2 C 2 C ... 2 C
4022
1 1
2 1 2 C
4022 2011
+
+
− −
− = =
+ − + + −
−
= × = − × −
+ − −
 
⇒ = − × − + − + + −
 
 
= − × − + − − =
 