Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (798.13 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ƠN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 9

CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA

A.LÝ THUYẾT

I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU

1.Căn bậc hai số học của một số a0 là một số không âm x có bình phương bằng a.Kí

hiệu x= a

 

2
2

x

x a

x a a




  

 



2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

3.Với hai số a;b khơng âm ta có a b a b

II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC 2

A  A

1.Điều kiện để Atồn tại là A0

2. 2 0

AneuA

A A

AneuA



  



III.KHAI PHƢƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một tích: Nếu A0;B0thì A B.  A. B

2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A0;B0thì A. B  A B.

IV. KHAI PHƢƠNG MỘT THƢƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một thương: Nếu A0;B 0thì A A

B  B

2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A0;B 0thì A A

B
B 
VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 2

A B  A B Với B 0

2. Đưa một thừa số vào trong dấu căn:

Với A0;B0 ta có 2

A B  A B

Với A 0;B0 ta có 2

A B  A B

3.Khử mẫu biểu thức lấy căn: A AB

B  B Với AB0 và B0

4.Trục căn thức ở mẫu:

a.Với B 0 ta có A A B

mB

m B 

b. Với A0; A 12

m B

ta có C C m A



2 2B



m A B

m AB 

c. Với A0;B0;A

2
2
n

m B ta có:





2 2

C m A n B

C

m A n B

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI





p Aq Ar A m p q r  Am. Trong đó m,p,q,rR A Q;  

VIII.CĂN BẬC BA

1.Căn bậc ba của một số a là một lũy thừa bậc ba bằng a
2.Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất

3.3

0 0

a a ; 3

0 0

a a ;3

0 0

B.CÁC VÍ DỤ:

1.Ví dụ 1::Cho biểu thức 2 1 2 .







1 1 2 1

x x x

x x x x x x

A

x x x x

 
     

   

  

 

1. Rút gọn biểu thức A

2. Tìm x để 1

A 

Điều kiện: 0; 1; 1

x x x

Đặt x a a; 0 x a2, ta có:









2 3 2

2 3

2 1 2

. 1

1 1 2 1

a a a

a a a a a

A

a a a

 
     
   
  
 





























1 2 1 1 2 1 1 1

. 1

1 1 1 1 2 1

a a a a a a a a

A

a a a a a a

       
 

  
     
 
 



















1
2
1
1
.
1
1
2
1
1
2

2  

















a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A















1 1
1

.(2 1). 1

1 1 2 1

a a a

a

A a

a a a a

   
 
   
   
 
 
1
1

2 




a
a

A . Vậy:

1
1





x
x
A .
7
1
1
1
7
1
1
1 









x
x
x
x
A
7
1



x x (do 0

4
3
2
1
1
2







 



 x x

x )

 x  x  6 0



x3



x2



 0 x 3 0

 0 x 9

Đối chiếu với điều kiện ta được:

0 9
1
, 1
4
x
x x
 



 


2.Ví dụ 2.T nh

5 5

2 3 2 3 2 3 2 3

;

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3

A    B     

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* A= 2

*Đặt

5 5 3 3 2 2 2 2

2 3 2 3 1

; 2;

2 2 3 2 2 3

11 2

( )( ) ( )

x y x y xy

B x y x y x y x y x y

 

     

   

       

3.Ví dụ 3. Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị của A khi x= 3 5

3 5




Khi x= 3 5

3 5



 =

2 3 2

3 5

2 3 5 3 2 5 3 1 0

( 3 1)( 3 2 5) 2009 2009

x x x x

B x x x x x

          
        

4.Ví dụ 4:Cho đa thức x x3 3ax 2b;với x là biến số thực,a và b là các số thực cho trước
th a

a3+b20.T nh giá trị đa thức x tại x 3 a3b2  b 3 a3b2 b

Giải
Ta có:







3 3 2 3 3 2

3 3

3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2

3 3

2 3 3 2 0

x a b b a b b

x a b b a b b a b b a b b a b b a b b

x b ax x ax b

     

 

                  

 

       

ậy giá trị đa thức x tại 3 3 2 3 3 2

x a b  b a b b bằng 0

5.Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng

3 3 3 3

3 2 2 3 2 2 ; 17 12 2 17 12 2

x    y   

Giải: Ta có x3 = 6 + 3x  x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y  y3 – 3y 34. Do đó 6 34 1972
2012.

Bài 9:Chứng minh rằng: 5 2 1 1 1 .... 1 10 2

2 3 50

     

Từ (1) và (2)  5 2< S < 10 2 đpcm .
Đặt S = 1 +

2
1

3
1

+ .... +

50
1

Ta có S >

50
1

+ .... +

50
1

.50 = 5 2 (1)

Mặt khác: 1=

1
2

0
1

 ; 2 1

2
2

2
2
1




 ; ...;

50
1

49
50

2
50

2
2



 .

Cộng vế theo vế có:
S <

49
50

2
...

1
2

2
0

1
2








</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

6.Ví dụ 6: Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ th a mãn điều kiện ab + bc + ca = 2018

Chứng minh rằng A =







2018 a 2018 b 2018 c có giá trị là số hữu tỉ.

Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên

A= (abbccaa2)(abbccab2)(abbccac2)= 2 2 2

)
a
c
(
)
c
b
(
)
b
a

(   

(

a



b

)(

b



c

)(

c



a

)

Do a, b, c là các số hữu tỉ nên

(

a



b

)(

b



c

)(

c



a

)

có giá trị là
số hữu tỉ.Vậy A có giá trị là số hữu tỉ.

7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d là các số thực thoả ac=bd và ab>0.Chứng minh rằng









2 2 2 2 2

ab  c d  a d  b c

Giải:











 















2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a b a d b c a b c d a b c d 2 a d b c

ab cd a d b c (1)

c d

                
    



Vì ac=bd nên (ac-bd)2=0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2abcd a c b d a b c d 2abcd a b c d a c b d

         





2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )( )

ab cd a d b c ab cd a d b c

          (2)

Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 0,mà ab>0 suy ra cd0 suy ra ab+cd>0 suy ra

ab cd ab cd (3) Từ 1 2 3 suy ra điều phải chứng minh

8.Ví dụ 8:Với mỗi số nguyên dương n cho 1 1 5 1 5

2 2

n
n

n
u

     

 

    
   

 

a)Tính u2; u3

b) Chứng minh u2017+u2018=u2019

Giải:a) u2=1;u3=2

2013 2013 2014 2014

2013 2014

2013 2013 2013 2

1 1 5 1 5 1 1 5 1 5

2 2 2 2

5 5

1 1 5 3 5 1 1 5 3 5 1 1 5 1 5 1 5

2 2 2 2 2 2 2

5 5 5

u u

             

   

          

         

   

                   

             

           

2013 2

2015 2015

2015

1 5

.
2

1 1 5 1 5

2 2

5 u

   

   

   

      

 

     

    

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

9.Ví dụ 9:Cho 1
2
a b
x
b a
 
   

 ,trong đó a>0;b>0.T nh giá trị biểu thức A=

2
2

2 1
1
x
x x

 

Giải: Ta có





2 2
2
2
2
1 2
1 1
2
4 4
2 2
a b
a b
a b

a b ab

x A

a b

b a ab a b a b a b

ab ab

   
          
  

  

Nếu a b A a b

b


   ; Nếu a b A b a
b

  

10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức









2 4 2 2

; 2 2

4 4

x x x

A x
x
 
      
 
   
 
Giải: Đặt

2 2 2 2

3 3 2 2

2 2

2 ; b 2 ( , 0) 4; 2

2 ( ) 2 ( )( )

2 ( )

4 4

2 4 2 ( ) 2 2 2

a x x a b a b a b x

ab a b ab a b a b ab

A ab a b

ab ab

A ab a b A a b x A x

         
     

     

 

         

11.Ví dụ 11:Cho biểu thức 4 4

2 14 28 16

x x x x

A

x x x x

  



  

a) Rút gọn biểu thức A

b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên
Giải:

a Để A có nghĩa trước hết x0.Đặt t= x x( 0) Ta có













3 2

3 2 3 2 2

1 4

4 4 9 1)( 1)( 4)

2 14 28 16 2 2 12 28 16 2( 1)( 2)( 4)

t t

t t t t t t

A

t t t t t t t t t t

 

     

  

         

Để biểu thức A có nghĩa thì t0,t1, 2, 4 x 0,x1, 4,16

Khi đó









2 2 2 2

t x
A
t x
 
 
 
b)









2 2 2 2 2

t
A
t t

  
 

Để A nguyên thì x nguyên và 2 1

2 3
t
t
  

   

3 9
5 25
t x
t x
 
 
 
 
 

12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n,n3

Đặt



 











1 1 1

...

3 1 2 5 2 3 2 1 1

n

S

n n n

   

     .Chứng minh

1
2

n

S 

Ta có









2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1. 2 1

2 1 1 4 4 1 4 4

n n n n n n n n

n n n n n

n n n n n n n

         

       

  

       

Do đó 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1

2 2 2 3 1 2 1 2

n

S

n n n

   

           

 

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chứng minh rằng A=



















2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

b c a c a b

a b c

     

  

  

Giải:

Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=22(ab bc ca  ) 2 ab bc ca  1

Do đó A































2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) 2( ) 2

b c a c a b

a b c a b c b a c c a b

a b c

a b c b c a c a b ab bc ca

     

       

  

         

C.BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3

A          B 9 5 35 8 10 7 4 3 

45 27 2 45 27 2 3 2 3 2

5 3 2 5 3 2 3 2 3 2

C       

     





15 4 12

6 11

6 1 6 2 3 6

D    

  

 





10 6 3 3 1

6 2 5 5

E

 



 



2 1



3 1



6 1 5 2 2





F       G= 5 21 5 212 4 7

Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với 3

1
2 1

2 1

x  



Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) tại 3 3

16 8 5 16 8 5

a   

Bài 4: Tính giá trị biểu thức M 1 ab 1 ab

a b a b

 

 

  với a 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 và

3 8 2 12 20

3 18 2 27 45

b  

 

Bài 5: Với a,b,c,d là các số hữu tỉ th a mãn a+b+c+d = 0.
Chứng minh x



ab cd



bc ad



ca bd



là số hữu tỉ

Bài 6: Cho x,y,z là các số dương th a mãn x  y z xyz 4.Tính giá trị biểu thức



















P x y z  y x z  z y x  xyz

Bài 7: Cho a và b là hai số dương,c khác 0.Chứng minh : 1 1 1 0 a b a c b c

a   b c     

Bài 8: Cho 1 2 1 1 2

2 8 8

a   . Tính giá trị biểu thức 2 4

X a  a  a

Bài 9:Chứng minh rằng số x0  2 2 3  6 3 2  3

là một nghiệm của phương trình : 4 2

16 32 0

x  x  

Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z th a x xy yz z 3 xyz .Tính giá trị biểu thức

1 x 1 y 1 z

A

y z x

   

      

 

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Thì giá trị biểu thức





x

 



y

 



z



A

x y x z y x y z z x z y

  

     

không phụ thuộc vào các biến x,y,z

Bài 12: Cho 2 1 3 2 .... 100 99

1 2 2 3 99 100

x      

   .Chứng minh

1
2

x

Bài 13:Cho a>0 và 2

4a a 2 20.Chứng minh

4 2

2
1

a

a a a




  

Bài 14: Rút gọn biểu thức

3 2 9

2 6 9

x x

A

x x

  


  

Bài 15:Cho a,b,c là 3 số dương th a bc, a b  c a b,  



a b c



Chứng min h rằng:









a a c a c

b c

b b c

  




 

Bài 16:Cho biểu thức 1 3 : 5 7 7 1

2 3 1 2 1 1 1

x x x x

A

x x x x x x x x

    

 

      

      

   

a) Rút gọn A b Tìm x để A= 2,5 c) Tìm GTLN của A

Bài 17:Cho biểu thức

2 2( 1)

1 1

x x x x x

P

x x x x

  

  

  

a) Rút gọn P b Tìm x để biêỉ thức Q 2 x

P

 nhận giá tyrị là số nguyên

Bài 18:Cho 1 2 1 2 .

1 1 2 1

x x x x x x x x

A

x x x x

      

   

  

 

a) Tìm các giá trị của x để 6 6

A 

b) Chứng minh 2

A với mọi x th a 0; 1, 1

x x x

Bài 19:Cho M  x 3 4 x 1 x 15 8 x1.Tìm GTNN của M với các giá trị tương ứng x

Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN của

5 3
1

x
A

x





Bài 21: Cho a;b;c là 3 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh: 2 2 2 2 2 2

a b  a c  b c 

Bài 22: Cho a, b, c là các số thực dương th a : 2 2 2

2 1

a   b c abc

Tính giá trị biểu thức:



















1 1 1 1 1 1

Pa b c b a c c b a abc
HSG Đồng Nai 2017)

Bài 23: Cho a, b, c là ba số thực dương th a ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1 1

b c c a a b

P a b c

a b c

     

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, 
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và TH T danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn 
Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh 
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc 
Bá Cẩn cùng đôi HL đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng h i đáp sôi động nhất.

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ ăn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

</div>

Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai

<b>ƠN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 9 </b>

<b>CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA </b>

 



















































































































(

a



b

)(

b



c

)(

c



a

)

(

a



b

)(

b