Tải bản đầy đủ (.doc) (12 trang)

Tài liệu tích phân rất hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (114.67 KB, 12 trang )

Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
A. ĐẠO HÀM :
I. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :

(u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)
(u.v)’ = u’.v + v’.u ; y’
x
= y’
u
.u’
x
'
2
u u '.v v '.u
v v

 
=
 ÷
 
;
'
2
1 v '
v v

 
=
 ÷
 


II. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số hợp (u = u(x)) :
Đạo hàm của các hàm số cơ cấp
cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp
(x
α
)’ = α.x
α - 1

'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
(
x
)’ =
1
2 x
(u
α
)’ = α.u
α - 1
.u’

'
2

1 u '
u u
 
= −
 ÷
 
(
u
)’ =
u '
2 u
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = − sinx
(tgx)’ =
2
1
cos x
= 1 + tg
2
x
(cotgx)’ =
2
1
sin x

= −(1 + cotg
2
x)
(sinu)’ = u’.cosu
(cosu)’ = −u’. sinu

(tgu)’ =
2
u '
cos u
= u’.(1 + tg
2
u)
(cotgu)’ =
2
u '
sin u

= −u’.(1 + cotg
2
u)

(e
x
)’ = e
x
(a
x
)’ = a
x
.lna

(e
u
)’ = u’.e
u

(a
u
)’ = u’.a
u
.lna

( ln
x
)’ =
1
x
( log
a
x
)’ =
1
x.ln a

( ln
u
)’ =
u '
u
( log
a
u
)’ =
u '
u.ln a
1

LTĐH Biên soạn: Gv Phan Công Trứ
B. NGUYÊN HÀM :
I. LÝ THUYẾT :
1.
Định nghĩa
: Giả sử f(x), F(x) là các hàm số xác định trong khoảng (a, b).
F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong khoảng (a, b) nếu :
F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)
2.
Định lý
:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số dạng F(x) + C (C
là hằng số tùy ý) cũng là nguyên hàm của f(x).
Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C
3.
Tính chất
:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và G(x) là một nguyên hàm của
g(x) thì :
• F(x) ± G(x) là nguyên hàm của f(x) ± g(x)
• k.F(x) là một nguyên hàm của k.f(x) (k là hằng số)
4. Bảng các nguyên hàm cơ bản :
Nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản
Nguyên hàm của các hàm số hợp
dx

= x + C
x
x dx

1
α + 1
α
=
α+

+ C (α ≠ −1)
dx
ln x
x
=

+ C (x ≠ 0)
x x
e dx e C= +

x
x
a
a dx
ln a
=

+ C (0 < a ≠ 1)
cos xdx

= sinx + C
sin xdx

= − cosx + C

2
dx
cos x

= tgx + C
2
dx
sin x

= − cotgx + C
du

= u + C
u
u du
1
α + 1
α
=
α+

+ C (α ≠ −1)
du
ln u
u
=

+ C (u ≠ 0)
u u
e du e C= +


u
u
a
a du
ln a
=

+ C (0 < a ≠ 1)
cos udu

= sinu + C
sin udu

= − cosu + C
2
du
cos u

= tgu + C
2
du
sin u

= − cotgu + C
5. Bảng các nguyên hàm đặc biệt :
2 2
dx 1 a x
ln C
2a a x

a x
+
= +



2
2
dx
ln x x k C
x k
= + + +
+

1
1 (ax b)
(ax b) dx . C
a 1
α+
α
+
+ = +
α +

ax b ax b
1
e dx .e C
a
+ +
= +


dx 1
ln ax b C
ax b a
= + +
+

1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +

6. CHÚ Ý:
2
Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
1. Trường hợp f(x) = sin
2n
x.cos
2n
x. Ta dùng các công thức hạ bậc chẵn :
sin
2
x =
1 cos 2x
2

cos
2
x =
1 cos 2x

2
+
sinx.cosx =
1
2
sin2x
2. Trường hợp f(x) = cosmx.cosnx ( hoặc sinmx.sinnx, hoặc sinmx.cosnx). Ta
dùng các công thức biến đổi tích thành tổng :
cosa.cosb =
1
2
[cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb =
1
2
[cos(a – b) – cos(a + b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a – b) + sin(a + b)]
II. BÀI TẬP:
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) f(x) = x
2
– 2x +
1
x
ĐS:
3
2

x
x ln x
3
− +
+ C
b) f(x) =
2
( x 1)
x

ĐS:
x 4 x ln x− +
+ C
c) f(x) =
x
10
(x 1)−
ĐS:
8 9
1 1
8(x 1) 9(x 1)
− −
− −
+ C
d) f(x) =
x
e
x
e 1
2

cos x
 
 ÷
 ÷
 

+
ĐS: e
x
+ tgx + C
e) f(x) = 2tg
2
(2x + 1) ĐS: tg(2x+1) – 2x – 1 + C
f) f(x) =
cos 2x
sin x cos x+
ĐS: sinx + cosx + C
g) f(x) =
x x
2 3+
ĐS:
x x
2 3
ln 2 ln 3
+
+ C
h) f(x) =
3
1 1
x x


ĐS:
2
3
3
2 x .x
2

+ C
i) f(x) =
1
3
x ln x
ĐS:
2
1 1
.
2 ln x

+ C
j) f(x) =
x
2a x+
ĐS:
x
3
2a 2
x
ln a 3
+

+ C
k) f(x) =
1
2
x(x 1)+
ĐS:
1
ln(x 1) ln x
x 1
− + +
+
+ C
l) f(x) =
2
2x
x x 1+ −
ĐS:
3 2 2
3
2
(x (x 1)
3
− −
) + C
3
LTĐH Biên soạn: Gv Phan Công Trứ
m) f(x) =
3
x
x 1−

ĐS:
3 2
x x
x ln(x 1)
3 2
+ + + −
+ C
2. a) Xác định các hằng số A, B sao cho:
3x 1 A B
3 3 2
(x 1) (x 1) (x 1)
+
= +
+ + +
b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x 1
3
(x 1)
+
+
ĐS: a) A = −2 , B = 3 ; b) F(x) =
2
3 1
x 1 (x 1)
− +
+ +
+ C
3) Cho hàm số : y =
2
3x 3x 3

3
x 3x 2
+ +
− +
a) Tìm A, B, C để y =
A B C
2
x 1 x 2
(x 1)
+ +
− +

b) Tìm họ nguyên hàm của y
 ĐS: A = 3, B = 2, C = 1 ; b) F(x) =
3
2ln(x 1) ln(x 2) C
x 1
− + − + + +

4. Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau :
a) f(x) = tgx ĐS: −ln(cosx) + C
b) f(x) = cotgx ĐS: ln(sinx) + C
c) f(x) = tg
3
x ĐS:
1
2
(tg
2
x – ln(1 + tg

2
x))+ C
d) f(x) =
1
2 2
sin x cos x
+
ĐS: x + C
e) f(x) = sinx.cos2x ĐS:
1 1
cos3x cos x
6 2
− +
+ C
f) f(x) = cos
3
x.sin8x ĐS:
1 3 1 1
cos5x + cos7x + cos9x + cos11x
40 56 24 88
 

 ÷
 
+C
g) f(x) = sin
3
x.
cos x
ĐS:

2 2 4 6
8 x x x x
2.cos 1 1 cos 9cos 6cos
21 2 2 2 2
 
− + − +
 ÷
 
+C
h) f(x) =
cos x
sin x cos x+
ĐS:
2
1 1
ln(tgx 1) l n(1 tg x) x
2 2
 
+ − + +
 ÷
 
+ C
i) f(x) =
x
e
x x
e e

+
ĐS:

( )
2x
1
ln e 1
2
+
+ C
j) f(x) = cosx.cos2x.sin4xĐS:
3 2
4
cos x(35 84cos x 60cosx)
105
− − +
+ C
_________________________________________________________
Chủ đề 1
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
4
Luyện thi Đại học TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT:
1.
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên
hàm của f(x).
Hiệu F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x)
Kí hiệu :
b
b
a
a

f (x)dx F(x) F(b) F(a)= = −

2.

Chú ý
:
b b
a a
f (x)dx f (t)dt=
∫ ∫
, t tùy ý
3. Các tính chất :
i)
a
a
f (x)dx

= 0
ii)
b a
a b
f (x)dx f (x)dx= −
∫ ∫
iii)
b
a
cdx c(b a)= −

iv)
x

a
F(x) f (t)dt=

là một nguyên hàm của f(x)
v)
b c b
a a c
f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +
∫ ∫ ∫
với c∈(a, b)
vi)
b b
a a
k.f (x)dx k f (x)dx=
∫ ∫
vii)
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx± = ±
∫ ∫ ∫
viii) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x∈[a, b] thì
b b
a a
f (x)dx g(x)dx≥
∫ ∫
Đặc biệt, nếu f(x) ≥ 0, ∀x∈[a, b] thì
b
a
f (x)dx 0≥


ix) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀x∈[a, b] thì :
m(b – a) ≤
b
a
f (x)dx

≤ M(b – a)
II. BÀI TẬP:
1)
2
2
sin x dx
π
π


ĐS: 2
2)
3
6
dx
2 2
sin x.cos x
π
π

ĐS:
4
3
3

3)
3
1
dx
x 1 x 1+ + −

ĐS:
4
(2 2)
3

4)
2
0
1 sin xdx
π
+

ĐS:
5)
1
0
dx
4 2
x 4x 3+ +

ĐS:
6)
0
4

cos xdx
π

ĐS:
3
8
π
5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×