toan1Bai07KynangTaylor

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (458.08 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

---TỐN 1

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

• BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC

---Từ khai triển hàm y = ex  Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx

 

, 0
3

tg 4






x x o x x

x Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ của số hạng bị triệt tiêu!









, 0

)!
2
(

1
...

!
4
!

2
1

cos 2 4 2 2 1











 o x  x

n
x
x

x

x n n

n









0
,

)!
1
2

(
1
...

!
3

sin 2 2

1
2












 



x
x

o
n

x
x

x

x n

n
n
...

!
2
1

2





 x x

ex

chẵn
Mũ

lẻ
Mũ













1
2
2

2
2

2
1

2
3

)!
2
(
...
!

2
1

ch
,
!

1
2

...
!

sh  












 n

n
n

n

x
o
n

x
x

o
n

x
x

x

x, cos sh ,ch

sin nhưng không đan dấu 
như

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x)

---Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân):

 

n





n n

 

n

n x x x o x

x
x

o
x

x

x             

 1 1 1

1
,
1

1 2




Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n













xn o

 

xn

n
n
x

x

x         



1
!

2
1
1

1   2  



 



VD: Khai triển MacLaurint hàm f

 

x 3 1 x đến cấp3





Giaûi:





 

, 0

!
3
2
3
1
1
3
1
3
1
!

2
1
3
1
3
1
3

1 3

3
2

3
1







































 x x x x o x x





n

 

n

x
o
x

n
x

x
x

x       



1
3

2 ( 1)

3
2

ln 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM

---Hàm Khai triển Phần dư Lagrange

x

1
1
!
!
3
!

2
1
3
2
n
x
x
x
x
n




 





1
!
1


n
c
x
n
e









n
n

n
x
n
x
x

x2 4 2 2

!
2
1
!
4
!
2

1    









2
2
!
2
2
sin
cos 

n
x
n

c









1
2
1
2
5
3
!
1
2
1
!
5
!
3







 n
n
n
x
n
x

x
x

x 









3
2
!
3
2
sin
cos 

n
x
n
c





n xn
x

x

x 1

1  2  3   

x


1
1
x
e
x
cos
x
sin



1 x







1 x











1
2
1
1
1
1 




 n n xn

c

n

x
x

x

x    

 2 3 
1









xn

n
n
x
x
!
1
!
2
1

1 2  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH

---VD: Khai triển ML đến cấp 3:

 



x



x
e

x

f x  




 5ln 1
1

Giaûi:

 





2 ...

 

2
5

...
1

2
...

1 x x x x x x o x

x

f  
































VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: f

 

x cos x cosh x

Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, 
tphân) các hàm cơ bản. p dụng kh/tr MacLaurint cơ bản

Giải:

 

1

 

, 0

!
2
1

!
2

1 3 3

2
3



























 x o x x o x o x x

x
f

Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!)

VD: Khai triển ML đến cấp 2:

 

ln



1 2



1






 x x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x)

---VD: Khai triển MacLaurint cấp2 ,cấp 3

cos
1
b/

,
2

x
x

e
a

x



Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng

Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1!1x

Giaûi:

 































 2

2
2

4
2

1
!

2
1

2
1
2

1
1
2

/ x x o x x x o x

x
e

a x

 





1 2

 

...

1
cos

1
b/

2
3
2

2  



























 x o x x o x

x
o
x

x

VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2

 

3
4

1
2






x
x

x
f

Giaûi:

 







































x
x

x
f

1
1
3

1
2
1
3

1
1

1
2

1
3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HAØM HỢP

---VD: Khai triển MacLaurint a / sin

 

x2 b / cos x đến cấp 4

Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên 
khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt 
đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự).

Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0!

Giải: 2

 

3 ... 2

 

!
3
sin

0
0

/u x u u u u x o x

a        

 

...

2
1
1
24

2
1

24
2

1
/

2
1
4

4
2

4
4












































 x x o x x x o x u

b

u   



 


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML

---VD: Khai triển Taylor hàm

 

1 quanh 2 đến cấp3

0 

 x

x
x

f

Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 và sử 
dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t)

Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất hiện trực tiếp trong hàm số!

Giải: Cách 1: t = x – 2 

 






















 

2
1
2
1
2

1
1
2

1
2

1 t

t
t

x
x

f

Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm

 









1
2

2
1











x
x

x
f

VD: Khai triển Taylor hàm

 

quanh 8đến cấp2

0
3




 x x

x
f

Giaûi:






























  











 







 ...

8
2
3

1
1
2
8

2
1

2
8

3
1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN

---Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB

VD: Tìm







e



x

x
x

x

x 1 sin

1
ln
3
sin
4
3
sin
lim 3
0 



















 x x x

x
1
1
ln
lim 2
(SGK/80)

 

 

3
4
3
0
3
4
3
0
6
lim
6
lim
x
x
o
x
x
x

o
x
x
x
x
x



















2
0
1
ln
3
3
sin
lim
x

x
x
x







 





x



x
x
x
x
x 




 1
1
ln
1
lim 2
0































 x x

x
x
x
x
x
x
x 1
1
ln
1
1
ln

lim 2 2

VD: Tính
3
0
sin
lim
x
x
x
x


VD: Tìm














 



0 2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG

---Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange

 

 





 

 



x x



c
x

x
n

c
f

R
x

x
k

x
f

x

f n

n

n
n

k

k
k

,
,

)!
1
(

,
!

)

( 0 1 0

1
0

0
0











 






VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx  x với độ chính xác 10-4

Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển 
hàm y = ex để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10-4

VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ chính xác 10-4 (SGK/79)

Giải:













1
,
0
,

!
1
!

1
!

2
1
!

1
1
1















n
S

e
c

n
e
n

e

c

S   


 



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

VI PHÂN

---Hàm khả vi tại x0  y = Ax + o(x), x  0 : Số gia hàm số 
biểu diễn tuyến tính theo x và vô cùng bé bậc cao cuûa x

Vi phân: dy = Ax = f’(x)dx 
Nhận xét: Hàm có đạo hàm 
 Có vi phân: Hàm khả vi

x
y

O

 

C : y  f

 

x

 

x0
f

x

x0 



x x



f 0 

x



y



 

x x

f ' 0 

1/ C: hằng số  dC = 0 
& d(Cy) = Cdy

2/ Vi phân tổng,

hiệu, tích, thương:





 

uv vdu udv
d

dv
du

v
u
d









v

udv
vdu

v
u

d   

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VI PHÂN HÀM HỢP

---VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost

Giải: b / dy cosxdx  cos xsintdt hoặc y sin



cost



 dy 

VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint

ÑS:





2
2

1
2

/ dx

x
x
y

d
a




 2 2 2 2

1
sin
''

/ dt

x
t
dx

y
y

d
b






Vi phân cấp 1:

 

x x x

 

t dy y dx

f
y

x

x
f
y

'
:

,
:
,

















hợp
hàm

lập
độc

biến

 Vi phân cấp 1: bất biến!





 d y f dx d y

x : Biến độclập 2 '' 2, 3

 

x , x x

 

t d2y f ''dx2 f 'd2x



d 2x x ''dt2



f

y      

</div>

toan1Bai07KynangTaylor

<b>BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK</b>

<b>---TỐN 1</b>

<b>GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN</b>

<b>• BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR</b>

 





<sub></sub>

<sub></sub>





<sub></sub>

<sub></sub>













 





 













 

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>





 

































































<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>