ON TAPHKI LOP8hs nen tham khao

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.76 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẠI SỐ

I.C

éng, Trõ ®a thøc:

1. Đơn thức đồng dạng:

Là những đơn thức có phần biến hoàn toàn giống nhau.

2. Cộng trừ các đơn thức:

+ Cộng trừ các đơn thức là cộng trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng trừ các hệ số;
phần biến giữ nguyên.

+ VÝ dô: 2x3y2 + x3y2 - 5 x3y2 = (2 +1 – 5) x3y2 = -2 x3y2
3.Céng trõ ®a thøc:

+ Cộng trừ đa thức thực chất là cộng trừ các đơn thức (hạng tử) đồng dạng, sau khi
thực hiện bớc bỏ dấu ngoặc có dấu cộng hoặc có dấu trừ đằng trớc.

+ VÝ du: (3a2b3 -2bc2+ 4 ) – (3 bc2 - a2b3 + 5)

= 3a2b3 -2bc2+ 4 – 3 bc2 + a2b3 – 5

= 3a2b3 + a2b3 -2bc2 – 3 bc2 + 4 - 5

= 4a2b3 - 5bc2 – 1 .

II/ Nhân đa thức:

1

. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số:

Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
am . an = am + n vÝ dô: x3. x2 = x5

2

. Nhân đơn thức vi n thc:

+ Nhân hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau( nhân các luỹ thừa cùng cơ sè)
+ VÝ dô: 5x2y . 7x3 = 5.7.x2.x3 .y.y0 = 35x5 y ( chó ý: a0 = 1)

3

. Nhân đơn thức với đa thức:

+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với từng hạng tử của đa thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lu ý đến dấu của
hệ số các đơn thức.

+ VÝ dô: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2.
4. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân đa thức với đa thức, ta nh©n từng hạng tử của a thc ny lần lợt vi cỏc

hng t ca đa thức kia.(råi thu gän nÕu cã thÓ)

(A + B)(C – D) = A(C – D) + B(C – D) = AC –AD + BC – BD .

Bài tập áp dụng: Tính:

a/
-2
1

x(2x2+1) = b/ 2x2(5x3

-x-2
1

) =
c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y – 2xy)(-3x2y) =

e/ (2x + y)(2x – y) = f/ (xy - 1)(xy + 5) =

III/ Chia ®a thøc:

1.

Chia hai luü thõa cïng c¬ sè :

Khi chia hai luü thõa cïng c¬ sè, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
am : an = am - n vÝ dô: x3: x2 = x

2. Chia đơn cho đơn thức :

+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luü thõa cïng c¬ sè

với nhau.

+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 .y:y0 = - 5x y
3. Chia đa cho đơn thức :

Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lu ý đến dấu của
hệ số các đơn thức.

+ VÝ dô: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b – 2ab.

4)Chia đa thức một biến đã sắp xếp:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Tìm đa thức d thứ nhất,

+ Chia h/t bc cao nhất của đa thøc d , cho h/tö bậc cao nht của a thc chia,

+ Tìm đa thức d thứ hai,

+ Chia…

Dõng l¹i khi h¹ng tư bËc cao nhÊt cđa đa thức d có bậc bé hơn bậc của hạng tư bËc

cao nhÊt cđa ®a thøc chia .

2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

2x4- 8x3- 6x2

- 5x3 + 21x2 + 11x - 3

- 5x3+ 20x2+10x

- x2 - 4x - 3

x2- 4x - 3

2x2 - 5 x + 1

5.

Hằng đẳng thức

đáng nhớ

:

-BÌNH PHƯONG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 -BÌNH PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 -HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)

-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 -HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)

-LẬP PHƯ¬NG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3
  -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3

Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)

a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =

d/ (x – 7)2 = e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x – 1)2 =

g/ x2 – (2y)2 = h/ x2 - 1 = i/ 4x2 – 9y2 =

k/ x3 – 1 = l/ 8 + x3 = m/ 8x3 + 27 =

n/ ( x +1)3 = p/ ( x – 2)3 =

6) Phân tích đa thức thành nhân tử :

1. Phương phỏp t nhõn t chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.

+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thơng của
các hạng tử tơng ứng với nhân tử chung

VÝ dô: a/ 12x2- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x – 1).

b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:

D¹ng 3 h¹ng tư: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
VÝ dô: a/ x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2

b/ x2- 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

D¹ng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình ph ơng của một biểu thức:
A2 - B2 = (A +B)(A- B)

VÝ dô: a/ x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

D¹ng hai h¹ng tư víi phÐp tÝnh cộng, mỗi hạng tử là lập ph ơng của một biÓu thøc

A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Chó ý: Bình bình phơng thiếu của hiệu
VÝ dô: x3 + 1 = (x +1)(x2 - x +1)

D¹ng hai h¹ng tư với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập ph ¬ng cđa mét biĨu thøc

A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)

VÝ dô: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).

3. Phương pháp nhóm nhiu hng t

(Thờng dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm

+ ỏp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ: a/ 2x3 – 3x2 + 2x – 3

= ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)

= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)

= ( x2 + 1)( 2x – 3)

b/ x2 – 2xy + y2 – 16

= (x2 – 2xy + y2) - 16

= (x – y)2 - 42

= ( x – y – 4)( x –y + 4).
 4. Phối hợp nhiều phương pháp

+ Trớc hết nghĩ đến phơng pháp đặt nhân tử chung.

+ Tuỳ đó để sử phơng pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ:

a/ 3xy2 – 12xy + 12x

= 3x(y2 – 4y + 4)

= 3x(y – 2)2

b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]

= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]

= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)

5.

Phương pháp nhÈm nghiÖm:

( Dïng cho ®a thøc mét biÕn d¹ng: A = ax2 + bx + c ; c gọi là hạng tử tự do)

+ Nghiệm của đa thức thuộc tập ớc của c.(với trờng hợp đa thức có nghiệm)
+ Thay lần lợt từng ớc sẽ tìm đợc nghiệm x1và x2( x1là nghiệm khi A(x1) = 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Khi đó A = ax2 + bx + c = a(x – x

1)(x – x2).

VÝ dô: A = x2 +5x – 6

(a = 1; c = 6). ¦(6) = 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; - 6. Thư víi 1 ta cã:A = 12 +5.1 - 6 = 0

> x

= 1

…

.vµ x

= - 6.

VËy A =

x2 +5x – 6 =

1(x - 1)(x + 6)

=

(x - 1)(x + 6).

Chó ý: Phơng pháp này có thể áp dụng cho các ®a thøc cã bËc lín h¬n 2.

Xem phần “chun đề phân tích đa thức thành nhân tử” tài liệu bồi dng

học sinh giỏi.

Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:

1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 1 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3

4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2

7/ x2- 4 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2

10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x

13/ x2+7x + 6 14/ x2 + 8x– 9 15/ x3 +1.

Bài tập tổng hợp:

Phân tích thành nhân tử:

a)3x- 6y b)2x3y- 2xy3- 4xy2- 2xy c) 3a - 3b + a2 – ab

d) x3 – 2x2 + x e)x2  9y2 f). 5x3y5x2y 5xy 5y

 T×m x biÕt:

a/ (3x – 2)(2x +1)+(3 – 2x)( 3x + 5) = 13
b/ x2- 25 - (x+5) = 0

c/ x2(x2+4) - x2- 4 = 0

 Rót gän vµ tÝnh giá trị biểu thức:

A = (x2+3)2- (x +2)(x - 2) T¹i x =3

B = x2+ 4x+ 4 T¹i x = 80

C = a(a - 1) - b(1- a) Tại a =2001 và b =1999

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
D = (x+1)(x2x +1) (x+2)(x2 - 2x+ 4) - 7

Tính: a) Giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A = (x+1)(x-3)+11
b) Giá trị lớn nhất của biÓu thøc: B = 5 - 4x2 +8x.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>





x
x

C

x

3
:
)
3
(
3
9
6

3 










3
3
)
3
(
3

3

2







x
x
x
x
C

x

3
1


x
C

4) Cho phân thức :

:52 5
1
1
1
1













x
x
x
x
x
x
A

a) Điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định là : x  1

b) Rút gọn phân thức :

:52 5
1
1
1
1













x
x
x
x
x
x
A



 





1 

.

5

2 :

1

2
2
2

1 







x

A

x



 







x

A

x

2

1 .

5

1

2

1

2

1

2 

















x

A

x

2

1 .

5

1

2

1

2

2
2
2















   
 
x
x
x
x
x
A
2
1
.
5
1
.
1
4 





1
10


x
A

c) Giá trị của A :

 Thay x = –3 phân thức A có giá trị là :

  2 5
10
1
3
10

3    


A

 Thay x = –1 không thỏa mãn điều kiện đề bài , nên phân thức A không xác

định .

4) Chứng minh đẳng thức :

x y xx yy

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Giữ nguyên vế phải , biến đổi vế trái , ta có :

    xy

x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
xy
x

x

y



































:
.
2
.
1
1
:
2
2
2
   

  x y
xy
y
x
xy
xy
xy
x
y
y
x
x
y
x

y
x
y
x

y

x



















2
2
2
:
.
2





 
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
xy

y

x











So sánh vế trái bằng vế phải .
Vậy đẳng thức đã cho là đúng .

6)Giá trị nhỏ nhất của đa thức sau là :
a) A = x2 – 2x + 5 = x . ( x – 2 ) + 5 > 5
khi x . ( x – 2 ) = 0 = > x = 0 và x = 2

vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức A là 5 , tại x = 0 và x = 2 .
b) B = 2x2 – 6x = x ( 2x – 6 ) = 0 = > x = 0 và x = 3
vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức B là 0 , tại x = 0 và x = 3 .
7) Giá trị lớn nhất của đa thức sau là :

a) A = 4x – x2 + 3 = x . ( 4 – x ) + 3 < 3
khi x . ( 4 – x ) = 0 = > x = 0 và x = 4

vậy giá trị lớn nhất của đa thức A là 3 , tại x = 0 và x = 4 .
b) B = x – x2 = x . ( 1 – x ) = 0 = > x = 0 và x = 1
vậy giá trị lớn nhất của đa thức B là 0 , tại x = 0 và x = 1 .

II-HÌNH HỌC :

M N

Chứng minh : kẻ đường chéo AC .

A B
C
D F
O
GT
KL

HT ABCD : AB //CD ;
MN//AB//CD ; OE = OF

a) Tứ giác EMFN là hình gì ?
chứng minh .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

a) Ta có : MN//AB//CD và OE = OF

= > MA = MD ; NB = NC ( vì các đoạn bị chắn các đường song song cách đều )

 Xét  ABC có :

EN AC

2
1

//  ( Đường trung bình của tam giác ) (1)

 Xét  ABC có :

MF AC

2
1

//  ( Đường trung bình của tam giác )(2)
Từ (1) và (2) suy ra : EN //= MF

Mà EN và MF là hai cạnh đối của tứ giác ENMF , nên ENMF là hình bình hành
( vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau )

b)Hình thang ABCD thêm điều kiện có hai cạnh bên bằng nhau ( tức là hình thanh
cân ) thì EMFN là hình thoi .

Chứng minh :

a) Xét tứ giác DEBF , ta có :
EB



AB ; DF



DC (1)
AB //= DC (gt ) (2)

AB
EB

2
1

 ; DF DC

2
1

 (gt) (3)

Từ (1) , (2) ,(3) , suy ra : EB //= DF

Mà EB và DF là cặp cạnh đối của tứ giác DEBF , nên DEBF là hình bình hành ( vì
có cặp cạnh đối song song và bằng nhau )

b)Xét tứ giác AEFD có :

AB//=DC ; AD//=BC (gt) (1)

AB
BC

2
1

 ; DF DC

2
1

 (gt) (2)
AE = DF ; AD = EF (gt) (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra : AE = DF = AD = EF nên tứ giác AEFD là hình thoi
c) Xét tứ giác EMFN :

 Từ chứng minh b : tứ giác AEFD là hình thoi

= > AF BE 

 

M  M 

90

0 (1)

 Chứng minh tương tự , ta có tứ giác BEFC là hình thoi

= > ECBF 

 

N  N 

90

0 (2)

Từ (1), (2) suy ra : Tứ giác EMFN là hình bình hành ( vì có cặp góc đối bằng
nhau )

 Hình bình hành EMFN có góc M là góc vng , nên EMFN là hình chữ nhật .

B
A

C
D

M

N

GT
GT

hbh ABCD : AB//=DC ; AD//=BC
AB = 2 BC => BC AB

2
1



EA = EB ; FD = FC

Diện tích ABCD = S

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

d) Căn cứ vào hình vẽ : hình bình hành ABCD có 8 tam giác vng , mà hình chữ
nhật EMFN tạo bởi 2 tam giác vuông .

Do vậy , diện tích của hình chữ nhật EMFN là : S S

4
1
8
2


3)

Chứng minh :

a) Xét tứ giác ABCD có : CD //= AB (gt)

Nên ABCD là hình bình hành ( vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau )
Mà AD , BC là đường chéo của hình bình hành ABCD và MB = MC (gt) .

Vậy theo tính chất hình bình hành : hai đường chéo cắt nhau trung điểm mỗi đường,
do đó M cũng thuộc đường chéo AD , nên ba điểm A , M , D thẳng hàng .

b)Xét tam giác AED
Ta có :

OA = OE (gt ) (1)
MB = MA ( cm a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : OM là đường trung bình của tam giác AED
= > OM // ED

Và AE  OM (gt) = > ED  AE ( hay góc E = 900 )

Vậy tam giác AED là tam giác vng .

c)Từ hình bình hành ABCD = > BD = AC ( vì là cạnh đối diện ) (1)
Xét tam giác vuông AOC và tam giác vng COE có :

OA = OE (gt) và OC là cạnh chung
= >  AOC =  COE (Hai cạnh góc vng )

= > CE = AC ( Hai cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BD = CE

Chứng minh :

a)Xét tứ giác ABEH có :

B C

E D

ABC : OA = OE ; CD // AB
CD = AB . AE  OM

MB = MC ;

a) A , M , D thẳng hàng .
b) Tam giác EAD vuông
c) BD = CE

C
D

E
F

ABC : AB = AC = BC
AH // BC

DA = DB ; EB = EC ; FA = FC

a) Tứ giác ABEH là hình bình hành

b) Tứ giác AHCE là hình chữ nhật

c) Tứ giác BDFC là hình thang cân

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

AH // BC ( gt ) và BE



BC => AH // BE (1)

AB // EH ( vì EF



EH và EF là đường trung bình ACB ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra : tứ giác ABEH là hình bình hành ( vì có các cặp đối song song )

b) Xét tứ giác AHCE có : FA = FC (gt)

nên tứ giác AHCE là hình bình hành (1)
( vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )

Trong tam giác đều ABC thì AE vừa là phân giác , …, vừa là trung trực
=> AE  BC = {E} , hay góc E = 900 (2)

Từ (1),(2) suy ra : hình bình hành AHCE là hình chữ nhật (vì có một góc vng )

c) Xét tứ giác BDFC có :

DF // BC ( vì theo gt DF là đường trung bình của ABC )

và FC = DB (vì gt cho : AB = AC ; DA = DB ; FA = FC )

Nên tứ giác BDFC là hình thang cân ( vì có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên
bằng nhau )

d) Xét tứ giác BDFE có :

DF = BE ( vì DF là đường trung bình của ABC ) (1)

FE = 12 AC ( vì trung tuyến thuộc cạnh huyền )
DB = 21 AB ( vì D là trung điểm của AB )
Mà AB = AC (gt)

Suy ra : FE = DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra : DF = BE = FE = DB

Vậy tứ giác BDFE là hình thoi ( vì có bốn cạnh bằng nhau )
5)

Chứng minh :

a) xét hình bình hành ABCD có : AB = DC ; AD = BC và AE = CG ; BF = DH

= > AH = CF ; BE = DG ( vì là hiệu các đoạn bằng nhau )

Xét  HAE và FCG có : AH = CF (cmt) ; A C ; AE = CG (gt)

=>  HAE = FCG ( c-g-c)

= > HE = GF (hai cạnh tương ứng ) (1)

Xét HDG và EBF có : DH = BF (gt) ; D B ; DG = BE (cmt)

=>  HDG = EBF ( c-g-c)

= > HG = EF (hai cạnh tương ứng ) (2)

Từ (1) , (2) suy ra : Tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có các cặp cạnh đối bằng
nhau )

b) Xét hình bình hành ABCD có : đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O (1)
Xét hình bình hành EFGH có : đường chéo FH cắt đường chéo EG tại O (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Các đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui .

B
A

C
D

GT ABCD : AB//=DC ; AD//=BC; A C;B D

AE = CG ; BF = DH
a) EFGH là hình bình hành
b) Các đoạn AC , BD , EG , FH
đồng qui .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chứng minh :

a)Xét tứ giác BCDE có : ED // BC ( vì theo gt : EA = EB ; DA = DC nên là đường
trung bình tam giác ABC )

và AB = AC ; EA = EB ; DA = DC

=> Tứ giác BCDE là hình thang cân ( vì có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên
bằng nhau )

b)Xét tứ giác ADME có : ME //= AD ( vì ME là đường trung bình tam giác ABC ) ,
nên ADME là hình bình hành .

ED // BC ( vì theo gt : EA = EB ; DA = DC nên là đường trung bình tam giác
ABC )

AM  BC

= > ED  AM , mà ED và AM là hai đường chéo của hình bình hành

BCDE , nên BCDE là hình thoi .

c) ) Điều kiện của tam giác ABC khi tam giác ABC vng cân tại A thì ADME là

hình vng .

B M C

E D

a) Tứ giác BCDE là hình gì ? cm
b) Tứ giác ADME là hình gì ? cm
c) Điều kiện gì của tam giác ABC để
ADME là hình vng .

ABC : AB = AC ; EA = EB ; DA = DC
AM  BC ; MB = MC

</div>

ON TAPHKI LOP8hs nen tham khao

<b> </b>

<b>ĐẠI SỐ</b>

<b> </b>

<b> </b>

đáng nhớ

<b>:</b>

<b> </b>

> x

= 1

…

.vµ x

= - 6.

VËy A =

<sub> 1(x - 1)(x + 6)</sub>

<sub>(x - 1)(x + 6).</sub>





<i>x</i>

<i>x</i>

3







3



<i>x</i>



 





1



.

5

2

:

1

1

1













<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 







<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

2

1

.

5

1

2

2

1

2

1

2







