DE THI HSG LOP 9 NH 20092010

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN</b>

<b>NĂM HỌC: 2009 - 2010</b>

<b> MƠN: TỐN - LỚP 9</b>

<b>THỜI GIAN LÀM BÀI:</b>

<b>150 phút</b>

<i>(khơng kể thời gian phát đề)</i>

<b>Bài 1:</b>

(4 điểm) Cho biểu thức: A=

2
1
:

1
1
1
1

2 


















 <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi x = 7

<i>- </i>

6

.

c) Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất?

<b>Bài 2:</b>

(4 điểm) Cho phương trình:

(a 1)x 2y 1

3x ay 1

















(I)

a) Giải hệ (I) với a = + 1.

b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.

<b>Bài 3:</b>

(6 điểm) Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N



AM, (điểm

N nằm giữa A và M), vẽ đường trịn (O) có đường kính AN.

a) Gọi F là giao điểm của phân giác trong AD với (O), gọi E là giao điểm của

phân giác ngồi góc

_Aˆ

với (O). Chứng minh: EF là đường kính của đường trịn (O).

b) Đường trịn (O) cắt AB ở K, cắt AC ở H, KH cắt AD ở I.

Chứng minh: FK

2

_{= FI. FA.}

c) Chứng minh: NH.CD = NK. BD.

<b>Bài 4:</b>

(2 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; 2). Chứng minh rằng

tam giác này có diện tích và chu vi bằng nhau về số đo?

<b>Bài 5:</b>

(4 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

x 2y 5

₂ ₂

(1)

(2)

x

2y

2xy 5

















b) Tính tổng

:

2 2 2 2 2 ₂₀₀₆2

1
2005

1
1
...
4

1
3

1
1
3

1
2

1

1        


<i>S</i>

<b>HẾT</b>

UBND HUYỆN CẦU KÈ

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI</b>

<b> VÒNG HUYỆN NĂM HỌC : 2009 - 2010</b>

<b> MÔN : TOÁN - LỚP 9</b>

<b>Bài </b> <b>Ý</b> <b>Lời giải vắn tắt</b> <b>Điểm</b>

<b>1</b> <b>4,0đ</b>

a <i><b>1,5đ</b></i>

ĐK: 0 x 1 0,5đ

A =

1

2

.

1

)

1

(

)

1

(

2

















<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

0,5đ

= ( 2₂ 1)2 2

( 1) ( 1) 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 



     0,5đ

b <i><b>1,0đ</b></i>

Với x = 7 - 2 = (-1)2__{= -1} _0,5đ

Ta có : A =

2

2

7 2 6





6 1 1 7

 





6

0,5đ

c <i><b>1,5đ</b></i>
2
4
3
4
1
2
4
3
2
1
2
2 











 <i>_x</i>
<i>A</i>
0,5đ
Dấu "=" xảy ra  = 0  x =0 0,5đ

Vậy Max A = 2 khi x = 0 0,5đ

<b>2</b> <b>_4,0đ</b>

a <i><b>2,0đ</b></i>

Với a = 3+ 1 thì hệ (I) trở thành:









1

)
1
3
(
3
1
2
3
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
0,5đ









1
2
3
0
]
3
)[
3

1
(
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>








1
3
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>










1 3

1
<i>y</i>
<i>x</i>
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b <i><b>2,0đ</b></i>

UBND HUYỆN CẦU KÈ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài </b> <b>Ý</b> <b>Lời giải vắn tắt</b> <b>Điểm</b>

(I) 












1
3

2
)

)(
2
(

<i>ay</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>a</i>



)
2
(

)
1
(
6
)
4
)(
2

( 3

1














<i>y</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>ay</i>
<i>x</i>

0,5đ
0,5đ
Để hệ (I) vơ nghiệm thì phương trình (2) vơ nghiệm thì:

a + 2 = 0 và 4 – a = 0











4
2

<i>a</i>
<i>a</i>

.Vậy a =



2

; a = 4 là các giá trị cần tìm.

0,5đ

0,5đ

<b>3</b> <b>6,0đ</b>

a <i><b>2,0đ</b></i>

<b>N</b>
<b>I</b>
<b>H</b>

<b>A</b>

<b>B</b>

<b>C</b>

<b>O</b>
<b>E</b>

<b>F</b>

<b>M</b> <b>D</b>

<b>K</b>

Hình
vẽ
0,5đ

Ta có: AE và AF là hai tia phân giác của 2 góc kề bù đỉnh A nên
AE  AF  EAF = 1v

=> EAF là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Hay EF là đường kính đường trịn (O) - đpcm.

0,5đ
0,5đ
0,5đ

b <i><b>2,0đ</b></i>

Xét  AKF và KIF có KAF = IKF (Chắn 2 cung bằng nhau: KF = FH) _0,5đ

Mà AF = AH + HF = AH + FK
và AKF =

2
1

sđ AF; KIF =

2
1

sđ (AH+FH) nên AKF = KIF _0,5đ

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

 . _0,5đ

c <i><b>2,0đ</b></i>

Xét ABM và ACM có: S ABM = S ACM mà S NCM = SNBM

(Cùng đường cao và cạnh đáy bằng nhau) 0,5đ

Nên: SANC = SANB NH.AC = NK.AB  (1) 0,5đ

Áp dụng tính chất đường phân giác: (2) _0,5đ

Từ (1) và (2)  NH.CD = NK.BD. _0,5đ

<b>4</b> <b>_2,0đ</b>

<b>A</b>

<b>B</b> <b>C</b>

<b>D</b>
<b>E</b>
<b>F</b>

<b>O</b>

Đặt chu vi tam giác ABC là 2p; bán kính của đường trịn nội tiếp là r.
Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) trên các cạnh BC, CA, AB.
Theo tính chất của tiếp tuyến thì: OD  BC; OE  AC; OF  AB.

Ta có: SABC = SBOC + S COA + SAOB =

1

2

OD(BC + CA + AB)
SABC =

1

2

<b>.</b>r<b>.</b>2p = r<b>.</b>p
Vì r = 2 nên SABC = 2p.

Vậy tam giác ABC có diện tích bằng chu vi (về số đo)

0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ

<b>5</b> <b>_4đ</b>

a <i><b>_2,5đ</b></i>

Từ (1) => x = 5 – 2y, thế vào (2) ta được: (5 – 2y)2_{+ 2y}2_{- 2(5 – 2y)y = 5}
Biến đổi ta được: y2_{– 3y + 2 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Bài </b> <b>Ý</b> <b>Lời giải vắn tắt</b> <b>Điểm</b>

=> (y – 1)(y – 2) = 0 => y = 1; y = 2
* Nếu y = 1 => x = 5 – 2 = 3;

* Nếu y = 2 => x = 5 – 2.2 = 1.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (x = 1; y = 2); (x = 3; y = 1)

0,5đ
0,5đ
0,5đ

b <i><b>1,5đ</b></i>

Ta có: 1 1₂ 1₂ (2.3)2 32₂ 22 7 2.3 1

6 ₆

2 3 (2.3)

  

    

1 1₂ 1₂ (3.4)2 4₂2 32 ₁₂13 3.4 1₁₂

3 4 (3.4)


 

     

...
Tương tự:

2006
.
2005

1
2006
.
2005
)

2006
.

2005
(

2006
2005

)
2006
.
2005
(
2006

1
2005

1

1 ₂

2
2

2
2

2












0,5



2006
.
2005

1
2006
.
2005
...

12
13
6

7 







<i>S</i>

= 1 1 1 1 ... 1 1
2.3 3.4 2005.2006

     

= 1 ( 1₂  1₃) 1 (  1₃ 1₄) ... 1 (   ₂₀₀₅1  ₂₀₀₆1 )

0,5

= 


















2006
1
2005

1
...
4
1
3
1
3
1
2
1

2004 _{(vì từ 2}__{2005 có 2004 số)}

= 2004 1 1 2004 501

2 2006 1003





_





_







0,5

</div>

<!--links-->