DE VA DAP AN CAC BT ON TAP KT 1 TIET CHUONG BIENHINH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (130.82 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CÁC BÀI TỐN ƠN TẬP KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I:

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

( Có hướng dẫn giải )

CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ :

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v   (1; 2) và đường tròn (C) có phương
trình: x2 y2 4x 4y 1 0

    

1). Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy

2). Viết phương trình ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến Tv

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 3x -4y + 1 = 0, đường
trịn (C ) có tâm I(1; -2) và đi qua điểm M(1; 0).

1). Viết phương trình đường trịn (C ) .

2). Viết phương trình các đường thẳng (d1) ; (d2) lần lượt là ảnh của (d) qua phép đối xứng

trục Ox và phép vị tự tâm I tỉ số k = 2. Viết phương trình đường trịn (C1) , (C2) là ảnh của

3). Viết phương trình của đường trịn (C3) là ảnh của đường tròn (C ) qua phép đồng dạng là

hợp thành của phép vị tự tâm I tỉ số k = 2 và phép tịnh tiến theo vectơ OB với B( -1;3).
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(3; 0) , B(0; 4) , C(-1; -2). Gọi A'B'C'

là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm I(1; -2) tỉ số 2. Tính chu vi và diện tích của tam
giác A'B'C'.

( Hướng dẫn : Chu vi tam giác A'B'C' bằng 2 lần chu vi tam giác ABC
Diện tích tam giác A'B'C' bằng 4 lần diện tích tam giác ABC )

CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC THƠNG THƯỜNG :

Bài 1. Cho tam giác đều ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1. Hãy tìm xem có những

phép biến hình nào biến ABC thành chính nó.

Hướng dẫn :

Phép đồng nhất - Phép đối xứng trục : DAA1; DBB1; DCC1 - Phép quay :

Q

(O, 120O)

 ;

Q

(O, 240O)



Bài 2 Cho hai điểm A,B và đường trịn (O ) khơng có điểm chung với đường thẳng AB.Qua
mỗi điểm M chạy trên (O ) dựng hình bình hành MABN.Chứng minh rằng điểm N thuộc
một đường trịn xác định.

Hướng dẫn : MN ABkhơng đổi . Suy ra : Phép tịnh tiến theo AB biến M thành N

Vì M chạy trên (O ) nên N chạy trên (O’) là ảnh của (O ) qua TAB

Bài 3 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB.Một đường trịn (O’,R’) tiếp xúc với (O,R) và
AB lần lượt tại C và D.Đường thẳng CD cắt (O,R) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm
của cung AB.

Hướng dẫn :

-C là tâm vị tự của (O ) và (O’)

- D thuộc (O’),I thuộc (O ),C,D,I thẳng hàng nên ( , ')
R
R
C

V biến O thành O’,I thành D

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 4 Cho đường trịn (O) đường kính AB và đường thẳng d vng góc với AB tại B. Với
đường kinh MN thay đổi của đường tròn ( MN khác AB), gọi P và Q lần lượt là giao điểm
của d với các đường thẳng AM và AN. Đường thẳng đi qua M, song song với AB cắt đường
thẳng AN tại H.

1). Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác MPQ.
2). Chứng minh rằng ABMH là hình bình hành.

3). Tìm quĩ tích điểm H.

4). Tìm quĩ tích trực tâm tam giác NPQ.

Hướng dẫn : a) MH PQ QH, PM nên H là trực tâm tam giác MPQ

b) AB//HM và AH//BM nên ABMH là hình bình hành

c) Từ câu b) có MH  BA . Suy ra : TBA biến M thành H

Quỹ tích H là ảnh của (O) qua TBA - trừ hai điểm là ảnh của A và B

Nếu ta lấy điểm C sao cho A là trung điểm của BC, thì quỹ tích H là đường trịn đường kính
AC trừ đi hai điểm A và C.

d) Điểm N đóng vai trị hoàn toàn tương tự như điểm M , nên quĩ tích trực tâm của tam giác
NPQ cũng trùng với quĩ tích điểm H

Bài 5 Cho hai phép quay QA và QB có tâm quay là A và B ( phân biệt ) và có cùng góc quay

900. Gọi F là hợp thành của 
A

Q và QB , F' là hợp thành của QB và QA. Hãy chứng tỏ F và F' là

những phép đối xứng tâm và nêu rõ cách xác định tâm đối xứng của các phép đó.

Hướng dẫn Lấy điểm O sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân với góc (AO,AB) =

(BA,BO) = 450

Khi đó, QA là hợp tành của hai phép đối xứng trục ĐAOvà ĐAB, còn QB là hợp thành của hai

phép đối xứng trục ĐAB và ĐBO. Vậy F là hợp thành của bốn phép đối xứng trục theo thứ tự :
AO

Đ , ĐAB, ĐAB, ĐBO, tức cũng là hợp thành của hai phép đối xứng trục ĐAO và ĐBO. Vì AO

vng góc với BO nên F là phép quay tâm O góc quay 0

180 , tức là phép đối xứng qua điểm

O. Chú ý rằng có thể xác định điểm O bởi điều kiện :
Tam giác OAB vuông cân và (OB,OA) = 900

Tương tự , F' là phép đối xứng qua tâm O' , sao cho O'AB là tam giác vng cân mà
(OA,OB) = 900

Bài 6 Về phía ngồi của tam giác ABC vẽ các hình vng BCMN và ACPQ có tâm O và O'.
a). Chứng minh khi cố định hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng NQ ln
ln đi qua một điểm cố định.

b). Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng IOO' là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn :

a) Xét Q QA, B lần lượt là các phép quay tâm A, B với góc quay ( AQ, AC) = (BC, BN ) = 900.

Hợp thành của hai phép đó là phép đối xứng qua điểm H xác định . Vì phép đối xứng tâm H
biến Q thành N nên H là trung điểm của đoạn thẳng NQ, tức là đường thẳng NQ luôn đi qua
điểm H cố định

b) Cách 1 : Gọi Q QO, O' là các phép quay có góc quay 900 với tâm quay tương ứng là O và O'

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Cách 2 : Phép quay tâm C góc quay 900 biến A thành P và biến M thành B. Bởi vậy, ta có

AM = PB và AM PB. Chú ý rằng IO là đường trung bình của tam giác ABM và IO' là

đường trung bình của tam giác APB nên suy ra IOO' là tam giác vuông cân

Bài 7 Cho đường tròn (O) và điểm I khơng nằm trên đường trịn đó. Với mỗi điểm A thay
đổi trên đường trịn , dựng hình vng ABCD có tâm là I.

1). Tìm quỹ tích điểm C.

2). Tìm quỹ tích mỗi điểm B và D.

3). Khi điểm I trùng với O, có nhận xét gì về ba quỹ tích nói trên ?
Hướng dẫn :

1) Phép đối xứng tâm ĐI với tâm I biến điểm A thành điểm C . Vậy quĩ tích C là đường trịn

( )O , ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng đó.

2) Phép quay Q tâm I góc quay
2


biến điểm A thành điểm B và phép quay Q' tâm I góc
quay

2


 biến điểm A thành điểm D. Suy ra quĩ tích B và D lần lượt là các đường tròn ( )O2 ,
3

( )O : ảnh của đường tròn (O) qua các phép quay Q và Q'

3) Khi I trùng với O thì ( )O1 , ( )O2 , ( )O3 cũng trùng với (O) nên ba quĩ tích nói trên đều là

đường tròn (O)

Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A,B. Một cát tuyến di động

qua A cắt hai đường trịn đó lần lượt tại P và Q.

a). Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn PQ.

b). I là trung điểm của đoạn PQ. Tìm tập hợp của điểm M trên PQ sao cho :

( )

2
k

AM  AP AQ
  

  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  

, với k 1
c). Tìm tập hợp trọng tâm G của ABI

Hướng dẫn :

a) Lập luận đến PBQ cân tại B Lập luận đến AIB 900 Kết luận, Vẽ hình

b)AI 12(AP AQ) Suy ra AM kAI Kết luận, Vẽ hình

c) Gọi N là trung điểm của AB Lập luận đến

V

I G

N: 

3
1

Kết luận, Vẽ hình

Bài 9 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A
cắt (O) ở A và C, cắt (O’) ở A và D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AD.

a). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN
b). Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn CD.

Hướng dẫn :

a) / / '

OM MN

OM O N

O N MN

 



   OO' NM là hình thang vng tại M và N
Gọi K là trung điểm của OO' thì K cố định

Ta có : KI IA KIA1V , mà K và A cố định . Suy ra : Tập hợp điểm I là đường trịn (C )

đường kính AK

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

AC AD 1 1

AJ AC AD AM AN 2AI

2 2 2



     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     

( do I là trung điểm của MN )
Vậy : AJ 2AI   J là ảnh của I qua phép vị tự tâm A tỉ số 2

Mà I chạy trên đường tròn ( C )

Do đó : Tập hợp J là đường trịn (C ') , với (C') là ảnh của (C ) qua phép vị tự tam A tỉ số 2

Bài 10 Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường trịn đó. Một đường thẳng thay
đổi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho PM PA PB

  

Hướng dẫn :

Gọi I là trung điểm của AB thì

PA PB

PI  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


bởi vậy PM PA PB 2PI

   

Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k = 2 thì V biến điểm I thành điểm M

Vì I là trung điểm của AB nên OI AB suy ra quĩ tích của điểm I là đường trịn (C) đường

kính PO

Vậy quĩ tích của điểm M là đường tròn (C') ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O' sao
cho PO' 2 PO thì (C') là đường trịn đường kính PO'.

Bài 11 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường trịn
đó.Dựng hình vng ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.

Hướng dẫn :

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho : AM = AB = AD

Khi đó, ta có 2

AM AB

AC AC 

Ngồi ra (AM, AB) = 450 và (AM, AD) = -450

Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số k = 2

2 biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A
góc quay 450 biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F

biến C thành B. Vì quĩ tích của C là đường trịn (O) nên quĩ tích của B là ảnh của đường trịn
đó qua phép đồng dạng F.

Đường trịn quỹ tích của B có thể xác định như sau :

Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vng góc với AR ( ta kí hiệu
các điểm P, Q sao cho (AR,AP) = 450). Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR

thành AP. Vậy quỹ tích B là đường trịn đường kính AP.
Tương tự , ta được quỹ tích D là đường trịn đường kính AQ.

Bài 12 Cho hình vng ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vng. Tìm các
điểm N, P nằm trên cạnh của hình vng sao cho tam giác MNP là tam giác đều.

Hướng dẫn :

Giả sử đã dựng được tam giác đều MNP thỏa mãn điều kiện của bài toán. Nếu dùng phép
quay Q tâm M góc quay 600 thì N biến thành P và hình vng ABCD biến thành hình vng

A'B'C'D' mà P cũng nằm trên hình vng này. Từ đó suy ra cách dựng.

Bài 13 Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A, B
nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đường trịn.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Giả sử đã dựng được hình vng ABCD thỏa mãn điều kiện của bài tốn . Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của
DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vng PQMN

thì có phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN thành hình vng ABCD.

Cách dựng :

Dựng hình vng PQMN . Lấy giao điểm C và C' của đường thẳng IM và đường tròn , lấy
giao điểm D và D' của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai điểm C,D nằm về một phía
đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B',A' lần lượt là hình chiếu của các điểm
C,D,C',D' trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vng ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn điều
kiện của bài toán.

Bài 14 Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm B cố định nằm trên đường
thẳng d, d không đi qua A.Hãy xác định trên d một điểm C sao cho tam giác ABC có trọng
tâm nằm trên (O) .

Hướng dẫn :

Giả sử đã dựng được tam giác ABC với trọng tâm G thuộc (O). Gọi I là trung điểm của BC
thì 2

AG AI

 

. Như vậy , phép vị tự 2
( , )

A

V sẽ biến I thành G và biến đường thẳng d thành

đường thẳng d' đi qua G. Vậy G là giao điểm của (O) và d' suy ra cách dựng :
Dựng đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2

3
Lấy G là giao điểm của (O) và d'

Lấy I là giao điểm của đường thẳng AG và d
Xác định điểm C sao cho I là trung điểm của BC

</div>