Tài liệu Tích phân cấp tốc

CC BI TON TCH PHN CHN LC
1. Tớnh tớch phõn :
2 3
2
5
4
=
+

dx
I
x x
(A 2003)
2. Tớnh tớch phõn :
1
3 2
0
1=

I x x dx
(D b 2A
2003)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
1
1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0

0
1 1 1 2 2
caọn : 0 1; 1 0
1 1 2
1 1
3 5 3 5 15
ẹaởt t x t x x t xdx tdt xdx tdt
ẹoồi x t x t
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
= = = = =
= = = =

= = = = = =



3. Tớnh tớch phõn :
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
+
=

(B
2004)
2

3 2
1 3ln 1 3ln 2
3
dx dx tdt
ẹaởt t x t x tdt
x x
= + = + = =
1 1; 2x t x e t= = = =
( )
2
2 2
2 5 3
4 2
1 1
1
1 2 2 2 2 32 8 1 1 116
3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135
t tdt t t
I t t t dt



= = = = =
ữ

ữ ữ



Tớnh tớch phõn :

ln 5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e

=
+

( B 2006)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ln5 5 5 5
2 2
ln3 3 3 3
5
5
5
3
3
3
. ln3 3, ln 5 5
1 2
2 3 3 2 1 2 1 2
1 1 2 3 1 3
ln 2 ln 1 ln ln ln ln
2 1 1 4 2 2

x x
x
x x
ẹaởt t e dt e dx x t x t
t t
e dx dt dt
I dt
e e t t t t t t
t
dt t t
t t t
= = = = = =

= = = =
+ +




= = = = =

ữ






4. Tớnh tớch phõn :
2

0
sin2 cos
1 cos
x x
I dx
x

=
+

(B 2005)
( ) ( )
( )
2
2 2
0 0
2
2
1 2 2
2 2
2 1 1
1
2sin cos cos sin cos
2
1 cos 1 cos
1 cos sin ; caọn : 0 2, 1
2
1
2 1 1
2 2 2 2 2 2 ln

2
1
2 2 4 ln2 2
2
x x x x x
I dx dx
x x
ẹaởt t x dt xdx ẹoồi x t x t
t dt
t t t
I dt t dt t t
t t t


= =
+ +
= + = = = = =



+
= = = + = +
ữ
ữ




= +

ữ




2ln 2 1
=


5. Tớnh tớch phõn :
2
4
0
1 2sin
1 s 2
x
I dx
in x


=
+

(B 2003)
4
0
2
2
1
1

0 1
cos2
ẹaởt 1 sin 2 2cos2 .
1 sin2
2
4
1 1 1
Vaọy ln ln 2
2 2 2
x t
x
I dx t x dt xdx
x
x t
dt
I t
t


= =
= = + =
+
= =

= = =



6. Tớnh tớch phõn :
3

3
1
dx
I
x x
=
+

(D b 1 B 2004)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= + = + = =
= = = =
+
= = = =
+ +

+



= = + =
ữ


+ +

=


2 2 2
2 3 4 4 4
2
2 2
3 3 3
5
4
4
4
3
3
3
4 4 2 2
ẹoồi caọn : 5 3; 2 3 4
2 2
1
2 2 4 2 2
4
4
1 1 1 1 1 2
ln 2 ln 2 ln
4 2 2 4 4 2
1 1 1
ln ln
4 3 5
ẹaởt t x t x tdt xdx tdt xdx
x t x t

t t
xdx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t
dt t t
t t t

=
ữ

1 5
ln
4 3
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3
2
2 2 2
1 1
4 4 4
4
2
2 2 2
4
2

1 2
Ñaët 1 2 .
1 1
3 4
1
1 1 1 1 1 1
ln 1 ln
2 2 2 1 2
1 1
1 1 1 3 1 1 3
ln ln ln ln
2 2 4 2 2 2
x t
dx xdx
I t x dt xdx
x x x x
x t
t t
dt
I dt dt t t
t t
t t t t
t
t
= ⇒ =
= = = + ⇒ =
+ +
= ⇒ =
− −
 

 
= = = − = − −
 ÷
 
−
− −
 
 
−
= = − =
 ÷
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
7. Tính tích phân :
( )
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
π
= +
∫
(D – 2005)
2 2
sin 2
0 0
cos cos

x
I e xdx xdx A B
π π
= + = +
∫ ∫
2
sin
0
1
1
0
0
2 2
2
2
0 0
0
cos : Ñaët sin cos .
Ñoåi caän : 0 0, 1. 1
2
1 cos2 sin2
cos
2 2 4 4
1
4
x
t t
Tính A e xdx t x dt xdx
x t x t A e dt e e
x x x

Tính B xdx dx
Vaäy I A B e
π
π π
π
π
π
π
= = ⇒ =
 
= ⇒ = = ⇒ = = = = −
 
 
+
= = = + =
 
 
= + = − +
∫
∫
∫ ∫
8. Tính tích phân
0
sin 1
xdx
I
x
π
=
+

∫
.
Đặt
x t dx dt
π
= − ⇒ = −
;
0 , x 0x t t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
0
0
( )
sin( ) 1 sin 1 sin 1
t dt t
I dt
t t t
π
π
π π
π
−
 
⇒ = − = −
 ÷
− + + +
 
∫ ∫
0 0
sin 1 2 sin 1

dt dt
I I
t t
π π
π
π
= − ⇒ =
+ +
∫ ∫
2
2
0 0
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
dt dt
t
t t
π π
π π
π
= =
 
 
−
+
 ÷
 ÷

 
 
∫ ∫
2
0
0
2 4
tan
2 2 2 4
cos
2 4
t
d
t
t
π
π
π
π π π
π
π
 
−
 ÷
 
 
= = − =
 ÷
 
 

−
 ÷
 
∫
. Vậy
I
π
=
.
9.Tính tích phân
2007
2
2007 2007
0
sin
sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
.
Đặt
2
x t dx dt
π
= − ⇒ = −
;

0 , x 0
2 2
x t t
π π
= ⇒ = = ⇒ =
2007
0
2007 2007
2
sin
2
sin cos
2 2
t
I dx
t t
π
π
π π
 
−
 ÷
 
⇒ = −
   
− + −
 ÷  ÷
   
∫
2007

2
2007 2007
0
cos
sin cos
t
dx J
t t
π
= =
+
∫
(1).
Mặt khác
2
0
2
I J dx
π
π
+ = =
∫
(2). Từ (1) và (2) suy ra
4
I
π
=
.
2005
ĐH, CĐ A – 2005

2
0
sin 2 sin
1 3cos
π
+
=
+
∫
x x
I dx
x
KQ:
34
27
Tham khảo 2005
7
3
0
2
1
+
=
+
∫
x
I dx
x
KQ:
141

10
Tham khảo 2005
3
2
0
sin
π
=
∫
I xtgxdx
KQ:
3
ln 2
8
−
Tham khảo 2005
( )
4
sin
0
.cos
π
= +
∫
x
I tgx e x dx
KQ:
1
2
ln 2 1+ −e

Tham khảo 2005
2
1
ln=
∫
e
I x xdx
KQ:
3
2 1
9 9
+e
CĐ A, B – 2005
1
3 2
0
. 3= +
∫
I x x dx
KQ:
6 3 8
5
−
CĐ Xây Dựng Số 3 – 05
3
1
3
3 1 3
−
−

=
+ + +
∫
x
I dx
x x
KQ:
6ln3 8−
CĐ GTVT – 05
1
5 2
0
1= −
∫
I x x dx
KQ:
8
105
CĐ KTế KThuật I – 05
2
3
0
sin 5
π
=
∫
x
I e xdx
KQ:
3

2
3. 5
34
π
+e
CĐ TCKế Toán IV – 05
3
3 5
0
1.= +
∫
I x x dx
KQ:
848
105
CĐ Truyền Hình A – 05
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
π
−
=
+
∫
x
I dx
x
KQ:

1
ln 2
2
ĐH SGòn– 2005
0
2
1
2 4
−
=
+ +
∫
dx
I
x x
KQ:
3
18
π
CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
ln
=
∫
e
x
I dx
x
KQ:

2
1−
e
CĐSP Vĩnh Long – 05
7
3
3
0
1
3 1
+
=
+
∫
x
I dx
x
KQ:
46
15
2006
ĐH, CĐ A – 06
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
π
=
+

∫
x
I dx
x x
KQ:
2
3
Tham khảo 06
6
2
2 1 4 1
=
+ + +
∫
dx
I
x x
KQ:
3 1
ln
2 12
−
ĐH, CĐ D – 06
( )
1
2
0
2= −
∫
x

I x e dx
KQ:
2
5 3
2
− e
Tham khảo 06
( )
2
0
1 sin 2
π
= +
∫
I x x dx
KQ:
1
4
π
+
Tham khảo 2006
( )
2
1
2 ln= −
∫
I x x dx
KQ:
5
ln 4

4
−
Tham khảo 2006
10
5
2 1
=
− −
∫
dx
I
x x
KQ:
2ln 2 1+
Tham khảo 2006
1
3 2ln
1 2ln
−
=
+
∫
e
x
I dx
x x
KQ:
10 11
2
3 3

−
CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006
( )
1
2
0
ln 1= +
∫
I x x dx
(Đổi biến
2
1
= +
t x
, từng phần)KQ:
1
ln 2
2
−
CĐ Nông Lâm – 06
1
2
0
1= +
∫
I x x dx
KQ:
2 2 1
3
−

ĐH Hải Phòng – 2006
1
2
0
1
=
+
∫
x
I dx
x
KQ:
1
ln 2
2
CĐ Y Tế – 2006
2
4
sin cos
1 sin 2
π
π
−
=
+
∫
x x
I dx
x
KQ:

ln 2
CĐTCKT – 06
( )
3
2
0
ln 5= +
∫
I x x dx
KQ:
( )
1
14ln14 5ln5 9
2
− −
CĐ TCHải Quan – 06
( )
3
4
ln
sin 2
π
π
=
∫
tgx
I dx
x
KQ:
2

1
ln 3
16
CĐ Kthuật Cao Thắng – 06
( )
2
3
2
0
sin 2 1 sin
π
= +
∫
I x x dx
KQ:
15
4
CĐKT Tp.HCM − 06
0
ln
=
∫
e
x
I dx
x
KQ:
4 2− e
CĐCN Thực phẩm –06
1

2
0
1
2 2
=
+ +
∫
I dx
x x
KQ:
4
π
CĐ Điện lực Tp.HCM – 06
7
3
3
0
2
3 1
+
=
+
∫
x
I dx
x
KQ:
46
15
CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006

4
2
0
cos
π
=
∫
x
I dx
x
KQ:
2
ln
4 2
π
−
CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D
1
– 2006
( )
2
1
4 1 ln= −
∫
I x x dx
KQ:
6ln 2 2−
CĐSP Hà Nội Khối D
1
– 2006

3
6
sin .sin
3
π
π
π
=
 
+
 ÷
 
∫
dx
I
x x
KQ:
2
ln 2
3
.
2007ĐH, CĐ A – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
( )
1 , 1= + = +
x
y e x y e x
.
KQ:
1

2
−
e
ĐH, CĐ B – 2007 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
ln=y x x
,
0,
= =
y y e
. Tính thể tích của khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.KQ:
( )
3
5 2
27
π
−e
ĐH, CĐ D – 2007
3 2
1
ln=
∫
e
I x x dx
KQ:
4
5 1
32
−e
Tham khảo A 07

4
0
2 1
1 2 1
+
+ +
∫
x
dx
x
KQ:
2 ln 2+
Tham khảo B 07 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( )
2
1
0 à
1
−
= =
+
x x
y v y
x
. KQ:
1
ln 2 1
4 2
π
+ −

Tham khảo B07 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
à 2= = −y x v y x
. KQ:
1
2 3
π
+
Tham khảo D07
( )
1
2
0
1
4
−
−
∫
x x
dx
x
KQ:
3
1 ln 2 ln3
2
+ −
Tham khảo D07
2
2
0

cos
π
∫
x x dx
KQ:
2
2
4
π
−
CĐSPTW 07 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2= −y x
;
; 1; 0
= = − =
y x x x
. KQ:
7
6
CĐ GTVT – 2007
3
2
0
4cos
1 sin
π
+
∫
x

dx
x
KQ: 2
CĐ Công nghệ thông tin Tp.HCM 07
7
3
0
2
1
+
+
∫
x
dx
x
KQ:
231
10
CĐ Khối A – 2007
2007
1
2
1
3
1 1
1
 
+
 ÷
 

∫
dx
xx
KQ:
2008 2008
3 2
2008
−
CĐ Cơ khí luyện kim – 2007
( )
2
1
ln
∫
e
x x dx
KQ:
( )
3
1
5 2
27
−e
CĐSP Vĩnh Phúc – 2007
( )
4
2
1
sin
π

∫
x x dx
KQ:
3 2
1
384 32 4
π π
− +
CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
=y x
,
2
cos= +y x x
,
0=x
,
π
=x
.
KQ:
2
π
CĐ Khối D – 2007
0
2
1
−
+
∫
x dx

KQ: 1
2008
ĐH, CĐ A – 2008
4
6
0
cos2
π
∫
tg x
dx
x
KQ:
( )
1 10
ln 2 3
2
9 3
+ −
ĐH, CĐ B – 2008
( )
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
π
π
 
−

 ÷
 
+ + +
∫
x dx
x x x
KQ:
4 3 2
4
−
ĐH, CĐ D – 2008
2
3
1
ln
∫
x
dx
x
KQ:
3 2ln 2
16
−
CĐ A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
: 4= − +P y x x
và đường thẳng
: =d y x
.KQ:

9
2

2009ĐH, CĐ A – 2009 . I =
2
5 2
0
cos cos .
π
−
∫
x x dx

I =
2 2
5 2
0 0
cos . cos .
π π
−
∫ ∫
x dx x dx
= I
2
+ I
1
. Ta có:
I
2
=

2 2
2
0 0
1
os . (1 os2x).dx
2
π π
= +
∫ ∫
c x dx c
=
1 1
sin 2
2
2 2 4
0
π
π
 
+ =
 ÷
 
x x
I
1
=
2 2
5 4
0 0
os . os . osx.

π π
=
∫ ∫
c x dx c x c dx
=
2
2 2
0
(1 sin ) (sin )
π
−
∫
x d x
=
3
5
1 2sin 8
sin sin
2
5 3 15
0
π
 
− + =
 ÷
 
x
x x
.Vậy I = I
1

– I
2
=
8
15 4
π
−
KQ:
( )
1 10
ln 2 3
2
9 3
+ −
ĐH, CĐ B – 2009
3
2
1
3 ln
( 1)
+
=
+
∫
x
I dx
x
=
3 3
2 2

1 1
ln
3
( 1) ( 1)
dx x
dx
x x
+
+ +
∫ ∫
3
3
1
2
1
1
3 3
3
( 1) 4( 1)
dx
I
xx
−
= = =
++
∫
3
2
2
1

ln
( 1)
=
+
∫
x
I dx
x
.Đặt u=lnx⇒du=
dx
x
,
2
( 1)
dx
dv
x
=
+
⇒
1
1
−
=
+
v
x
3
3 3 3
2

1
1 1 1
ln ln 3 ln3 3
ln
1 ( 1) 4 1 4 2
= − + = − + − = − +
+ + +
∫ ∫ ∫
x dx dx dx
I
x x x x x
Vậy :
3
(1 ln 3) ln 2
4
= + −I
ĐH, CĐ D – 2009
3
1
1
=
−
∫
x
dx
I
e
=
3
1

1
1
x x
x
e e
dx
e
− +
=
−
∫

3 3
3
1
1 1
2 ln 1
1
x
x
x
e
dx dx e
e
− + = − + −
−
∫ ∫
=
2
2 ln( 1)e e− + + +

CD ABD−09 I =
1
2
0
( )
x x
e x e dx
−
+
∫
. ĐS: 2 −
1
e
.