Một số dạng toán về quan hệ giữa ĐƯỜNG THẲNG và PARABOL (Đại số 9)

Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Trớc hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ
bản thờng xuyên sử dụng sau:
Cho Parabol y=a'x
2
(P) và đờng thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x
2
(P) và đờng
thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phơng trình:
a'x
2
= ax + b
<=> a'x
2
ax b = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và
chỉ khi phơng trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp
xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành
độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phơng trình đó.
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi
và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của
mối quan hệ này:
Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = x + 6

Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = x + 6 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= x + 6
x
2
x 6 = 0
= b
2
4ac
= (1)
2
4.1.( 6)
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
1
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
= 1 + 24
= 25
D = 5
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
1 5
3
2 2
b
x

a
- + D +
= = =
2
1 5
2
2 2
b
x
a
- - D -
= = = -
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng
thẳng (d) y = 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x + 4 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 5x + 4
x
2
5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (5) + 4 = 0 nên x
1

= 1; x
2
= 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4
Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng.
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
2
y x
và đờng
thẳng (d): y = 3x 4
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
2
y x
và đờng thẳng (d):
y = 3x 4 là nghiệm của phơng trình:
2
2
1
3 4
2
6 8 0
x x
x x

= -
- + =
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.8
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
2
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
= 9 8
= 1
'D = 1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
' ' 3 1
4
1
b
x
a
- + D +
= = =
2
' ' 3 1
2
1
b
x

a
- - D -
= = =
Thay x
1
= 4 vào ta đợc y
1
= 8
Thay x
2
= 2 vào ta đợc y
2
= 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
3
y x
và đờng
thẳng (a): y = 2x 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P)
=
2
1
3
y x
và đờng thẳng (a):

y = 2x 3 là nghiệm của phơng trình:
2
2
1
2 3
3
6 9 0
x x
x x
= -
- + =
' = b'
2
ac
= (3)
2
1.9
= 9 9
= 0
Phơng trình có nghiệm kép:
1 2
' 3
3
1
b
x x
a
-
= = = =
Thay x = 3 vào ta đợc y = 3

Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)
Dạng 3: Chứng minh về vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng
thẳng.
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
3
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
= -
2
4y x
luôn tiếp xúc với đờng
thẳng (d): y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 4x
2
với đờng thẳng
(d) y = 4mx + m
2
là nghiệm của phơng trình:
4x
2
= 4mx + m
2
4x
2
+ 4mx + m
2
= 0

= b
2
4ac
= (4m)
2
4.4.m
2
= 16m
2
16m
2
= 0 m
Phơng trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đ-
ờng thẳng (d) y = 4mx + m
2
khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
y x
luôn có điểm chung với
đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2(m 1)x 2m + 3 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m 1)x 2m + 3

x
2
2(m 1)x + 2m 3 = 0
' = b'
2
ac
= [(m 1)]
2
(2m 3)
= m
2
2m +1 2m + 3
= m
2
4m +4
= (m 2)
2
0 m
Phơng trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm
chung với đờng thẳng (d): y = 2(m 1)x 2m + 3 khi m thay đổi.
Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt
phẳng toạ độ giữa Parabol và đờng thẳng.
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
4
Sáng kiến kinh nghiệm 2007 - 2008
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=
2
3y x
cắt đờng thẳng (d): y =

5x 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x
2
với đờng thẳng (d)
y = 5x 2 là nghiệm của phơng trình:
3x
2
= 5x 2
3x
2
5x + 2 = 0
Ta có a + b + c= 3 + (5) + 2 = 0
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
1x =
;
2
2
3
c
x
a
= =
Ta thấy hai nghiệm này cùng dơng. Suy ra hoành độ giao điểm đều d-
ơng. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục
tung.
Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P)
=-
2

y x
cắt đờng thẳng (d): y
= 2x 2007 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x
2
với đờng thẳng (d)
y = 2x 2007 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2x 2007
x
2
+ 2x 2007 = 0
Vì có a.c = 1.( 2007) < 0 nên phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đờng thẳng và Parabol.
Ví dụ 9: Cho Parabol (P)
=
2
y x
cắt đờng thẳng (D): y = 2(m +1)x
m
2
9. Tìm m để:
a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P).
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x

2
với đờng thẳng (D)
y = 2(m +1)x m
2
9 là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m +1)x m
2
9
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà
5