De va dap an thi thu vao lop 10 De 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ SỐ 9.</b>

<b>SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT</b>
<b> MƠN: TỐN</b>

Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )

<b>Bài 1: ( 1,5 điểm )</b>

Xét dãy số với: và
Chứng minh rằng:
<b>Bài 2: ( 1,5 điểm )</b>

Tìm k, m, n đôi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức:

phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số
nguyên

<b>Bài 3: ( 1,5 điểm )</b>

Chứng minh rằng: với m, n

<b>Bài 4: ( 2 điểm )</b>

Cho tứ giác lồi có diện tích S = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai
đường chéo

<b>Bài 5: ( 3,5 điểm )</b>

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa
đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Đường

thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F. Chứng minh tứ giác
CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ
giác CEFD nhỏ nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 1: </b>

Xét dãy số với: và
Chứng minh rằng:

<b>Lời giải:</b>

Với , ta có: (1)

Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra:

Suy ra

Hay là:

Suy ra: (2)

Với n=145, ta có: (3)

Từ (2), kết hợp với suy ra (4)

Từ (1) và (4) suy ra:

Và cũng bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra:
Hay là:

Suy ra

Và do đó, với n=145, ta có: (5)

Từ (3) và (5) suy ra điều phải chứng minh
<b>Bài 2: </b>

Tìm k, m, n đơi 1 khác nhau, khác 0 để đa thức

phân tích thành tích 2 đa thức với hệ số nguyên.
<b>Lời giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bây giờ, nhận thấy k, m, n có vai trị như nhau trong đa thức ban đầu, từ điều
kiện của bài toán, ta có thể giả sử (*)

Trong cả 2 trường hợp (I) và (II) ta đều có: (7)
Mặt khác:

Dễ dàng nhận thấy dấu đẳng thức khơng thể xảy ra, vì khi
đó sẽ dẫn đến . Trái với điều kiện ban đầu k, m, n khác nhau của bài
toán.

Vậy (8)

Thay (8) vào (7) ta được: . Suy ra: hoặc

Vì nên chỉ xảy ra các trường hợp: hoặc hoặc

a) Với . Suy ra . Ta đi tìm giá trị k ở 2 hệ đã cho:

(loại)

Vì . Nên ta có bộ 2 bộ nghiệm khơng lặp khi hoán vị thỏa

mãn bài toán là: và .

Thử lại, ta có:

Và:

b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vì nên hoặc , và có 2 bộ nghiệm khơng lặp khi

hốn vị trong trường hợp này: và .

Thử lại, ta có:

Và

Ta có, với hệ:

Đẳng thức (9) không thể xảy ra trong trường hợp với

c)

Ta có, với hệ:

Đẳng thức (10) khơng thể xảy ra trong trường hợp với

Ta có, với hệ:

Vì nên hoặc , và do đó và sẽ xảy ra

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vậy , , và là 4 bộ nghiệm
không lặp khi hoán vị thỏa mãn bài toán

<b>Bài 3: </b>

Chứng minh rằng: với m, n

<b>Lời giải:</b>

Dễ dàng nhận thấy là số hữu tỷ và là số vô tỷ. Suy ra
Xét các trường hợp sau:

a) hay là .

Suy ra , hay là

Từ đó suy ra

Mặt khác:

Suy ra .ĐPCM

b) hay là

Suy ra , hay là

Từ đó suy ra

Mặt khác:

Suy ra .ĐPCM

<b>Bài 4: </b>

Cho tứ giác lồi có diện tích S=1, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các cạnh và hai
đường chéo

<b>Lời giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có:

(1)
Và :

(2)
(1)+(2) vế theo vế, ta được:

(3)

Mặt khác: (4)

Từ (3) và (4) suy ra (5)

Lại có:

Suy ra

Hay là : (6)

Mặt khác (7)

Từ (6) và (7) suy ra (8)

Từ (5) và (8) suy ra: (9)

Dấu đẳng thức ở (9) xảy ra khi và chỉ khi xảy ra dấu đẳng thức ở (1), (2), (4),
(6). Khi đó tứ giác ABCD là hình vng, có cạnh đơn vị.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng cần tìm là
<b>Bài 5: </b>

Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa
đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. Đường
thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F. Chứng minh tứ giác
CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ
giác CEFD nhỏ nhất.

<b>Lời giải:</b>

Dễ dàng nhận thấy E là trung điểm của MA, F là trung điểm của MB. Từ đó suy
ra OE, OF, EF là các đường trung bình của tam giác MAB.

Vì nên tứ giác OMDB là tứ giác nội tiếp

(1)

Lại có ( đồng vị) (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra

Suy ra tứ giác CEFD nội tiếp. ĐPCM.

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CE, DF, J là giao điểm của hai đường trung
trực của CE và DF.

Dễ dàng nhận thấy J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD , JI CE ,
JK DF và tứ giác JKOI là hình chữ nhật.

Vì J là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên JF là bán kính của đường
trịn. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của JF.

Ta có:

Mặt khác:

Do đó:
Vì

Do đó
Suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

M là điểm chính giữa cung AB của đường trịn (O)
Kết luận: Bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng

</div>

<!--links-->