Bài soạn on thi dai hoc ne anh em

GV: TRẦN THỊ DÂN CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
A./ C Ơ SỞ LÝ THUYẾT :
Bảng ngun hàm các hàm số thường gặp sau:
0dx C=
∫
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫
dx x C= +
∫
cos sinxdx x C= +
∫
1
( 1)
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+

∫
sin cosxdx x C= − +
∫
ln ( 0)
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
os
dx
tgx C
c x
= +
∫
x x
e dx e C= +
∫
2
cot
sin
dx
gx C
x
= − +
∫
1/ ĐỊNH NGHĨA :
Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn
[ ]

ba ;
thì tích phân của f(x) trên đoạn
[ ]
ba ;

được xác đònh bởi:
∫
b
a
dxxf ).(
= F(x)
a
b
= F(b) - F(a) (1) .
Chú ý : Tích phân
∫
b
a
dxxf ).(
chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích
phân, vì vậy mà ta có thể viết :
∫
b
a
dxxf ).(
=
∫
b
a
dttf ).(

=
∫
b
a
duuf ).(
= ......
2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
∫
=
a
a
dxxf 0)(
;
∫
b
a
dxxf )(
= -
∫
a
b
dxxf )(
;
∫
b
a
dxxfk )(.
= k.
∫
b

a
dxxf )(
( k là hằng số )
[ ]
∫
±
b
a
dxxgxf )()(
=
∫
b
a
dxxf )(

±

∫
b
a
dxxg )(
;
∫
b
a
dxxf )(
=
∫
c
a

dxxf )(
+
∫
b
c
dxxf )(
( Với a
≤
c
≤
b ).
Nếu f(x)
≥
0
∀
x
[ ]
ba ;
∈
thì
∫
b
a
dxxf )(

≥
0
Nếu f(x)
≥
g(x)

∀
x
[ ]
ba ;
∈
thì
∫
b
a
dxxf )(

≥

∫
b
a
dxxg )(

Ta luôn có :
∫
b
a
dxxf )(

≤

∫
b
a
dxxf )(

.
Nếu m
≤
f(x)
≤
M ,
∀
x
[ ]
ba ;
∈
thì m(b - a)
≤

∫
b
a
dxxf )(

≤
M( b - a)
B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I./Cơng thức tính tích phân:
∫
b
a
dxxf ).(
= F(x)
a

b
= F(b) - F(a)
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN
I./ Phương pháp :
Ta đã biết cơng thức tính vi phân: df(x) = f’(x).dx
1
GV: TRẦN THỊ DÂN CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
Do đó muốn tìm tích phân : I =
[ ]
dxxhxgf .)(,)(
∫
, ta có thể làm theo các bước sau:
+/ Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm
[ ]
)(,)( xhxgf

+/ Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa ) .
Tìm tích phân mới theo biến số mới.
II/ Bài tập áp dụng:
Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/
∫
dxxx .sin.cos
5
b/
∫
−
6
2
2x
.dx c/

∫
x
dxx.ln
ĐSỐ : a/ - (1/6).cosx + C b/ 16/3 c/ (1/2).ln
2
x + C.
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/
dx
x
x
.
ln1
∫
+
b/
∫
cox
dxtgx.
c/
∫
x
dxe
x
.
ĐSỐ : a/ (1/2).ln
2
x
+ ln
x
+ C b/ (1/cosx) + C c/ 2.

x
e
+ C .
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN HÀM CƠ BẢN
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+

∫

4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.

2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫
10.
2
2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫

12.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
2
2
-1
x.dx
x +
∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x

− −
∫
15.
x 2
5
2

dx
x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+
∫
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0

tgx dx
x
.
cos
π
∫
19.
1
x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+
∫
20.
1
x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫

21.
2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+
∫
22.
2
0
dx
1 xsin
π
+
∫
VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN )
I./ Phương pháp :
Cho tích phân : I =
[ ]

dxxxf
b
a
).('.)(
ϕϕ
∫
(1)
Để tính tích phân (1) theo cách đổi biến, ta có thể thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
ϕ
’(x).dx
Bước 2 : Đổi cận tương ứng
+/ x = a thì t =
ϕ
(a)
2
GV: TRẦN THỊ DÂN CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
+/ x = b thì t =
ϕ
(b)
Bước 3 : Khi đó tích phân I được viết lại I =
∫
)(
)(
).(
b

a
dttf
ϕ
ϕ
là tích phân cần tìm.
II/ Bài tập áp dụng :
Câu 1 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
4
4
.
π
π
dxtgx
b/
( )
dx
x
x
e
.
1ln2
1
2
∫
+
c/
∫

+
dxx .)13(
4

Câu 2 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
dxxx .sin.cos
4
b/
∫
−
+
0
1
2
1x
xdx
c/
dxxx .3.
0
1
2
∫
−
+
C./ BÀI TẬP
Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
e

x
dx
1
b/
∫
−
+
dx
xx
xx
.
cossin2
cos2sin
c/
∫
+
+
dx
x
x
.
1
1
4

ĐSỐ : a/ 1 b/ ln
xx cossin2
−
+ C c/ .......
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/

∫
+
+
dx
x
xx
.
3
3
2
2
b/
∫
+
dxxtgtgx ).(
3
c/
( )
∫
+
2ln
0
2
.
1
.
dx
e
dxe
x

x
ĐSỐ : a/
3
2
+
x
+ C b/ (1/2).tg
2
x + C c/ 1/6 .
Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
4
0
4
cos
π
x
dx
b/
∫
x
dx
sin
c/
( )
∫
+
2008
1
.

x
dxx
HD : a/ 4/3 b/ ln
2
x
tg
+ C c/ Phân tích tử .......
Câu 4 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
+−+
2343
2
xx
dx
b/
∫
+
x
dx
325
c/
∫
+
+−
dx
x
xx
.
1
3

2
HD : a/ 2
( )
3
43
+
x
+ ...b/ (2/3).
x325
+
+ C c/ (1/2).x
2
– 2x + ln
1
+
x
+ C
Câu 5 : Tìm các tích phân sau :
a/
( )
∫
+
dxbax
m
, ( m
1
≠
, a
0
≠

) b/
∫
−
1
0
3
2
2
.
x
dxx
c/
( )
∫
+
1
0
6
2
1 dxxx

HD : a/ ..... b/ (1/3).ln2 c/ 127/14 .
Câu 6 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
3
0
cos
..sin
π
dxex

x
b/
∫
+
e
x
dxx
1
).ln2(
c/
∫
4
0
2
.
cos
π
dx
x
e
tgx
Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/
∫
3
0
3
cos
.sin
π
x

dxx
b/
∫
+
2
0
.sin.cos1
π
dxxx
c/
( )
∫
+
6
0
.2cos2sin
π
dxxx
HD : a/ 3/2 b/ (2/3).(2
2
- 1) c/ (1/4)(
3
+ 1) .
Câu 8 : Tìm các tích phân sau :
3
GV: TRẦN THỊ DÂN CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN
a/
∫
−
+

−
1
0
2
.
3
3
ln
9
1
dx
x
x
x
b/
∫
+
2
ln1
e
e
xx
dx
c/
( )
∫
−
1
0
5

.23 dxx

ĐSỐ : a/ 2(
23
−
) b/ (1/2).(ln2)
2
c/ - 7/2 .
Câu 9 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
−
−
1
1
2
3
. dxex
x
b/
∫
+
1
0
3
2
1
2
x
dxx

c/
∫
2
ln.
e
e
xx
dx
ĐSỐ : a/ (1/3e).(e
2
- 1) b/ (4/3).(
2
- 1) c/ ln2 .
ĐSỐ : a/ 2(
23
−
) b/ (1/2).(ln2)
2
c/ - 7/2 .
Câu 10 : Tìm các tích phân sau :
a/
∫
+
dxebea
xmx
.).(
,(a
≠
0 ,m
≠

1) b/
∫
−
−
2
2
1dxx
c/
( )
dxxxx .421
2
∫
+++
d/
∫
)ln(ln.ln xxx
dx
e/
∫
+
tgxx
dx
1cos
2
f/
dx
x
xx
.
cos

cos.sin.34
4
4
2
2
∫
−
−
π
π
HD : a/ Đặt t = ... b/ 5 c/ .......... d/ Đặt ... f/ 8 .
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
hay
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduudv

uv
Tích phân từng phần các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
 
 
∫
Đặt
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
 
 
   

 
⇒
 
   
= =
 
   
 
   
   
 
∫
@ Dạng 2:
( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx

=
=



⇒
 
=


=

∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α

Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0

( 1)
x
x e
dx
x +
∫
đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x

=


=

+

b/
3
8
4 3
2
( 1)
x dx

x −
∫
đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x

=


=

−

c/
1 1 1 1
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x

+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
=
+
∫
bằng phương pháp đởi biến sớ
Tính I
2
=
1
2
2 2
0
(1 )
x dx
x+
∫
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )

u x
x
dv dx
x
=



=

+

4
GV: TRN TH DN CHUYấN TCH PHN
VAN ẹE 5 : TCH PHN HM Vễ T:

b
a
dxxfxR ))(,(
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
xa
xa
+

) Đặt x = a cos2t, t
]
2
;0[

; +) R(x,
22
xa

) Đặt x =
ta sin
hoặc x =
ta cos
+) R(x,
n
dcx
bax
+
+
) Đặt t =
n
dcx
bax
+
+
; +) R(x, f(x)) =

+++
xxbax
2
)(
1
Với (

++
xx
2
) = k(ax+b)
Khi đó đặt t =

++
xx
2
, hoặc đặt t =
bax
+
1
+) R(x,
22
xa
+
) Đặt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[


; +) R(x,
22
ax

) Đặt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[



+) R
( )
1 2 i
n n n
x x x; ;...;
Gọi k = BCNH(n
1
; n
2
; ...; n
i
) Đặt x = t
k

VAN ẹE 6: MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

+=

aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22

,
Tính:


2
3
2
3
)(


dxxf
; Tính

+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:


++
1
1
2
)1ln( dxxx


++

2
2
2
)1ln(cos


dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf
0
)(
Ví dụ: Tính


+
1
1
24
1xx
dxx
2
2

2
cos
4 sin

+


x x
dx
x


Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

=
+

aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:


+
+
3
3
2
21
1
dx
x
x



+
2
2
1
5cos3sinsin


dx
e
xxx
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;

2

], thì

=
2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf
Ví dụ: Tính

+
2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x

+
2
0
cossin

sin

dx
xx
x
5