Tải bản đầy đủ (.doc) (4 trang)

Gián án đề thi hsg toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (95.97 KB, 4 trang )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN TOÁN
( Thời gian 150 phút, không kể thời gian phát đề )
Câu 1(4đ): Cho biểu thức:
A =
2
4 4x x x− − +
a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
b. Rút gọn biểu thức A.
Câu 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức:
A =
3 3
7 5 2 7 5 2+ + −
Câu 3(4đ): Cho hàm số
y =
2 2
2 1 2 1x x x x+ + − − +
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ của y, giá trị lớn nhất của y.
Câu 4(4đ): Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
Câu 5(6đ): Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường
tròn nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự
tại M,N. Chứng minh rằng:
a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.


2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM.
Câu Nội dung Điểm
1 a.Biến đổi biểu thức được:
A =
2
( 2) 2x x x x− − = − −
Điều kiện xác định của A là:

2 2
2
0
4x 4
1
x x
x
x x
x
≥ −




≥ − +


⇔ ≥
b. Nếu
x 2≥
thì
( 2) 2x x− − =
Nếu
1 x

<2 thì
( ( 2)) 2x 2x x− − − = −
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
2

3
3
3
3
7 5 2
1 3 2 6 2 2
(1 2)
1 2
+
= + + +
= +
= +

Tương tự:
3
7 5 2 1 2− = −
Do đó: A = 1+
2 1 2+ −
= 2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,75 đ
0,5 đ
3
a. y =
2 2
( 1) ( 1)
1 1
x x
x x
+ − −
= + − −
Lập bảng xét dấu
x -1 1
x +1 - 0 + +
x - 1 - - 0 +

Với x

1 thì y = (- x -1) – ( 1- x) = -2
Với -1 < x < 1 thì y = ( x +1) – ( 1- x) = 2x
Với x


1 thì y = ( x +1) – ( x - 1) = 2
Đồ thị của hàm số được vẽ trên hình 1.

0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

y
2

-1 o
1 x

-2
b. Trên đồ thị ta thấy:
min y = -2
1x⇔ ≤ −
;
max y = 2
x⇔
> 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4
a

2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2
2 2 2 2
( )( )a b c d+ + ≥

a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2ac + 2bd

2 2 2 2
( )( )a b c d+ + ≥
ac + bd. (2)
Nếu ac + bd < 0 thì (2) được chứng minh.
Nếu ac + bd

0 thì (2) tương đương với
(a
2

+ b
2
)(c
2
+ d
2
)

a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd


a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c

2
+ b
2
d
2


a
2
c
2
+ b
2
d
2
+ 2abcd


(ad – bc)
2

0 (3)
Bất đẳng thức (3) đúng, bất đẳng thức (1) được chứng
minh.
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
5
Gt
ABCV
có BC = a, AC = b, AB = c
(I) nội tiếp tam giác. Đường vưông góc với CI tại I
cắt AB, AC theo thứ tự tại M,N.
Kl a. AM.BN = IM
2
= IN
2
;
b.
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =

A
0,25 đ
Vẽ hình. M
â


B N C
a. Ta có
·
·
·

µ
90
2
C
AMI INB AIB
 
= = = +
 ÷
 ÷
 
o
AMIV

( . ),AIB g g AIBV V

INBV
(g.g)
Nên các tam giác AMI và INB đồng dạng.
Suy ra:

IM AM
BN IN
=
Do đó: AM.BN = IM.IN = IN
2
= IM
2
b. Đặt AM = m, BN = n, IN = IM = x.
Do
AMIV


AIBV
nên:

AM AI
AI AB
=


IA = AM.AB = m.c
2
AI m
bc b
⇒ =
(1).
Tương tự
2
IB n
ca a
=
(2)
Xét tam giác MIC vuông tại I, ta có IC
2
= CM
2
– IM
2
.
Do IM
2

= m.n (câu a) và CM = CN nên
IC
2
= ( b – m )( a – n) – mn = ab – bn – am + mn - mn
= ab – bn – am.
Do đó
2
1
IC n m
ab a b
= − −
(3).
Từ (1), (2), (3) suy ra .
2 2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
+ + =
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

I

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×