§ò c¬ng phßng gi¸o dôc ®µo t¹o hng hµ ch¬ng i c¨n bëc hai c¨n bëc ba i kiõn thøc c¬ b¶n §þnh nghüa c¨n bëc hai sè häc cña sè kh«ng ©m c¨n bëc ba c¸c phðp biõn ®æi c¨n thøc ii nh÷ng d¹ng to¸n th

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (512.03 KB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chơng I. Căn bậc hai. Căn bậc ba
I. Kiến thức cơ bản

- nh ngha cn bc hai số học của số không âm, căn bậc ba.
- Các phộp bin i cn thc.

II. Những dạng toán thờng gặp
Dạng 1. Thùc hiƯn phÐp tÝnh.

1. Mét sè vÝ dơ:

VÝ dơ 1. Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

5 12 4 48

 









2 2

3 5  1 3

c, 14 6 5  14 6 5 d, 4 15 4 15
HD: a) Sử dụng phép đa thừa số ra ngoài dấu căn, rồi thu gọn các số hạng đồng dạng.

b) Sử dụng hằng đẳng thức

2
A A

c) Đa về dạng câu b) rồi sử dụng hằng đẳng thức

2
A A

d) đặt 4 15 4 15 A Cách 1: Tính A 2 ...  A 6

C¸ch 2: A2  ... A 6 (chó ý A< 0)…

Sử dụng phép đa thừa số ra ngoài dấu căn, hằng đẳng thức

2
A A

VÝ dơ 2. Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:



28 2 14  7



7 7 8 b,



8 3 2 10





2 3 0,4





15 50 5 200 3 450 : 10 





2 2 5 18

 

50 5



VÝ dơ 3. Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau:

a,





3 2 3 2 2 2 3

3 2 1

 

  

 b,

2 3 2 3 . 3 1

2 3 2 3 3 3

 

 

 

  



  

7 4 3 . 2 3
2 3





 d,

2 3 6 8 4

2 3 4

   

 

HD: d,

2 3 6 8 4
2 3 4

   

 



2 3 2

 

6 8 2



2 3 4

    



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>











 



2 3 4 2 2 3 4
2 3 4

2 3 4 1 2

1 2
2 3 4

    

 
  
  
 

2. Bµi tËp:

Bµi 1. Rót gän biÓu thøc: a) A 5 3 29 12 5

1 1

2 1 1 2 1 1
B



    c)

2 3 2 3

2 2 3 2 2 3

C   

   

Bµi 2. Rót gän biÓu thøc

1 3 2 2 3
2 3 3 2 2 3

D 

 

3 4 5

6 8 10 27 36 45

 



    

Bµi 3. Rót gän biĨu thøc
a)

1 1 1 ... 1

1 2 2 3 3 4 2008 2009

A    

   

1 1 1 ... 1

1 5 5 9 9 13 2005 2009

B    

   

1 1 1 ... 1

2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2009 2008 2008 2009

C    

   

HD: c, XÐt sè h¹ng tỉng qu¸t





1 1 1

k k k k   k  k

víi k N *
Bµi4:Cho (x+

√

x2+3)(y+

√

y2+3)=3 (*).TÝnh: a) A=

2 3 2 3

x y  y x 

b) x + y
HD: a) Ta cã (x+

√

x

+3)(y+

√

y2+3)=3



 



2 3 2 3 3 2 3 2 3

x y y x xy x y

        

đặt



 



2 2

3 3

xy x  y  B

ta cã
2 2
3
0
... 3
A B
A
B A
 

 

  



b) + Nhân 2 vế của (*) với x x2 3 0 ta đợc:



 



2 2

3 3

y y x x

     

(1)
+ Nh©n 2 vÕ cđa (*) víi

2 3 0
y y  

ta đợc:



 



2 3 2 3

x x y y

     

(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã x + y = 0

Bµi 5 : a) Cho a + b + c = 0. Chøng minh 2 2 2

1 1 1 1 1 1
a b c a b c 

b) ¸p dông tÝnh P =

2
2
2
2008 2008
1 2008
2009 2009
  

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1

1 2 2 3 2008 2009

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

HD: a) Ta cã





2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.0 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c abc a b c abc a b c

a b c

 

   

                

   

Bµi 6 : Chøng minh r»ng sè a 2



3 1 2



 3 là số hữu tỉ.
HD: Tính a = … = 2 Q . Chøng tá sè a 2



3 1 2

3 là số hữu tỉ.
Bài 7 : Giả sử số thực a thỏa mÃn điều kiện a3 + 2008a -2007=0.

HÃy tính giá trị của biểu thøc S 33a2 2005a 2006 33a2 2005a 2008

Dạng 2. So sánh hai hay nhiều số.
1. Những phơng pháp cơ bản:
 1.1 Biến đổi đồng nhất
1.2 Xột hiu

1.3 Đánh giá tăng giảm

1.4 Gi s (đa về bài toán chứng minh bất đẳng thức)

2. Mét sè vÝ dơ:

VÝ dơ 1. Bµi 2 trang 6; bµi 26, 27 trang 16; bµi 31 trang 19;

bµi 45 trang 27; bµi 56 trang 30; bài 69 trang 36 SGK toán 9 tập 1
Ví dụ 2. So sánh hai số x và y trong mỗi trờng hợp sau:

a. x 50 32 vµ y 2
b. x 6 7 vµ y 7 6

c. x = 2000 a vµ y = 2000 + a (a lµ tham sè)

(Trích đề thi TS vào lớp 10 THPT Tỉnh Thái Bình năm học 2000 - 2001)
Ví dụ 3. So sánh hai số x và y trong mỗi trờng hợp sau:

a) x 2009 2008 vµ y 2008 2007
b) x 2 3 vµ y 2 1

HD: a)

1
2009 2008

2009 2008

x  

 ;

1
2008 2007

2008 2007

y  



Ta thÊy

1 1

2009 2008 2008 2007

    

  .VËy x<y

b) Ta cã x 2 3  2 4 2 ; y 2 1  1 1 2  . Vậy x< y

3. Bài tập:

Bài 1. So sánh hai số trong mỗi trờng hợp sau:

3 5 3 5

2 2 3 5 2 2 3 5

 



    vµ 3

4 7 4 7

2 4 7 3 2 4 7

 



   

2007
2008

10 1
10 1


 vµ

2008
2009

10 1
10 1

Bài 2. So sánh hai số trong mỗi trêng hỵp sau:

2m vµ

1
2
m

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) 2008 m vµ 2008 m (víi m0)
HD: a) Sử dụng phơng pháp xÐt hiÖu.

b, XÐt hiÖu 2008 m - (2008 m ) = 2007 m 2008 (víi m0)





2008 0

2007 20
2008
2007
2
2 2008
2007
2
2008
2007
m
m
m
m
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Õu

* N 2007





2008 0
2007 20
2008
2007
2
2 2008
2007
2
2008
2007
m
m
m
m
m


 
 
 
 
 
 
 



 

Õu

* N 2007

th× 2008 m > 2008 m th× 2008 m = 2008 m





2008 0
2007 20
2008
2007
2
2 2008
2007
2
2008
2007
m
m
m
m
m


 
  
 

 
 
 
 



 
Õu

* N 2007

thì 2008 m < 2008 m
Bài 3. So sánh hai số x và y trong mỗi trờng hỵp sau:
a) x = 3 2 vµ y=2 3

b) x = 17 26 1 vµ y = 99

c) x 6 6 6 ...  6  30 30 30 ...  30 vµ y 89
HD: c) 6 6 6 ...  6  6 6 6 ...  9 3

30 30 30 ...  30  30 30 30 ...  36 6

9
x

  mµ y 89 819 . Vậy x<y

Bài 4. So sánh hai số x và y trong mỗi trờng hợp sau:
a) x 2009 2007 vµ y2 2008
b)

2008 2009
2009 2008

x 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bµi 5. Sè 4 7  4 7  2 âm hay dơng ?

Dạng 3. Giải phơng trình vô tỉ.

1. Để giải một phơng trình vô tỉ ta cần chú ý:

1.1. Đặt điều kiện để các biểu thức của ẩn số chứa trong căn bậc chẵn là không âm.
1.2 Một số phơng pháp giải:

PP nâng lên lũy thừa (nhớ thêm điều kiện cđa Èn - nÕu cÇn),
PP sư dơng H§T

A A

đa về pt chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối,
PP đặt ẩn phụ,

PP bất đẳng thức
1.3. Một số phép biến đổi:

2 B 0 B 0

A B

A B A B

 



 

 



 

  

 

0
2
B

A B

A B







 



2 2 0

n n

A B

A B A

B














  



(n N ) 2 1n A2 1n B A B (n N )

A B  C  B C  A.

0
0
0

( )

2
A

B

A B C C

C A B
AB














   

 


2. Mét sè vÝ dơ

VÝ dơ 1. Gi¶i các phơng trình sau:

a) 9



x1



21 (bµi 25 trang 16 SGK to¸n 9 tËp 1)
b) 16x17 8 x 23

c) 17 x 17 x 2

d) 17 x 17 x 2

e) x x 1 x 4 x9
HD: Sử dụng PP nâng lên lũy thừa

Ví dụ 2. Giải các phơng trình sau:
a)





4 1 x  6 0

(bµi 25 trang 16 SGK to¸n 9 tËp 1)

b) x 1 2 x 2    x 1 2 x 2 1   
c) x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2
HD: a, b)Biến đổi rồi dùng HĐT

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

c) Nh©n 2 vÕ víi 2 råi dïng H§T

2
A A

VÝ dụ 3. Giải các phơng trình sau:









3 x 3x  x5 2 x

b) 2 x  2 x 4 x2 2

c) x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3
Gợi ý: a) Cách 1: Nâng lũy thừa, kết hợp đặt ẩn phụ

C¸ch 2. Đặt ẩn phụ:
+ ĐKXĐ: 5 x 2

+ Ta cã



 



3 x 3x x5 2 x





3 x 3x x 3x 10 0

     

đặt x2 + 3x = t

b) + §KX§: 2 x 2

+ Ta cã



 



2 x 2 x 4 x  2 2 x 2 x 2 x 2x 2

Đặt 2 x a , 2x b (®iỊu kiƯn a b, 0) ta cã :

2 2

0
2
4

2 2

0
a
b
a b

a b ab a

b
 






   



 

    



 

 


2
2
x
x



  


c) + §KX§: x2

+ Ta cã x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3




x1

 

x 2



 x 3 x 2

x1

x3

Đặt x1a , x 2 b , x 3 c (®iỊu kiÖn a b c, , 0)

ta cã a.b + c = b + a.c



a 1

 

b c



0 a 1





b c



     




tháa m·n

TH1: Khi a = 1 ta cã x1 1  x = 2 (tháa m·n §KX§)
TH2: Khi b = c ta cã x 2 x 3 0x = 5 (Pt vô nghiệm)
Ví dụ 4. Giải các phơng trình sau:

a) x 4 6 x = x2 - 10 + 27

b)  x43x 1 2x2 3x 2 x4 x2 2x4
c) 5x 1 3x 2 x1 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) + §KX§: 4  x  6

+ VÕ tr¸i =

4 1 6 1

4 6 2

2 2

x x

x   x      

(Theo bất đẳng thức Cauchy)
dấu “=” xảy ra khi x = 5 (1)

+ VÕ ph¶i = x2 -10 + 27 = (x-5)2+ 2  2, dÊu “ = ” x¶y ra khi x = 5 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra √x −4+√6− x = x2 - 10 + 27 khi x = 5 (tháa m·n §KX§)

Vậy tập nghiệm của phơng trình đã cho là: S = {5}

b) + §KX§:

¿
− x4

+3x −1≥0
2x2−3x+2≥0

¿{
¿

+ Ta có : Theo bất đẳng thức Bunhia- côpski)

VT2 =( x43x1 2x2 3x2)2  (1 1)(x43x 1 2x2 3x2)

 VT2 2 (-x4 + 2x2 + 1)

 VT2 2 −(x4−2x2+1)+2

¿
 VT2 4

 VT  2 vì VT > 0 . Dấu = xảy ra khi : x = 1.

Mặt khác VP = (x2 - 1)2 + (x- 1)2 + 2  2 . DÊu “=” x¶y ra khi x = 1.

Do đó x43x1 2x2 3x2x4 x2 2x4 x = 1 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của phơng trình đã cho là S =

 

c) C¸ch 1. Sư dơng PP n©ng lịy thõa.

Cách 2. Sử dụng PP bất đẳng thức: Với ĐKXĐ của pt thì hai vế của pt không thể bằng nhau.
+ ĐKXĐ: x1

+ Ta cã 5x1 3x 2 x1 0
 5x 1 x1 3x 2 (*)

Ta thấy khi x 1 5x1  x 1 5x1 x1 5x1 x1 0 `mà  3x 2 0
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

3. Bài tập.

Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a, x2+4x+5 = 2

√2x+3 (Trích đề thi TS THPTchuyên TB năm học 
2005-2006)

b, x2+3x+1 = (x+3)

√

x2+1
c, x 1 3x 2x1

(Trích đề thi TS THPT chun Tốn - Tin Thái Bình năm học 2005-2006)
HD c, + ĐKXĐ: x0

+ Nhân cả hai vế của phơng trình với x 1 3x > 0

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) x +

√

4− x2

=2+3x

√

4− x2

√

x(x+1)+

√

x(x+2)=2

√

x2





2006 2007 2008 6018

x  y  z  x y z  

√

x+√2x −1+

√

x+√2x −1=√2
e)

√

− x2

+4x −2+

√

−2x2+8x −5=√3+√2
g) x2 + 4x + 5 = 2

√2x+3
HD: e) Sử dụng phơng pháp bất đẳng thức

g) Đa pt về dạng A2+B2=0 hoặc nâng lũy thừa đa về phơng trình bậc 4
Bài 3. Giải phơng trình sau:

√

2x

1+x+

√

1
2+

1
2x=2

(Trích đề thi vào lớp 10 chun tốn Trần Phú - Hải Phịng năm học 2004-2005)
Bài 4 . Giải và biện luận phơng trình sau:

√

x2

− x=a− x (a lµ tham số)
Bài 5. Cho phơng trình : √m−2x=√x −1

a, Gi¶i phơng trình khi m = 5

b, Tìm m để phơng trình có nghiệm ?

Bài 6. Tìm m để phơng trình sau chỉ có 1 nghiệm : √x −5+√9− x=m
Bài 7. Giải các phơng trình sau:

a) 3

√x+7=1+√x b)

√

3 2x

x+1+
3

√

1
2+

1
2x=2

√

4 x −

√

x2−1+

√

x+

√

x2−1=2 d) x2 x2008 2008

Bài 8. Giải phơng trình:

2 2 2

1 9 10 10

x  y y  z z  x 

Bài 9.Giải phơng trình

7 2 1 9 14 5

x  x  x  x 

Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức.
I. Những phơng pháp cơ bản:

1. Phơng pháp biến đổi tơng đơng.

2. Phơng pháp sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.
3. Phơng pháp đánh giá tăng giảm.

4. Phơng pháp đánh giá đại diện.
5. Phơng pháp quy nạp toán học.
6. Phơng pháp phản chứng.

7. Phơng pháp dùng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
8. Phơng pháp áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.
9. Phơng pháp biến đổi bất đẳng thức ở dạng tổng hoặc tích
của n số hạng theo một thứ tự nhất định.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

11. Phơng pháp áp dụng dÊu cña tam thøc bËc hai.
12. Phơng pháp hình học.

Cn chỳ ý: Mt s bt đẳng thức có cách giải khơng mẫu mực.

2. Mét sè vÝ dơ:

Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a, a4a b ab3  3b4 0 b,

a a b b

a

b   víi a > 0, b > 0.









2
2

2 2 2 2

a b  c d  a c  b d
HD: a, Ta cã a4a b ab3  3b4 0



















 











3 3 0

2 2 0

2 2

2 3

2 4

a a b b a b
a b a b

a b a b a ab b

b b

a b a

 

 

 

 

  

 

    

   

     

    0 (luôn đúng)

V×





2 3 2

2 4

a b

b b

a






 



 

 



 

  

VËy a4a b ab3  3b4 0

b, Ta cã

a a b b

a
b   













 







 









 





 



0
3

2 0

a a b b ab a b

a b ab a b

a b a ab b ab a b
a b a ab b

a b a b

 

 

 

    

      

    

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VËy

a a b b

a
b  

c) Ta cã









2
2

2 2 2 2

a b  c d  a c  b d





















 







2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 ( )2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 0

a b c d a b c d a ac c b bd d

a b c d ac bd
a b c d ac bd

a c a d b c b d a c abdc b d
b c bc ad a d

bc ad

            

    

      

   

  0 (luôn đúng)

VËy









2
2

2 2 2 2

a b  c d  a c  b d

VÝ dô 2. a) Cho a, b, c >0 chøng minh r»ng:





1 1 4
a b

a b

 

 

 

  





1 1 1 9
a b c

a b c

 

 

 

    

b) Cho

3
, ,

4
a b c

vµ a + b + c = 3.

Chøng minh r»ng: 4a 3 4b 3 4c 3 3 7
HD:

a) * V× a, b >0. áp dụng BĐT Cauchy ta có:





1 1 2 . 2 4

1 1 2 1 1 2
a b ab

a b ab

a b ab

a b a b ab


  

  

 



 

    

  

VËy





1 1 4
a b

a b

 

 

 

  

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>





3
3

1 1 1 33 . 3 9

1 1 1 331 1 1 3 3

3
a b c abc

a b c abc

a b c abc

a b c a b c abc


  



  

 




  

      

   

VËy





1 1 1 9
a b c

a b c

 

 

 

   

b) áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

























2 2 2 2

4 3 4 3 4 3 1 1 1 4 3 4 3 4 3

4 3 4 3 4 3 3 4 9

4 3 4 3 4 3 3 4.3 9

a b c a b c

a b c a b c

a b c

 

 

 

 

            

         

       



4 3 4 3 4 3



2 63

4 3 4 3 4 3 3 7

a b c

      

       (®pcm).
VËy 4a 3 4b 3 4c 3 3 7

VÝ dô 3. Cmr:

1 1 1

2 3 ... 2 2

2 3

n n

n

      

víi n  N, n  2 
HD: §Ỉt

1 1 ... 1
2 3

A

n

   

* Chøng minh A >2 n 3:

Ta cã





1 2 2 2 1

1 k k

k  k  k  k  k    víi mäi k N *

Do đó







 







2 1 ... 4 3 3 2

2 1 2

2 1 2 2 2 1 3 2

A n n

n

n n n

 

 

 

       

  

        3 (*)
* Chøng minh A < 2 n 2:

Ta cã





1 2 2 2 1

1 k k

k  k  k  k  k    víi mäi k N *

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>







 







2 1 ... 3 2 2 1

2 1

2 2

A n n

n
n

 

 

 

       

 

  (**)
Tõ (*) vµ (**) suy ra đpcm.

Ví dụ 4. Cho các số dơng x, y, z . Chøng minh r»ng:

x2xy y 2 y2yz z 2 z2xz x 2  3



x y z 



HD: Các số hạng ở vế trái có dạng tơng tự nhau nên ta có thể nghĩ đến phơng pháp
đánh giá đại diện một số hạng. Ta sẽ chứng minh rằng:





2 2

x xy y  x y

ThËt vËy:





















2 2 4 2 4 4 2

1 3 2 2

3 2

4
3

2 2

x xy y x xy y

x y x y
x y

x xy y x y

 

 

 

    

  

 

    

.(1)

T¬ng tù ta cịng cã:





2 2

y yz z  y z (2)





2 2

z zx x  z x (3)
Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã

x2xy y 2 y2yz z 2 z2xz x 2  3



x y z 



,
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z.

VÝ dô 5. Chøng minh r»ng

1 n n

n

 

 

    n N, n > 2
HD: - Khi n = 3 thì BĐT đã cho trở thành

3
1 64

1 3

3 27

 

 

    

- Giả sử BĐT đã cho đúng với n = k , nghĩa là

1 k k

k

 

 

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- Ta phải chứng minh BĐT đúng với n = k +1, nghĩa là

1
1

1 1

1
k

k
k

 

 

 



  



Th©t vËy: Ta cã

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

k k

k k k k k

         

         

                

VËy

1 n n

n

 

 

    n N, n > 2

VÝ dô 6. Cho a + b = 2. Chøng minh r»ng: 3a 3b 2
HD: Đặt x3 ,a y3b a x b y 3,  3 x3y32
Ta cÇn chøng minh: x y 2.









2
3 8

3 3 3 ( ) 8
2 3 ( ) 8

( ) 2
3 3
( )

3 3
( )

2 2

2
y
x y

x y xy x y
xy x y

xy x y

xy x y x y
xy x y x y
xy x xy y

x y
 

  

    

   

  

   

   

  

Gi¶ sư

0 (v« lÝ)

x

VËy 3a3b 2

VÝ dô 7. Chøng minh r»ng: a b  1 ab víi a , b 1
HD: Ta cã:









2 2

2 2 2 1 2 2

2 2 2 2 1 0
a b ab

a b ab

a ab b ab a b
a b a b

  

   

     

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>



 





 









2 2 2 1 2 0

2 1 2 1 2 0
2 2

1 1

a a b b

a b b

b a

    

   0 (Luôn đúng)

V×

2 2

1 1 1 0

2 2

1 1 1 0

b b b

a a a







     

     

VËy a b  1 ab víi a , b 1

Ví dụ 8. Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.

Chøng minh r»ng:













2 2 2 3 3 3

a b c b c a c a b a b c

HD: Ta cã













2 2 2 3 3 3

a b c b c a c a b a b c















 





 





 

































 



2 2 2 2 2 2 0

0
0

2 2 2 2 0

2 0

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c a b c

a b c c a b ab
a b c c a b

a b c c a b c a b

     

     

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

         

               

           

      

     

       0 (Luôn đúng)

0, 0, 0

a b c   c a b   c a b  

V ì a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác nê n :

VËy













2 2 2 3 3 3

a b c b c a c a b a b c

VÝ dô 9. Chøng minh r»ng:





1 1 ... 1 2

23 2  n1 n 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>









1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1
1

1 1

k k

k k k k

k k

k

k k k k

k k

k k k

 
 
 
   
   
   
   
   
   
   
  
 

 
 
 

 
=
=





1 2 1

1 1

k

k k k k

 
 
 
 
  


Lần lợt cho k = 1, 2, ... ,n ta cã:

1 2 1 1

2 2
 
 
 
 





1 2 1 1

3 2 2 3

...

1 2 1 1

1 1

n n n n

 
 
 
 
 
 
 
 
 





1 1 ... 1 2 1 1

2 3 2 n 1 n 1 n

 

 

 

      

  2 (®pcm)

VÝ dơ 10. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng

a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b

HD: + Ta cã





a a c

a b a b c

b b a

b c a b c

c c b

c a a b c

a b c

a b c a c b a c b

a b b c c a a b c a b c a b c a b c











  


  


  
 

  
       

           2 (*)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>









2
2

2 2

a a a a a

a b c

b c a b c a b c

b b c

c a a b c a b c

a b c

a b

b c c a a b c

  

 

   

 

    

 

    

   

c
T ¬ng tù

a + b
c

2 (**)
a + b

Tõ (*) vµ (**) ta cã

a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b (®pcm)

VÝ dơ 11. Chøng minh r»ng:









2 1 3

x y  xy  x y

; x y,

HD: Ta cã









2 1 3

x y  xy  x y

 x2y2xy 1 3x 3y0
Coi vế trái là tam thức bậc hai đối với x, ta có:









2 2

( ) 3 3 1

2 2

( 3) 4( 3 1)

3 2 3 1

2
3 1 0,

f x x y x y y

y y y

y y

     

     

 

   

=
=

 f x  0, x,y (v × a = 1 > 0)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

1
3
x y 

VËy









2 1 3

x y  xy  x y ; x y,

VÝ dơ 12. Chøng minh B§T sau víi a, b, c, d > 0:





 







 



2 2 2 2 2 2 2 2

a c a c  a d b d  a b c d 

HD: Xét tứ giác ABCD có AC  BD. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo.
Đặt OA = a, OB = b, OC = c, OD = d với a, b, c, d > 0.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

mµ AC = a + b, BD = c + d
Ta cÇn chøng minh: AB BC AD CD AC BD.  .  .

ThËt vËy AB BC. 2SABC

AD CD. 2SADC

 AB BC AD CD.  . 2SABCD AC BD.

VËy



 





 





 



2 2 2 2 2 2 2 2

a c a c  a d b d  a b c d 
3. Bµi tËp:

Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:



 



10 10 2 2 8 8 4 4

a b a b  a b a b

b) c a c







 c b c







 ab (a > c,b > c, c > 0)

Bài 2. a) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng: p p a  p b  p c  3p

b) Chứng minh rằng nếu 1 a 5 thì 3 a 1 4 5 a 10
Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức sau:





1 1 ... 1 2

23 2  n1 n 

víi n  N*

1 1 1

2 1 2 1 ... 2 1

2 3

n n

n

        

víi n  N; n > 1
Bài 4. Cho các số dơng x, y, z tho¶ m·n: x + y + z = 1. Chøng minh r»ng:
2x2xy2y2 2y2yz2z2 2z2xz2x2  5

Bµi 5. Chøng minh r»ng n1n 1 nn ;  n Z n, 2

Bài 6. Chứng minh rằng trong ba BĐT sau có ít nhất một BĐT là đúng.





2 2

2
b c
a b  

;





2
2 2

2
c a
b c  

;





2 2

2
a b
c a  

Bµi 7. Chøng minh r»ng mäi sè a b R;  ta cã:

a) 1 1

a b a b

 



   

b) 1 1 1

a b a b

a

a b b



 



  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>



a b c b c a a c b 

 

 

 

 



abc













abc
p a p b p c   

1 1 1 2 1 1 1

p a p b p c a b c

 

 

 

    

  

Bµi 9. Chøng minh r»ng :





1 1 1

1 ... 2 1 1

2 3 n n

      

;  n Z
Bµi 10. Cho a, b, c, d là 4 số nguyên dơng. Chứng minh rằng:

1 2

a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

Bµi 11. a) Chøng minh r»ng

4 4 2 2

x y x y x y

y x

y  x  y x    ; x y, 0

b) Cho ax by  xy ; x y, 0. Chứng minh rằng

1
4
ab

Bài 12. Cho 2 số dơng x, y cã tæng b»ng 1.Chøng minh r»ng:





1
4 4

8 x y 5

xy

  

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thái Bình năm học 2006- 2007)
Bài 13. Chứng minh BĐT sau bằng phơng pháp hình học với a, b, c > 0:

a2b2. b2c2 b a c







Chó ý mét øng dơng cđa B§T:

1. So s¸nh 2 sè, gi¸ trÞ cđa hai biĨu thøc.
2. Giải phơng trình, bất phơng trình.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lín nhÊt.

4. XÐt sù tồn tại nghiệm của một phơng trình bậc hai.

5. Chứng minh một tính chất nào đó của một biểu thức đại số, …

Dạng 5. Biến đổi đồng nhất biểu thức đại số.

1. Một số yêu cầu cần ôn lại: Phép nhân đơn thức, đa thức.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Tính chất cơ bản của phân thức.

C¸c phÐp to¸n: céng, trõ, nhân, chia phân thức,

2. Một số loại biểu thức thờng gặp:

Biểu thức là một phân thøc.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

BiĨu thøc lµ tÝch cđa 2 biĨu thức.
Biểu thức là thơng cđa 2 biĨu thøc.

Biểu thức phối hợp các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa ở trong hay
ngoài dấu ngc.

Đại số hố một biểu thức số để tính tốn.

3. Mét sè c©u hỏi thờng gặp:
 Câu hái 1: Rót gän biĨu thøc.

Câu hỏi 2: Tìm điều kiện của biến để giá trị của biểu thức đợc xác định.

Câu hỏi 3: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc.

Câu hỏi 4: Tìm giá trị của biến khi biết điều kiện nào đó của biểu thức.

Câu hỏi 5: Chứng minh một tính chất nào đó của biểu thức.

Câu hỏi 6: Tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) của biểu thức,

4. Bµi tËp:

Bµi 1. Cho biĨu thøc:

1 1

1 1 1

x x
A

x x x x x



  

    

a. Rót gän råi tÝnh sè trÞ cđa A khi 7

53
9 2
x



b. Tìm x để A > 0.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 2000- 2001)

Bµi 2.Cho biĨu thøc





2 2 2 1

1 1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a, Rót gän biĨu thøc P.

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c, Tỡm x

2 x
Q

P

nhận giá trị nguyên.

(Trích đề thi HSG lớp 9 huyện Hng Hà năm học 2005- 2006)

Bµi 3.Cho biĨu thøc

2 9 3 2 1

5 6 2 3

x x x

A

x x x x

  

  

   

a, Rót gän A.

b, Tính giá trị của A với x 3 2 2.

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Thái Bình năm học 2007- 2008)

Bµi 4..Cho biĨu thøc:



 









 



2
2

2 3 1 4 2 3

1 3

x x x

A

x x

   



 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b. Tìm x để A = 3.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 1999- 2000)

Bµi 5. Cho biĨu thøc

2 3 6

1 . 1

1 1 5

P

x x x

   

   

   

   

   Víi x0 vµ x1

1. Rót gän P;

2. Tìm giá trị của x để

2
3
P

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình năm học 2008- 2009)

Bµi 6. Cho biÓu thøc 2

2 1 2006 1
:

1
C

x x x x
x x

 

   

 



 

a,Tìm điều kiện của x đẻ giá trị của biểu thức C đợc xác định.
b, Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức C khi





2
2 3 16
x 
c, T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức A1

Bài 7. Cho biÓu thøc



 



3 2 1 1

1 1 1

2 1

a a a a

P

a a a

a a

 

    

 

    

        

 

a, Rút gọn biểu thức P.
b, Tìm a để:

1 1

1
8
a
P



 

(Trích đề thi tuyển sinh vào trờng THPT Chu Văn An Hà Nội 2006-2007)

Bµi 8.Cho biĨu thøc 2 2 2 2 2 2

1 :

a a b

M

a b a b a a b

 

    

     

a, Rót gän biÓu thøc M.

b, Tính giá trị của biểu thức M khi

3
2
a
b

(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Hng Hà năm học 2006 - 2007)
Bài 9.Cho biểu thức : A=

(

2x√x+x −√x

x√x −1 −
x+√x

x −1

)

x −1

2x+√x −1+

√x
2√x −1
a, Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Chơng II. Hàm số bậc nhất
I. Kiến thức cơ bản

- nh ngha, tớnh chất và đồ thị hàm số bậc nhất.

- Vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng, hệ số góc của ng thng y=ax+b(a 0).

II. Những dạng toán thờng gặp

Dng 1. Xác định hàm số bậc nhất(lập phơng trình của một đờng thẳng)
Dạng 2. Chứng minh một hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để một hàm số là hàm số bậc nhất.
Dạng 4. Chứng minh một hàm số bậc nhất đồng biến (hay nghịch biến).

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để một HS bậc nhất đồng biến (hoặc nghịch biến).
Dạng 6. Tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của biến và ngợc lại

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

+ Chứa dấu giá trị tuyệt đối, …
Dạng 8. Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình,
Dạng 9. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.

Dạng 10. Tính chu vi, diện tích của đa giác trên mặt phẳng tọa độ.
Dạng 11. Tìm điểm cố định mà đờng thẳng ln đi qua.

III. Bµi tËp:

Bµi 1. Cho hµm sè y = m





2
x  3













m 1 x 2

a) Xác định m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.
b) Khi đó hàm số này đồng biến hay nghịch biến?

Bài 2. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

1 1
2
y x

b) y 1 x
c) y x  3

d) y x 1 2 x 3 . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này.

Bài 3. Biện luận theo m (phơng pháp đồ thị) số nghiệm của phơng trình:

x 2 2 x m

Bµi 4: Cho A(0; 5); B(- 3; 0); C(1; 1)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hµng;
b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC.

Bài 5: Cho đờng thẳng y = (m - 1)x - 4 (d).

a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m;
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) bằng 2;
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất.

Bài 6: Cho các đờng thẳng: (d): y = mx - 2m - 4 với m  0;

(d’): y = (2m - 3)x + (m2 - 1) víi m 

3
2

a) Chứng minh rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) không thể trùng nhau với mọi m,

b) Tìm m để:
 (d) // (d’);

 (d) c¾t (d’);

 (d)  (d’).

Bài 7: Cho ba đờng thẳng: (d1): y = x - 4 ; (d2): y = - 2x - 1 ; (d3): y = mx + 2.

a) Tìm giao điểm của (d1) và (d2)

b) Tìm giá trị của m để ba đờng thẳng trên đồng quy.

HD: b) Ba đờng thẳng trên đồng quy khi (d3) đi qua giao điểm của (d1) và (d2)

Bài 8. Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ biết A(4; 3) ; B(-2; 6) ; C(-2 ; -9).
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A và tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phơng trình đờng trung trực của đoạn AB.

HD: b) - Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

- Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M và vng góc với AB.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

- Kh¸i niƯm hƯ 2 phơng trình bậc nhất 2 ẩn - minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ 2
phơng trình bậc nhất 2 ẩn.

- Các phơng pháp giải hệ hai phơng trình.

- Điều kiện để hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm, vơ
số nghiệm…

II. Nh÷ng dạng toán thờng gặp

Dạng 1. Giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 2. Giải hệ phơng trình đa về hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 3. Xét một hệ phơng trình chứa tham số

Dạng 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 5. ứng dụng của hệ phơng trình vào một số dạng toán:

- Giải bài tốn bằng cách lập hệ phơng trình (đề cập ở chơng IV)
- Giải phơng ttrình vơ tỉ, …

III. Bài tập.

Bài 1 Cho hệ phơng trình:

2 1 6

x my
x m y

 





  




a, Giải hệ phơng trình khi m = 1.

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.

Bµi 2 Cho hệ phơng trình:

3
4 6
x ay
ax y



a, Gi¶i hpt khi a = 3.

b, Tìm a để hpt có ngiệm duy nhất (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.

Bài 3: Tìm m để hệ phơng trình

(m+1)x − y=m+1
x+(m −1)y=2

¿{
¿

có nghiệm duy nhất (x;y)thỏa
mãn x+y đạt giỏ tr nh nht

Bài 4 Cho hệ phơng trình:

{

2x+my=1(1)
mx+2y=1(2)
1) Giải và biện luận theo tham sè m

2) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên.
Bài 5 : Xác định giá trị của a để hệ phơng trình

√x+1+√y −1=a
x+y=2a+1

¿{
¿

cã nghiệm.

Bài 6 Giải và biện luận hệ phơng trình theo m:

{

x+my=1(1)
mx3 my=2m+3(2)
Bài 7 Cho hệ phơng trình

{

mx+2 my=m+1

x+(m+1)y=2

a) Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì điểm M(x;y) ln ln
thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi.

b) Xác định m để điểm M thuộc góc vng phần t thứ nhất

c) Xác định m để điểm M thuộc đờng trịn (O; √5 ) trong đó O là gốc tọa độ.
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:4x + 11y = 4xy

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a)
2008 2008
2008 2008
x y
x y





  
  
b)
1
1
2008
2008 y
x y
x







  
 









7 0

5 6 0

x y

x y x y






  
    
d)
1 1
7
x y
x y






  
 
e)
1

2 4 8

3 9 27
x y z
x y z
x y z





  
  
  
g)

( )( ) 187
( )( ) 154
( )( ) 238

x y y z
y z z x
z x x y






  


Bài 10 Cho hệ phơng trình:



 



2 2 1 0

x y a

x y x y






  
    

(a là tham số)
a) Giải hệ với a 2

b) Tỡm a để hệ có nghiệm duy nhất.

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyờn Thỏi Bỡnh nm hc 2006- 2007)

Bài 11Giải hệ phơng trình:

2 1 2 2

2005 2 2006 1003

xy y y

xy y y

Chơng IV. Hàm số

0

y ax a

. Phơng trình bậc hai một ẩn
I. Kiến thức cơ bản

- Tớnh cht v th hàm số y = ax2 ( a  0)

- C«ng thức nghiệm của phơng trình bậc hai - hệ thức viét

II. Những dạng toán thờng gặp

Phần 1.Hàm số



0

y ax a





Dạng 1. Xác định hàm số

Dạng 2. Vẽ đồ thị của hàm số

Dạng 3. Dùng đồ thị giải bất phơng trình, biện luận số nghiệm của pt, ...
Dạng 4. Sự tơng giao giữa Parabol và đờng thẳng

PhÇn 2. Phơng trình bậc hai một ẩn
 Xét phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 (x là ẩn)

Dạng 1. Giải pt khi biết giá trị của tham số.

Dạng 2. Tìm giá trị cđa tham sè khi biÕt 1 n0 cđa pt. T×m n0 còn lại.

Dng 3. Tỡm iu kin ca tham s để pt vơ nghiệm( có nghiệm kép, có nghiệm, có 2
nghim phõn bit, cú 2 nghim, )

Dạng 4. Giải và biện luận pttuỳ theo giá trị của tham số.

Dạng 5. Chøng minh r»ng ptlu«n cã nghƯm ( cã nghiƯm kÐp, cã nghiƯm, cã 2 nghiƯm
ph©n biƯt, cã 2 nghiƯm, … )

D¹ng 6. XÐt dÊu c¸c nghiƯm cđa pt:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

- Cã hai nghiÖm cïng dÊu.
- Cã hai nghiÖm cïng d¬ng.
- Cã hai nghiƯm cïng ©m.

Dạng 7. Tìm giá trị của tham số để ptcó 2 no thoả mãn điều kiện nào ú.

Dạng 8. Tính giá trị của 1 biểu thức chứa các nghiệm của pt.

Dạng 9. Tìm hệ thức liên hệ giữa các no của pt không phụ thuộc giá trị của tham số.

Dạng 10. Lập phơng trình bËc hai khi biÕt c¸c nghiƯm cđa nã.

Dạng 11. So sánh các nghiệm của phơng trình bậc hai với một số khác khơng.
Dạng 12. Tìm điều kiện của tham số để hai pt có nghiệm chung hoặc tơng đơng.

Dạng 13. Chứng minh rằng một hoặc hai …phơng trình trong các phơng trình đã cho
vơ nghiệm hoặc có nghiệm.

D¹ng 14. Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.

Dạng 15. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình)
 Loại 1. Toán vỊ ch÷ sè

Loại 2. Toán về quan hệ giữa các số

Loại 3. Toán chuyển ng

Loại 4. Toán làm chung, làm riêng
 Loại 5. Toán có nội dung hình học

Loại 6. Toán có nội dung vật lí, hóa học 
III. Ví dụ

Phần 1.Hàm số





0

y ax a





.

VÝ dơ 1: Cho hµm sè y = ax2 (P)

a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số đi qua điểm M (1; -2)?
b) Vẽ (P).

c) Xác định giao điểm của (d) y = mx + 3 với (P) trên biết (d) đi qua M (1 ; -2).
d) Tính diện tích tam giác OMN (N là giao điểm thứ hai của (d) và (P)).

Ví dụ 2:Cho hàm số y = x2 (P) và y = 2x + b (d). Xác nh b trong cỏc trng hp sau:

a) Đờng thẳng (d) không cắt (P)

b) ng thng (d) tip xỳc vi (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm.
c) Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 3:Cho hàm số y = x2 (P) và hai điểm A, B(P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2.

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua AB.

b) Vẽ đồ thị hàm số (P) và tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.

PhÇn 2. Phơng trình bậc hai một ẩn

Ví dụ 1:Giải phơng trình (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 (1) trong các trờng hợp sau:

m = 1; m = -1; m = 0; m = 2; m =

1
2; m =

4; m = 2; …

Ví dụ 2:Tìm giá trị của m để pt 2x2 - m2x + 18m = 0 có 1 n

0 bằng -3. Tìm n0 còn lại?
Ví dụ 3:Cho pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 (*)

a, Tìm giá trị của m để pt (*) vô nghiệm.

b, Tìm giá trị của m để pt (*) có nghiệm kép.

c, Tìm giá trị của m để pt (*) có 2 nghiệm phân biệt.

VÝ dơ 4:Gi¶i vµ biƯn ln pt mx2 + 2(m+1)x + 4 = 0 (m lµ tham sè)

HD:

TH1: m = 0 th× pt trë thµnh 2x + 4 = 0  x = -2

TH2: m 0 thì pt đã cho là pt bậc hai ẩn x có:









2 2

' m 1 m.4 m 1

     

NÕu m =1 th× pt cã nghiƯm kÐp 1 2

1
2
m

x x

m


</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Nếu m 1 thì pt có 2 nghiệm phân biệt





1,2

1 1

m m

x

m

   



VÝ dô 5: a, Chøng minh r»ng pt x2 - (2m+1)x + m2 + m - 1 = 0 lu«n cã nghÖm m.

b, Chøng minh r»ng pt x2 - 2(m-1)x - m = 0 lu«n cã 2 nghƯm x

1, x2m.
VÝ dơ 6:

a,Xác định m đểpt (m-1)x2 + 2(m-1)x - m = 0 có 2 nghiệm trái dấu.

b,Xác định m để pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.

Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?

Ví dụ 7: Cmr pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Ví dụ 8: a,Tìm m để pt x2 - 4x + m + 1 = 0 có 2 n

o x1, x2 thoả mãn
2 2
1 2
x x = 10
b, Tìm m để pt (m+2)x2 - (2m-1)x - 3 + m = 0 có 2 n

o pb x1, x2 vµ cã

nghiệm này gấp đơi nghiệm kia

VÝ dơ 9: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m+1)x + m2 + m - 1 = 0 có 2 n

o x1, x2. Tìm hệ thức

liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
IV. Bài tập tổng hợp.

Phần 1.Hàm số

0

y ax a



.

Bài 1. Cho đờng thẳng (d) có phơng trình

2( m - 1) x + ( m - 2) y = 2 ( m lµ tham sè)

a, Tìm m để đờng thẳng (d) cắt Prabol y = x2 tại 2 điểm phân biệt A; B

b, Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m

c, Tìm m để đờng thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
d, Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
HD: b) + Chứng minh công thức tọa độ trung điểm:

Cho A x y



1; 1



; B x y



2; 2



. Gäi M x y

0; 0

là trung điểm của AB thì

1 2
0

2
2
x x
x

y y
y












 



+ áp dụng cơng thức tính tọa độ trung điểm:

Bài 2. Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d) y = 3x + 3

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình: x2 - 3x - 3 = 0 (Có giải thích).

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d’) song song với đờng thẳng (d) và tiếp xúc

với đờng thẳng (P)?

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax2 (a0)và đờng thgẳng (d)

®i qua hai ®iĨm N(

1
0;

a) , M(m;0) víi m0

a) Chøng tá r»ng (P) c¾t (d) tại hai điểm phân biệt A và B.

b) Chứng tỏ rằng tam giác OAB vuông.

c) Gọi H và K là hình chiếu của A, B trên trục hoành. Cmr NHK vu«ng.

HD: a) Xét pt hồnh độ giao điểm và chứng minh pt hồnh độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

b) Chứng minh tích hệ số góc của hai đờng thẳng OA và OB bằng -1.
c) Chứng minh tích hệ số góc của hai ng thng NH v NK bng -1.

Phần 2. Phơng trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Cho pt x2 - 4x + m + 1 = 0 (1)

a, Giải phơng trình (1) khi m = -2.
b, Tìm m để pt (1) có nghiệm.

c, Tìm giá trị của m để pt (1)có 2 no x1, x2 thoả mãn
2 2
1 2
x x = 6
Bài 2. Cho pt x2 - 2mx + m + 2 = 0 (2)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

b, Xác định m để pt (2) có 2 nghiệm khơng âm.
c, Tính giá trị của biểu thức P x1  x2 theo m
Bài 3. Cho pt mx2 - (m2 +2)x + 2m = 0 (3)

a, Tìm m để pt (3) có 1 n0 bằng -1. Tìm n0 cịn lại ?

b, Cmr pt (3) luôncó nghiệm m.

Bài 4. Cho pt (m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 (4)

a, Gi¶i phơng trình (4) khi m = -1.

b, Tìm giá trị của m để pt (4) có 2 no x1, x2 thoả mãn x1 x2 2
Bài 5. Cho pt





2 2 2 1 3 2 6
0
2

x m x m m

x

   



 (5)

a, Giải phơng trình (5) khi

2
3
m

b, Tìm giá trị của m để pt (5) có 2 no x1, x2 tho món x1 2x2 16

Bài 6. Giải và biÖn luËn pt:(m-1)x2 - 2(m+1)x + m = 0 tuú theo giá trị của m.
Bài 7. a,Cmr pt x2 - (2m-3)x + m2 - 3m = 0 lu«n cã 2 nghƯm ph©n biƯtm.

b,Chứng minh rằng pt: b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = 0 vô nghệm
 (với a, b, c là độ dài các cạnh của 1).
Bài 8. Cho pt: x2 + 2(m-1)x - (m+1) = 0

a, Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1
b, Tìm giá trị của m để pt cú hai nghim nh hn 2.

HD: a, + Tìm ĐK (chứng tỏ) phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

+ Giả sử x1 < x2 .

Kết hợp gt ta cã x1 < 1< x2



 







1 2 1 2 1 2

2
1 0

1 1 0 1 0

1 0
x

x x x x x x

x
 


          

 


¸p dụng viét rồi tìm m

b, + Tìm ĐK (chứng tỏ) phơng trình có 2 nghiệm x1, x2.

+ Gi¶ sư x1  x2 .

KÕt hỵp gt ta cã x1 x2<2 …

Chú ý: Có thể đặt ẩn số phụ x-2 =t để đa về dạng xét dấu các nghiệm của phơing trình bậc hai.
Bài 9. Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung.

2x2 + (3m+1)x - 9 = 0; 6x2 + (7m-1)x - 19 = 0 
Bài 10. Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau tơng đơng.
x2 + (m+1)x+1 = 0; x2 + x+ m+1 = 0

Bµi 11. Cho a, b, c lµ 3 số dơng khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong 3
phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm.

x2 + ax+ b = 0 ; x2 + bx+ c = 0 ; x2 + cx+ a = 0 
Bài 12.Cho hai phơng trình : x2 + mx + 2 = 0 (1)

x2 + 2x + m = 0 (2)

a) Định m để 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Định m để 2 phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 
Bài 13.Với giá trị nào của các tham số a và b, các phơng trình bậc hai:

(2a + 1)x2 - (3a - 1)x + 2 = 0

(b + 2)x2 - (2b + 1)x - 1 = 0 Cã hai nghiƯm chung. 
Bµi 14 : Cho 2 phơng trình

x2 + x + a = 0 (1)

x2 + ax + 1 = 0 (2)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b). Cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung

HD: a) Xét 2 trờng hợp. TH1: cả hai phơng trình đều vơ nghiệm.

TH2: cả hai phơng trình đều có nghiệm và tập nghiệm của hai phơng trình
này bằng nhau  tổng, tích các nghiệm của phơng trình (1) bằng tổng, tích các nghiệm của phơng
trình (2).

b) Cã thĨ sư dơng kÕt quả câu a)

Bài 15 : Cho phơng trình

1 2 . 1 1 0

x m x

x x

 

 

 



a) Giải phơng trình khi

5
4
m

b) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú nghim.

Giải các bài toán sau bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Toán về chữ số:

Bi 1. Tỡm mt s cú hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và nếu viết thêm
chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì đợc số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị.

Bài 2. Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn
số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ đợc một chữ số viết theo thứ tự ngợc
lại với s ó cho.

Toán về quan hệ giữa các số

Bi 1. Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phơng của hai số đó là 157.
Tốn chuyển động:

Bài 1.Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

3vận tốc của ô tô thứ nhất. sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả qng đờng

AB mÊt bao l©u?

Bài 2.Một ơ tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn đờng
AC, có một ô tô vận tải cũng đi đến C. Sau 5 giờ hai ô tô gặp nhau tại C. Hỏi ô tô du
lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô vận tải bng

5vận tốc của ô

tô du lịch?

Bi 3. ng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đờng bộ 10 km. Để đi từ
A đến B, canô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc của canô kém vận tốc ụ
tụ 17 km/h. Tớnh vn tc ca canụ?

Bài 4:Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều
nhau.Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng thì lớn
hơn vận tốc của canô đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là 3 km/ h.

Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ mét bến sông A. Sau 5giờ20phút, một canô chạy
từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng
canô chạy nhanh hơn thuyền 12km1giê ?

Bài 6:Quãng đờng AB dài 270km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đếnB. Ô tô
thứ nhất chỵ nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h, nên đến trớc ơ tơ thứ hai 40phút. Tính
vận tốc ca mi xe.

Bài 7:Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi và về mất 8 giờ 20phút.
Tính vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nớc là 4km/h.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

40phút, sau đó tiếp tục chạy vơí vận tốc nh cũ. Tính chiều dài qng sơng AB, biết
rằng hai canụ n b cựng mt lỳc.

Toán làm chung, làm riêng:

Bài 1:Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ
nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì đầy

15 bể. Hỏi nếu mỗi vòi

chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?

Bài 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể không chứa nớc thì sau

4
4

5h bể đầy. Mỗi giờ

l-ng nớc vòi 1 chảy đợc bằng

2 lợng nớc vòi 2 chảy đợc . Hỏi mỗi vòi chảy một mỡnh

thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Toán có nội dung h×nh häc:

Bài 1: Tam giác vng thứ nhất và tam giác vuông thứ hai đồng dạng với nhau theo tỉ
số

3, tam giác vng thứ nhất có độ dài cạnh huyền bằng 5 cm. Tính các cạnh góc

vu«ng cđa tam giác vuông thứ hai, biết rằng hai cạnh góc vuông của nó hơn kém nhau
3 cm.

Bi 2:Mt khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Ngời ta làm một lối đi quanh
v-ờn (thuộc đất trong vv-ờn) rộng 2 m. Tính kích thớc của vv-ờn, biết rằng đất còn lại trong
vờn để trồng trọt là 4256 m3.

Bài 3 : Cho một tam giác vng , nếu tăng các cạnh góc vng lên 2 cm ; 3 cm ; thì
diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 50 cm2 . Nếu giảm mỗi cạnh góc vng đi 2cm 
Bài 4 : Cho tam giác vng ABC (A= 900 )có các cạnh AB = 8 cm; AC = 6 cm. M là
một điểm trên AB. Qua M kẻ các đờng thẳng song song với AC, BC chúng lần lợt cắt
BC , AC ở P và Q. Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD
bằng

8 diƯn tÝch tam gi¸c ABC.

Bài 5:Hai vậi chuyển động trên một đờng trịn có đờng kính 20m, xuất phát cùng một
lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20giây lại gặp
nhau. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều thì cứ sau 4giây lại gặp nhau. Tính vận tc
ca mi vt.

Bài 6:Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48cm. Ngời ta cắt bỏ 4 hình vuông có
cạnh là 2cm ở 4 góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật (không có nắp). Tính
kích thớc tốm tôn, biết rằng thể tích hình hộp là 96cm3.

Bài 7:Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biÕt

AB5, AC 34, AD 41
To¸n cã néi dung vËt lÝ, hãa häc:

Bài 1:Ngời ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lợng

riêng nhỏ hơn nó 20 kg/m3 để đợc một hỗn hợp có khối lng riờng l 700 kg/m3. Tỡm

khối lợng riêng của mỗi chÊt láng.

Bài 2:Một vật là hợp kim đồng và kẽm có khối lợng là 124g và có thể tích là15cm3.

Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g
đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm thì có thể tích là 1cm3.

Bài 3: Dùng 2 nhiệt lợng , mỗi nhiệt lợng bằng 168 KJ để đun nóng 2 khối nớc kém
nhau 1 kg, thì khối nớc nhỏ có nhiệt độ lớn hơn khối nớc lớn 20C. Tính xem khối nớc

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 4: Có 2 loại dung dịch cùng chøa mét lo¹i axit: lo¹i 1 chøa 30% axit, lo¹i 2 chøa
5% axit. Muèn cã 50 g dung dÞch axit 10% cần pha trộn lẫn bao nhiêu g mỗi loại.

Toán năng suất:

Bi 1:Mt i mỏy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội
máy kéo cày đợc 50 ha. vì vậy,đội không những đã cày xong trớc thời hạn 2 ngày mà
cịn cày thêm đợc 42 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế
hoạchđã định?

Bài 2:Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hồn thành xong một cơng việc đã
định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ
thứ hai làm nốt phần cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình
thì sau bao lâu sẽ hồn thành công việc?

Bài 3:Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12
ngày. Họ cùng làm vởi nhau đợc 8 ngày thì đội một đợc điều động làm việc khác , còn
đội hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm

xong phần cơng việc cịn lại trong 3 ngày rỡi.Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau
bao nhiêu ngày sẽ làm xong cơng việc nói trên (với năng xuất bình thờng) ?

Bài 4:Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất
làm3giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% cơng việc. Hỏi mỗi ngời làm
cơng việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hồn thành cơng việc?

Bài 5:Một đội cơng nhân hồn thành một cơng việc với mức 420 công thợ. Hãy tinh
số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hồn thành
cơng việc sẽ giảm đi 7 ngày.

Bài 6: Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 đạt
vợt mức 10%, tổ 2 đạt vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy . Tính
xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tit mỏy.

Toán phần trăm:

Bi 1:Trong thỏng u, hai t cụng nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy. Sang tháng
thứ hai, tổ một sản xuất vợt 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai
tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng thứ hai mỗi tổ công nhân sản
xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 2:Hai xí nghiệp sản xuất đợc 950 sản phẩm . Nếu năm tới xí nghiệp thứ nhất tăng
thêm 10% sản xuất và xí nghiệp thứ hai tăng thêm 20% sản phẩm thì tổng sản phẩm
sản xuất đợc là 1090 . Tính số sản phẩm mỗi xớ nghip ó sn xut.

Bài 3:Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Dân số tỉnh A năm nay
tăng 1.2%, còn tỉnh B tăng 1.1%. Tổng số dan của hai tỉnh năm nay là 4045000 ng ời.
Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

B. phần hình học

Chơng I. hệ thức lợng trong tam giác vuông

I. Kiến thức cơ bản.

1. Mt số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông.
2. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuụng.

II. Những dạng toán thờng gặp.

1. Tính độ dài đoạn thẳng.
2. Tính số đo góc.

3. TÝnh c¸c tØ sè lợng giác của một góc nhọn.

4. So sánh, sắp xếp các tỉ số lợng giác theo một thứ tự nhất định.
5. Chứng minh đẳng thức hình học, một hệ thức lợng giác.
6. Dựng góc nhọn khi biết một tỉ số lợng giác.

7. Vận dụng một số hệ thức về cạnh và đờng cao, một số hệ thức về cạnh và góc
trong tam giác vuông vào thực tế.

III. VÝ dô:

VÝ dô 1. Giải tam giác

1, Giải tam giác ABC vuông ở A biÕt:

1.1) b = 3cm, c = 4cm

1.2) a = 5cm, c = 4cm
1.3) b = 21 cm, C = 410

1.4) a = 7,5cm, C = 320

2, Giải tam giác ABC trong các trờng hợp sau:
2.1) Biết 3 cạnh

a, a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
b, a =15, b =13, c =14

2.2) Biết 2 cạnh và 1 góc

a, a = 35mm, c =30mm, A 75  0
b, b=35cm, c=28cm, A 60 0.

2.3) Biết 1 cạnh và 2 góc

a, c=12,25dm, B 35  0, A 120  0.
b, a = 4cm, A 105  0, B 45  0.

2.4) Biết 2 cạnh và 1 đờng cao:

a, AB=3cm, AC=5cm, đờng cao AH=4cm.
b, AB=4cm, BC=5cm, đờng cao BK=3cm.

2.5) Biết 2 góc và 1 đờng cao:

a, C 35  0, B 70  0, đờng cao AH=5cm.
b, AB=AC, đờng cao BH=h, C  .

…

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

A B

E
F

A B

E
D
F

A B

Cách 2: áp dụng công thức sin sin sin

a b c

A B  C

VÝ dơ 2. Bµi toán tổng hợp kiến thức và kĩ năng.

Cho ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=8cm.
a) Giải tam giác ABC

b) Vẽ đờng cao AH của tam giác. Tính AH?

c) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H trên AB và AC.
TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch cđa tø giác AEHF.

Khai thác bài toán:
 1. TÝnh EF

2. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEHF là hình vuông.
 3. Chứng minh AE.AB = AF.AC

4. Chứng minh EF vng góc với bán kính đI qua E của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác CHF

5. Gäi M, N lÇn lợt là trung điểm của BH và CH. Chứng minh r»ng diƯn tÝch tø
gi¸c EFNM b»ng nưa diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Thay đổi điều kiện thứ yếu trong bài tốn: đờng cao AH bằng phân giác AD hoặc 
đ-ờng trung tuyến AI thì các kết quả trên thay đổi nh thế nào? …

IV. Bµi tËp:

Bµi 1. Cho  lµ gãc nhän vµ sin =

4 . TÝnh các tỉ số lợng giác còn lại của góc .
HD: Vận dụng một số công thức trong các công thức:

sin2 + cos2 =1, tg=
sin
cos



 , cotg =
cos
sin


 , tg.cotg =1

Bài 2. Cho  là góc nhọn và tg =2. Tính các tỉ số lợng giác cịn lại của góc .
HD. Cách 1: Chứng minh sau đó áp dụng các cơng thức1+tg2 = 2

cos  ; 1+cotg2 = 2
1

sin  
Cách 2: Đặt ẩn phụ rồi sử dụng công thức của bài 1.

Bài 3. Các chiều cao của một tam giác bằng 3, 4, 5. Tam giác này có phải là tam giác
vuông không?

HD: Sử dụng phơng pháp diên tÝch

Bµi 4. Cho 00 <  < 450 . Chøng minh r»ng: a) sin2 = 2sin cos

b) cos2 = cos2 - sin2

c) cos2=

1 cos2
2




d) sin2 =

1 cos2
2




Bµi 5 Cho  = 22030’. TÝnh sin , cos , tg , cotg (không dùng bảng số và máy

tính).

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

a) sin sin sin

a b c

A B  C b) a2 = b2+c2- 2bc.cosA

1 .sin 1 .sin 1 .sin

2 2 2

ABC bc A ac B ab C

S

Bài 7: Cho ABC vuông tại A cã B = 60 0, BC = 10cm.
a) TÝnh AB, AC.

b) Kẻ đờng cao AH của tam giác. Tính AH; BH; CH.

c) VÏ HI AB (I AB); HK AC (K AC). Chøng minh r»ng

¿
HK
AC=

AB⋅
¿

Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC trung tuyÕn AM. Chøng minh AB2 + AC2 = 2AM2 + BC2
2
Bài 9: Cho tam giác ABC, góc ^A = 900; M là trung điểm cña AC. BiÕt AB = 6cm;

AC= 8 cm; AD; BE là đờng phân giác trong của góc ^A ;B^ ct nhau ti I. Tớnh BIM

Chơng II. Đờng tròn

I. Kiến thức cơ bản.

1. Định nghĩa về đờng tròn, tiếp tuyến của đờng tròn.
2. Các định lớ(SGK).

II. Những dạng toán thờng gặp.

1. Xác định, chứng minh vị trí tơng đối giữa: một điểm và một đờng tròn,

một đờng thẳng và một đờng tròn,
hai đờng tròn.

2. Tính độ dài một đoạn thẳng (dây, khoảng cách từ tâm đến dây, độ dài của một
đoạn tiếp tuyến, …)

3. Tính chu vi, diện tích của đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp một đờng tròn
4. Chứng minh một điểm là tâm đờng tròn ngoại tiếp, tâm đờng tròn bàng tiếp tam
giác.

5. So sánh độ dài hai đoạn thẳng.
6. So sánh độ lớn hai góc.

7. Vận dụng kiến thức về đờng trịn vào thực tế.

III. Bµi tËp:

Bài 1 : Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngòai đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến
KA, KB với đờng tròn( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AOC, tiếp tuyến của
đ-ờng trịn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng :

a)  KBC và  OBE đồng dạng
b) CK  OE

Bài 2 : Cho ( O; R) đờng kính AB, gọi M, N lần lợt là trung điểm của OA, OB qua
M, N lần lợt vẽ dây CD song song với dây EF ( C, E thuộc một nửa ng trũn)

a) Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhËt

b) Giả sử dây CD, EF cùng tạo AB một góc 300. Tính dt hình chữ nhật CDFE.
Bài 3 : Cho nửa đờng trịn tâm (O), đờng kính AB, từ 1 điểm M trên nửa đờng tròn
tâm (O) ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD, BC vng góc xy

a) Chøng minh MC = MD

b) Chứng minh AD + BC có giá trị không đổi

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AD, gọi r, r1, r2 lần lợt là bán kính

®-êng tròn nội tiếp tam giác ABC, ABD, ACD. Chứng minh r»ng: r2=r1

+r2
2

Bài 5. Cho 2009 điểm. Cmr luôn vẽ đợc một đờng tròn đi qua một điểm trong số 2009
điểm trên, chứa trong nó 1004 điểm và ở ngồi nú 1004 im cũn li.

Chơng III. Góc với Đờng tròn

I. Kiến thức cơ bản.

1. Các định nghĩa về: góc ở tâm, số đo của cung trịn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia
tiếp tuyến và một dây, tứ giác nội tiếp một đờng tròn, đờng tròn nội tiếp đa giác, đờng
tròn ngoại tiếp đa giác.

2. Cỏc nh lớ (SGK).

II. Những dạng toán thờng gặp.
1. TÝnh sè ®o cđa mét gãc, mét cung.

2. Tính độ dài cạnh, chu vi, diện tích của đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp một
đờng tròn.

4. Tính độ dài bán kính đờng trịn nội tiếp, ngoại tiếp một đa giác đều.
5. Tính độ dài đờng trịn, cung trịn, các đại lợng có liên quan.

6. Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn, hình viên phân, hình vành khăn và các
đại lợng, hình có liên quan.

7. So sánh hai đoạn thẳng, chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
8. So s¸nh hai gãc, chøng minh hai gãc b»ng nhau.

9. Chứng minh hai cung bằng nhau, hai cung không bằng nhau.
10. Chứng minh hai đờng thẳng vng góc.

11. Chứng minh hai đờng thẳng song song.

12. Chứng minh đẳng thức giữa các đoạn thẳng, hệ thức giữa các góc.
13. Chứng minh một tứ giác nội tiếp một đờng tròn.

14. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
15. Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
16. Bài tốn tìm quỹ tích.

17. Vận dụng kiến thức về đờng trịn vào thực tế.

III. VÝ dơ:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R); các đờng cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) C¸c tø gi¸c AEHF, BCEF néi tiÕp.
b) Hai tam gi¸c AEF ABC .

c) Điểm H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
HD:

a) * XÐt AEHF cã:
AEH = 90 0 (gt)

AFH = 90 0 (gt)

 AEH + AFH = 180  0

AEHF nội tiếp đờng trịn đờng kính AH (định lí đảo).
Tơng tự : BDHF nội tiếp đờng trịn đờng kính BH.
CEHD nội tiếp đờng trịn đờng kính CH.
* Xét BCEF có:

BEC = 90 0 (gt)

C
B

D
E
F

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

BFC = 90 0 (gt)

 Tứ giác BCEF nội tiếp đờng trịn đờng kính BC (quỹ tích cung chứa góc).
Tơng tự : ACDF nội tiếp đờng trịn đờng kính AC.

ABDE nội tiếp đờng trịn đờng kính AB.
b) + Cách 1 : Sử dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp
 Xét AEF và ABC có :

A chung (1)

 

0
AEF FEC 180

0
ABC FEC 180







 

(2 gãc kỊ bï)

(tø gi¸c BCEF néi tiÕp)
 AEF = ABC  (cïng bïFEC ) (2)

Từ (1) và (2) AEF ABC (g-g)
 + Cách 2 : Sử dụng phơng pháp tam giác đồng dạng
 Xét BEA và CFA có :

BEA = CFA (cïng b»ng900)
A chung

BEA CFA (g-g)



AE AB=
AF AC

AE AF=
AB AC


XÐt AEF vµ ABC cã :

AE AF=

AB AC (cm trªn)

A chung
 AEF ABC (c - g - c)

c) + Tứ giác BCEF nội tiếp đờng trịn đờng kính BC.

BEF = BCF  (2 góc nội tiếp cùng chắn BF
của đờng trịn đờng kính BC) (1)
+ Tứ giác CEHD nội tiếp đờng tròn đờng kính CH.

DEH = HCD  (2 góc nội tiếp cùng chắn DH của đ/trịn đờng kính CH) (2)
 Từ (1),(2) suy ra BEF = DEH 

 HE là tia phân giác của DEF (3)
Tơng tự : HF là tia phân giác của DFE (4)
Từ (3),(4) H là tâm đờng tròn nội tiếp DEF. 
Khai thác bài tốn:

C
B

D
E
F

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

HD: Ta có : AEF đồng dạng với ABC (theo câu 2)



SAEF
SABC =

2
AE
AB

 

 

 

mµ AEB vuông tại E nên cosA=

AE
AB



SAEF

SABC =(cos )A 2

=cos2 A
 SAEF=SABC.cos2 A (đpcm)

Câu 5:Chøng minh SDEF = SABC (1 - Cos2A - Cos2B- Cos2C)

HD: Ta cã:

2
SAEF = SABC.cos A

2
SBDF = SABC.cos B

2
SCDE = SABC.cos C

 SABC = SAEF + SBDE + SCDE + SDEF

 SDEF = SABC - SAEF - SBDF - SCDE



2 2 2

SDEF = SABC - SABC.cos A - SABC.cos B - SABC.cos C



2 2 2

SDEF = SABC.(1 - cos A - cos B - cos C)

(đpcm)
Câu 6: Chứng minh AD.HD = BD.DC

HD: XÐt ADB vµ CDH cã :
ADB = CDH  (cïng b»ng900)

BAD = HCD  (2 góc nội tiếp cùng chắn DF của đờng tròn đờng kính AC)
ADB đồng dạng với CDH (g-g)



AD BD=
CD HD

 AD.HD = BD.CD (đpcm)

Câu 7: Chứng minh

2
BC
AD.HD

4

HD: Ta có: AD.HD =BD.CD (câu 5)

C
B

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

áp dụng BĐT Cauchy ta cã : BD.CD

2
BD+CD

 

 

  =

2
BC

 AD.HD
2
BC

4 (đpcm)

Câu 8: Chứng minh

2 2 2

AB + BC + CA
AD.HD + BE.HE + CF.HF

4



HD HE HF

+ + = 1

AD BE CF

+ + 9

HD HE HF 

HA.HB HB.HC HC.HA

+ + = 1

CA.CB AB.AC BC.BA

     



     

     

AD BE CF

1 + 1 + 1 + 64

HD HE HF

Câu 14: Gọi (I ; r) là đờng tròn nội tiếp ABC.

Chứng minh rằng SABC= PABC.r (Trong đó PABC là nửa chu vi ABC )

1 1 1 1

+ + =

AD BE CF r

Câu 18 : Chứng minh A1E là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp BCEF

Câu 19: Chứng minh NP là tiếp tuyến chung của đờng tròn ngoại tiếp CDN và
đờng tròn ngoại tiếp BDP .

Câu 22: Chứng minh

AH BH CH 3

+ +

AD + HD BE + HE CF + HF 2

HD HE HF 3

+ +

AH BH CH 2

HD HE HF 1

. .

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>





9 .4





2 2 2 2

AD + BE + CF AB + AC + BC

 

6R 1 1 1 1

+ +

2 2 2 AD + 2BE BE + 2CF CF + 2AD 3

AB + AC + BC r

 

9R 1 1 1 1

+ +

2 2 2 AD + BE.CF BE + CF.AD CF + AD.BE

AB + AC + BC 2r

Gọi M , N , P lần lợt là trung điểm của các cạnh BC , CA , AB .
Câu 30: Gọi G là trọng tâm ABC

Cmr ba điểm H, G, O cùng nằm trên một đờng thẳng (đờng thẳng Ơ-le)
Câu 31: Chứng minh 9 điểm D , E , F , M , N , P , A1 , B1 , C1 cùng thuộc 1 đờng

tròn . (đờng tròn Ơ-le hay đờng tròn 9 điểm)

Câu 32: Chứng minh rằng tâm đờng tròn Ơ-le nằm trên đờng thẳng Ơ-le. Xác
định bán kính của đờng trịn Ơ-le .

BC AC AB

= = = 2R

sinA sinB sinC

Câu 37: Chứng minh A'đối xứng của H qua BC khi và chỉ khi A' là giao điểm
của AD với (O; R).

Câu 38: Gọi C' là điểm đối xứng với H qua AB. Cmr

'

BOC = COJ.

Câu 39: Tính giá trị cđa biĨu thøc

' ' '

AA BB CC

T = + +

AD BE CF

Câu 40: Chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp A B C' ' '

Câu 41: Chứng minh A'B'C' và DEF đồng dạng với nhau.
Câu 42: Chứng minh SA B C' ' '= 4.SDEF

Câu 43: Chứng minh rằng bán kính các đờng trịn ngoại tiếp các tam giác HAB,
HBC, HAC có độ lớn bằng nhau.

Câu 45: Kẻ đờng kính AJ. Chứng minh tứ giác BHCJ là hình bình hành. 
Câu 46: Chứng minh ba điểm H, M, J thẳng hng.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

O
A

Câu 48: Chứng minh tứ giác BA'JC là hình thang cân 
Câu 49: Tìm giới hạn cđa ®iĨm A sao cho ABC nhän .

Câu 50: Chứng minh trực tâm H di động trên một đờng cố định .

C©u 51: chøng minh r»ng: OI = R - 2 R2 2 r (hÖ thøc Euler trong ABC).
C©u 52: Chøng minh r»ng R  2r.

Câu 53: Gọi R , R ,R1 2 3 lần lợt là bán kính các đờng tròn ngoại tiếp

BOC, AOC, AOB. Chøng minh r»ng R + R + R1 2 3  3R. …

VÝ dơ 2.

Tõ mét ®iĨm S nằm ngoài (O;R) kẻ 2 tiếp tuyến là SA, SB và cát tuyến SCD(d) bất
kì. Gọi I là trung ®iĨm cđa CD.

1) Chứng minh 5 điểm S,A, I, O, B cùng thuộc 1 đờng tròn
2) Nếu SA = R thì SOAB là hình gì .

3)Chøng minh AC . BD = AD . BC =

.
2
AB CD
HD:

C©u 1.

+ Ta cã SA vµ SB lµ 2 tiÕp tun cđa (O) nªn :



0
SAO = 90

SBO = 90 (khơng đổi) (1)
+Lại có I là trung điểm của dây CD nên SIO = 90 0 (quan hệ đờng kính và dây) (2)
+Từ (1),(2)  A,I,B cùng nhìn SO dới 1 góc =

Vậy 5 điểm S,A,I,O,B cùng thuộc 1đờng trịn đờng kính SO

C©u 2 .

+Ta cã SA =SB =R (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
OA =OB =R (gt)

SAOB là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
+Mặt khác SAO900 (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn)

nên SAOB là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
Vậy SAOB là hình vuông

C©u3.

* Chøng minh AC . BD = AD . BC:
+ XÐt SAD vµ SCA cã: SAC ADC
ASDchung

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>



SC AC

SA AD (1)

T¬ng tù SCB SBD



SC BC

SB BD (2)
Mà SA = SB nên

BC AC

BD AD  AC . BD = AD . BC (*)
*Chøng minh AC . BD = AD . BC =

.
2
AB CD

áp dụng BDT ptôlêmê cho ACBD ta cã : AC . BD +DA. BC =AB CD. (**)
Tõ (*) vµ (**)  AC . BD = AD . BC =

.
2
AB CD
Khai thác bài toán:

Cõu 4 . Chng minh nu ASB khơng đổi thì S thuộc 1 đờng trịn cố định.
Câu5 . Chứng minh:SA2 SC SD.

Câu 7 . Chứng minh IS là phân giác của AIB

Câu 8. Đặt SO = a R . TÝnh chu vi cđa  SAB theo a vµ R.

Câu 10. Chứng minh phân giác của BSDvà phân giác của CBD vng góc với nhau

Câu 11. Khi tam giác SAB đều . Tính S của hình tạo bởi SA, SB và cung nhỏ AB theo R
Câu 12. Cho S di động trên động trên đờng thẳng CD nhng S vẫn nằm ngoài (O,R)
Chứng minh tâm đơng tròn nội tiếp  SAB di động trên 1 đờng tròn cố định

Câu 13. Chứng minh khi S di động ở bên ngồi (O;R) thì khoảng cách từ A đến trực tâm của

 SAB không đổi

Câu 14. Cmr khi S di động trên CD vẫn ngồi (O;R) thì AB ln đi qua 1 điểm cố định
Câu 15. Nếu SA// BD thì BC sẽ đi qua trung điểm của SA

Câu 16. Cho BD // SA và SO = a . R (a> 1) . Tính diện tích  SAB và đọ dài AD theo a và R
Câu 17. Cho S,C,D cố định và (O;R) thay đổi . Chứng minhtâm đờng tròn

ngoại tiếp  HOI nằm trên 1 đờng tròn cố định

Câu 18. Gọi K là giao điểm của SD với AB. Chứng minh rằng SK. SI không đổi khi cát
tuyến SCD quay quanh S

Câu 19. Cho AI cắt (O) t¹i G . Cm BG // SD

Câu 20. Gọi T là giao điểm của OI với (O). Cmr AT là phân giác của CAD (trong đó T và
A nằm khác phía với bờ SD)

Câu 23. Kẻ tiếp tuyến qua C cắt SA,SB tại M, N. Cm khi SCD quay quanh S th× chu vi 

SMN khơng đổi

Câu 24. Xác định vị trí của cát tuyến SCD đẻ tổng SC + SD lớn nhất
Câu 25. Cm BG là phân giác của CBD

Câu 26.Xác định vị trí cát tuyến SCD để MN nhỏ nhất

Câu 27. Gọi H’ là giao điểm của PD’ với AB . Cmr SH là trục đối xứng của  BH’D’D

Câu 28. Tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MNO ln di động trên đờng nào ?

Câu 29. Gọi O1 , O2 , O3 lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp các  SAOB, OAMC,

OBNC. Cmr SSMN = 4SO O O1 2 3

Câu 30. Qua D kẻ đờng thẳng song song với AB cắt SA, SB lần lợt tại A’,B’. Gọi giao
điểm của A’I với AD là P’, giao điểm của B’I với BD là Q’. Cmr P’Q’// A’B’

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

…

IV. Bµi tËp:

Bài 1 : Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, trên đờng tròn lấy điểm D khác A và B. Trên
đờng kính AB lấy điểm C và kẻ CH vng góc với AD tại H phân giác trong của góc
DAB cắt đờng tròn tại E và cắt CH tại F, đờng thẳng DF cắt đờng tròn ở N. Chứng
minh :

a). Ba điểm N, C, E thẳng hàng

b). Nếu AD = BC thì DN đi qua trung điểm của AC

Bi 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A và trung điểm I của cạnh BC, xét một điểm D
trên tia AC kẻ đờng tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm M, N,
P.

a). Chứng minh rằng : 5 điểm B, M, O, I, N cùng nằm trên đờng tròn
b). 3 điểm I, N, P thẳng hàng

c). Gäi giao ®iĨm cđa BO víi MN và NP lần lợt là H và K, tam giác HNK là
tam giác gì ?.

Bi 3 : Cho tam giỏc ABC có các góc nhọn. Dựng ra phía ngịai của tam giác ba tam
giác đều A1BC ; B1 AC ; C1AB

a). Chøng minh tø gi¸c AOCB1 néi tiÕp

b). Gọi O1 ; O2 ; O3 lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp 3 tam giác đều nói trên.

Chứng minh tam giác O1O2O3 là tam giác đều.

Bài 4. Cho nửa đờng trịn tâm O với đờng kính AB. Từ Avà B kẻ hai tiếp tuyến Ax và
By. Qua một điểm M thuộc nửa đờng tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp
tuyến Ax và By lần lợt ở Cvà D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N

1) Chøng minh r»ng:
a) CD= AC +BD
b) MN//AC

c, CD .MN = CM. BD

2) Hỏi rằng, M ở vị trí nào trên nửa đờng trịn đã cho thì tổng AC+ BD có giá trị
nhỏ nhất

Bài 5. Cho hai đờng tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đ ờng nối
tâm OO' cắt đờng tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung
của đờng trịn (O) vng góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đờng tròn (O') tại D.

a) Tứ giác BECF là hình gi?

b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng.

c) CF ct ng trũn (O) tại G. Chứng minh ba đờng EG, DF và CI đồng quy.
d) Chứng minh rằng ID là tiếp tuyến của đờng tròn (O’).

Bài 6. Cho hai đờng tròn (O1; R) và (O2; r) cắt nhau tại A và B. Từ M l mt im bt

kì trên (O1; R) kẻ tiếp tun MC víi (O2; r). CMR

2
.
MC

MA MB khơng đổi.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông ở A (với AB> AC), đờng cao AH. Trên nửa mặt
phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB ở E, cắt AC tại F
a, Chứng minh rằng tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

b, Chứng minh rằng BEFC là tứ giác néi tiÕp.
c, Chøng minh: AE. AB =AF. AC

d, Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đơng tròn.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

a. Tam gi¸c AMH b»ng tam giác BNH.
b. MHN là tam giác vuông cân.

c. Khi M di động trên cung AH thì đờng vng góc với BM kẻ từ N ln đi một
điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại B. Từ đó suy ra N chạy trên
một cung trịn cố định.

Bài 9.Từ điểm A ở bên ngồi đờng trịn tâm O, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng
tròn ấy (B, C là các tiếp điểm và BC). Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M B và MC).
Gọi I, H, K lần lợt là hình chiếu vng góc của M trên CB, BA, AC. Biết MB cắt IH
tại E; MC cắt IK tại F.

1. Chøng minh r»ng:
a) MI2 = MH.MK

b) EF MI

2. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFK và đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEH cắt
nhau tại điểm thứ hai là N. Chứng tỏ rằng khi M di động trên cung nhỏ BC (MB và
MC) thì đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Một số đề tham khảo

§Ị sè 1.

đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện hng h

Năm học 2004 - 2005 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1(4,0 ®iÓm)Cho biÓu thøc:



2 1



4 2

8 2 2 4

a a a a

A

a a a a

  

  

   

1. Rót gän biĨu thøc A.

2. Tìm a để A nhn giỏ tr nguyờn.

Bài 2 (4 điểm) Cho phơng trình ẩn x.

x2 2



a b c x 



3



ab ac bc 



0

1. Chứng tỏ phơng trình luôn có nghiệm với mọi a,b, c

2. Trong trờng hợp phơng trình đã cho có nghiệm kép, hãy tính a, b, c
nếu a3 2b2 3c0, đồng thời tính nghiệm kép đó.

Bài 3(4 điểm) Cho hai đờng thẳng:

 

d1 :x y m 

 

d2 :mx y 1
1. Tìm toạ độ giao điểm của ( )d1 và (d2) nếu m = 2

2. Xác định m để ( )d1 và (d2) cắt nhau tại một điểm trên Parabol (P): y=2x2
Bài 4(6 điểm) Cho 2 đờng tròn



O1



và ( )O2 cắt nhau tại M, N sao cho tâm O O1, 2 ở

hai phía khác nhau đối với M, N. Tiếp tuyến chung của ( ),( )O1 O2 ở gần N hơn; tiếp

xóc víi m ( ),( )O1 O2 theo thø tù ë C, D. C¸c tia CA, DB cắt nhau tại E.

1. Chøng minh AMB= AEB

2. Tia MN cắt AB tại K, chứng minh KA = KB.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bài 5(2 điểm) Cho x,y 0. Chứng minh r»ng:

2 2

4 3 0

2 2

x y x y

y x
y x

 

 

 

    

§Ị sè 2.

đề thi học sinh giỏi lp 9 huyn hng h

Năm học 2005 - 2006 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1(4,0 điểm) Cho biểu thức





2 2 2 1

1 1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a, Tìm tập xác định và rút gọn P.
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

c, Tìm x

2 x
Q

P

nhận giá trị nguyên.

Bi 2(3,0 im) Cho hai đờng thẳng: x + y = 1 (d1)

(k+1)x + (k-1)y = k+1 víi k1 (d2)

a, Tìm các giá trị của k để (d1) và (d2) vng góc với nhau.

b, Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đờng thẳng (d2) luôn đi qua một điểm

cố định trong mặt phẳng toạ Oxy.

Bài 3(4,0 điểm) Cho hệ phơng trình:

1 2

x y

x y m







  

 

a, Giải hệ phơng trình khi m = 2.

b, Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.

Bài 4(4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC. Các đờng cao AH, BI cắt nhau tại O. Gọi K
là hình chiếu của H trên AC; M và N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳngHK, CK;
AM cắt BI tại S.

a, Chøng minh AM vu«ng gãc víi HN.

b, Chứng minh tứ giác HKSO nội tiếp đợc trong một đờng tròn.

Bài 5(4,0 điểm) Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. BC là tiếp tuyến

chung ngoµi; B (O), C (O’). TiÕp tuyÕn chung trong t¹i A cắt BC ở điểm M, gọi E

là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của OM và AC. Chøng minh r»ng:

a, BC là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính OO’ .

b, 

 '
MOF MO E

Bài 6(1,0 điểm) Giải hệ phơng trình:

3 5 2 0

5 2 0

9 3 2 0
x y z xy
x y z z
x y z xz

   




   



    

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

§Ị sè 3.

thi hc sinh gii lp 9 huyn hng h

Năm häc 2006 - 2007 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1(4,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc:

1 :

2 2 2 2 2 2

a a b

M

a b a b a a b

 

 

 

  

   

a, Rót gän biĨu thøc M.

b, TÝnh giá trị của biểu thức M khi

3
2
a
b

Bài 2(4,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho ba điểm A(-2;1); B(1; 4); C(3; 2).
a, Lập phơng trình đờng thẳng chứa đờng trung tuyến đi qua đỉnh A của
tam giác ABC.

b, Tính khoảng cách từ trọng tâm G ca tam giỏc ABC n gc to .

Bài 3(4,0 điểm) Giải các phơng trình sau:
a, x2 2 1 3 2 2 0 x   

b, x 3 4 x1 x 8 6 x1 1

Bài 4(7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R). Các
đ-ờng cao AD, BE cắt nhau tại H. Vẽ đđ-ờng kính AF, M là trung điểm của BC.

a, Chứng minh rằng: Tứ giác BHCF là hình bình hành.
b, Chøng minh r»ng: AH = 2OM.

c, Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: HG = 2OG.
d, Chứng minh rằng: bán kính các đờng trịn ngoại tiếp các tam giác HAB,
HBC, HAC bng nhau.

Bài 5(1,0 điểm) Cho n + 1 (n2) sè thùc a1; a2; … ; an+1 khác 0 thoả mÃn:

2 .

1 1

ak ak ak

  víi k = 2; 3; … ; n

H·y tÝnh:

...
1 2

...

2 3 1

n n n

a a an

n n n

a a an

  

 

theo a1 và an+1 .

Đề số 4.

thi hc sinh gii lp 9 huyn hng h

Năm học 2007 - 2008 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)

§Ị sè 5.

Sở giáo dục - đào tạo
Thái bình

*****

đề thi tuyển sinh trung học phổ thụng

Năm học 2005 - 2006
Môn thi: Toán

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 5 9 4 5
2. Giải phơng trình: x4 + 5x2 -36 = 0

Bài 2(2,5 ®iĨm) Cho hµm sè : y = (2m-3)x + n - 4 (d)

3
2
m

 

 

  

1. Tìm các giá trị của m và n để đờng thẳng (d)
a) Đi qua hai điểm A(1; 2) , B(3; 4).

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ y3 2 1 và cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ x 1 2

2. Cho n = 0, tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng (d’) có phơng trình x - y

+2 = 0 tại điểm M(x ;y) sao cho biểu thức P = y2 - x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3(1,5 điểm)

Mét m¶nh vờn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 6m

v gim chiu rng i 4m thì diện tích mảnh vờn khơng đổi. Tính các kớch thc ca
mnh vn.

Bài 4(3,5 điểm)

Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A và
B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

1. Chøng minh:

a) CD = AC + BD.
b) AC. BD = R2.

2. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất.

3. Cho biÕt R = 2cm, diÖn tÝch tø giác ABDC bằng 32cm2. Tính diện tích tam giác

ABM.

Bài 5(0,5 điểm) Cho các số dơng x, y, z thoả m·n x + y + z = 1.

Chøng minh r»ng: 2x2xy2y2  2y2yz2z2 2z2zx2x2  5

§Ị sè 6.

Sở giáo dục - đào tạo
Thái bình

*****

đề thi tuyn sinh trung hc ph thụng

Năm học 2006 - 2007
Môn thi: Toán

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1(2,0 điểm) .

Cho biÓu thøc:

2 10 2 1

6 3 2

x x x

Q

x x x x

  

  

    víi x0 vµ x9

1. Rót gän biĨu thøc Q.

2. Tìm x để

1
3
Q

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 2(2,5 điểm) Cho hệ phơng tr×nh: 1
x y m
x my





 

(m lµ tham sè )
1. Giải hệ phơng tr×nh víi m = -2.

2. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn: y = x2. 
Bài 3(1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2

và Parabol (P): y = x2.

1. Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P).
2. Cho điểm M thuộc (P) có hồnh độ là m (  1 m 2).
Chứng minh rằng

27
8
MAB

S 

(SMAB lµ diƯn tÝch tam gi¸c MAB).

Bài 4(3,5 điểm) Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của
AO. Qua I kẻ dây CD vng góc với AB.

1. Chøng minh: a, Tứ giác ACOD là hình thoi.

 1 

2
CBD CAD

2. Chøng minh r»ng O lµ trùc tâm của tam giác BCD.

3. Xác đinh vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tổng (MB + MC + MD)
đạt giá trị lớn nhất.

Bµi 5(0,5 điểm) Giải bất phơng trình: x 1 3 x4 2x x x 310

§Ị sè 7.

Sở giáo dục - đào tạo
Thái bình

*****

đề thi tuyển sinh trung học phổ thụng

Năm học 2007 - 2008
Môn thi: Toán

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1(1,5 điểm) Giải hệ phơng trình sau:

2 2 1

1
x y
x y







  

 

Bµi 2:(2,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc

2 3 1

2 2

x x

A

x x x



  

 

a. Rót gän biĨu thøc A

b. Tính giá trị biểu thức của A khi x = 841

Bài 3(3,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = 2(m-1)x - (m2 - 2m) và

đờng Parabol (P): y = x2.

a. Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O.
b. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3.

c. Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại 2 điểm có tung độ y1 và y2 thoả món:

8
1 2
y y
Bài 4(3,0điểm)

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

a. Chøng minh: MAOH là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh: Tia HM là phân giác của gãc AHB.

c. Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt các đờng thẳng MA, MB lần
lợt tại E và F. Nối HE cắt AC tại P, nối HF cắt BC tại Q. Chứng minh: PQ // EF.

Bài 5(0,5 điểm)

Cho x, y, z R. Chøng minh r»ng:

1019x218y41007z230xy26y z2 2008zx

§Ị sè 8.

Sở giáo dục - đào tạo
Thái bình

*****

đề thi tuyển sinh trung hc ph thụng

Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1(2,0 điểm)

Cho biÓu thøc

2 3 6

1 . 1

1 1 5

P

x x x

   

   

   

   

   Víi x0 vµ x1

1. Rót gän P;

2. Tỡm giỏ tr ca x

2
3
P

Bài 2:(2,0 điểm)

Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + m + 1 (m là tham số)
1. Với giá trị nào của m thì hàm số y là hàm số đồng biến;
2. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M (2; 6);

3. Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không
trùng với gốc tọa độ O). Gọi H là chân đờng cao hạ từ O của tam giác OAB. Xác định
giá trị ca m OH = 2 .

Bài 3(2,0 điểm)

Cho phơng trình x2 + (a- 1)x 6 = 0 (a lµ tham sè)

1. Giải phơng tr×nh víi a = 6;

2. Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

x12x22 3x x1 2 34

Bài 4(3,5điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn đờng kính BC cắtcạnh AB, AC
lần lợt tại F, E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, D là giao điểm của AH với BC.
1. Chứng minh:

a) Các tứ giác AEHF, AEDB nội tiếp đờng tròn;
b) AF . AB = AE . AC

2. Gọi r là bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Nếu AD + BE + CF = 9r thỡ tam giỏc ABC u.

Bài 5(0,5 điểm)
Giải hệ phơng tr×nh:

6 6 1

2
x y

x y x y








 

   

§Ị sè 9.

Bài 1 (2 điểm) Chọn câu trả lời đúng:

Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): y = 2x + 1 và (d2): y = x – 1.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

A. (–2; –3) B. (–3; –2) C. (0; 1) D. (2; 1)
Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x < 0?

A. y = –2x B. y = –x + 2008 C. y 3x2 D.

2
( 3 2)
y  x

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các đồ thị của hàm số y = 2x + 3 và hàm số y = x2.

Các đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là:

A. 1 và –3 B. –1 và –3 C. 1 và 3 D. –1 và 3

Câu 4: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có tổng hai nghiệm bằng 5?
A. x2 – 5x + 25 = 0 B. 2x2 – 10x – 2 = 0 C. x2 – 5 = 0 D. 2x2 + 10x +1 = 0

Câu 5: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có hai nghiệm âm?

A. x2 + 2x + 3 = 0 B. x2 + 2x – 1 = 0 C. x2 + 3x + 1 = 0 D. x2 + 5 = 0

Câu 6: Cho hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) có OO’ = 4cm; R = 7cm; R’ = 3cm. Hai đường
tròn đã cho

A. cắt nhau B. tiếp xúc trong C. ở ngoài nhau D. tiếp xúc ngồi
Câu 7: Cho tam giác ABC vng ở A có AB = 4cm; AC = 3cm. Đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC có bán kính bằng

A. 5cm B. 2cm C. 2,5cm D. 5cm

Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao là 5cm. Khi đó, diện tích xung
quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 30cm2 B. 30

cm2 C. 45cm2 D. 15cm2

Bài 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức

2 1

1 :

1 1

x x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x  0

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để P < 0.

Bài 3 (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2mx + m – 1 = 0
1. Giải phương trình khi m = 2

2. Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, với mọi m. Hãy xác định m
để phương trình có 2 nghiệm dương.

Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, điểm I nằm giữa hai điểm A
và O. Kẻ đường thẳng vng góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O; R) tại M
và N. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và AN. Qua S kẻ đường thẳng song song
với MN, đường thẳng này cắt các đường AB và AM lần lượt ở K và H. Hãy chứng minh:
1. Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM

2. KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
3. Ba điểm H, N, B thẳng hàng

Bài 5 (1,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình

2
2
6 12
3

xy y

xy x

   




 




2. Giải phương trình x3.x4 2x4 2008x2008

§Ị sè 10.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

(

x+√x
x√x+x+√x+1+

1
x+1

)

(

1
√x −1−

2√x

x√x − x+√x −1

)

Với x ≥ 0 và x  1
a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị của M khi x =

√

7+4√3+

√

7−4√3

BÀI 2 (1.5 điểm ). Cho phương trình: 3x2 - 2(k+1)x + k = 0 (1)

A) Giải phương trình khi k=1.

b) T×m k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1
2

+x22= 5
12
BÀI 3 (1.5 điểm ). Cho hệ phương trình

¿
mx+y=m−1

x+my=m
¿{

¿
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) T×m giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

BÀI 4 ( 3.5 điểm ). Cho đường trịn (O;R), có hai đường kính AB và CD. Đường
thẳng d tiếp xúc với hai đường tròn đã cho tại B. Các đường thẳng AC, AD cắt đường
thẳng d lần lượt tại M, N.

a) Tứ giác ABCD là hình gì ? Chứng minh.

b) Chứng minh AC.AM = 4R2.

c) Chứng minh MNDC là tứ giác nội tiếp.

d) Cho R= 5cm, góc BAC=300. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi đáy

BC và cung nhỏ BC.

BÀI 5 ( 1 điểm ). Chứng minh:

√

c(a − c)+

√

c(b −c)≤√ab
Với các số a, b, c dương sao cho : a ≥ c ; b ≥ c

Đề số 11.

Bài 1(4,0 điểm) So sánh:

a, 4 vµ 2 3 b, a b vµ a b2 ( ,a b R b ; 0)

Bµi 2(4,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:
a) 4 2 3  3= -1



2006 2005



và



2006 2005



là hai số nghch o ca nhau.

Bài 3(3,0 điểm)

§a thøc P(x) khi chia cho ®a thøc (x2– x + 1) cã d lµ ®a thøc (3x + 5),

còn khi chia cho đa thức (x2+ x + 1) có d là đa thức (1 - x).

H·y t×m d khi chia ®a thøc P(x) cho ®a thøc (x4+ x2 + 1)

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài 5(3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo vng góc với nhau tại O. Trên
đoạn thẳng OC lấy điểm M sao cho OBM OCD  . Trên đoạn thẳng OB lấy điểm N
sao cho OCN OBA  . Chứng tỏ AN // DM

Bài 6(3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Gọi H1 và H2 ln

lợt là trực tâm của tam giác ABO và tam giác CDO. Gọi G1 và G2 lần lợt là trọng tâm

của tam giác BCO và tam giác DAO. Chứng tỏ r»ng H1H2  G1G2 .

</div>

§ò c­¬ng phßng gi¸o dôc ®µo t¹o h­ng hµ ch­¬ng i c¨n bëc hai c¨n bëc ba i kiõn thøc c¬ b¶n §þnh nghüa c¨n bëc hai sè häc cña sè kh«ng ©m c¨n bëc ba c¸c phðp biõn ®æi c¨n thøc ii nh÷ng d¹ng to¸n th­



























 









 













 







√

√

√

√





 







 





 





 











































 









 





 





 

§ò c¬ng phßng gi¸o dôc ®µo t¹o hng hµ ch¬ng i c¨n bëc hai c¨n bëc ba i kiõn thøc c¬ b¶n §þnh nghüa c¨n bëc hai sè häc cña sè kh«ng ©m c¨n bëc ba c¸c phðp biõn ®æi c¨n thøc ii nh÷ng d¹ng to¸n th