8 Bài tập bồi dưỡng Toán nâng cao lớp 6

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>8 BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP 6 </b>

<i><b>Bài toán 1:</b></i>

<i> So sánh giá trị biều thức </i>

3 8 15 ... 9999

4 9 16 10000

<i>A</i>    

với các số 98 và 99.

Ta có:

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ ... 1 1₂

4 9 16 10000 2 3 4 100

<i>A</i> _  _{ }   _{ }  _  _  _{ }   _{ }   _{ }  _  _ _

               

=

2 2 2 2

1 1 1 1

99 ... 99

2 3 4 100 <i>B</i>

 

_     _ 

 

với B =

2 2 2 2

1 1 1 1

...

2 3 4  100

> 0 Nên A

< 99.

Ta có



1 1



1 11

<i>k k</i>  <i>k</i> <i>k</i>

với mọi k

1

nên

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... 1 .... 1 1

2 3 4 100 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 3 4 99 100 100

<i>B</i>                     

Do đó

<i>A</i>99 <i>B</i> 99 1 98 

. Vậy

98 <i>A</i> 99

Tổng quát:



2



3 8 15 ... 2 ₂1



1



4 9 16

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>


       

<i><b>Bài toán 2:</b></i>

Viết số

2 3 4 999 1000

1 2  3 4  ... 999 1000

trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên

bên trái số đó?

Giải: Ta có

2 3 4 999 1000

1 2 3 4 ... 999 1000

<i>A</i>      

; Đặt

1000 3000

3000
1000 10 100000...0000

<i>B</i>  

gồm

có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)

Đặt C

2 3 999 1000 3 6 2997 3000

1000 1000 1000 ... 1000 1000 10 10 .. 10 10

          

=

100100100....1000

gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ

số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.

<i><b>Bài toán 3:</b></i>

<b> </b>

Cho



 

2



2

2

1 1 1 1

... ...

14 29 ₁ ₂ 1877

<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

     

   

. Chứng minh rằng

0,15 <i>A</i> 0, 25

.

Giải : Ta có



 

2



2

2

1 1 1 1

... ...

14 29 ₁ ₂ 1877

<i>A</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>



 

2



2

2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2

1 1 1 1

... ...

1 2 3 2 3 4 <i>_n</i> <i>_n</i> ₁ <i>_n</i> ₂ 24 25 26

     

         



 

2



2

2 2

1 2 3 6 5

<i>B</i><i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>

. (1)



Với

<i>n</i>1

từ (1) ta có:

<i>B</i>3<i>n</i>29<i>n</i> 6 3



<i>n</i>23<i>n</i>2



3



<i>n</i>1



<i>n</i>2



. Từ đó :







1 1 1 1 1 1 1

... ...

3 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 3

<i>A</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

 _       _

 

 

Với

<i>C</i>







1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6

... ... ...

2.33.4  <i>n</i>1 <i>n</i>2  24.2525.26     2 3 3 4 2526  2 26 13

.

Suy ra

1 6. 2 0,15
3 13 13

<i>A</i>  

.



Với

<i>n</i>1

từ (1) ta có:

<i>B</i>2<i>n</i>26<i>n</i> 4 2



<i>n</i>23<i>n</i>2



2



<i>n</i>1



<i>n</i>2



. Từ đó :







1 1 1 1 1 1 1

... ...

2 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2

<i>A</i> <i>C</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

 _       _

 

 

Với

<i>C</i>







1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6

... ... ...

2.33.4  <i>n</i>1 <i>n</i>2  24.2525.26     2 3 3 4 2526  2 2613

.

Suy ra

1 6. 3 0, 25
2 13 13

<i>A</i>  

. Vậy

0,15 <i>A</i> 0, 25

<i>Tổng quát:</i>

_

_



 

2



2





2 2 2 2 2 2 ₂

1 1 1 1 1 1 1

...

63 <i>k</i>2 1 2 3 2  3 4  <i>_k</i>  <i>_k</i>₁  <i>_k</i>₂  4 2 <i>k</i>2

<i><b>Bài tốn 4:</b></i>

Tính

<i>A</i>

<i>B</i>

biết :





1 1 1 1

... ...

2.32 3.33 30 1979.2009

<i>A</i>

<i>n n</i>

     



;





1 1 1 1

... ...

2.1980 3.1981 1978 31.2009

<i>B</i>

<i>n n</i>

     



.

<i>Giải: </i>

Với các số nguyên dương n và k ta có













1 1 <i>n</i> <i>k</i> <i>n</i> <i>k</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>k</i> <i>n n</i> <i>k</i> <i>n n</i> <i>k</i> <i>n n</i> <i>k</i>



   

   

.

Với k = 30 ta có :

30 30 30 1 1 1 1 1 1

30 ... ...

2.32 3.33 1979.2009 2 32 3 33 1979 2009

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ... ... ... (1)

2 3 1979 32 33 2009 2 3 31 1980 1981 2009

<i>A</i>           

       

_    _{ }    _{ }    _{ }    _

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Với k = 1978 ta có :

1978 1978 1978 ... 1978 1 1 1 1 ... 1 1

2.1980 3.1981 31.2009 2 1980 3 1981 31 2009

<i>B</i>          

1 1 1 1 1 1

... ... (2)

2 3 31 1980 1981 2009

   

_    _{ }    _

   

.

Từ (1) và (2) suy ra

30 1978 1978 989

30 15

<i>A</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>B</i>

   

.

<i><b>Bài tốn 5</b></i>

<i>: Tính tổng sau: </i>



 

2



2





2

3 5 4017

....

1 2 2 3 2008 2009

<i>n</i>

<i>S</i>    

  

.

<i>Giải: </i>

Với

<i>n</i>1

thì

































2 ₂ 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1

2 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

  

 _    _ _ _ _ _

     

Do đó



 

2



2





2 2 2 2

3 5 4017 1 1 1 1 1 1

.... 1 ... 1

4 4 9 2008 2009 2009

1 2 2 3 2008 2009

<i>n</i>

<i>S</i>             

  

.

<i><b>Bài toán 6:</b></i>

Tính các tổng sau:





1.2 2.3 ... . 1 ... 98.99

<i>A</i>   <i>n n</i>  

(*) ;

<i>B</i>1.99 2.98 ...  <i>n</i>



100  <i>n</i>



... 98.2 99.1

<i>Giải: </i>

Ta có:

3<i>A</i>1.2.3 2.3.3 ... 3   <i>n n</i>



  1



... 3.98.99 1.2. 3 0



 



2.3. 4 1



  



... 98.99. 100 97







.





970200

1.2.3 2.3.4 ... 98.99.100 1.2.3 2.3.4 ... 97.98.99 98.99.100 970200 323400
3

<i>A</i>

            





















1.99 2. 99 1 3. 99 2 .... 98. 99 97 99. 99 98
1.99 2.99 3.99 ... 99.99 1.2 2.3 3.4 ... 98.99

<i>B</i>          

         









99

99 1 2 3 ... 99 99. 99 1 . 99.99.50 323400 166650
2

<i>A</i> <i>A</i>

           

Từ bài toán (*) suy ra

3 98.99.100 98.99.100
3

<i>A</i>  <i>A</i>

.

Nếu

<i>A</i>1.2 2.3 3.4 ...   <i>n n</i>



1



. Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n

= 100







1.2 2.3 3.4 ... 1



.3



0.1 1.2 2.3 3.4 ...



1





.3

<i>B</i>     <i>n</i> <i>n</i>       <i>n</i> <i>n</i> 





















1. 0 2 3. 2 4 5. 4 6 ... 97. 96 98 99 98 100 .3

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>







2 2 2 2 2



1.1.2 3.3.2 5.5.2 7.7.2 ... 99.99.2 .3 2.3. 1 3 5 7 .. 99

           



2 2 2



6 1 3 ... 99

   

. Do đó



2 2 2 2



6 1    3 5 ... 99 99.100.101

hay

2 2 2 99.100.101

1 3 ... 99 166650.

6

    

Vậy

₂ ₂



 

2 2 1 2



2 2



3



1 3 ... 2 1

6

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>P</i>    <i>n</i>    

Cơng thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên

2 2 2 2



1 2



1



1 2 3 ...

6

<i>n n</i> <i>n</i>

<i>P</i>    <i>n</i>   

<i><b>Bài toán 7:</b></i>

Tính

<i>B</i>

<i>A</i>

biết:





1 1 1 1

... ...

1.2 2.3 1 2008.2009

<i>A</i>

<i>n n</i>

     



.







1 1 1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010

<i>B</i>

<i>n n</i> <i>n</i>

     

 

.

Ta có



1 1



1 11

<i>n n</i>  <i>n</i> <i>n</i>

và









 





2 1 1

1 2 1 1 2

<i>n n</i> <i>n</i> <i>n n</i>  <i>n</i> <i>n</i>

Nên:





1 1 1 1 1 2008

... ... 1

1.2 2.3 1 2008.2009 2009 2009

<i>A</i>

<i>n n</i>

        









2 2 2 2 2 1 1 2019044

2 ... ...

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010

<i>B</i>

<i>n n</i> <i>n</i>

         

 

1 2019044 1009522
.

2 2009.2010 2009.2010

<i>B</i>

  

.

Do đó

1009522 :2008 1009522.2009 5047611
2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040

<i>B</i>

<i>A</i>  

1011531
2

2018040



<i><b>Bài tốn 8:</b></i>

<i> Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên </i>

tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?

<i>Giải: </i>

Ta có:

<i>A</i>1.2.3.4...1001

và

<i>B</i>1002.1003.1004...2002

.

Ta viết B dưới dạng:

<i>B</i>



2003 1001 2003 1000 ... 2003 1





 





. Khai triển B có một tổngngồi

số hạng

1001.1000....2.1

. Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên

2003. 1001.1000...2.1 2003

<i>B</i> <i>n</i>  <i>n</i><i>A</i>

với n là số tự nhiên. Do đó:

<i>A B</i> 2003<i>n</i>

là một số chia

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ;



1002; 1001 ; 1003;1000 ;... 2002;1

 

 



. Do đó

<i>B</i>1002.1003....2002

và

  <i>A</i> 1001.1000...2.1

có

cùng số dư khi chia cho 2003. Nên

<i>A B</i>   <i>B</i>

 

<i>A</i>

chia hết cho 2003

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Website HOC247 cung cấp một mơi trường h<b>ọc trực tuyến </b>sinh động, nhiều ti<b>ện ích thông minh, </b>
nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những <b>giáo viên nhiều năm kinh </b>

<b>nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạm </b>đến từcác trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng.

<b>I.</b>

<b>Luy</b>

<b>ệ</b>

<b>n Thi Online</b>

- <b>Luyên thi ĐH, THPT QG:</b>Đội ngũ <b>GV Giỏi, Kinh nghiệm</b> từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa <b>luyện thi THPTQG </b>các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- <b>Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: </b>Ơn thi <b>HSG lớp 9</b> và <b>luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán</b> các
trường <i>PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An</i> và các trường Chuyên

khác cùng <i>TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.</i>

<b>II.</b>

<b>Khoá H</b>

<b>ọ</b>

<b>c Nâng Cao và HSG </b>

- <b>Toán Nâng Cao THCS:</b> Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS THCS
lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG.

- <b>Bồi dưỡng HSG Toán:</b> Bồi dưỡng 5 phân mơn Đạ<b>i Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học </b>và <b>Tổ Hợp</b> dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: <i>TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần </i>

<i>Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn</i> cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

<b>III.</b>

<b>Kênh h</b>

<b>ọ</b>

<b>c t</b>

<b>ậ</b>

<b>p mi</b>

<b>ễ</b>

<b>n phí</b>

- <b>HOC247 NET:</b> Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham
khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

- <b>HOC247 TV:</b> Kênh <b>Youtube</b> cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh.

<i><b>V</b></i>

<i><b>ữ</b></i>

<i><b>ng vàng n</b></i>

<i><b>ề</b></i>

<i><b>n t</b></i>

<i><b>ảng, Khai sáng tương lai</b></i>

<i><b> Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90% </b></i>

<i><b>Học Toán Online cùng Chuyên Gia </b></i>

</div>

<!--links-->