Tài liệu chyên đề bất đẳng thức cosi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
------------------------
Chuyên đề :
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH
ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Giáo viên : Huỳnh Kim Linh
Năm học 2008 - 2009
1
Lời nói đầu :
Thực hiện nhiệm vụ năm học 2008 – 2009, Trường THPT Chuyên Lê
Quý Đôn Khánh Hòa có khuyến khích các giáo viên dạy môn chuyên làm
chuyên đề để xây dựng tài nguyên của tổ chuyên môn
Chính vì vậy tôi đã thực hiện và làm chuyên đề về
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
2
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Huỳnh Kim Linh

Trong các kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng, có một hay hai câu khó để
phân loại thí sinh và thường có một câu về bất đẳng thức.
1) Định lý ( Bất đẳng thức Cô si) :
Cho n số thực không âm :
1 2 n
a ,a ,...,a
.
Ta có :
1 2 n

n
1 2 n
a a ... a
a a ...a
n
+ + +
≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
a a a= = =L
.
2) Một số bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si :
2.1) Các Bất đẳng thức dạng phân thức
Với x, y > 0. Ta có :
( )
1 1 4
1
x y x y
+ ≥
+

( )
( )
2
1 4
2
xy
x y
≥

+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Chứng minh : (1) và
( ) ( )
2
2 x y 4xy⇔ + ≥
(đúng)
Với x, y, z > 0. Ta có :
( )
1 1 1 9
3
x y z x y z
+ + ≥
+ +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
2.2) Các bất đẳng thức dạng đa thức :
( )
2 2 2
x y z xy yz zx 4+ + ≥ + +
( )
( ) ( )
2
2 2 2
3 x y z x y z 5+ + ≥ + +
( ) ( ) ( )
2
x y z 3 xy yz zx 6+ + ≥ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
3
3) MỘT SỐ BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC :

Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2005
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn :
1 1 1
4
x y z
+ + =
.
Chứng minh rằng :
1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
Lời giải :
Cách 1 :
Áp dụng bất đẳng thức :
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với x, y > 0, ta được :
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 2 4 1
x y z x y y z z x x y y z z x
       
 
= + + = + + + + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷  ÷ ÷
+ + +

 
       
Tương tự
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
x y y z z x x y x z x y y z y z z x
1 1 1
4 2
2x y z x 2y z x y 2z
     
+ + = + + +
 ÷  ÷ ÷ ÷
+ + + + + + + + +
     
 
≥ + +
 ÷
+ + + + + +
 
Từ (1) và (2) suy ra
1 1 1
8 8
2x y z x 2y z x y 2z
 
≥ + + ⇔
 ÷
+ + + + + +
 
1 1 1

1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi
3
x y z .
4
= = =
Cách 2 :
Áp dụng bất đẳng thức :
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
với x, y > 0, và bất đẳng thức Côsi ta có :
( ) ( )
( )
2x y z x y x z 2 xy xz+ + = + + + ≥ +
Do đó :
1 1 1 1 1 1
2x y z 2 8
xy xz xy xz
   
≤ ≤ +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ +
+
   

Tương tự :
1 1 1 1
x 2y z 8
xy yz
 
≤ +
 ÷
 ÷
+ +
 
1 1 1 1
x y 2z 8
xz yz
 
≤ +
 ÷
 ÷
+ +
 
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :
4
( )
1 1 1 1 1 1 1
3
2x y z x 2y z x y 2z 4
xy yz zx
 
+ + ≤ + +
 ÷
 ÷

+ + + + + +
 
Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4
2 x y 2 y z 2 z x
xy yz zx
   
 
= + + + + + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
 
   
Từ (3) và (4) suy ra :
1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
Cách 3 :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương
( )
1 1 1 1
x x y z 16
x x y z
 
+ + + + + + ≥
 ÷
 

Suy ra
1 1 2 1 1
2x y z 16 x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
Tương tự
1 1 1 2 1
x 2y z 16 x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
1 1 1 1 2
x y 2z 16 x y z
 
≤ + +
 ÷
+ +
 
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :
1 1 1
1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
Mở rộng bài toán 1 :

Cho n số thực dương cho trước :
1 2 n
a , a , aK
thỏa điều kiện :
1 2 n
1 1 1
k
a a a
+ + + =L
. Với n > 1 và k > 0 cho trước. Chứng minh rằng :
− −
+ + + ≤
+ + + + + + + + + + + +
L
L L L L
1 1 2 2 n n 2 1 n n 1 1 n n 1 1 2 n 1 n 1 2 n
1 1 1 k
m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m m
Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R, ta có :
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
Khi nào đẳng thức xảy ra.

5
Lời giải :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
x x x x
x
x x x x
x
x x x x
x
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x x x
12 15 20
x 0.
5 4 3
     
= = ⇔ =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đến bài toán tổng quát sau :
Mở rộng bài toán 2 :
Cho a, b, c là ba số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng : với mọi x ∈ R, ta có :
x x x
x x x
ab bc ca
a b c
c a b
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷

     
Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2005
Cho các số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng :
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
Lời giải :
Đặt
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
P
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
3 3 3 3
3
3 3 3 3
3
3
3 3 3 3

1 x y 3 x y 3xy
1 y z 3 y z 3yz
1 z x 3 z x 3zx
+ + ≥ =
+ + ≥ =
+ + ≥ =
Từ đó suy ra
( )
xy yz
zx 1 1 1
P 3 3 1
xy yz zx
xy yz zx
   
≥ + + = + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
6