DE 25 THI CHON HS GIOITOAN 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12</b>

<b>đề 25 Mơn: tốn </b>

–

<b> bảng A</b>

<i><b>Thời gian: 180 phút không kể thời gian phát đề</b></i>
<i></i>

<b>---C©u 1: </b>

Chứng minh rằng hàm số y = x4_{- 6x}2 _{+ 4x + 6 ln ln có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng}

tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

<b>C©u 2: </b>

Giải hệ phơng trình.

x+y = ₄<i>_z</i> ₁
y + z = 4 <i>x</i> 1

z + x = 4<i>y</i> 1
<b>C©u 3: </b>

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vng góc oxy cho parabơn (P): y2_{= 4x. M là một điểm di}

động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT vng góc với OM.

a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đờng thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định.

b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1 pa ra bol c nh .

<b>Câu 4: </b>

Giải phơng trình sau:

sinx + siny + sin (x+y) =

2
3
3
<b>C©u 5: </b>

Cho d·y sè In =






<i>n</i>

<i>n</i>

<i>dx</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
4

2
cos

, nN*

TÝnh




<i>n</i>lim In

<b>C©u 6: </b>

Cho 1  a > 0, chứng minh rằng.

1
ln

<i>a</i>
<i>a</i>

<

3
3

1
<i>a</i>
<i>a</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Đáp án</b>

<b>Câu 1: (3 ®iĨm )</b>

Tập xác định: D = R y = x4_{- 6x}2_{+ 4x + 6.}

y’ = 4x3_{- 12x + 4} _{y’ = 0 <=> g(x) = x}3_{- 3x + 1 = 0} ₍₁₎

Ta cã g(x), liªn tơc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3

0

2)

1).g(

g(

0

1)

g(-1).g(

0

1)

2).

















g(x) liên tục nên phơng trình (1) cã 3 nghiƯm ph©n biƯt tháa m·n :
- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2

* Ta cã y =

4
1

y’.x- 3.(x2_{- x - 2)} ₍₁₎

Gäi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam giác ABC.

Theo §L Viet cã x1 + x2 + x3 = 0 (2)

x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)

Tõ (2) suy ra x0 =

3

3
2
1 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  

= 0
Tõ (1) (2) (3) suy ra:

y0 =

3
1

(y1+y2+y3) = -3 (<i>x</i>₁2<i>x</i>₂2<i>x</i>₃2)-(x1+x2+x3) - 6

= -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0

VËy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM)

<b>Câu 2: ( 2 điểm)</b>

x+y = _{4 }<i>_z</i> ₁ (1)

y + z = 4 <i>x</i> 1 (2) (I) ®k x,y,z >

4
1

z + x = 4<i>y</i> 1 (3)
áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:

1
).

1
4
(
1

4<i>z</i>  <i>z</i> <

2
1
)
1
4

( <i>z</i> 

= 2z (1’)
T¬ng tù 4 <i>x</i> 1 < 2x (2’) 4<i>y</i> 1< 2y (3’)

Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy ra.

2(x+y+z) = 4<i>z</i> 1 4<i>x</i> 1 4<i>y</i> 1< 2z + 2x + 2y (4)

Tõ (4) suy ra:

4z - 1 = 1

(I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z =

2
1

nghiệm đúng (I)
4y - 1 = 1

VËy hÖ (I) cã nghiƯm x = y = z =

2
1

<b>C©u 3: (P): y</b>2_{= 4x}

<i><b>a. (3®iĨm ) Gi¶ sư </b></i> ;y
4
y

M ₁

2
1











; ;y
4
y

2
2
2









<i>T</i> víi y1,y2  0; y1  y2.

OTOM  y .y 0

4
y
.
4
y


0

OM

.

OT 1 2

2
1
2
1








 y1 . y2 + 16 = 0 (1)

Phơng trình đờng thẳng MT:

y

-y

y

-y


4

y

-4
y

4
y

-x

1
2

1
2

1
2
2

2
1



 4x - 2
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0

Nên đờng thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)
<i><b>b. (3điểm) Gọi I (x</b></i>0, y0) là trung điểm MT thì

x0 =



y y



8

1 2

2
2

1  (1)

y0 =

2
y

y1 2  ₍₂₎

Tõ (1) suy ra x0 =

8
1

(y1+y2)2 - 2y1y2 =

8
1

(2y0)2 - 2 (-16)

=

2
1

. 2 4
0 

<i>y</i>  <i>y</i>₀2 = 2x0 - 8

Từ đó  I chạy trên parabôn (P) : y2_{= 2x = 8 c nh .}

<i><b>Câu 4: (3 điểm)</b></i>

sin x + sin y + sinz (x+y) =

2
3

3 ₍₁₎

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có .

2

)
2

3
3
(
4
27

 = [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + sin2(x+y))

= 3. 

2
2
cos
1
2

2
cos

1 <i>x</i>  <i>y</i>




+sin2 _(x+y)

= 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos2_(x+y)]

= 3. 2-(cos (x+y)+

2
1

cos (x-y)2_{) +}

4
1

cos2_(x-y)

< 3 (2- 0 +

4
1

) =

4
27

(2) (Do cos2_{(x-y) < 1; (cos (x+y) +}

2
1

cos (x-y)2_{> 0}

Tõ (2) suy ra:

cos2_{(x-y) = 1}

(1)  cos (x+y) +

2
1

cos (x-y) = 0
sinx = sin y = sin (x+y) =

2
3



víi

k

n,

Z

2n

3

y

2k

3

x

<b>Câu 5: (3 điểm) </b> dx

x
cosx

I

4n

2n
n

Ta chøng minh: 0 < In <


<i>n</i>

4
1

(1)
Ta cã: In =






<i>n</i>

<i>n</i> <i>x</i>

<i>x</i>
4

2

cos

dx =

_




<i>n</i>

<i>n</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>d</i>
4

4

)
(sin

=

<i>x</i>
<i>x</i>

sin



<i>n</i>

<i>n</i>

2
4

-

_




<i>n</i>

<i>n</i> <i>x</i>

<i>d</i>
<i>x</i>
4

2

)
1
(
.
sin

=

_




<i>n</i>

<i>n</i> <i>x</i>

<i>x</i>
4

2
2
sin

dx
* Ta cã: sin₂

<i>x</i>
<i>x</i>

< 1₂

<i>x</i> x  2n , 4n  nªn

In <

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>dx</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

1
4

2

2 





 


<i>n</i>
<i>n</i>

2
4

= -




 <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> 4

1
2

1
4

1



</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

* Ta cã: In =

1
2 





<i>n</i>

<i>n</i>
<i>k</i>



 


)

1
(
2

2

2

sin

<i>k</i>

<i>k</i> <i>x</i>

<i>x</i>

dx đặt JK =



 


)
1
(
2

2

2

sin

<i>k</i>

<i>k</i> <i>x</i>

<i>x</i>

dx

=> JK =



 


)
1
2
(

2

2

sin

<i>k</i>

<i>k</i> <i>x</i>

<i>x</i>

+

_






)
1
(
2

)
1
2
(

2

sin

<i>k</i>

<i>k</i> <i>x</i>

<i>x</i>

dx >

_

 



)
1
(
2

2

sin

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>x</i> ( ₂ ₂

)
(

1
1





<i>x</i>

<i>x</i> )dx >0 (3)

Ta l¹i cã: In =

1
2 





<i>n</i>

<i>n</i>
<i>k</i>

Jk do (3) nªn In > 0 (4)

Tõ (2) (4) suy ra 0 < In 


<i>n</i>

4
1

 (1) đúng
Ta lại có




<i>nLim</i> ₄<i>_n</i>_
1

= 0 nªn Lim In 0
n

<b>Câu 6: (3 điểm)</b>

1
ln

<i>a</i>
<i>a</i>

<b> < </b>

3
3
1

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i>

(1) với 1  a > 0
Trong hỵp 1: a >1

(1) <=> (a + 3 <i>_a</i>_{)lna < (1 +}3 <i>_a</i>_{) (a-1)} ₍₂₎ _{Đặt x =}3 <i>_a</i>_{=> x >1}

(2) <=> 3(x3_{+x) lnx < (1+x).(x}3_-1) _{x > 1}

<=> x4_{+ x}3_{- x - 1 - 3 (x}3_{+x)lnx > 0 (3)} _{x > 1}

Đặt f(x) = x4_{+ x}3_{- x - 1 -3 (x}3_{+ x)lnx} _{x 1;+}

_

₎

Ta cã f’(x) = 4 x3_{+ 3x}2_{- 1 - 3 (3x}2_{+ 1) lnx + (x}3_{+ x) .}

<i>x</i>

1


= 4x3_{- 4 - 3 (3x}2_{+ 1) lnx}

f”(x) = 3.(4x2_{- 3x - 6xln x -}

<i>x</i>

1

) f(3)_{(x) = 3 ( 8x +}
2

1

<i>x</i> -6ln x - 9)

f(4)_{(x) = 3.(8-}

3

2
6

<i>x</i>

<i>x</i> ) = 3

3 ₃ ₁₎

4
(
6

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>  

= ₃

2 ₄ ₁

4
)(
1
(
6

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>  

> 0 , x > 1
Suy ra f(3)_{(x) đồng biến nên [1;+}

_

₎

f(3)_{(x) > f}(3)

(1) = 0 ... t¬ng tù f’(x)> 0 víi x > 1

 f(x)> f (1) = 0 với x >1 suy ra (3) đúng.

<b>Tr</b>

<b> ờng hợp 2: 0 < a < 1 đặt a = </b>

1
1

<i>a</i> , a1 > 1 quay về trờng hợp 1.

<b>Tài liệu tham khảo </b>

1. Hàm số - Tác giả : Trần Phơng

</div>

<!--links-->