Chuyen de Quan he giua duong thang va parabol

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

A. Đặt vấn đề

Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng THCS là nhiệm vụ số một và
cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Đặc biệt là vấn đề chất lợng
giáo dục học sinh giỏi lớp 9 và chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Trong dạy học, muốn nâng cao chất lợng bộ mơn và giờ dạy đạt kết quả tốt
địi hỏi mỗi giáo viên không những phải nắm chắc kiến thức, nghiên cứu kĩ
bài giảng mà còn phải biết sáng tạo, không ngừng đổi mới phơng pháp dạy
học.

Trong q trình dạy học tốn nói chung cũng nh q trình bồi dỡng học
sinh giỏi Tốn 9 hay hớng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT nói riêng, tơi
nhận thấy việc giáo viên thờng xuyên ôn tập, hệ thống kiến thức, phân loại bài
tập, hình thành phơng pháp và kĩ năng giải tốn cho học sinh là rất cần thiết.
Nếu nh giáo viên làm tốt, đa ra đợc những dạng tốn điển hình thì học sinh sẽ
đợc khắc sâu kiến thức, tiếp thu bài học tốt, rèn luyện kĩ năng tốt, do đó mà
học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn. Việc giải các bài tốn nâng cao sẽ
khơng cịn là một trở ngại lớn đối với các em. Hơn thế nữa, việc làm đó cịn
phát triển t duy, sáng tạo cho học sinh, khơng những học sinh làm tốt các bài
tốn ở dạng quen thuộc, đã đợc luyện tập nhiều mà trớc một bài tốn lạ học
sinh cũng sẽ khơng bị lúng túng, các em biết cách chuyển các bài toán lạ đó
về những dạng quen thuộc, đã đợc rèn luyện nhiều để giải. Nhờ đó mà chất
l-ợng bồi dỡng học sinh giỏi, chất ll-ợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT đợc nâng
lên.

Với suy nghĩ nêu trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, với mong muốn
nâng cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9, nâng cao chất lợng tuyển
sinh vào lớp 10 THPT, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề “Quan hệ giữa
parabol y = ax2_{và đờng thẳng y = mx + n” với nội dung hệ thống, phân loại}
bài tập thành từng dạng. Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải và rèn luyện kĩ

năng giải toán cho học sinh. Nội dung chuyên đề thể hiện sự hồn thiện thêm
một bớc các dạng tốn về hàm số sau chuyên đề “Hàm số bậc nhất”, cùng với
hệ thống bài tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ
bản đến nâng cao, phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Một số bài
tập đợc viết theo hớng mở, giáo viên có thể khai thác tuỳ theo đối tợng học
sinh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

B. Néi dung

Chuyên đề:

Quan hệ giữa parabol y = ax

2

_{và đờng thẳng y = mx + n}

<b>I) Tóm tắt lí thuyết</b>

Hồnh độ giao điểm của parabol (P): y = ax2₍

a 0) và đờng thẳng (d):
y = mx + n (m0) là nghiệm của phơng trình:

ax2_{= mx + n}_ _ax2_{– mx + n = 0 (}_₎

Phơng trình () đợc gọi là phơng trình hồnh độ giao điểm của
(P) và (d).

 (P) và (d) không giao nhau () vô nghiệm.
 (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau  () cã nghiƯm kÐp.

 (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt  () cã hai nghiƯm
ph©n biệt.

<b>II) Các dạng toán điển hình</b>

<b>Dạng 1. </b>

<b> VÏ parabol (P): y = ax</b>

<b>2</b>

<b>₍</b>

<b>a 0</b>



<b>) và đờng thẳng (d): </b>

<b>y = mx + n (</b>

<b>m 0</b>



<b>) trên cựng mt h trc to Oxy.</b>

Phơng pháp gi¶i

<b>:</b>

– Vẽ hệ trục toạ độ Oxy.

– Xác định hai điểm phân biệt của (d) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
– Xác định năm điểm phân biệt của (P) rồi vẽ parabol đi qua năm điểm ấy.

<b>D¹ng 2. </b>

<b> Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P): y = ax</b>

<b>2</b>

<b>₍</b>

<b>a 0</b>



<b>) và đờng thẳng (d): y = mx + n (</b>

<b>m</b>

<b>0</b>

<b>).</b>

Phơng pháp giải

<b>:</b>

Vit phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d).
– Giải phơng trình để tìm hồnh độ các giao điểm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ Nếu phơng trình vô nghiệm thì kết luận (P) và (d) không giao nhau.

+ Nu phng trình có nghiệm: Thay giá trị tìm đợc của hồnh độ các giao

điểm vào công thức y = ax2_{hoặc y = mx + n để tính tung độ các giao điểm.}
– Trả lời bài tốn.

<b> VÝ dơ.</b> Cho hai hµm sè y = x2_{vµ y = x + 2.}

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao im ca hai th hm s ú.

<i><b>Bài giải</b></i><b>:</b>

<i> a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x2_{và y = x + 2 trên cùng một hệ trục toạ}</i>

<i>độ. </i>

x 0 –

2 x –2 –1 0 1 2

y = x + 2 2 0 y = x2 ₄ ₁ ₀ ₁ ₄

<i>b) Tìm toạ độ các giao điểm của</i>
<i>hai đồ thị hàm số</i>.

Xét phơng trình hồnh độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số y = x2_và
y = x + 2:

x2_{= x + 2}

 x2_{– x – 2 = 0}

cã: a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0

 x1 = – 1  y1 = 1, ta cã A(– 1; 1)
x2 = 2  y2 = 4, ta cã B(2; 4)

Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm
số y = x2_{và y = x + 2 là A(– 1; 1) và}
B(2; 4).

<b>D¹ng 3.</b>

<b> Tìm giá trị của tham số để</b>

<b>parabol (P): y = ax</b>

<b>2</b>

<b>₍</b>

<b>a 0</b>



<b>)</b>

<b>và đờng thẳng (d): y = mx + n (</b>

<b>m</b>



<b>0</b>

<b>) thoả mãn một</b>

<b>trong các vị trớ tng i.</b>

Phơng pháp giải

<b>:</b>

Vit phng trỡnh hồnh độ giao điểm của (P) và (d).

– Tìm giá trị của tham số để phơng trình vơ nghiệm; có nghiệm kép hay có
hai nghiệm phân biệt tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (P) và (d).

– Tr¶ lêi bài toán.

<b> Ví dụ.</b> Cho hai hàm số y = x2_{vµ y = 2x + m.}

Tìm giá trị của m để đồ thị các hàm số này tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tip
im ng vi giỏ tr tỡm c ca m.

<i><b>Bài giải</b></i><b>:</b>

email:

x
O

y

-1

-2 1 2

1
2
3
4
5

-1
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Xét phơng trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x và
y = 2x + m:

x2_{= 2x + m}

 x2_{– 2x – m = 0 (}_₎
_ = 1 + m

Đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau  Phơng trình () có nghiệm
kép   = 0  1 + m = 0  m = – 1.

Khi đó phơng trình () có nghiệm kép: x1 = x2 = 1  y = 1

 Tiếp điểm (1; 1).
Vậy với m = – 1 thì đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau, tiếp điểm
là (1; 1).

<b>D¹ng 4.</b>

<b> Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp</b>

<b>xúc với parabol</b>

<b>(P): y = ax</b>

<b>2</b>

<b>₍</b>

<b>a 0</b>

<b>).</b>

Phơng pháp giải

<b>:</b>

Phng trỡnh đờng thẳng (d) có dạng y = kx + b (1)

– Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và
(P): ax2_{= kx + b có nghiệm kép. Giải điều kiện này, tìm đợc b.}

– Thay giá trị tìm đợc của b vào (1) ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) cần
tìm.

<b> Ví dụ.</b> Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng ():

y = 4x + 1 và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2_.

<i><b>Bài giải</b></i><b>:</b>

ng thng (d) song song với đờng thẳng (_): y = 4x + 1 nên phơng trình
đờng thẳng (d) có dạng: y = 4x + b (_b_₁)

Xét phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P):

2x2_{= 4x + b}_ _2x2_{– 4x – b = 0 (}_₎
__' = 4 + 2b

(d) vµ (P) tiÕp xóc víi nhau phơng trình () có nghiệm kép.
 _' = 0

 4 + 2b = 0

 b = – 2 (TM§K)

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng: y = 4x – 2.

<b>D¹ng 5.</b>

<b> Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm </b>

<b>A(xA; yA) và tiếp xúc với parabol</b>

<b>(P): y = ax</b>

<b>2</b>

<b>₍</b>

<b>a 0</b>

<b>).</b>

Phơng pháp giải

<b>:</b>

Phng trỡnh đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n. ()
– (d) đi qua A(xA; yA)  yA = mxA + n (1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

– Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và
(P): ax2_{= mx + n có nghiệm kép. Giải điều kiện này tìm đợc một hệ thức liên}
hệ giữa m và n. (2)

– Kết hợp (1) và (2) để tìm m, n.

– Thay giá trị tìm đợc của m, n vào () và trả lời bài tốn.

<b> Ví dụ.</b> Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xỳc vi
parabol (P): y = x2_.

<i><b>Bài giải</b></i><b>:</b>

Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n

(d) đi qua điểm A(2; 3) nên: 2m + n = 3  n = 3 – 2m (1)
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P):

x2_{= mx + n}_ _x2_{– mx – n = 0}
_ = m2_{+ 4n}

Do (d) vµ (P) tiÕp xóc nhau  _ = 0  m2_{+ 4n = 0 (2)}
ThÕ (1) vµo (2) ta cã: m2_{+ 4(3 – 2m) = 0}

 m2_{– 8m + 12 = 0}

__' = 16 – 12 = 4  __' = 2

m1 = 4 – 2 = 2

m2 = 4 + 2 = 6

Với m = 2, thay vào (1)  n = – 1. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm
có dạng: y = 2x – 1.

Với m = 6, thay vào (1)  n = – 9. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm
có dạng: y = 6x – 9.

Vậy có hai đờng thẳng đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với parabol (P):
y = x2_{là: y = 2x – 1 và y = 6x – 9.}

<b>III) Bµi tËp</b>

<b>Bµi 1.</b>

Cho hai hµm sè y = 1
2x

2_{vµ y = 3x – 4.}

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

<i>a) Đồ thị</i>.

email:

x
O

y

2

2
-2

4
6
8
10

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>b)</i> <i>Giao ®iĨm</i>.
(2; 2) vµ (4; 8)

<b>Bµi 2.</b>

Cho các hàm số: y = x2_(P)
y = 3x – 2 (d)

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

<i> a) Đồ thị</i>.

<i>b) Giao điểm</i>.
(1; 1) và (2; 4).

<b>Bµi 3.</b>

Cho parabol (P) có phơng trình: y = x2_{– 2x – 1 và đờng thẳng (d) có}
ph-ơng trình: y = – mx + m2_.

a) Chøng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biÖt.

b) Gọi giao điểm của (P) và (d) là A và B có hồnh độ lần lợt là xA, xB. Xác
định giá trị của tham số m sao cho 2 2

A B

x x 10.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

<i>a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt</i>.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):

x2_{– 2x – 1 = – mx + m}2
 x2_{– 2x – 1 + mx – m}2_{= 0}
 x2_{+ (m – 2)x – (m}2_{+ 1) = 0}_{( )}_
_ = (m – 2)2_{+ 4(m}2_{+ 1)}

= m2_{– 4m + 4 + 4m}2_{+ 4}
= 5m2_{– 4m + 8}

= 5 m2 4m 8

5 5

 

 

 

 

= 5 m2 2. m2 4 4 8

5 25 25 5

 

   

 

 

email:

x
O

y

-1

-2 1 2

1
2
3
4
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

=
2
2 36
5 m
5 25
_ _ 
 
_ _ 
 
 
 
=
2
2 36
5 m
5 5
 
 

 
 

> 0 _m Phơng trình ( ) cã nghiƯm _m.

VËy (d) lu«n luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

<i><b> Chú ý</b></i><b>.</b> Có thể nhận định ngay  =

2 2

0 0

(m 2) 4(m 1)

 

  

       > 0 m hoặc
phơng trình () có hệ số a, c trái dấu để kết luận () có nghiệm _m

<i>b) Xác định giá trị của tham số m sao cho </i> <i>2</i> <i>2</i>
<i>A</i> <i>B</i>

<i>x</i>  <i>x</i> <i>10</i>.
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):

x2_{+ (m – 2)x – (m}2_{+ 1) = 0}_{( )}_

áp dụng định lí Vi-ét, ta có: A B ₂

A B

x x m 2

x .x (m 1)

  



 



Theo bµi ra ta cã: 2 2

A B

x x 10

 2

A B A B

(x x )  2x x 10
 (m – 2)2_{+ 2(m}2_{+ 1) = 10}
 m2_{– 4m + 4 + 2m}2_{+ 2 = 10}
 3m2_{– 4m – 4 = 0}

_' = 4 + 12 = 16  __' = 4

m1 = 2 4 2

3 3



 ; m2 = 2 4 2
3



 .

VËy víi m = 2
3

hoặc m = 2 thì 2 2

A B

x x 10.

<b>Bµi 4.</b>

Cho parabol (P): y = x2_{. Trên (P) lấy hai điểm A, B có hồnh độ lần lợt là 1;}
3. Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Ta có: A(1; yA)  (P): y = x2 _ _{yA = 1}2_{= 1}_ _{A(1; 1)}
B(3; yB)  (P): y = x2 _ _{yB = 3}2_{= 9}_ _{B(3; 9)}
Phơng trình đờng thẳng AB: y = 4x – 3.

<i><b> Chú ý</b></i><b>.</b> Dạng tốn viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B đã
đợc trình bày trong Chuyên đề <b>Hàm số bậc nhất.</b>

<b>Bµi 5.</b>

Cho parabol (P): y = 1 2
x

2 và đờng thẳng (d): y = px + q. Xác định p, q để
đờng thẳng (d) đi qua điểm A(– 1; 0) và tiếp xúc với parabol (P). Tìm toạ độ
tiếp điểm.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

(d) có phơng trình: y = 0, tiếp điểm O(0; 0)

hoặc: y = 2x 2, tiếp điểm M( 2; 2).

<b>Bµi 6.</b>

Cho parabol (P): y = x2_.

a) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là – 1 và 2. Viết
ph-ơng trình của đờng thẳng AB.

b) Viết phơng trình của đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng AB và
tiếp xúc với parabol (P).

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

a) AB: x + 2.

b) (d): y = x – 1
4.

<b>Bµi 7.</b>

Cho parabol y = x2_{. Tìm điểm A thuộc parabol sao cho tiếp tuyến với}
parabol tại A song song với đờng thẳng y = 4x + 5.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Tìm n để phơng trình x2_{= 4x + n (}

n 5) có nghiệm kép, đợc n = – 4.
Tiếp điểm A có toạ độ là (2; 4).

<b>Bµi 8.</b>

Cho parabol (P): y = x2_{và hai điểm A, B thuộc parabol với hoành độ tơng}
ứng là – 1 và 2. Tìm điểm M trên cung AB của parabol sao cho tam giác
AMB có diện tích lớn nhất.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

email:

x
y

4

O
3

2

1

1 2

-2 -1

A

B

(d)

1
2
1

4 M

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta cã A(– 1; yA)  (P): y = x2 _ _{yA = (– 1)}2_{= 1}_ _{A(– 1; 1)}
B(2; yB)  (P): y = x2 _ _{yB = 2}2_{= 4}_ _{B(2; 4)}

Phơng trình đờng thẳng AB: y = x + 2.

Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng AB và tiếp xúc với parabol (P): y
= x2_{có phơng trình: y = x –}1

4

Tiếp điểm của (d) và (P) có toạ độ là 1; 1
2 4

 
 
 

Tr¶ lêi: M 1; 1
2 4

 
 
 .

<b>Bµi 9.</b>

Cho parabol y = 1
2 x

2_{và đờng thẳng y =}1

2 x + 3.

a) Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ.

b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho.
c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol đó sao cho tam giác
ABC có diện tích lớn nhất.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

<i>a) Vẽ parabol và đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ</i>.

email:

x
O

y
6

5
4,5
4
3

2

1

1 2 3

-3 -2 -1

-1

(d)
A

B

C

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của parabol và đờng thẳng đã cho</i>.

Hoành độ giao điểm của parabol y = 1
2 x

2_{và đờng thẳng y =}1

2x + 3 là
nghiệm của phơng trình:

1

2 x
2₌1

2x + 3 (1)

Phơng trình (1) có hai nghiệm x = – 2 vµ x = 3.
 Víi x = – 2 th× y = 2.

 Víi x = 3 th× y = 41
2.

Giao điểm của parabol với đờng thẳng là A(– 2; 2) và B 3; 41
2

 
 
 .

<i> c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol y = </i> <i>1</i>
<i>2x</i>

<i>2_{sao cho}</i>

<i>tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch lín nhÊt</i>.

Ta cần tìm điểm C thuộc cung AB và cách xa AB nhất. Ta xác định đờng
thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với parabol, tiếp điểm là điểm C cần
tìm.

Đờng thẳng (d) song song với AB có d¹ng y = 1

2 x + n. (n 3)

Điều kiện để (d) tiếp xúc với parabol là phơng trình sau có nghiệm kép:

1

2 x
2₌1

2x + n (2)
 x2_{– x – 2n = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Phơng trình (2) có nghiệm kép  = 0  1 + 8n = 0  n = 1
8

 .

Víi n = 1
8

thì nghiệm kép của (2) là x = 1

2 . Khi đó:

y = 1
2x

2₌

2
1 1
.
2 2
 

 
 

= 1
8.

Toạ độ tiếp điểm C của đờng thẳng (d) với parabol là C 1 1;
2 8

 
 
 .

Mọi điểm C’ khác C thuộc cung AB của parabol đều có khoảng cách đến
AB nhỏ hơn khoảng cách từ C đến AB.

Vậy ABC có diện tích lớn nhất khi điểm C có toạ độ 1 1;
2 8

 
 
 .

<b>Bµi 10.</b>

Cho parabol y = x2_{. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đờng thẳng}
y = 1

4

 , c¸c tiÕp tuyến kẻ từ M với parabol vuông góc với nhau.

<i><b>Hớng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Trớc hết lập phơng trình đờng thẳng y = mx + n đi qua M x ; ₀ 1
4

 

 

  đợc: y

= mx – mx₀ 1
4

 



 

 .

Giải điều kiện phơng tr×nh x2_{= mx –}
0
1
mx
4
 


 

  có nghiệm kép, đợc

m2_{– 4m – 1 = 0.}

Hai nghiÖm m1, m2 của phơng trình này có tích m1m2 = – 1 (theo hÖ thøc
Vi-Ðt) chøng tá r»ng hai tiÕp tuyến với parabol kẻ từ M vuông góc với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>Bµi 11.</b>

Cho parabol y = x2_{. Gọi A, B là các giao điểm của đờng thẳng y = mx + 2}
với parabol (m là tham số). Tìm giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ
nhất. Cho biết cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm (x1; y1) và (x2; y2) là:

2 2

2 1 2 1

(x  x ) (y  y )

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Gọi toạ độ của A và B theo thứ tự là (x1; y1) và (x2; y2). Các điểm A, B
thuộc parabol y = x2_{nên y1 =} 2

1

x , y2 = 2

2

x . Ta cã:
AB2_{= (x2 – x1)}2_{+ (y2 – y1)}2_.

Do A, B là giao điểm của parabol y = x2_{và đờng thẳng y = mx + 2 nên x1,}
x2 là các nghiệm của phơng trình x2_{= mx + 2, tức là x}2_{– mx – 2 = 0.}

Gi¶ sư x1 < x2 th× 2
1

m m 8

x

2

 

 ,

2
2

m m 8

x

2

 

 .

Khi đó x2 – x1 = 2
m 8 ,
x2 + x1 = m,

y2 – y1 = 2 2
2 1

x  x = m 2
m 8 .
Suy ra

AB2_{= (m}2_{+ 8) + m}2_(m2_{+ 8) = (m}2_{+ 8)(m}2_{+ 1) = m}4_{+ 9m}2_{+ 8}__8.
Do đó min AB = _{2 2}  m = 0.

email: x
y

O
2

A

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>Bµi 12.</b>

Cho parabol y = 1
4 x

2_{, điểm A(0; 1) và đờng thẳng (d) có phơng trình}
y = – 1. Gọi M là một điểm bất kì thuộc parabol. Chứng minh rằng MA bằng
khoảng cách MH từ điểm M đến đờng thẳng (d).

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Gäi M(x; y)

Ta lu«n cã MH = y + 1 (1)
Để tính MA, ta kẻ MI Oy.
Ta cã MI = x, AI = y 1 nªn

MA2_{= MI}2_{+ AI}2_{= x}2_{+ (y – 1)}2
= x2_{+ y}2_{– 2y + 1.}

Do y = 1
4x

2_{nên thay x}2_{bởi 4y ta đợc}

MA2_{= 4y + y}2_{– 2y + 1 = (y + 1)}2_.
Do đó MA = y 1 = y + 1 (do y  0).

Tõ (1) vµ (2) ta cã MA = MH.

<b>Bµi 13.</b>

Cho điểm A(0; a), gọi (d) là đờng thẳng có phơng trình y = – a. Chứng
minh rằng quỹ tích của điểm M(x; y) sao cho khoảng cách MH từ M tới (d)
bằng MA là một parabol.

email:

M(x; y)
I

H

O x

y

A 1

-1
y = -1



</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M(x; y) và A(0; a) ta có:
MA2_{= (x – 0)}2_{+ (y – a)}2

= x2_{+ y}2_{– 2ay + a}2_.
Ta lại có MH = ya nên

MH2_{= (y + a)}2_{= y}2_{+ 2ay + a}2_.
MA2_{= MH}2

 x2_{+ y}2_{– 2ay + a}2_{= y}2_{+ 2ay + a}2_.

 x2_{= 4ay}_ _{y =} 1 2
x
4a .

Do đó quỹ tích của M là parabol y = 1 2
x
4a .

<i><b> Chú ý</b></i><b>.</b> Tổng quát, cho một điểm A và đờng thẳng (d) không đi qua A,
quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách MA bằng khoảng cách từ M đến (d)
là một parabol. Khi đó điểm A gọi là <i>tiêu điểm</i>, đờng thẳng (d) gọi là <i>đờng</i>
<i>chuẩn</i> của parabol.

<b>Bµi 14.</b>

Cho parabol (P): y = 1
2

 x2_{và đờng thẳng (d): y = ax (}

a0).

a) Chứng minh rằng parabol (P) và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai
điểm phân biệt và một trong các giao điểm của parabol (P) và đờng thẳng (d)
là O(0; 0).

b) Gọi I là giao điểm thứ hai của (P) và (d); K là trung điểm của OI. Khi
đ-ờng thẳng (d) quay xung quanh gốc toạ độ O(0; 0) thì điểm K di chuyển trên
đờng nào?

email:

M(x; y)

H

O x

y

A a

-a
y = -a



(d)

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

<i>a)</i> <i>Chøng minh r»ng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và một</i>
<i>trong các giao điểm của (P) và (d) lµ O(0; 0)</i>.

Phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d): 1

2

 x2_{= ax lu«n cã hai}
nghiệm phân biệt _a₀ nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Toạ độ điểm O(0; 0) thoả mãn hai công thức y = 1
2

 x2_{và y = ax nên}
O(0; 0) là một trong các giao điểm của (P) và (d).

<i>b) Khi đờng thẳng (d) quay xung quanh gốc toạ độ O(0; 0) thì điểm K di</i>
<i>chuyển trên đờng nào?</i>

Gọi toạ độ điểm I là (m; n). Điểm I thuộc parabol y = 1
2

 x2_nªn

n = 1
2

 m2₍₁₎

Gọi toạ độ của điểm K là (x; y), ta cần biểu thị y theo x.

K là trung điểm của OI nªn x = m

2 , y =
n

2. Suy ra m = 2x, n = 2y. Thay
vào (1) ta đợc 2y = 1

2

 (2x)2_{= – 2x}2_.

Do đó y = – x2_{. Điểm K di chuyển trên parabol y = – x}2_.

<b>Bµi 15.</b>

Cho parabol (P): y = – x2_{. Đờng thẳng (d): y = m cắt (P) tại hai điểm A và}
B. Tìm giá trị của m để tam giác AOB là tam giác đều. Tính diện tích của tam
giác đều đó.

<i><b>Híng dÉn gi¶i</b></i><b>:</b>

email:







x
O

y

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ta lập phơng trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d):
– x2_{= m.}

Do đó m < 0 và vì vậy x = _{ } _m.

Vậy giao điểm của đờng thẳng y = m với (P) là
A



 m; m



và B



m; m



AB = 2 _ _m

OA = OB =





2 2

m m

  = 2
m m

AOB đều  2

m m = 2  m  m2 + 3m = 0  m 0 (lo¹i)
m 3



 _

DiƯn tÝch tam giác AOB là

S = 12 3. 3 3 3

2   (®vdt).

email:

x
y

O

y = m

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Trích một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và đề thi

học sinh giỏi

<b>Bài 1.</b> <i><b>(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành phố Hà Nội năm</b></i>
<i><b>học 2006 </b></i>–<i><b> 2007)</b></i>

Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2_.
Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vng góc của A và B trên trục hồnh.
Tính diện tích tứ giác ABCD.

<b>Bài 2.</b> <i><b>(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm học</b></i>
<i><b>2006 </b></i>–<i><b> 2007)</b></i>

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P):

y = x2_.

a) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P).

b) Cho điểm M thuộc (P) có hồnh độ là m (với  1m2). Chứng minh

r»ng:
SMAB

8
27

 (SMAB là diện tích của tam giác MAB).

<b>Bi 3.</b> <i><b>(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Ngoại ngữ Trờng</b></i>
<i><b>ĐH Ngoại ngữ, ĐH Quốc gia Hà Nội năm học 2006 </b></i>–<i><b> 2007)</b></i>

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có phơng trình y =
2
x
2

 _{. Gäi}

(d) là đờng thẳng đi qua điểm I(0; – 2) và có hệ số góc k.

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d). Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi k thay đổi.

b) Gäi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành.

Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.

<b>Bi 4.</b> <i><b>(Trớch thi tuyn sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thái Bình năm học</b></i>
<i><b>2007 </b></i>–<i><b> 2008)</b></i>

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng parabol (P): y = x2_{và đờng thẳng}
(d): y = 2(m – 1)x – (m2_{– 2m).}

a) Tìm m để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ O.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3.

c) Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn:
1 2

y  y = 8.

<b>Bài 5.</b> <i><b>(Trích đề thi chọn Học sinh giỏi tỉnh mơn Tốn lớp 9 THCS tỉnh</b></i>
<i><b>Thái Bình năm học 2007 </b></i>–<i><b> 2008)</b></i>

Cho parabol (P): y = – x2_{và đờng thẳng (d): y = – 2x + m (m là tham}
số).

Với giá trị nào của m thì (P) và (d) chỉ có một điểm chung? Khi đó (d) gọi
là tiếp tuyến của (P), vẽ parabol (P) và đờng thẳng (d) trên cùng một mặt
phẳng toạ độ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Tìm những giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
dơng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

C. KÕt luËn

Khi áp dụng các bài tập vào quá trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh rất
có hứng thú học tập. Các em biết phát hiện kiến thức và tìm đợc mối liên hệ
giữa chúng. Do vậy bài tập không trở nên quá nặng nề đối với sức học của các
em. Do đợc rèn kĩ năng giải từng dạng toán điển hình ngay từ đầu nên sau này
khi gặp các bài toán về quan hệ giữa parabol y = ax2_{và đờng thẳng}
y = mx + n trong bài tổng hợp hay bài ôn tập, học sinh đều biết cách làm. Giờ
học thu hút học sinh, các em tạo đợc lịng tin vào khả năng của mình, nhiệt
tình ham mê học và chất lợng bộ môn tiến bộ rõ rệt.

Trong quá trình xây dựng chuyên đề khó tránh khỏi thiếu sót. Tơi rất mong
đợc sự góp ý chân thành của các đồng chí lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp.

<i>ThÞ trÊn Hng Hà, ngày 7 tháng 5 năm 2008</i>

<i><b>Ngêi viÕt:</b></i>

Nguyễn Thế Thành

</div>

<!--links-->