Gián án MỘT BÀI TẬP BA CÁCH GIẢI ĐẠI DIỆN BA PHƯƠNG PHÁP

Một bài toán hay!
Cho hình chóp đều S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao
cho
SA SB SC
SA SB SC
' 2 ' 1 ' 1
, ,
3 2 3
= = =
. Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD tại D’.
Chứng minh rằng:
SD
SD
' 2
5
=
1) Lời giải của cô Hồng Vân (dùng tỉ số thể tích)
• Đặt thể tích khối chóp đều đã cho là 1.
• Gọi thể tích các khối chóp S.A’B’K , S.B’C’K, S.C’D’K lần lượt là
V V V
1 2 3
, ,

và đặt các tỉ số
SK SD
t x
SO SD
'
,= =
• Có
S AOB S BOC S COD S ABC S BCD

V V V V V
. . . . .
1 1
,
4 2
= = = = =
•
S AOB
V
SA SK SB t t t
V
V SA SO SB
1
1
.
' ' 1
. . .
3 4 3 12
= = ⇒ = =
(1)
S BOC
V
SK SC SB t t
t V
V SO SC SB
2
2
.
' ' 1 1
. . . .

3 2 6 24
= = = ⇒ =
(2)
Mặt khác ta có
A B C
S ABC S ABC
V
V V
SA SB SC
V V
V V SA SB SC
' ' '
1 2
1 2
. .
' ' ' 2 1 1 1 1
. . . .
3 2 3 9 18
+
= = = = ⇒ + =
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
t t
t
1 4
12 24 18 9
+ = ⇔ =
⇒
V V
1 2

1 1
,
27 54
= =
• Gọi E là trung điểm của C’C, vì
SC
SC
' 1
3
=
nên SC’ = C’E = EC, BE// B’C’
Lấy F trên đoạn OC sao cho
CF EF
CO SO
1 1
3 3
= ⇒ =
SDBC
E DBC S DBC E DBC
S B C K
V
V V V
V
. . .
. ' '
1
2
1 1
3 6
2

3

=



⇒ = ⇒ =



=


(chung đáy)
• Ta có
S COD
V
SC SK SD x
x V
V SC SO SD
3
3
.
' ' 1 4
. . . .
3 9 27
= = ⇒ =
(5)
S B C D
S BCD S BCD

V
V V
SB SC SD x
x V V
V V SB SC SD
. ' ' '
2 3
2 3
. .
' ' ' 1 1
. . . .
2 3 12
+
= = = ⇒ + =
(6)
Từ (5), (6) ta có:
x x x x
x x x
1 2 1 2
54 24 12
27 54 12 54 12 5
+
+ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ =
(đpcm).
2) Lời giải của Thầy Trần Sĩ Tùng (dùng đoạn thẳng tỉ lệ)
A
B
C
D
S

O
A’
B’
C’
D’
K

• Gọi
A C
1 1
,
lần lượt là trung điểm của
SA CC,
′ ′
⇒ K là trọng tâm của ∆SA′C
1
⇒
SK
SH
2
3
=
, mà
SH SO
2
3
=
nên
SK
SO

4
9
=
⇒
SK
SJ
8
9
=
•
KD SK
TJ SJ
8
9
′
= =
⇒
KD TJ B D B D
8 8 1 4
.
9 9 2 9
′ ′ ′ ′ ′
= = =
⇒
KD
KB
4
5
′
=

′
•
D R KD
UB KB
4
5
′ ′
= =
′ ′
⇒
SD D R
SU
UB
4
5
′ ′
= =
′
⇒
SD SD
SD SU
2
2 5
′ ′
= =
(đpcm)
CÁCH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Giả sử hình vuông có cạnh bằng 2a và cạnh bên bằng b.Chọn hệ tọa độ O(0;0;0), C(a;0;0),D(0;a;0),
(
)

( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
0; 0; , ; 0; 0 , 0; ; 0 , ' 0; ; ,
2 2
2 1 1 2
' ; 0; , ' ; 0;
3 3 3 3
a b a
S b a A a B a B
A a b a C a b a
 
−
 ÷
− − − −
 ÷
 
   
− − −
 ÷  ÷
   
Phương trình mặt phẳng (A’B’C’)
( )
2 2 2 2 2 2
1 2
3 0 9 0
3 3
b a x a b a y a z b a
   

− − − − − − + − − =
 ÷  ÷
   
Hay
2 2 2 2 2 2
3 9 3 0b a x b a y az a b a− − − − + − − =
Do đó D’
( )
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
2 3 2 2
' ' ' ' 0; ; ' 0; ;
5 5 5 5
4
4 4 4 4 ' 4 ' 2
25
'
25 25 25 25 24 5
a a
SD A B C D b a SD b a
b
SD SD
SD a b a b
SD
SD b
   
= ∩ ⇒ − ⇒ − −

 ÷  ÷
   
⇒ = + − = ⇒ = = ⇒ =
uuur
=======================