De va dap an thi thu vao lop 10 De 6

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ SỐ 6.</b>

<b>SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT</b>
<b> MƠN: TỐN</b>

Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
<b>Bài 1: ( 1,5 điểm )</b>

Tính tổng
<b>Bài 2: ( 2,5 điểm )</b>

a) Giải phương trình theo tham số m:
<b> b) Tìm </b> thỏa mãn phương trình:
<b>Bài 3: ( 1 điểm )</b>

Tìm số nguyên tố p để: và đều là các số nguyên tố.
<b>Bài 4: ( 2 điểm )</b>

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.

<b>Bài 5: ( 3 điểm )</b>

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngồi đường trịn. M là
một điểm di động trên (d) . Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn
( P và Q là các tiếp điểm). N là giao điểm của PQ với OM.

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi.

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ
thuộc một đường thẳng cố định.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐÁP ÁN</b>
<b>ĐỀ SỐ 6.</b>

<b>Bài 1: </b>
Tính tổng
<b>Lời giải:</b>
Xét biểu thức
Ta có:

Thay giá trị của vào S, ta được:

Vậy
<b>Bài 2: </b>

a) Giải phương trình theo tham số m: (1)
<b>Lời giải:</b>

Điều kiện:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Với ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm, hơn nữa đó là
nghiệm duy nhất.

Thật vậy, với , xét phương trình (2)

Ta có:

Ta chứng minh cũng là nghiệm của phương trình (1).
Thật vậy, vì là nghiệm của phương trình (2), cho nên

Suy ra:

Hay là là nghiệm của phương trình (1).

Bây giờ ta chứng minh là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Giả sử ngồi phương trình (1) cịn có 1 nghiệm . Xét các trường hợp:

a) (3)

Suy ra:

Điều này vô lý với (3)

b) (4)

Lý luận tương tự như trường hợp a), ta cũng suy ra điều vô lý
Kết luận:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

-Với phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b) Tìm thỏa mãn phương trình:

(1)
<b>Lời giải:</b>

<b>Bổ đề: </b>

Với 4 số a, b, c, d bất kỳ, đẳng thức (2)

xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.

<b>Chứng minh bổ đề: </b>

(3)

Đẳng thức (3) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.
Suy ra (2) xảy ra khi và chỉ khi a, b, c, d cùng dấu.
Trở lại bài toán ban đầu:

Theo bổ đề (2), đẳng thức

Xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi , , ,

cùng dấu.
Mặt khác:

Do đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Từ (4) và (5) suy ra (8)
Từ (4) và (6) suy ra (9)

(8) và (9) mâu thuẫn lẫn nhau, từ đó suy ra hệ (I) vô nghiệm

(III)

Từ (10) và (11) suy ra (14)
Từ (10) và (12) suy ra (15)

Từ (14) và (15) và điều kiện ban đầu suy ra hoặc .
Với , thay vào (III) ta được

Với , thay vào (III) ta được

Thử lại, với đều thỏa mãn phương

trình (1) ban đầu.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

<b>Bài 3: </b>

Tìm số nguyên tố p để: và đều là các số nguyên tố.
<b>Lời giải:</b>

Thử các trường hợp , , , ta tìm được thỏa mãn bài tốn.
Với p>5. Vì p là số nguyên tố nên p sẽ là số lẻ, và có chữ số tận cùng là 1, hoặc
3, hoặc 7, hoặc 9. Như thế có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Nếu có chữ số tận cùng là 9 thì sẽ tận cùng bằng 5 và như thế sẽ
chia hết cho 5 cho nên khơng thể là số ngun tố.

Kết luận, chỉ có thỏa mãn yêu cầu bài toán!
<b>Bài 4:</b>

Cho x,y, z là các số nguyên thỏa mãn phương trình

a) Chứng minh rằng trong hai số x,y có ít nhất một số chia hết cho 3.
b)Chứng minh rằng tích xy chia hết cho 12.

<b>Lời giải:</b>

a) Giả sử x và y đều khơng chia hết cho 3. Khi đó và chia 3 dư 1.
Và như vậy, tổng chia 3 dư 2. Hay nói cách khác sẽ chia 3 dư 2.
Điều này vơ lý!

b) Trong x, y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 2. Thật vậy, giả sử x, y đều
là số lẻ, khi đó , sẽ có dạng 4k+1, suy ra tổng sẽ có dạng 4k+2.
Hay nói cách khác chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Điều này vơ
lý!

Vậy trong x, y có 1 số chia hết cho 2. Ta giả sử số đó là x.

Nếu y cũng chia hết cho 2. Suy ra tích xy chia hết cho 4. Kết hợp với kết
quả câu a) ta suy ra xy chia hết cho 12. ĐPCM

Nếu y không chia hết cho 2, nghĩa là y lẻ. Khi đó x phải chia hết cho 4.
Thật vậy.

Giả sử ngược lại x chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Khi đó x có
dạng 4k+2. Suy ra sẽ có dạng 8t+4.

Mặt khác y lẻ, y =2r+1. Khi đó . Suy ra có dạng
8t+1. Lý luận tương tự cũng có dạng 8t+1. Và như vậy vế phải của biểu thức
đã cho chia 8 dư 1 còn vế trái chia 8 dư 5. Điều này vô lý!

Vậy x chia hết cho 4, suy ra xy chia hết cho 4. Kết hợp với kết quả câu a)
ta cũng suy ra được xy chia hết cho 12. Và ta có ĐPCM

<b>Bài 5: </b>

Cho đường trịn tâm O, bán kính R và đường thẳng (d) ở ngồi đường trịn. M là
một điểm di động trên (d) . Từ M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn
( P và Q là các tiếp điểm). N là giao điểm của PQ với OM.

a)Chứng minh rằng: OM.ON không đổi.

b)Chứng minh rằng: Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ
thuộc một đường thẳng cố định.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Lời giải:</b>

Xét tam giác OPM vuông tại P có PN là đường cao.Ta có:

ĐPCM.

b) Gọi I là trung điểm của OM. Kẻ OK vng góc với (d).
Dễ dàng nhận thấy:

, suy ra tứ giác OPMQ nội tiếp đường
trịn đường kính OM.

, suy ra tứ giác OPMK nội tiếp đường
trịn đường kính OM.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua O, K. Hay nói cách khác tâm I
của đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ nằm trên đường trung trực của OK là
đường thẳng cố định (ĐPCM)

c) Gọi L là giao điểm của PQ với OK.
Ta có:

(góc, góc)
Suy ra:

Suy ra L là điểm cố định và nên N nằm trên đường trịn đường
kính ON.

Kẻ đường thẳng (d’) qua O song song với (d). Vì nên điểm n nằm
ở nửa mặt phẳng chứa K bờ là (d’).

Ta chứng minh quỹ tích của điểm N là nửa đường trịn đường kính OL có bờ là
<i>(d’) (Khơng tính 2 giao điểm). Thật vậy:</i>

Gọi N’ là điểm nằm trên nửa đường trịn đường kính OL đã cho, gọi M’ là giao
điểm của ON’ với (d). Kẻ các tiếp tuyến M’P’, M’Q’. Ta chứng minh 3 điểm P’,
N’, Q’ thẳng hàng. Thật vậy, gọi N’’ là giao điểm của OM’ với P’Q’. Theo kết
quả đã biết, ta suy ra được N’’ nằm trên đường trịn đường kính OL. Nghĩa là
N’’ là giao điểm của OM’ với đường trịn đường kính OL. Suy ra N’’ trùng với

N’. Suy ra P’,N’, Q’ thẳng hàng. Suy ra ĐPCM.

</div>

<!--links-->