De va dap an thi thu vao lop 10 De 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (174.43 KB, 6 trang )

<b>SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT</b>
<b> MƠN: TỐN</b>

Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m; n sao cho 2m + 1 chia hết cho
n và 2n +1 chia hết cho m.

b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia
hết cho 9

c) Có tồn tại hay khơng cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình
sau:

Cho x, y, z là các số dương và . Chứng minh rằng:

<b>Bài 3: ( 1,5 điểm )</b>

Tìm x, y, z thỏa mãn:
<b>Bài 4: ( 2 điểm )</b>

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,
. Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và
không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số ngun dương đơi một khác nhau sao cho tích của
chúng bằng tổng của chúng.

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các
cạnh AC, AB. Gọi H là giao điểm của BI với DE. Chứng minh rằng tam giác
BHC là tam giác vuông.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết</b>
cho n và 2n +1 chia hết cho m.

b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia
hết cho 9

c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình
sau:

<b>Lời giải:</b>
a)

–Xét trường hợp m n

Ta có 0< 2n + 1 2m +1 3m

Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:
*) 2n + 1 = 3m. Vì m n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1
*) 2n + 1 = 2m . Loại vì chẳn lẻ

*) 2n + 1 = m. Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ
khi n = 1 hoặc n = 3. Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)

–Xét trường hợp m < n.

Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7)
Kết luận:

Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài toán là:
(1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)

b) Gọi số có 6 chữ số là A. Gọi x là số chữ số 2, y là số chữ số 3 và z là số chữ
số 5 trong A. Ta có: và x + y + z = 6.

Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9.
Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Hệ (1) có các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)
Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)

Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán

Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có số A thỏa mãn bài tốn
Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn bài tốn
Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán.

c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình.

Ta có: (1)

Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0.

Suy ra và <b> đều có chữ số tận cùng là 5.</b>
Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2)

Mặt khác vì q2<sub> là số chính phương nên q</sub>2<sub> khơng thể tận cùng bằng 7, và do đó </sub>

vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3)
(2) và (3) suy ra điều vô lý.

Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán.
<b>Bài 2: </b>

Cho x, y, z là các số dương và . Chứng minh rằng:
(1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay nói cách khác:
Trở về bài tốn đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:

. ĐPCM
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Tìm x, y, z thỏa mãn: (*)

Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Thật vậy:

Giả sử tồn tại nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có:
(1)

Gọi k lớn nhất, sao cho: và và (2)

Đặt ; ; ở đó ( , , ) (3)

Thay (3) vào phương trình (1) rồi rút gọn, ta được:
(4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Thay (5) vào (4) rồi rút gọn ta được:
(6)

Từ (6) suy ra , ta đặt (7)
Thay (7) vào (6) rồi rút gọn, ta được:

(8)

Từ (8) suy ra , ta đặt (9)

Từ (3), (5), (7), (9) ta có: ; ; .

Và ; ; (10)

So sánh (2) và (10) ta thấy vơ lý, từ đó suy ra (0;0;0) là nghiệm duy nhất của
phương trình đã cho

a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,
. Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và
không chia hết cho 5

b)Tìm bộ ba số ngun dương đơi một khác nhau sao cho tích của
chúng bằng tổng của chúng

a)Ta có:

ĐPCM.

b) Gọi 3 số nguyên dương đã cho là m, n, p. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử
m<n<p. Khi đó .

Theo giả thiết, ta có

Vì nên: . Suy ra .Hay là . Suy ra

Mặt khác nên . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Khi đó

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các
cạnh AC, AB. Gọi H là giao điểm của BI với DE. Chứng minh rằng tam giác
BHC là tam giác vng.

Gọi H’ là hình chiếu của C trên đường thẳng BI. Ta sẽ chứng minh H trùng với
H’. Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng.
Gọi lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ABC.

Ta có:

Vì

nên tứ giác CIH’D là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác:

tứ giác ADIE là tứ giác nội tiếp.

Từ đó, ta có:

Suy ra E, D, H’ là 3 điểm thẳng hàng. Vậy H’ trùng với H

</div>