Bài soạn Cuộc thi Toán học quốc tế của các tỉnh thành

Cuộc thi Toán học quốc tế của các tỉnh thành
Đề thi mức "A" dành cho THCS mùa xuân năm 2001
(tiếp theo kì trước)
Kì trước, chúng tôi đã giới thiệu đôi nét về kì thi này
và đề thi mức “O”. Dưới đây là đề thi mức “A” (khó
hơn) dành cho THCS, tổ chức vào mùa xuân năm
2001.
Câu 1. Tại một công ty nọ có 10% số công nhân viên
nhận được 90% tổng số lương của toàn công ty.
Công ty gồm vài chi nhánh. Có thể xảy ra trường hợp
sau hay không : tại mỗi chi nhánh, tổng số lương của
bất kì 10% số công nhân viên nào cũng không vượt
quá 11% tổng số lương của toàn chi nhánh đó ?
Câu 2. Cho ba đống đá gồm 51, 49 và 5 hòn. Có hai
thao tác được thực hiện là : dồn hai đống tùy ý thành
một đống ; chọn đống tùy ý có số chẵn hòn đá để
phân làm hai đống có số lượng hòn đá bằng nhau. Có
thể nào, cuối cùng sẽ nhận được 105 đống mà mỗi
đống chỉ có một hòn, sau một dãy các thao tác luân
phiên nhau ?
Câu 3. Cho điểm A nằm bên trong tam giác KMN. Các
điểm B, C lần lượt nằm trên hai cạnh KM và MN. Giả
sử góc CBM = Đ ABK và Đ BCM =Đ ACN.
Chứng minh rằng : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCM nằm trên đường thẳng AM.
Câu 4. Một đa giác lồi được chia thành các tam giác
bởi các đường chéo không cắt nhau ngoài đỉnh đa
giác. Mỗi đỉnh của đa giác được đánh số bằng số các
tam giác nhận nó làm đỉnh. Nếu xóa đi tất cả các
đường chéo, có thể nào khôi phục lại được các
đường chéo đó bằng các con số này ?

Câu 5. Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác
ABC. Gọi K, M, N lần lượt là trực tâm của các tam
giác AEF, BFD, CDE. Chứng minh rằng các tam giác
KMN, DEF bằng nhau.