Tài liệu SKKNHHKG12

Trường THPT Krông Ana
LỜI NÓI ĐẦU
Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài toán mà bạn đang
giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt
nếu bạn tự giải lấy bài toán đó thì bạn có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui
thắng lợi.
Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có một sự tò mò sâu sắc
hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận và qua trình dẫn tới cách giải, mà
điều này không sách vở nào trình bày cho học sinh.
Bởi vậy, việc hướng dẫn học sinh tìm ra đường lối giải các bài toán bằng lược đồ bốn bước
của Polia cũng không nằm ngoài mục đích trên. Phần “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp,
hình lăng trụ “ được trình bày trong SGK Hình học 11 chỉnh lý hợp nhất 2000, chương trình SGK mới
thì phần “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ “ được trình bày ở SGK Hình học
12; ở đây, người viết mạnh dạn đưa ra những suy nghó của mình, kinh nghiệm của mình với mục đích
là học hỏi, trao đổi, rút kinh nghiệm và vâïn dụng vào dạy học hình học không gian , 12 nói riêng và
dạy học toán nói chung nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông.
Bài viết không tránh khỏi những thiếu sót, mong bạn đọc và đồng nghiệp góp ý và bổ sung để
bài viết được hoàn chỉnh hơn.

1
Trường THPT Krông Ana
Phần 1
MỞ ĐẦU
I. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với
học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung và phân môn Hình học không
gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh không
ít khó khăn, lúng túng khi giải chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình.
Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập giáo viên
không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh biết cách suy nghó tìm
ra con đường hợp lí để giải toán”. Bởi vì “Tìm ra cách giải một bài toán là một phát minh” (Polia)

II. MUC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. .
Mục đích của bài viết là nhằm đưa ra một số ứng dụng cơ bản của việc vận dụng lược đồ bốn
bước của Polia vào giải toán hình học không gian nói chung và bài toán “xác đònh tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp, hình lăng trụ” nói riêng. Qua đó giúp học sinh hiểu rõ hơn quá trình đi tìm lời giải
cho một bài toán, kích thích sự hứng thú, tìm tòi và sáng tạo của học sinh trong học tập.
III. NHIỆM VỤ BÀI VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
- Tìm hiểu cơ sở lí luận.
- Đề xuất một số bài dạy cụ thể về bài toán “xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình
lăng trụ” theo lược đồ 4 bước của Polia.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Nghiên cứu tài liệu, điều tra, phỏng vấn.
- Thực nghiệm sư phạm.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải bài toán như thế nào. G. Polia, NXB GD 1997.
2. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. Nguyễn Thái Hoè, NXB GD 2001.
3. Sách giáo khoa Hình học 11(sách chỉnh lí hợp nhất 2000); sách giáo khoa theo chương trình mới.
4. Sách Bài tập Hình học 11, sách chỉnh lí hợp nhất 2000.
5. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11.

2
Trường THPT Krông Ana
Phần 2
NỘI DUNG
§1. CƠ SƠ LÍ LUẬN
Lược đồ bốn bước của Polia:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Nghiên cứu lời giải.
BƯỚC 1: HIỂU RÕ BÀI TOÁN.

- Cái gì phải tìm ? Cái gì đã cho ? Đâu là điều kiện ? Cái phải tìm thoả mãn những điều kiện
gì ? Những điều kiện đó có đủ để xác đònh cái phải tìm không ? Thiếu hay thừa ? Có mâu thuẩn với
nhau không ?
- Vẽ hình rhật cẩn thận và sử dụng kí hiệu thích hợp.
- Tách các điều kiện ra với nhau. Có thể diễn tả điều kiện đó bằng công thức được không ?
BƯỚC 2: XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI.
- Để tìm đường lối giải, phải tìm mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm, phải dùng
phương pháp phân tích, nếu cần thì xét các bài tập trung gian.
+ Bạn đã gặp bài toán này chưa ? Hay gặp bài toán này ở một dạng khác.
+ Bạn có biết bài toán nào liên quan không ? Một đònh lí nào có thể dùng dể giải được không
?
+ Hãy nghiên cứu kó cái phải tìm ! Hãy thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cái phải tìm
tương tự.
+ Đây là một bài toán liên quan đến một bài toán mà bạn đã giải và tương tự với bài toán
phải giải; bài toán ấy có giúp ích gì không ? Có thể sử dụng kết quả của nó được không ? Có thể đưa
vào những phần tử phụ để có thể áp dụng bài tập đã biết hay không ?
+ Có thể phải hiểu bài toán dưới một khía cạnh khác không ? Hãy thay các khái niệm trong
đề bài bằng các đònh nghóa của chúng.
+ Nếu chưa tìm được lời giải của bài tập đã cho, hãy cố gắng giải một bài tập tương tự và dễ
hơn, đặc biệt hơn. Bn có thể giải một phần bài toán được không ? hãy giữ lại một phần của điều
kiện và bỏ qua phần kia. Khi đó xét sự thay đổi của cái phải tìm! Bạn có thể nghó ra các giả thiết
khác để có thể xác đònh cái phải tìm không ?
+ Có thể biến đổi c phải tìm hay cái đã cho hay cả hai để cho chúng gần nhau không ? (bài
toán phụ).
+ Đã sử dụng hết cái đã cho chưa ? Đã xét hết các điều kiện chưa ? Đã chú ý đến hết các
khái niệm có trong đề bài chưa ?
BƯỚC 3: THỰC HIỆN CHƯƠNG TRÌNH GIẢI

3
Trường THPT Krông Ana

- Hãy kiểm tra lại từng bước thực hiện. Bạn đã thấy rõ rằng mỗi bước là đúng chưa ? Bạn có
thể chứng minh là nó đúng không ?
BƯỚC 4: NGHIÊN CỨU LỜI GIẢI
- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả không ? Có cần kiểm tra lại cả quá trình không ? Lời giải đã
đầy đủ, triệt để chưa ?
- Trên con đường tìm lời giải, bạn có thể phát hiện ra những kết quả nào khác không ?
- Có thể đi đến cùng một kết quả bằng phương pháp khác không ? Có thể xét kết quả ở một
khía cạnh khác không ?
- Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết quả vào một bài tập khác được không ?

4
Trường THPT Krông Ana
§2. VẬN DỤNG
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ
BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA
Hầu hết các bài tập toán trong hình học không gian nói riêng và bài tập toán nói chung, thì
người giáo viên hoàn toàn có thể dẫn dắt và rèn luyện cho học sinh kó năng giải toán bằng lược đồ
bốn bước của Polia. Do giới hạn của bài viết, người viết chỉ trình bày phần “ hướng dẫn học sinh giải
bài toán : xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, lăng trụ “ bằng lược đồ bốn bước của Polia.
Vì nội dung “mặt cầu, khối cầu ” trong chương trình sách mới được trình bày ở hình học 12
(bắt đầu học ở năm học 2008- 2009) nên ở đây, người viết có kết hợp với sách giáo khoa chỉnh lí hợp
nhất 2000 và sách giáo khoa theo chương trình mới.
I. ĐẶC ĐIỂM CỦA PHẦN ‘ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP, HÌNH LĂNG TRU"
Người viết đưa ra một số nhận xét về nội dung phần “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng
trụ” trong sách chỉnh lí hợp nhất 2000 và sách giáo khoa mới (chương trình chuẩn và chương trình
nâng cao) nhằm mục đích qiúp chúng ta có sự so sánh, từ đó có kế hoạch giảng dạy phần “mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” được tốt hơn.
1. SÁCH GIÁO KHOA CHỈNH LÍ HP NHẤT 2000 (CL2000).
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” chỉ được trình bày ở mục §3 mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ. (trang 109- 112)

- Đây là phần thứ ba của chương IV: Mặt cầu, và là phần cuối cùng nhằm trình bày hoàn
chỉnh (theo đúng yêu cầu và quy đònh) các kiến thức về mặt cầu, các kiến thức ở hai mục trước đã
chuẩn bò cho mục này. Chẳng hạn,
Bài tập 1, 2, 3- trang 103
Ví dụ 1- trang 101.
Đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu – trang 106.
- Trong mục §3.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ, chỉ nêu vỏn vẹn một đònh nghóa
và hai ví dụ; Không nêu điều kiện cần hay đủ để một hình chóp, lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp.
- Không nêu mặt cầu nội tiếp nhưng trong bài tập có nêu “tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình
chóp (bài T.11- trang 163-SBT), mặt cầu cách đều bốn mặt của tứ diện (bài 5- trang 112-SGK).
1.1 LÝ THUYẾT.
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” là một mục nhỏ (mục §3) của
chương IV: Mặt cầu và mặt tròn xoay.
+ Đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
+ Ví dụ: Về mặt cầu ngoại tiếp chóp tam giác đều, tứ diện trực tâm.

5
Trường THPT Krông Ana
1. 2 BÀI TẬP.
Dạng bài tập- Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
Dạng 1 : Tìm 1 điểm cách đều các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï. (Bài 1-trang 103,
Bài 3- trang 128- SGK; T.6-trang 125-SBT).
Dạng 2 : Các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông (Bài 2-trang 103-SGK; Bài 0.5- Bài 0.6-trang 128, T.7-trang 129-SBT).
Dạng 3 : Tâm là giao điểm của đường trung trực một cạnh bên và và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 1, 4-trang 103, Bài 3-trang 127- SGK; Bài
T.6-trang 129, T.8-trang 130-SBT).
Trong phân phối chương trình, chương mặt cầu và mặt tròn xoay tổng cộng có 11 tiết, trong
đó bài “mặt cầu” và bài “ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ” gồm 4 tiết bao gồm tiết
bài tập.

2. CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA MỚI -CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN (CTC).
2.1 LÝ THUYẾT.
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” chỉ được trình bày ở mục nhỏ ‘chú ý’,
bài §2.mặt cầu (trang 41- 49)- chương II: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
+ Đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
+ Không có ví dụ minh hoạ.
2.2 BÀI TẬP.
Bài tập 1, 2, 7, 10- trang 49
Dạng bài tập- Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
Dạng 1 : Tìm 1 điểm cách đều các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Bài 7-trang 49-
SGK).
Dạng 2 : Các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông (Bài 1-trang 49-SGK).
Dạng 3 : Tâm là giao điểm của đường trung trực một cạnh bên và và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 2-trang 49).
Trong phân phối chương trình, bài ‘mặt cầu’ tổng cộng có 4 tiết, gồm tiết bài tập.
Lượng thời gian như thế không đủ để giải tất cả các bài tập về phần này ở SGK và ở sách
BT. Do vậy người dạy cần có ‘kế hoạch dạy’ thích hợp. Ở đây, người viết xin được đưa ra một kế
hoạch dạy phần này trình tự như sau:
+ Tiết 1: Đònh nghóa mặt cầu và các khái niệm liên quan.
+ Tiết 2: Giải các bài tập 3, 4, 5, 6, 8 và 9 (trang 49)
+ Tiết 3- 4: Trình bày đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ. Giải các bài tập
bằng cách vận dụng “cách xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ‘.

6
Trường THPT Krông Ana
3. CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA MỚI – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
(CTNC).
3.1 LÝ THUYẾT.
Vấn đề “mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ” được trình bày ở mục §1.Mặt cầu, khối

cầu (trang 38)- chương II: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón.
+ Đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
+ Không có ví dụ minh hoạ.
Khác với sgk chương trình chuẩn, sgk chương trình nâng cao có hoạt động nhằm giúp học sinh
thấy được điều kiện cần và đủ để một hình chóp, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp.
3.2 BÀI TẬP.
Bài tập 1, 7, 8, 9, 10- trang 45, 46.
Dạng bài tập- Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ.
Dạng 1 : Tìm 1 điểm cách đều các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng tru)ï (Bài 8, 9-trang
45, 46-SGK).
Dạng 2 : Các đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc
vuông (Bài 1-trang 45-SGK).
Dạng 3 : Tâm là giao điểm của đường trung trực một cạnh bên và và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) ( Bài 7-trang 45).
Phân phối chương trình, bài ‘mặt cầu, khối cầu’ có 4 tiết, bao gồm tiết bài tập.
Kế hoạch dạy phần này trình tự như sau:
+ Tiết 1: Đònh nghóa mặt cầu và các khái niệm liên quan.
+ Tiết 2: Giải các bài tập và 2, 3, 4, 5, 6- trang 45.
+ Tiết 3- 4: Trình bày đònh nghóa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ. Giải các bài tập
bằng cách vận dụng “cách xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ ‘.
II. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH
CHÓP, LĂNG TRỤ BẰNG LƯC ĐỒ BỐN BƯỚC CỦA POLIA.
1. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Ta có thể rèn luyện cho học sinh kó năng xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình
lăng trụ bằng lược đồ bốn bước của Polia thông qua một hoặc một vài ví dụ, bài tập ở sách giáo
khoa. Sau đây, người viết xin đưa ra hai bài tập sách giáo khoa.
Bài toán 1: (Bài 2/SGK-CTC-trang 49; Bài 3/SGK CL2000-trang103) “Cho hình chóp tứ
giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
S, A, B, C và D.”

- Ở đây ta quan tâm đến việc xác đònh tâm mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D.

7
Trường THPT Krông Ana
Bước 1: Hiểu rõ bài toán
- “ Cái gì cần tìm ?”
Tâm mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D.
- “ Tâm mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C và D có đặc điểm gì ?”
Cách đều S, A, B, C và D.
- “ Cái gì đã cho ?”
Chóp tứ giác đều S.ABCD và AB= a, SA= a.
- “ Chóp tứ giác đều S.ABCD cho ta ?”
- ABCD là hình vuông và SA= SB= SC= SD.
- “ Hãy vẽ hình “
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
- “Hãy nghiên cứu kó cái phải tìm, công việc cần làm ?”
Tìm điểm I sao cho IA= IB= IC= ID= IS
- “Bạn đã gặp bài toán này chưa ? Đã gặp bài tương tự ?”
Chưa. Bài tập tương tự là ‘Xác đònh tâm đường tròn qua họ điểm cho trước trong hình học
phẳng‘.
- “ Liệu rằng cách giải có thể tương tự ? Vậy thì hãy nhớ lại cách giải và cố gắng vận dụng vào bài
toán mới !”
Bài toán: Xác đònh tâm đường tròn qua họ điểm cho trước trong hình học phẳng‘, có 3 cách
giải cơ bản:
Cách 1: Chứng tỏ họ điểm đó nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc vuông.
Cách 2: Chứng tỏ họ điểm đó cách đều một điểm cố đònh.
Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm là giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng
tạo từ họ điểm đó.
- “ Vận dụng vào bài toán ?”
* Cách 1: Chứng tỏ “họ điểm”( S, A, B, C và D) đó nhìn hai điểm cố đònh dưới một góc

vuông ?
Xuất phát từ giã thiết, cách 1 này không khả thi vì yếu tố vuông góc ở giả thiết không đủ.
* Cách 2: Việc tìm điểm cố đònh I đó là có thể làm được, nhưng ở đây tìm điểm ‘có lẻ khó ‘.
* Cách 3: Tâm đường tròn qua họ điểm là giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng
tạo từ họ điểm đó.
Việc tìm giao điểm của các đường trung trực các đoạn thẳng tạo từ S, A, B, C và D trong
không gian “khó “ xác đònh được !.

8
S


D C

O
A B
Hình H.1