Bài giảng Giới thiệu cuộc thi olympic toán học côlôrađô

Giới thiệu cuộc thi olympic toán học côlôrađô
Tiểu bang Cô-lô-ra-đô thuộc miền Trung Tây nước Mỹ, nổi tiếng về du lịch và
không khí trong lành. Ngày 30-4-2004, tại đây đã long trọng diễn ra lễ Kỉ niệm
20 năm ngày thành lập cuộc thi Olympic Toán học Cô-lô-ra-đô. Cuộc thi này do
Đại học Cô-lô-ra-đô tổ chức, dành cho học sinh THPT tiểu bang Cô-lô-ra-đô.
Cuộc thi hằng năm này có khoảng 600 đến 1000 thí sinh tham dự, với nhiều loại
giải thưởng như huy chương, phần mềm máy tính, học bổng, máy tính bỏ túi,
sách, vật lưu niệm, v.v... Các thí sinh tham dự sẽ làm một bài thi viết trong 4
giờ, gồm năm bài toán xếp từ dễ đến khó. Đối tượng tham dự thuộc nhiều lớp
khác nhau nên các bài toán yêu cầu lượng kiến thức ít nhưng cần khả năng suy
luận cao, đặc biệt là các bài toán vui, mang nội dung thực tế.
Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu ba bài : bài 5 năm 1998 ; bài 1 ; bài 2 năm
2000. Số tiếp theo, chúng tôi giới thiệu các bài chọn trong năm 2002, 2004.
Bài 1. Bài toán tô màu bản đồ (Map Colouring)
Tô màu một bản đồ, trong toán học, có nghĩa là tô màu các miền, mỗi miền một
màu, sao cho hai miền kề nhau thì có màu khác nhau (đường khép kín bao
quanh một miền được gọi là biên của miền đó, hai miền được gọi là kề nhau
nếu chúng có chung một phần biên).
Chứng minh rằng một bản đồ được xây dựng bằng một số hữu hạn các hình
tròn trong mặt phẳng có thể tô được bằng hai màu.
Bài 2. Thiện, ác, Tà (The Good, the Bad and the Ugly)
Thiện và ác chia nhau một đống gồm 2000 đồng đô-la bằng bạc (mỗi đồng trị
giá một đô-la), dưới sự giám sát của lão Tà. Đầu tiên, lão Tà bảo Thiện chia
thành hai đống, mỗi đống có ít nhất hai đồng. Sau đó, ác chia mỗi đống thành
hai đống (mỗi đống có ít nhất một đồng), rồi lão ta chọn đống ít nhất và đống
nhiều nhất trong bốn đống tạo thành, hai đống còn lại là phần của Thiện. Vậy
thì, bất chấp lão ác khôn khéo và tham lam như thế nào, số tiền lớn nhất mà lão
Thiện có thể kiếm được là bao nhiêu ?
Bài 3. Trò giải trí ở thời đại đồ đá (Stone Age Entertainment)
a) Fred Flintstone cùng Barney Rubble thực hiện trò chơi với 2000 viên đá cuội.
Mỗi nước đi, họ được phép lấy khỏi đống 1, 7 hoặc 13 viên. Người nào đi nước

cuối cùng, người ấy thắng cuộc. Hãy tìm một chiến lược để một trong hai người
(Fred hoặc Barney) thắng cuộc, bất chấp người kia chơi như thế nào, với giả
thiết là Fred đi trước.
b) Nếu mỗi nước đi, mỗi người được phép lấy 1, 2, 7 hoặc 13 viên đá cuội thì
chiến lược thắng cuộc như thế nào ?