on hs gioi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (384.8 KB, 58 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề số 1
Bài 1: (2 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu P và 2P + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4P + 1 là hợp số.
2) HÃy tìm BSCNN của ba số tự nhiên liên tiếp.

Bài 2: (2 điểm)

Hóy thay cỏc ch s vào các chữ cái x, y trong

N=20 x 0 y04

để N chia hết cho 13.
Bài 3: (2 điểm)

Vòi nớc I chảy vào đầy bể trong 6 giờ 30 phút. Vòi nớc II chảy vào đầy bể trong 11
giờ 40 phút. Nếu vòi nớc I chảy vào trong 3 giờ; vòi nớc II chảy vào trong 5 giờ 25 phút thì
lợng nớc chảy vào bể ở vịi nào nhiều hơn. Khi đó lợng nớc trong bể đợc bao nhiờu phn
trm ca b.

Bài 4: (2 điểm)

Bạn Huệ nghĩ ra một số có ba chữ số mà khi viết ng ợc lại cũng đợc một số có ba chữ
số nhỏ hơn số ban đầu. Nếu lấy hiệu giữa số lớn và số bé của hai số đó thì đợc 396. Bạn
Dung cũng nghĩ ra một số thoả mãn điều kiện trên.

Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chÊt trªn, hÃy tìm các số ấy.
Bài 5: (2 điểm)

Chứng minh rằng: một số có chẵn chữ số chia hết cho 11 thì hiệu giữa tổng các chữ số “
đứng ở vị trí chẵn” và tổng các chữ số đứng ở “vị trí lẻ”, kể từ trái qua phải chia hết cho 11.
(Biết 102 n−1 và 102 n−1+1 chia hết cho 11)

Đề số 2
Câu 1: (4 điểm)

a) Tìm phân số tối giản lớn nhất mà khi chia các phân số
154
195 ;

385
156 ;

231

130 cho phân
số ấy ta đợc kết quả là các số tự nhiên.

b) Cho a là một số nguyên có dạng: a = 3b + 7. Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong
các giá trị sau ? tại sao ? a = 11; a = 2002; a = 11570 ; a = 22789; a = 29563; a = 299537.
C©u 2: (6 ®iÓm)

1) Cho A=1−2+3−4+. . .+ 99−100 .
a) TÝnh A.

b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ớc tự nhiên. Bao nhiªu íc nguyªn ?
2) Cho A=1+2+22+23+. . .+22002 và B=22003

So sánh A và B.

3) Tỡm số nguyên tố P để P + 6; P + 8; P + 12; P +14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (4 điểm)

Có 3 bình, nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót hết lợng nớc đó vào hai bình cịn
lại, ta thấy: Nếu bình thứ hai đầy thì bình thứ ba chỉ đợc 1/3 dung tích. Nếu bình thứ ba đầy
thì bình thứ hai chỉ đợc 1/2 dung tích. Tính dung tích mỗi bình, biết rằng tổng dung tớch ba
bỡnh l 180 lớt.

Câu 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3cm.
a) Tính độ dài BM.

b) BiÕt BAM = 800, BAC = 600 . TÝnh CAM.

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.

C©u 5: (2 ®iÓm) Cho a=1+ 2+ 3+.. .+n vµ b=2 n+ 1 ( Víi n  N, n≥2 ).
Chøng minh: a vµ b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Đề sè 3

Câu 1: (4 điểm) Hãy xác định câu nào đúng, câu nào sai trong các câu sau:
a) Nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 2 thì p.q là số lẻ.

b) Tỉng hai sè nguyªn tè là hợp số.
c) Nếu a < 0 thì a2 > a.

d) Từ đẳng thức 8. 3 =12. 2 ta lập đợc cặp phân số bằng nhau là:
3

2=
8

12
g) NÕu n là số nguyên tố thì n/35 là phân số tèi gi¶n.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Cho A=1−7+13−19+25−31+. . .

a) BiÕt A = 181. Hái A cã bao nhiªu sè hạng ?
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trÞ cđa A theo n ?

2. Cho

A= 1
1 .2+

1
2 . 3+

3. 4+. ...+
1

99.100 . So sánh A với 1 ?
3. Tìm số nguyên tố p để p, p + 2 và p + 4 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (5 điểm)

1. Một lớp học có cha đến 50 học sinh. Cuối năm xếp loại học lực gồm 3 loại: Giỏi, Khá,
Trung bình, trong đó 1/16 số học sinh của lớp xếp loại trung bình, 5/6 số học sinh của lớp
xếp loại giỏi, cịn lại xếp loại khá. Tính số học sinh khá của lớp.

2. Cã thĨ rót gän

5 n+6

8 n+7 (n  Z) cho nh÷ng sè nguyên nào ?

Câu 4: (3 điểm) Trên tia Ax lấy hai ®iĨm B, C sao cho AB = 5cm; BC = 2 cm. 
a) TÝnh AC.

b) Điểm C nằm ngoài đờng thẳng AB biết góc AOB bằng 550 và góc BOC bng 250. Tớnh

góc AOC ?

Câu 5: (2 điểm) Tìm sè tù nhiªn n biÕt:

1
3+

1
6+

1
10+. ..+

n(n+1 )=

2003
2004

Đề số 4
 Câu 1: (2 điểm)

1) Rút gän

A =

7 . 9 + 14 . 27 + 21 .36

21.27 + 42.81 +63.108

2) Cho

S = 3

1.4 +
3
4.7 +

7.10 +⋯+
3

n(n+3) n∈ N

Chøng minh: S  1

3) So sánh:

2003 .2004 1
2003.2004 và

2004 .2005 1
2004.2005
 Câu 2: (2 điểm)

1) Tìm số nguyên tố P sao cho số nguyên tố P + 2 và P +10 là số
nguyên tố

2 Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3x - 4y = - 21
3Cho ph©n sè:

A =

n − 5

n +1

(

n∈ Z ; n ≠−1)

a) Tìm n để A nguyên.
b) Tìm n để A tối giản .
 Câu 3: (2 điểm)

Xếp loại văn hoá của lớp 6A có 2 loại giỏi và khá cuối học kì I tỉ số giữa học sinh giỏi và

khá là
3

2 cuối học kì II có thêm 1 học sinh khá trở thành loại giỏi. Nên tỉ số giữa học sinh

giỏi và khá lµ

3 . TÝnh sè häc sinh cđa lớp ?
Câu 4: (3 điểm)

Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB. Với bờ là
đờng thẳng OA ta vẽ tia Oy sao cho : AOy > AOB

Chøng tá r»ng :

a Tia OB n»m gi÷a 2 tia Ox, Oy
b xOy = (AOy + BOy ) : 2
C©u 5: (1®iĨm)

Cho n  z chøng minh r»ng: 5n -1 chia hÕt cho 4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a) TÝnh

5.415.99−4.320.89
5.29.619−7.229.276
b) Tìm x biết:

1 1
30 :

(

1
624

1
5

)

11
2

3
4
4 x1
2

(

1 1
15

)

(

1
58

1
3

)

Bài 2: (2 điểm)

So s¸nh: A=
2
60. 63+

63 . 66+. . .+
2
117.120+

2
2003
vµ B=

5
40. 44 +

44 . 48+. ..+
5
76 . 80+

5
2003
Bài 3: (2 điểm) Chứng minh r»ng sè:

222...222

⏟

2001 c/s 2

00 333...333

⏟

2003 c/ s 3 là hợp số.
Bài 4: (2 điểm)

Ba bạn Hồng, Lan, Huệ chia nhau một số kẹo đựng trong 6 gói. Gói thứ nhất có 31
chiếc, gói thứ hai có 20 chiếc, gói thứ ba có 19 chiếc, gói thứ t có 18 chiếc, gói thứ năm có

16 chiếc, gói thứ 6 có 15 chiếc. Hồng và Lan đã nhận đợc 5 gói và số kẹo của Hồng gấp đơi
số kẹo của Lan. Tính số kẹo nhận đợc của mỗi bn.

Bài 5: (2 điểm)

Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao cho
góc xOz nhỏ hơn 900.

a) VÏ c¸c tia Om, On lần lợt là tia phân giác của các gãc xOz vµ gãc zOy. TÝnh gãc MON ?
b) TÝnh số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOz bằng 350.

Đề số 6
Câu 1: (6 điểm)

Tính một cách hợp lí giá trị của các biểu thức sau:
A=3+6+9+12+. . .+2007

B=2.53 .12+4.6. 87−3. 8.40
C=

2006
2 +

2006
3 +

2006
4 +.. .+

2006

2007
2006

1 +
2005

2 +
2004

3 +.. .+
1
2006
Câu 2: (5 điểm)

1) Tỡm cỏc giỏ tr của a để số

123a5

a) Chia hết cho 15

b) Chia hết cho 45

2) Ba xe ô tô bắt đầu cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng, từ cùng một bến. Thời gian cả đi và về
của xe thứ nhất lµ 42 phót, cđa xe thø hai lµ 48 phót, của xe thứ ba là 36 phút. Mỗi chuyến
khi trở vỊ bÕn, xe thø nhÊt nghØ 8 phót råi ®i tiÕp, xe thø hai nghØ 12 phót råi ®i tiÕp, xe thø
ba nghØ 4 phót råi ®i tiÕp. Hái 3 xe lại cùng khởi hành từ bến lần thứ hai lúc mấy giờ ?
Câu 3: (3 điểm)

Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3 và 5p +1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 7p +1
là hợp số.

Câu 4: (3 điểm)

Tia OC là phân gi¸c cđa gãc AOB, vÏ tia OM sao cho gãc BMO = 200. BiÕt gãc AOB =

1440.

a) TÝnh gãc MOC.

b) Gọi OB’ là tia đối của tia OB, ON là phân giác của góc AOC. Chứng minh OA là phân
giác ca gúc NOB.

Câu 5: (2 điểm)

Thay các chữ số thích hợp (các chữ khác nhau thay bằng các chữ số khác nhau)

abccba=6b3

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cõu 1: (2 điểm) Chọn những kết quả đúng trong các câu sau:
1) Số 32450 có số ớc là:

A. 18 ; B. 24 ; C. 75 ; D. 42

2) Biết ƯCLN(a, b) = 7 và BCNN(a, b) = 210 thì tích a.b là:
A. 1470 ; B. 217 ; C. 2107 ; D. 30

3) Cho

abc

không chia hết cho 3. Hỏi phải viết số ngày liên tiếp nhau ít nhất bao nhiêu
lần để tạo thành một số chia hết cho 3 ?

A. 2 lÇn ; B. 3 lÇn ; C. 4 lÇn
4) Cho N = 1494 x 1495 x 1496 th× N chia hÕt cho:

A. 140 ; B. 195 ; C. 180

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho ng thc: 152 - 53 = 102

Đẳng thức trên đúng hay sai ? Nếu sai hãy chuyển vị trí một chữ số để đợc đẳng thức đúng ?
b) Tìm một số tự nhiên, biết rằng số đó chia cho 26 thì ta sẽ đợc số d bằng hai lần bình
ph-ơng của số thph-ng.

Câu 3: (2 điểm)

a) Mt ngi núi vi bn: Nu tơi sống đến 100 tuổi thì
6

7 cđa
7

10 số tuổi của tôi sẽ lớn
hơn

5 cđa
7

8 thời gian tơi cịn phải sống là 3”. Hỏi ngời ấy bây giờ bao nhiêu tuổi ?
b) Một số tự nhiên chia cho 4 thì d 3, chia cho 17 thì d 9 cịn chia cho 19 d 13. Hỏi số đó
chia cho 1292 thì d bao nhiờu ?

Câu 4: (2 điểm) Ngời ta viết dÃy sè tù nhiªn liªn tiÕp: 4; 11; 18; 25….Hái:
a) Sè 2007 có thuộc dÃy số trên không ? Vì sao ?

b) số thứ 659 là số nào ?
Câu 5: (2 ®iÓm)

Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của
OA, OB.

a) Chøng tá OA < OB.

b) Trong 3 ®iĨm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn l¹i.

c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
Đề số 8

C©u 1: (6 ®iÓm) 
TÝnh nhanh

a) 2 x 3 x 4 x 5 x 7 x 8 x 25 x 125

2004. 2004+3006

2005. 2005−1003

c) 19001570 (20052005 . 2004−20042004 . 2005 )
C©u 2: (3 điểm)

Tìm giá trị của x trong dÃy tính sau:

(x+2 )+( x +7 )+( x+12)+.. .+( x +42)+( x +47 )=655

Câu 3: (3 điểm)

Hai bạn Trang và Giang đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. Giang đ a
cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và đợc trả lại 72000 đồng. Trang nói “Cơ tính sai rồi”.
Bạn hãy cho biết Trang nói đúng hay sai ? Giải thớch ti sao ?

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN =
NB vµ P là điểm chia cạnh CD thành hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN. Biết
diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. HÃy tính diện tích hình

chữ nhật ABCD.
Câu 5: (3 ®iĨm)

Tìm tất cả các chữ số a và b để số

a459b

chia cho 2; 5 và 9 đều d 1.
Đề số 9

C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) TÝnh A=

1
10 +

1
40+

1
88+

1
154 +

1
238+

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) So sánh: 200410+20049 và 200510
Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x-3 chia hÕt cho x-2.

b) Tìm các số tự nhiên a và b để thoả mãn

5 a+7 b
6 a+5 b=

28 và (a, b) = 1
Câu 3: (2 điểm)

Số học sinh của một trờng học xếp hàng, nếu xếp mỗi hàng 20 ngời hoặc 25 ngời hoặc
30 ngời đều thừa 15 ngời. Nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ. Tính số học sinh của trờng
đó biết rằng số học sinh ca trng ú cha n 1000.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hai gãc xOy vµ xOz, Om là tia phân giác của góc yOz . Tính góc xOm trong các tr
-ờng hợp sau:

a) Góc xOy b»ng 1000; gãc xOz b»ng 600.

b) Gãc xOy b»ng  ; gãc xOz b»ng  ( >  ).
Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh r»ng: A=10n+18 n−1 chia hÕt cho 27 (n là số tự nhiên).
Đề số 10

Câu 1: (2 điểm)
a) TÝnh tỉng: S=

1
1.2.3+

2.3.4+...+
1
98.99.100
b) Chøng minh:

A=1
2

(

1
6+

1
24+

1
60+.. .+

1
9240

)

57
462
C©u 2: (2 ®iÓm) Cho A=n3+3 n2+2 n

a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n.

b) Tìm giá trị nguyên dơng của n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 3: (2 điểm)

a) Cã hay không một số K nguyên dơng sao cho khi chia cho 1993 có các chữ số tận cùng là
0001.

b) Vịi nớc thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 4 giờ 30 phút và vòi thứ hai chảy một mình
đầy bể trong 6 giờ 45 phút. Lúc đầu ngời ta mở vòi thứ nhất cho chảy trong một thời gian
bằng thời gian cần thiết để hai vòi cùng chảy đầy bể, rồi sau đó mở vịi thứ hai. Hỏi bao
nhiêu phút sau khi mở vịi thứ nhất thì bể y nc.

Câu 4: (3 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB và M2 là trung điểm của

M1B.

a) Chng t rng M1 nm giữa hai điểm A, M2. Tính độ dài đoạn thẳng AM2 .

b) Gäi M1, M2 , M3 , M4 ,… lần lợt là trung điểm của các đoạn AB, M1B, M2B, M3B, … TÝnh

độ dài của đoạn thẳng AM8 .

C©u 5: (1 điểm)

Tìm các bộ ba số tự nhiên a, b, c khác 0 thoả mÃn:
1

a+
1
b+

1
c=

4
5

Đề số 11
Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Tính tổng: S=9. 11+99 . 101+999 .1001+9999 . 10001+ 99999. 100001
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số trong đó có đúng hai chữ số 3.
Câu 2: (2 điểm)

a) T×m x, y, z sao cho:

x20041...1

⏟

2004 c/ sè 1

3 yz ⋮120

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) Cho 25 số tự nhiên đợc lập nên từ bốn chữ số: 6, 7, 8, 9. Chứng minh rằng: trong các số
này ta tìm đợc hai số bằng nhau.

b) Trong đợt thi học sinh giỏi cấp tỉnh có khơng q 130 em tham gia. Sau khi chấm bài

thấy số em đạt điểm giỏi chiếm
1

9 , đạt điểm khá chiếm
1

3 , đạt điểm yếu chiếm
1
14
tổng số thí sinh dự thi, cịn lại là đạt điểm trung bình. Tính s hc sinh mi loi.

Câu 4: (3 điểm)

Cho góc xOy b»ng 1000 , gãc yOz b»ng 1300.

a) VÏ tia ph©n gi¸c Ot cđa gãc xOy, Oz cđa gãc yOz.
b) TÝnh góc tOv.

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: A=10n+18 n1 chia hÕt cho 81 (n lµ sè tù nhiên).

Đề số 12

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính
10

(

6
1
75

3
7

)

5
7
8+0 ,375 :0,5625+

5
8. 1

1
5
b) Tìm x biết

1+1
3+

1
6+

1
10 +...+

x(x+1 )=1

2003
2005

Câu 2: (3 ®iĨm)

1. Cho A=3+32+33+. .. .+32004
a) TÝnh tỉng A.

b) Chøng minh r»ng

A ⋮130

c) A có phải là số chính phơng khơng ? Vì sao ?
2) Tìm n Z

n

+13n13n+3

Câu 3: (2 điểm )

Quãng đờng AB gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc. Một ô tô đi từ A đến B
hết 2,5 giờ và đi từ B đến A hết 4 giờ. Khi lên dốc (cả lúc đi và lúc về) vận tốc của ô tô là 20
km/h. Khi xuống dốc (cả lúc đi lẫn về), vận tốc của ô tô là 30 km/h. Tính quãng đờng AB.
Câu 4: (2 điểm)

Cho hai tia Oz và Ot là hai tia nằm giữa hai cạnh của gãc xOy sao cho xOz = yOt = 400.

a) So sánh góc xOt và yOz.

b) Cho góc zOt = 200 . Tính góc xOy.

Câu 5: (2 điểm)

Cho 14 s t nhiên có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 14 số đó tồn tại 2 số mà khi viết liên
tiếp nhau thì tạo thành số có 6 chữ số chia ht cho 13.

Đề số 13
Bài 1: (2 điểm)

a) Cho A=3+32+33+. ..+3100

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n

b) Cho số 123456789. Hãy đặt một số dấu “+” và “-“ vào giữa các chữ số để kt qu ca
phộp tớnh bng 100.

Bài 2: (2,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố.

b) Cho n N vµ n > 3. Chøng minh r»ng nÕu 2n=10 a+b (0< b <10) th× a. b chia hết cho
6.

Bài 3: (1,5 điểm)

a) Tỡm hai s t nhiờn có ƯCLN bằng 12, ƯCLN của chúng, BCNN của chúng là bốn số
khác nhau và đều có hai chữ số.

b) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.
Chứng minh rằng A - B là một số chính phơng.

Bài 4: (3 điểm)

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vÏ c¸c tia Oy, Oz, Ot sao cho
xOy < xOz < xOt . Chøng tá r»ng:

a) yOz < yOt

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

c) Tia Oz n»m gi÷a hai tia Oy và Ot.
Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng có vơ số tự nhiên n để n + 15 và n + 72 là hai số nguyờn t cựng nhau.
 s 14

Câu 1: (2 điểm)

a) Rút gän:
A=

2− 2
19 +

2
43−

2
2004

3− 3

19+
3
43−

3
2005

:
4− 4

29+
4
41−

4
2005
5− 5

29 +
5
41−

1
401
b) TÝnh x biết:

2
3+

3: x=1
Câu 2: (2,5 điểm)

Cho A=17+1319+2531+. . ..

a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.

Câu 3: (2, 5 ®iĨm)

Hai xe ơ tơ đi từ hai địa điểm A và B về phía nhau, xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ, xe
thứ hai khởi hành tử B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đờng AB xe thứ nhất cần 2
giờ, xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi hai xe gp nhau lỳc my gi.

Câu 4: (2 điểm)

Cho 3 tia chung gèc OA, OB, OC. TÝnh BOC biÕt r»ng:
a) AOB = 130 ; AOC = 300

b) AOB = 1300 ; AOC = 800

Câu 5: (1 điểm)

Viết thời gian trong một ngày(tính bằng giây) bằng cách dùng chữ số La MÃ.
Đề số 15

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm chữ số tận cùng của sè A = 22005+32005
b) So s¸nh:

A=20042003+1
20042004+1

;

B=20042004+1
20042005+1
Bài 2: (2 điểm)

a) Mt s A nếu chia cho 64 thì d 38, nếu chia cho 67 thì d 14. Cả hai lần chia đều có cùng
một thơng số. Tìm thơng và số A đó.

b) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau d¹ng

ab

sao cho

ba

cịng là số nguyên tố
và hiệu

abba

là số chính phơng.

Bài 3: (2 điểm)

Mt ngi i xe p từ A đến B gồm một đoạn lên dốc, một đoạn xuống dốc (theo chiều
(AB). Khi lên dốc ngời đó đi với vận tốc 10 km/h và xuống dốc với vận tốc 15 km/h. Lúc đi
hết 3h 30’ , lúc về hết 4 h. Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu ?

Bài 4: (3 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AM. Từ một điểm O
thuộc AM. Vẽ các tia OB, OC, OD sao cho; MOC = 1150 ; BOC = 700 ; AOD = 450 (D nằm

trong nửa mặt phẳng đối với B, C qua bờ là AM).
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC khơng? Vì sao ?

b) Tính góc MOB, AOC.

c) ChØ râ r»ng 3 ®iĨm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm)

Cho

P=1+1
2+

1
3+

1
4+.. .+

21001 . Chøng tá r»ng P > 50
Đề số 16

Bài 1: (2 điểm)
a) Tính: M=

1
3+

1
6+

1
10+

15+.. ..+
2
2004 . 2005
b) Có tồn tại a, b hay không để 55a + 30 b = 3658.
Bài 2: (2 im)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Tìm một số tự nhiên chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 27 mµ chØ có 10 ớc.
Bài 3: (2 điểm)

Ba vòi nớc cùng chảy vào một bể. Nếu vòi I và vòi II cùng chảy thì 7
1

5 giờ đầy bể; nếu
vòi II và vòi III cùng chảy thì sau

102

7 giờ thì đầy bể, còn vòi I và vòi III cùng chảy thì
sau 8 giờ đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu đầy bể.

Bài 4: (3 ®iĨm)

Cho gãc xoy cã sè ®o b»ng 1200 . VÏ tia oz sao cho yoz = 300.

a) TÝnh sè ®o gãc xoz.

b) Một đờng thẳng a cắt ox, oy, oz lần lợt tại các điểm A, B, C . Biết AB = 8cm; BC = 5 cm.
Tính AC ?

Bài 5: (1 điểm)
So sánh:

A=1+1
2+

1
22+

1
23+.. .+

2100 và B = 2.
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)

a) TÝnh nhanh:

A=1003 . 2005−1002
1003+2005. 1002 .

5− 5
11+

5
7−

5
17+

5
2004
13

2004−
13
17+

13
7 −

13
11 +13
b) So sánh: 2002303 và 303202 ; 3111 và 1714 .
Bài 2: (2 điểm)

a) Cho A=1−3+32−33+.. .−32003+32004
Chøng minh r»ng: 4A -1 lµ l thõa cđa 3.
b) Tìm x, y nguyên tố biết:

59x+46 y=2004

Bài 3: (2 ®iĨm)

Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm 2/5, trong đó 3/8 số nữ là học sinh
lớp 6. Trong số học sinh nam dự hội nghị 2/9 là số học sinh lớp 6. Biết số học sinh dự hội
nghị khoảng từ 100 đến 150. Tính số học sinh nam, số học sinh n lp 6.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AB, N là điểm nằm giữa M vµ B.
a) BiÕt ABC = 850 , ACM = 500 , BCN = 200 . TÝnh BCM vµ MCN.

b) BiÕt AN = a, BN = b. TÝnh MN.
Bài 5: (1 điểm)

Tính S=12+22+32+.. .+992+1002

Đề số 18
Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh:

2 .4+2.4.8+4.8.16+8.16 .32
3.4+2.6.8+4.12.16 +8.24 .32
b)

4
5.7+

4
7.9+...+

4
59 .61
Câu 2: (2 điểm)

a) Vit thờm vo bờn phi s 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết cho 5, 7, 9.

b) Một số chia cho 4 d 3; chia cho 17 d 9; chia cho 19 d 13. Hỏi số đó chia cho 1292 d bao
nhiêu ?

Câu 3: (2 điểm) Đờng từ A đến b gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một ngời 
đi xe đạp lên dốc với vận tốc 10 km/h và xuống dốc với vận tốc 15 km/h. Biết rằng ngời ấy
đi từ A đến B rồi lại từ B về A thì hết tất cả 3 giờ. Tớnh quóng ng AB.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hai góc kề nhau xoy, xoz sao cho xoy = 1000 , xoz = 1200

a) Tia ox cã n»m gi÷a hai tia oy ; oz kh«ng ?
b) TÝnh yoz

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Số 5100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số.

§Ị sè 19
Câu 1: (2 điểm)

a) Tính

M=

(

)

:0 , 05

(

7 1

205 , 65

)

. 6+1
3
5

b) Chøng minh r»ng A lµ mét luü thõa cđa 2 víi

2004
2003

5
4

3 2 2 ... 2 2

4 

A

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên tè P sao cho P + 6 , P + 12, P + 34, P + 38 là các số nguyên tố.
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhá nhÊt sao cho:

a
b=

5 ;
b
c=

12
21 ;

c
d=

6
11
Câu 3: (2 điểm)

Ti anh hiƯn nay gÊp ba lÇn ti em, lóc ti anh b»ng ti hiƯn nay cđa ngêi em. §Õn
khi ti em b»ng ti hiƯn nay cđa ngêi anh thì tổng số tuổi của hai anh em là 35. TÝnh ti
anh, ti em hiƯn nay.

Câu 4: (3 điểm) Cho hai tia Ox, Oy đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia
Ox, vẽ các tia Oz, Ot sao cho xOz = 300 ; yOt = 750

a) TÝnh zOt

b) Chøng tá tia Ot lµ tia phân giác của zOy.

c) Tính zOt nếu xOz =  , yOt =  (+ 1800)
Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:
1
22+

1
42+

62+. ..+
1
40102<

1
2
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)

a) Tính:
A=

2
3+3

(

2
3

)

(

)

7
60:

(

35
31. 37+

35
37 . 43 +

105
43. 61+

35
61. 67

)

b) Tìm chữ số x để

(

12+2x 3) 3

Bài 2: (2 điểm) Tổng 1+
1
2+

1
3+. ..+

1
17 +

18 b»ng
a

b víi 
a

b là phân số tối giản.
Chứng minh rằng:

b2431

Bài 3: (2 điểm)

Hai địa điểm A và B cách nhau 72 km. Một ô tô đi từ A về B và một xe đạp đi từ B
về A gặp nhau sau 1 giờ 12 phút (hai xe cùng khởi hành). Sau đó ơ tơ tiếp tục đi về B rồi lại
quay về A ngay với vận tốc cũ, ô tô gặp xe đạp sau 48 phút kể từ lúc gặp nhau lần trớc. Tính
vận tốc ơ tơ v xe p.

Bài 4: (3 điểm)

Cho điểm O trên đờng thẳng xy, trên một nửa mặt phẳng có bờ là xy, vẽ tia Oz sao
cho góc xOz < 900.

a) VÏ c¸c tia Om, On lần lợt là các tia phân giác của các góc xOz và zOy. Tính góc On.
b) Tính số đo các góc nhọn trong hình nếu số đo góc mOZ = 350

c) Vẽ (O; 2 cm) cắt các tia Ox, Om, Oz, On, Oy lần lợt tại các điểm A, B, C, D, E với các
điểm O, A, B, C, D, E kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? Kể tên
những đờng thẳng ú.

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c là các số nguyên dơng tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dơng không ?
a

a+b+
b
b+c+

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Tính

a) A=

101+100+99+98+. ..+3+2+1
101100+9998+. ..+32+1
b) B=

423134 .846267423133
423133. 846267+423134
Câu 2: (2 điểm)

a) Chứng minh r»ng: 1028+8 chia hÕt cho 72.

b) Cho A=3+ 22+23+24+.. .+22001+22002 vµ B=22003
So sánh A và B.

c) Tỡm s nguyờn t p để p + 6, p + 8, p + 12 , p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3: (2 điểm)

Ngêi ta chia sè häc sinh líp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ

10 em thì thiếu 3 em. Hái cã bao nhiªu tỉ, bao nhiªu häc sinh ?

Câu 4: (3 điểm) Cho ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM
= 3cm.

a) Tính độ dài BM.

b) BiÕt BAM = 800 ; BAC = 600 . TÝnh CAM

c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1cm.
Câu 5: (1 điểm)

Chøng minh r»ng:
1
22+

1
32+

1
42+.. .+

1
1002<1
§Ị sè 22

Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau bằng phơng pháp hợp lí:
a)

5.7+

4
7.9+...+

4
59 .61

24. 4723
24+47.23 .

3+3
7

3
11+

3
1001

3
13
9

1001
9
13+

9
7

9
11+9
Câu 2: (2 điểm)

Cho A=2+ 22+23+. . .+ 260

Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.
Câu 3: (2 ®iĨm)

Hai líp 6A và 6B trồng cây. Số cây lớp 6A trồng bằng
4

5 số cây lớp 6B trồng. Nếu mỗi
lớp đều trồng thêm đợc 15 cây nữa thì số cấy lớp 6B trồng bằng 1

9 số cây lớp 6A. Hỏi
mỗi lớp trồng đợc bao nhiêu cây ?

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho đờng thẳng x’x và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy. Hai điểm A, B nằm trong cùng
một nửa mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng
bờ x’x và có chứa điểm A. Biết xOB =1150 ; AOB = 750 ; x’OC = 400

a) Tính các góc xOA, xOB.

b) Chứng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Câu 5: (1 điểm)

Tìm các số nguyên x, y sao cho: (x2)2.( y3)=4
Đề số 23
Bài 1: (2 điểm)

a) Tính hợp lí
A=

1
2+

1
3

1
4

(

12+
1
3

1
4

)

1
2.

1
3.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Tìm phân số nhỏ nhất khác 0 mà khi chia phân số này cho các phân số
42
275 ;

110 ta
đợc kết quả là một số tự nhiờn.

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho viết nó liên tiếp sau số 1999 thì đ ợc một số chia hết
cho 37.

b) Tỡm số chia và thơng của một phép chia có số bị chia là 145, số d là 12 biết thơng khác 1,
số chia và thơng đều là số tự nhiên.

Bµi 3: (2 ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng

2x+3 y ⋮17

khi vµ chØ khi

9 x+5 y 17

.
b) Gọi S(N) là tổng các chữ số của N. Tìm N biết N + S(N) = 94.
Bài 4: (3 điểm)

Cho các tia OB, OC thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là tia phân
giác của BOC. Tính AOM biết rằng:

a) AOB =100 ; AOC = 600

b) AOB = m ; AOC = n (m > n)

c) VÏ p tia chung gèc. Trong h×nh vẽ có bao nhiêu góc.
Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phơng:

A=abc+bca+cab

Đề số 24
Bài 1: ( 2 điểm) Tính nhanh:

a)
1
3

3
4

(

3
5

)

1
57

1
36+

15+

(

2
9

)

b) 332+3334+. . .+3200332004
Bài 2: (2 ®iĨm)

a) Chứng minh rằng: Nếu 3a + 4b + 5c chia hết cho 11 với giá trị tự nhiên nào đó của a, b, c
thì biểu thức 9a + b + 4c với các giá trị đó của a, b, c cũng chia hết cho 11.

b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các chữ số khác nhau. Tìm ƯCLN của tất c cỏc s
lp c.

Bài 3: (2 điểm)

1) Ngi ta ly một tờ giấy xé thành 5 mảnh sau đó lại lấy một số mảnh này xé mỗi mảnh
thành 5 mảnh nhỏ hơn. Hỏi sau một số lần xé liên tục nh vậy ta có thể có đợc 2004 mảnh,
2005 mnh hay khụng ?

2) Tìm số có hai chữ số khác nhau dạng

ab

sao cho

ba

cũng là số nguyên tố và hiệu

abba

là số chính phơng.

Bi 4: (3 im) Cho ng thẳng x’x và một điểm O thuộc đờng thẳng ấy. Hai điểm A, B
nằm trong cùng một nửa của mặt phẳng bờ x’x và một điểm C nằm trong nửa mặt phẳng
đối vủa nửa mặt phẳng bờ x’x có chứa điểm A.

BiÕt xOB = 1150; AOB = 750 ; x’OC = 400.

a) Chøng minh r»ng OA n»m gi÷a hai tia OB, Ox.

b) TÝnh xOA, x’OB.

c) Chøng tỏ ba điểm A, O, C thẳng hàng.
Bài 5: (1 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

A=

1 .2004 +2. 2003+3 . 2002+. . .+2004 .1
1. 2+2. 3+3 . 4+...+2004 . 2005

Đề số 25
Bài 1: (2 ®iĨm)

Cho A=1 . 2. 3 .. .. . .29 . 30
 B=31 .32 .33 . .. . .. .. 59 .60

a) Chøng minh: B chia hÕt cho 230
b) Chøng minh: B - A chia hết cho 61.
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm x nguyên để

4 x+9

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) So sánh A với 1, biết:

A=1
2+

22+

1
23+. ..+

1
2100
Bài 3: (2 điểm)

§Ĩ trở hết một số hàng có thể dùng một ô tô lớn chở 12 chuyến hoặc một ô tô nhỏ chở
15 chuyến. Ô tô lớn chở một số chuyến rồi chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ chở tiếp
cho xong. Nh vËy 2 xe chë tæng céng 14 chuyÕn. Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến?

Bài 4: (2 điểm)

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9 và tổng của hai số đó là
một số có đặc điểm sau:

- Cã 3 ch÷ sè

- Lµ mét béi sè cđa 5

- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 9
- Tổng của chữ số hàng trăm và chữ hàng chục chia hết cho 4.
Bài 5: (2 điểm)

Cho gãc AOB. Goi Ot là tia phân giác của góc AOB, Om là tia phân giác của góc AOt.
Tìm giá trị lớn nhất của góc AOm.

Đề số 26

Bài 1: (5 điểm)

a) Bit rng s

x7x8x9

chia hết cho 7, cho 11, cho 13. Tìm số đó ?

b) Bạn An nghĩ ra hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9. Tổng của hai
số đó là một số có đặc điểm sau:

1. Cã ba ch÷ sè
2. Lµ béi cđa sè 5

3. Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một bội số của 9.
4. Tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục chia hết cho 4.

Hãy cho biết bạn An đã nghĩ ra số nào ?
Bài 2: (5 điểm)

a) Khi chia 1 số A cho 7 ta đợc một số d là 6, cịn khi chia nó cho 13 đợc số d là 3, hỏi khi
chia A cho 91 thì số d là bao nhiêu ?

b) So s¸nh 231 và 321

Bài 3: (5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu p và 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 thì 4p + 1 là hợp số.
b) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 cịng lµ sè nguyên tố.

Bài 4: (5 điểm)

Hai thành phố A và B cách nhau 100km. Một ngời đi xe đạp từ A đến B và ngời khác đi
xe đạp từ B đến A. Họ khởi hành cùng một lúc và 5 giờ sau thì gặp nhau. Nếu sau khi đi đợc

1 giờ 30 phút ngời đi xe đạp từ B dừng lại 40 phút rồi mới tiếp tục đi thì phải sau 5 giờ 22
phút kể lúc khởi hành họ mới gặp nhau. Tìm vận tốc ca mi ngi.

Đề số 27
Bài 1: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

A=43

4+(0 ,37 )+
1

8+(1, 28)+(2,5)+3
1
12
B=4

6. 95+69. 120
84. 312611
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên dơng a và b sao cho: 3a+1=(b+1)2

b) Cho các số nguyên dơng a, b, x, y thoả mãn các đẳng thức: a + b = x + y;
ab + a = xy. Chng t rng x = y.

Bài 3: (2 điểm)

Chứng minh rằng:

A= 1

22+

1
32+

42+. . .+
1
20052<

3
4
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác AOB gọi Ox là tia phân giác của góc AOB, tia Oy là phân giác của góc xOB.
a) Biết yOb = a0 . TÝnh AOB theo a0.

b) Gäi giao điểm của Ox với Oy và với AB lần lợt lµ C vµ D. BiÕt CD=
1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

BD=2

3AC ; AC = 13 cm. TÝnh AD; CD.

c) Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AO, BO với các điểm O, M, N, A, B, C, D kẻ đợc bao
nhiêu đờng thẳng phân biệt đi qua các cặp điểm ? kể tên những đờng thẳng đó.

Bµi 5: (1 ®iĨm)

TÝnh
P=

1
2+

1
3+

1
4+. . .+

1
2005
2004

1 +
2003

2 +
2002

3 +. ..+
1
2004

§Ị sè 28
Bài 1: (2 điểm) Tính:

A=246 +8+101214+16 +.. . ..+2000+20022004

B=220052200422003. .. ..21
Bài 2: (2 điểm)

1) Mt s t nhiờn khi cho 15 d 5, chia cho 18 d 17. Hỏi số đó khi chia cho 90 d bao nhiêu ?
2) Trong tập hợp số tự nhiên có thể tìm đợc các số có dạng:

20042004…200400…0 chia hÕt cho 2005 hay kh«ng ?

Bài 3: (2 điểm) Chứng minh rằng ln tìm đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số cả.
2) Tổng của 9 số tự nhiên khác 0 là 2005. Gọi d là ƯCLN của các số đó. Tìm giỏ tr ln nht
ca d.

Bài 4: (2 điểm)

Bn An núi rằng có thể trồng 9 cây thành 10 hàng mỗi hàng có 3 cây. Hãy cho biết bạn An
đã làm nh th no ?

Bài 5: (2 điểm)

Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn :
a3+3 a2+5=5b và a+3=5c

Đề số 29
Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì d 38, còn 450 chia cho a thì d 18.

b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 sao cho khi nhân nó với
5

12 , víi
10

21 ta đều đợc
th-ơng là cỏc s t nhiờn.

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho n là sè tù nhiªn. Chøng minh r»ng: 3n+2+2n+3+3n+2n+1 chia hÕt cho 10.
b) T×m x biÕt: ( x+1 )+( x +2)+( x +3 )+.. .+( x +100 )=570

C©u 3: (2 ®iĨm)

Hai bạn Hồng và Hà đi mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo để đến lớp liên hoan. Hồng đ a cho
cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và đợc trả lại 72000 đồng. Hà nói: “Cơ tính sai rồi”. Em hãy
cho biết Hà nói đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?

Bài 4: (3 điểm)
Trong hình vẽ bên:

a) Cú bao nhiờu tam giác nhận EF làm cạnh ?
b) Có bao nhiêu góc có đỉnh là E ?

c) NÕu biÕt sè ®o cđa gãc BDC b»ng 600,

gãc EDF b»ng 500 th× tia DE có phải là

tia phân giác của góc BDF không vì sao?
Bài 5: (1 điểm)

B=
1
6+

1
24+

60 +.. .+
1
990

Đề số 30
Bài 1: (3 điểm)

a) TÝnh

A= 1
1.2.3+

1
2.3.4+

3. 4.5+...+
1
98 .99 .100

b) Cho B=4+32+33+34+.. .+32003+32004 và C=32005
So sánh B và C.

I
H

G

C

A

F
E

B

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

c) Tìm chữ số tận cùng của số A=3n+2−2n+2+3n−2n (víi n  N)
Bµi 2: (2 ®iĨm)

T×m sè tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3 thì d 1, chia cho 4 th× d 2, chia cho 5 th× d 3, chia
cho 6 thì d 4 và chia hết cho 13.

Bài 3: (2 điểm)

Vµo lóc 12 giê hai kim phót vµ kim giê trïng nhau. Hái sau Ýt nhÊt thêi gian bao l©u kim
phút và kim giờ lại trùng nhau ?

Bài 4: (2 ®iÓm)

Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm
của OA, OB.

a) Chøng tá OA < OB.

b) Trong 3 ®iĨm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.

c) Chứng tỏ rằng độ dài của đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
Bài 5: (1điểm)

Chøng tá r»ng sè

11...1

n

22...2

n là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Đề số 1: (lớp 8)
Bài 1: (2 điểm)

Cho A=(0,8.7+0.8
2

).(1,25.7−4

5.1,25)+31,64

B=(11,81+8,19).0,02

9:11,25

Trong hai sè A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

b) Số A=1019984 có chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so
với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính qng đờng
mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

C©u 3:

a) Cho f (x )=ax2+bx +c víi a, b, c là các số hữu tỉ.

Chøng tá r»ng: f (−2 ). f (3 )≤0 . BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A=
2

6−x có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nửa mặt phẳng

khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt

phẳng khác nhau bờ AB.

a) Chứng minh r»ng: ABF = ACE
b) FB  EC.

C©u 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tận cùng của

A=19

890

+

2

1969

Đề số 2
Câu 1: (2 ®iĨm)

a) TÝnh

A=

(

1,5+1−0 , 75

2,5+5

3−1, 25
+

0 , 375−0,3+ 3
11 +

3
12
−0 ,625+0,5− 5

11−
5
12

)

:1890
2005+115

b) Cho

B=1
3+

1
32+

1
33+

1
34+.. .+

1
32004+

1
32005
Chøng minh r»ng B<

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) Chøng minh r»ng nÕu
a
b=

c
d th×

5a+3b
5a−3b=

5c+3d

5c−3d (giả thiết các tỉ số đều có 
nghĩa).

b) T×m x biÕt:

x−1
2004+

x−2
2003−

x−3
2002 =

x4
2001
Câu 3: (2điểm)

a) Cho đa thức f (x )=ax2+bx +c với a, b, c là các số thực.
BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

b) di 3 cnh ca tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với
ba số nào ?

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối 
của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt
AB, AC lần lợt M, N.

Chứng minh rằng:
a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.

c) ng thẳng vng góc với MN tại I ln đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên
cạnh BC.

Câu 5: (1 điểm)

Tỡm s t nhiờn n phõn s

7 n8

2n3 có giá trị lớn nhất.
Đề số 3
Câu 1: (2 điểm)

a) Tính:

A =

(

0 , 75−0,6+3
7+

3
13

)

(

11
7 +

13+2 , 75−2,2

)

B =

(

10 √

1,21

7 +

22 √

0,25

3 )

:

(

5 √

49 +

√

225

9 )

b) Tìm các giá trị của x để:

|

x+3|+|x+1|=3x

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M=
a
a+b+

b
b+c+

c

c+ a không là số nguyên.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca≤0 .

C©u 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lợt tỉ lệ nghịch

với 35; 210 và 12.

b) Vn tc ca máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy bay bay từ
A đến B ít hơn thời gian ơ tơ chạy từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao
lâu ?

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q
sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rng gúc PCQ bng 450.

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:
1
5+

1
15+

1
25+.. .+

1
1985<

9
20
Đề số 4
Bài 1: (2 điểm)

a) Chng minh rng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A= 5n(5n+1 )−6n(3n+2) ⋮ 91

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Tìm số nguyên n sao cho

n

+

3 ⋮ n−1

b) BiÕt

bz−cy
a =

cx−az
b =

ay−bx
c
Chøng minh rằng:

a

x

=

b

y

=

c

z

Bài 3: (2 điểm)

An và Bách có một số bu ảnh, số bu ảnh của mỗi ngời cha đến 100. Số bu ảnh hoa của
An bằng số bu ảnh thú rừng của Bách.

- Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bu ảnh thú rừng của tôi thì số bu ảnh của bạn gấp 7
lần số bu ảnh của tôi.

- An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bu ảnh hoa của tôi thì số bu ảnh của tôi gấp bốn lần số
bu ảnh của bạn.

Tính số bu ảnh của mỗi ngời.
Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC cú gúc A bằng 1200 . Các đờng phân giác AD, BE, CF .

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mÃn:

5

2 p

+1997=5

2 p2

+

q

Đề số 5
Bài 1: (2 điểm)

Tính:

(

131
42

2710

5
6

)

. 230

1
25 +46

3
4

(

1 3
10+

10
3

)

(

1
314

2
7

)

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: A=3638+4133 chia hÕt cho 77.

b) Tìm các số nguyên x để

B=|x−1|+|x−2|

đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Chøng minh r»ng: P(x) =ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và
chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.

Bài 3: (2 điểm)
a) Cho tØ lÖ thøc

a
b=

c

d . Chøng minh r»ng:

ab
cd=

a2−b2

c2−d2 vµ

(

a+b
c+d

)

=a

2
+b2

c2+d2

b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n−1 chia hÕt cho 7.
Bµi 4: (2 ®iĨm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q
sao cho chu vi APQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bng 450.

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:

3a+2b17 ⇔10a+b⋮17

(a, b  Z )
§Ị sè 6

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên dơng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.

b) TÝnh
P=

1
2+

1
3+

1
4+. . .+

1
2005

2004

1 +
2003

2 +
2002

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cho

x

y +z+t

=

y

z +t +x

=

z

t +x+ y

=

t

x + y +z

chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã giá trị

nguyên.

P=

x+ y

z +t

+

y +z

t+x

+

z+t

x+ y

+

t +x

y+ z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11 km để đi đến C. Vận tốc
của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đờng mỗi
ng-ời đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc v A, B, C thng hng.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH  BC (H  BC). Vẽ AE  AB và AE = AB (E và C
khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vng góc với đờng thẳng AH (M, N  AH).
EF cắt AH ở O. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.

Bµi 5: (1 điểm)

So sánh: 5255 và 2579

Đề số 7
Câu 1: (2 điểm)

Tính :
A=

1
6−

1
39+

1
51
1

8−
1
52+

68 ; B=512
512

2
512

22
512

23 .. .
512

210

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6

b) T×m x, y, z biÕt:

x

z+ y +1

=

y

x+z+1

=

z

x+ y−2

=

x+ y+ z

(x, y, z 0 )

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:
S=3n+22n+2+3n2n chia hÕt cho 10.
b) T×m sè tù nhiên x, y biết: 7( x2004 )2=23 y2
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC, kẻ
tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng
không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN =
AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:

a) AC // BP.
b) AK MN.

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c lµ số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền. Chứng
minh rằng: a2 n+b2nc2 n ; n là số tự nhiên lớn hơn 0.

Đề số 8
Câu 1: (2 điểm)

Tính:

A=
83

9. 5
1
4+3

16
19. 5

1
4

(

214
172

1
34

)

. 34

: 7

24
B=1

3
1
8

1
54

1
108

1
180

1
270

1
378
Câu 2: ( 2, 5 điểm)

1) Tỡm s nguyờn m :

a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)

|

3m1|<3

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Câu 3: (2 điểm)
a) T×m x, y, z biÕt:

x
2=

y
3 ;

y
4=

z

5 vµ

x

−

y

=−16

b) Cho f (x )=ax2+bx +c . Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên. Chứng minh f(x) luôn
nhận giá trị nguyên với mọi x nguyờn.

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta
vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vng. Kẻ EM, FN cùng
vng góc với AH (M, N thuộc AH).

a) Chøng minh: EM + HC = NH.
b) Chøng minh: EN // FM.
C©u 5: (1 ®iĨm)

Cho 2n+1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2n1 là hợp số.
Đề số 9

Câu 1: (2 điểm) TÝnh nhanh:
A=

(1+2+3+.. .+99+100 )

(

1
2−

1
3−

1
7−

)

(63 . 1,2−21 .3,6 )
1−2+3−4+. . .+99100

B=

(

1

14

2

7 +

3

2

35 )

. (

4

15 )

(

10

1 +

3

2

25

2

5 )

.

5

7

Câu 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức A=3 x22 x +1 víi

|x|=1
2
b) Tìm x ngun để

√

x+1

chia hết cho

√

x−3

C©u 3: ( 2 ®iĨm)
a) T×m x, y, z biÕt

3 x
8 =

3 y
64 =

3 z

216 vµ

2x

+

2 y

−

z

=1

b) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đ ợc nửa quãng đờng ơ tơ
tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến
B.

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ
là đờng thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB và

AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vng góc
với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:

a) FB = EC
b) EF = 2 AM
b) AM EF.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng tỏ rằng:

11
2+

1
3

1
4+. . .+

1
200=

1
101+

102+. . .+
1
199 +

1
200
Đề số 10

Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
M=

0,4−2
9+

2
11
1,4−7

9+
7
11

−
1

3−0 , 25+
1
5
11

6−0 , 875+0,7
b) TÝnh tæng: P=1−

1
10−

1
15−

1
3−

1
28−

1
6−

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a) T×m x biÕt:

|

2 x+3|−2|4−x|=5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang,
ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép. Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời thứ hai bằng 3: 4.
Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi là 2: 5. Hỏi khi gặp nhau
thì họ cỏch Bc Giang bao nhiờu km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho ®a thøc f (x )=ax2+bx +c (a, b, c nguyªn).

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3.

b) CMR: nÕu
a
b=

c
d th×

7 a2+5 ac
7 a2−5 ac=

7 b2+5 bd

7 b2−5 bd (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa).
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đờng thẳng
vng góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F.

Chứng minh rằng:

a) AE = AF
b) BE = CF

c) AE=

AB+ AC
2
C©u 5: (1 ®iÓm)

Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn nữ. Để chào mừng ngày
30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu
cách lựa chọn để có 4 bn nh trờn tham gia.

Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:

A=

[

111
31. 4

(

156
1
3.

2
19

)

6+
1
6

(

125

1
3

)

(

114
93

)

]

31
50

b) Chứng tỏ rằng:

B=1 1
22

1
32

32.. .
1

20042>

1
2004
Câu 2: (2 điểm)

Cho phân sè:

C=

3|x|+2

4|x|−5

(x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên.

C©u 3: (2 ®iÓm)

Cho
a
b=

c

d . Chøng minh r»ng: 
ab
cd=

(a+b)2
(c +d )2
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và
AB lần lợt tại E và D.

a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE.

b) Gäi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh rằng các MAB; MAC là
tam giác vuông cân.

c) T A v D v cỏc ng thẳng vng góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần lợt ở K và
H. Chứng minh rằng KH = KC.

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p sao cho:

3 p

+1

;

24 p

+1

lµ các số nguyên tố.
Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

A=

0 , 75−0,6+3
7+

3
13
2 , 75−2,2+11

7 +

3 ; B=(−251 .3+ 281)+3 .251( 1281 )
b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.

C©u 2: ( 2 ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c  Z).

b) BiÕt

bz−cy
a =

cx−az
b =

ay−bx
c
Chøng minh rằng:

a

x

=

b

y

=

c

z

Câu 3: ( 2 điểm)

Bây giờ là 4 giờ 10 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện nhau
trên một đờng thẳng.

C©u 4: (2 ®iÓm)

Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của ABD,
đờng cao IM của BID cắt đờng vng góc với AC kẻ từ C tại N. Tính góc IBN ?

C©u 5: (2 ®iÓm)

Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?

§Ị sè 13
Bài 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức

P=2005 :

(

0 , 375−0,3+ 3
11+

3
12
−0 ,625+0,5− 5

11−
5

12
.

2,5+5
3−1 ,25
1,5+1−0 , 75

)

b) Chøng minh r»ng:

3
12. 22+

5
22.32+

32. 42+.. .+
19

92. 102<1
Câu 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dơng n thì:

3

n+3

+3

n+1

+2

n+3

+2

n+2 chia hÕt cho 6.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

D=|2004x|+|2003x|

Câu 3: (2 ®iĨm)

Một ơ tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đ ợc nửa quãng đờng ô
tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ụ tụ i t A
n B.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ
AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt
phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho
AE = AC. Chứng minh rằng:

a) DE = 2 AM
b) AM  DE.
C©u 5: (1 ®iĨm)

Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1. x2 + x2.

x3 + …+ xn x1 = 0 th× n chia hết cho 4.

Đề số 14
Bài 1: (2 điểm)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A=

(

81 ,624 : 44

3−4 ,505

)

+1253
4

{

[

(

1125

)

:0 , 88+3 ,53

]

−(2, 75)2

}

:13
25

b) Chøng minh r»ng tæng:
S= 1

22−
1
24+

1
26−.. .+

1
24 n−2−

24n+. . ..+
1
22002

1
22004<0,2
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x tho¶ m·n.

2005=|x−4|+|x−10|+|x+101|+|x+990|+|x+1000|

b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết
cho 6.

Bài 3: (2 ®iĨm)

a) Để làm xong một cơng việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày. Một bạn học
sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó
đúng hay sai ? vì sao ?

b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2 a+b+c +d

a =

a+2 b+c+d

b =

a+ b+2 c+d

c =

a+b+c+2 d
d
Tính M=

a+b
c+d+

b+c
d +a+

c +d
a+b+

d +a
b+c
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I.
a) Tính các góc của DIE nÕu gãc A = 600.

b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt là M và N. Chứng minh
BM > MN + NC.

Bµi 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số d¬ng.
Chøng minh r»ng:

x

2 x + y +z

+

y

2 y+z+x

+

z

2 z+x + y

3

4

Đề số 15
Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm x biÕt:

|

x

+|

6 x−2||=x

+

4

b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =

(3−4 x+ x2)2004. (3+4 x+x2)2005

Bµi 2: (2 ®iÓm)

Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài bằng 4; 12; x biết rằng x là một số t nhiờn.
Tỡm x ?

Bài 3: (2 điểm)

Cho

x

y +z +t

=

y

z+t +x

=

z

t +x+ y

=

t

x + y+z

.

CMR biÓu thøc sau có giá trị nguyên:

P=

x+ y

z+t

+

y+z

t+x

+

z+t

x+ y

+

t +x

y+ z

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lÊy ®iĨm E sao cho gãc

EBA=
1

3α . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. Chứng minh tam
giỏc CED l tam giỏc cõn.

Bài 5: (1 điểm)

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)

a) Tính A=332+3334+. ..+3200332004
b) Tìm x biết

|

x1|+|x+3|=4

Bài 2: (2 ®iĨm) Chøng minh r»ng: 
NÕu

x
a+2 b+c=

y
2 a+b−c=

z
4 a−4 b+c
Th×

a

x+2 y+z

=

b

2 x+ yz

=

c

4 x4 y+z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa
điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng). Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của
ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi. Biết họ đến C cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng cao AH. Vẽ các điểm D, E

sao cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lợt là giao điểm của
DE với AB và AC.

Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:

x2005−2006 x2004+2006 x2003−2006 x2002+. . ..−2006 x2+2006 x−1
§Ị số 17

Bài 1: (2 điểm)

a) Tỡm x nguyờn bit:

|2 x−7|+|2x+10|=17

b) Tìm x nguyên để biểu thức

4 x+11

6 x+5 có giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mÃn: b2= ac ; c2 = bd.

Chøng minh r»ng:

a3+b3+c3
b3+c3+d3=

a
d
b) Cho a, b, c khác 0 thoả mÃn:

ab
a+b=

bc
b+c=

ca
c +a

Tính giá trị của biểu thức:

M =ab+bc +ca
a2+b2+c2
Bài 3: (2 điểm)

Cho a là số nguyên d¬ng, biÕt a100 chia cho 73 d 2 vµ a101 chia cho 73 d 69. Hái a
chia 73 d bao nhiêu ?

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đờng thẳng vng góc
với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AN. Gọi H là
giao điểm của BE và MA. Chứng minh:

a) AM =
BC

2
b) AMN = ABN
c) BH = AC

Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c khác 1. Tho¶ m·n:

a

x

=

bc

;
by=ca ; cz=ab .

Chøng minh r»ng: x + y + z + 2 = xyz

Đề số 18 
Bài 1: (2 điểm)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

y +z+1

x

=

x+z+2

y

=

x+ y−3

z

=

1 x+ y+z

b) T×m a1, a2 ,…,a9 . Biết:

a11

9 =

a22
8 =. . .=

a88
2 =

a99
1

Bài 2: (2 điểm)

Tính : A=
3
4 .7+

7 .10+. ..+
3
97 . 100
B=1

6+
1
24+

60 +.. .+
1
990
Bµi 3: (2 ®iĨm)

Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số ngời đội I, và 1/4 số ngời đội II, và
chuyển 1/5 số ngời đội III đi làm việc khác thì số ngời mỗi đội cịn lại bằng nhau. Tính số
ngời mỗi đội ban đầu biết tổng số ngời ban đầu l 196 ngi.

Bài 4: (3 điểm)

Cho hai gãc xoy vµ x’o’y’ cã ox // ox , oy // oy. Gọi om là tia phân giác của góc xoy,
on là tia phân giác của góc x’o’y’. Chøng minh:

a) NÕu gãc xoy vµ x’o’y’ cïng nhän hoặc tù thì om // on.

b) Nếu góc xoy và x’o’y’ cã mét gãc nhän, mét gãc tï th× om on.
Bài 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố P sao cho:

P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tố.

Đề số 19
Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.

b) T×m x, y tho¶ m·n:

2 x+1

5 =

4 y−2

7 =

2 x+4 y1
6 x
Câu 2: (2 điểm)

Tính:

a) A=14 +710+.. .2998+3001

B=

(

11
2

)(

1
3

)(

)

...

(

1
1
n

)

Câu 3: (2 điểm)

Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị thứ nhất có 15 xe trọng tải mỗi
xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ ba có 25 xe trọng tải
mỗi xe 3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đã vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết rằng mỗi xe huy
động một số chuyến nh nhau.

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC , gãc A bằng 800. Trong tam giác ABC lấy điểm I sao

cho gãc BIC b»ng 100 vµ gãc ICB b»ng 200. Tính góc AIB.

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b l hai số nguyên dơng biết rằng trong 4 mệnh đề sau:
A. a + 1 chia hết cho b.

B. a = 2b + 5

C. a + b chia hÕt cho 3.
D. a + 7b là số nguyên tố.

Cú 3 mnh đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?
Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)

a) TÝnh A=2100−299−298−.. .22211

A có phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phơng không ?

b) TÝnh tỉng: B=
10
56+

10
140+

260+. ..+
10

1400

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

a) Tìm n  N để phân số

3n+2

7 n+1 lµ tối giản ?

b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng là 19.
Câu 3: (2 ®iĨm)

a) Tìm các số tự nhiên n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n +13 ; n + 15 đều là các số
nguyên tố.

b) Hai ngời cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Ngời thứ nhất đi từ A đến B rồi
quay lại ngay, ngời thứ hai đi từ B đến A rồi quay lại ngay. Hai ngời gặp nhau lần thứ hai tại
điểm C cách A 6 km, tính quãng đờng AB. Biết rằng vận tốc ngời thứ hai bằng 2/3 vận tốc
ngời th nht.

Câu 4: (3 điểm)

Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm vµ BC = 2cm.
a) TÝnh AC ?

b) Điểm O nằm ngoài đờng thẳng AB biết góc AOB = 550 và góc BOC = 250.

TÝnh gãc AOC ?

c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. Tính CE ?
Câu 5: (1 điểm)

Một số chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hỏi số đó chia cho 1292 d bao
nhiêu ?

§Ị sè 21
Câu 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính.

(

103
4
15

7
20

)

5
19

[

1
14+

1
7

(

)

]

(

1
1
3

)

.24
5

b) 1+234 +5+678+.. .19992000+2001+20022003
Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên m thoả mÃn: (m29)(m237 )<0
b) Cho x, a, b  Z+ tho¶ m·n:

x +3=2a

3 x +1 =4b

{

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mÃn: (100x + 10y + z) ⋮ 21.
Chøng minh r»ng: (x - 2y + 4z) ⋮ 21.

b) Cho
a
b+c +d=

b

a+c +d=

c
a+b +d=

d
a+b+c
Tìm giá trị của biểu thức:

A=a+ b
c +d+

b+ c
a+d+

c +d
a+b+

d+ a
b+ c
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu 4: (2 điểm)

Trong một xởng cơ khí ngời thợ chính làm một chi tiết hết 5 phút, ngời thợ phụ làm
xong hết 9 phút. Nếu trong cùng một thời gian cả hai ngời cùng làm việc thì số chi tiết làm
đợc là 84 chiếc. Tính số chi tiết mà mỗi ngời đã làm đợc ?

C©u 5: (2 ®iĨm)

Cho tam gi¸c ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB cắt BC tại N. Phân giác

góc MNC cắt MC t¹i P.

a) Chøng minh r»ng: MBC = BMN ; BM // NP.

b) Gäi NQ lµ phân giác của góc BNM. CMR: NQ BM.
Đề số 22
Bài 1: (2 điểm)

Tìm x, y, z biết rằng:

1)
x
2=

y
3 ;

x
5=

z

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

x

z+ y +1

=

y

x+z+1

=

z

x+ y−2

=

x+ y+ z

(x, y, z 0 )

Bài 2: (2 điểm)

Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng cặp hai cạnh
của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Lúc rời nhà đi bạn An xem thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi đến trờng thì hai kim
đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau (trong thời gian này hai kim đồng hồ khơng chập với nhau
lần nào). Tính thời gian An đi từ nhà đến trờng; lúc An rời nhà, An đến trờng là mấy giờ.
(Hai kim đồng hồ đợc nói tới ở đây là kim phút và kim giờ).

Bµi 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngồi của tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là BAE
và CAF.

1) NÕu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngợc lại nếu I thuộc BC và AI
vuông góc với EF thì I là trung điểm của BC.

2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC).

3) Giả sử H là trung điểm của EF, hÃy xét quan hệ của AH và BC.
Bài 5: (1 điểm)

Tỡm x nguyên dơng để M=

2001−x

2002−x đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị ấy.
Đề số 23

Bµi 1: (4 điểm)
Tìm phân số

a

b biết:

a) a = ¦CLN (12, 18) vµ b = BCNN (5, 9)

b) a = ƯCLN (12, 20) và b=
4

5 a :
1
5
Bài 2: (4 điểm)

a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh r»ng:
(3n+2+2n+3+3n+2n+1)⋮10

b) Chøng minh r»ng:

abba

chia hết cho 11.
Câu 3: (4 điểm)

Số học sinh khối 7 của một trờng khi xếp hàng hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6

đều thiếu 1 ngời, nhng xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học đó cha đến 300. Tính số học sinh
khối 7 ca trng ú.

Câu 4: (6 điểm)

Cho gãc aOb. VÏ tia Oc n»m trong góc aOb. Gọi Ox, Oy lần l ợt là các tia phân giác
của các góc aOc, bOc. Vẽ tia Oz là tia bất kì nằm trong góc xOy. Gọi Ot, Oh lần lợt là các
tia phân giác của các gãc xOz, yOz.

a) Cho biÕt gãc aOb = 1020. TÝnh gãc tOh ?

b) Cho biÕt gãc tOh = 200. TÝnh góc aOb ?

c) Tìm giá trị lớn nhất của góc tOh ?
Câu 5: (2 điểm)

Tỡm s có bốn chữ số

abcd

thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:
a)

ab , ac

là hai số ngun tố.

b) cd +b=b2+c

§Ị số 24
Bài 1: (1 điểm)

Tìm x, y là số nguyên biết

6 xy10 x3 y4=0

Bài 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng:
1
3+

2
32+

3
33+

4
34+. ..+

100
3100<1
Bài 3: (2 điểm)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

b) Hai kim giờ và kim phút của đồng hồ gặp nhau trớc và sau mất thời gian bao lâu ?
Bài 4: (3 điểm)

T×m x biÕt:

a)
−15

12 x+
3
7=

6
5x−

2
b)

2|3x−1|−3|−x+1|=7

x−25
1979

x24
1980

x23
1981

x22
1982 =

x1979

x1980

x1981

x1982
22

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC. Lấy M, N lần lợt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng:
MN song song và có độ dài bằng nửa của BC. Ngời ta gọi MN là một đờng trung bình của
tam giác. Hãy phát biểu điều vừa chng minh di dng nh lớ.

Đề số 25
Bài 1: (2 ®iĨm) Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

(

− 3
10+

4
15+

7
20

)

(

−

5
19

)

[

1
14+

1
7−

(

−

)

]

(

−1
1
3

)

: 5
24

b)
1
10+

1
40+

1
88+

1
154 +

1
238+

1
340
Bài 2: (3 điểm)

a) Tìm số nguyên m tho¶ m·n m - 5 chia hÕt cho 2m + 1.
b) T×m x biÕt r»ng:

3

−1

. 3

x

+5.3

x−1

=162

(x N)

c) T×m x, y, z biÕt r»ng: 4x = 3y ; 5y = 3z vµ 2x - 3y + z =6
Bµi 3: (2 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng: 1919+6969 chia hÕt cho 44.
b) Cho tØ lÖ thøc:

a
b=

c

d . Chøng minh r»ng ta cã:
2002 a+2003 b

2002 a−2003 b=

2002 c+2003 d
2002 c2003 d
Bài 4: (1 điểm)

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc và đi về phía gặp nhau từ hai tỉnh A và B cách nhau
544 km. Tính xem 2 xe gặp nhau ở chỗ cách A bao nhiêu km. Biết rằng xe thứ nhất đi cả
quãng đờng AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phỳt.

Bài 5: (2 điểm)

Cho biết A + B + C = 3600

Chøng tá r»ng Ax song song với By.

Đề số 26
Câu 1: (2 điểm)

1) Tính nhanh:

a) 2.(-3).4.(-5).(-80.(-2.5).1,25.2,004.

(

2
3−1

)

1
10−

1
20−

1
30−

1
42−

1
56−

1
72−

90
2) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A

B

C

x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

(

−0,3+ 4
15+

7
20

)

−5
19

[

1
14+

1
7−

(

−

3
35

)

]

(

−1

)

: 5
24
C©u 2: (2 ®iÓm)

1) Chøng minh r»ng:

a) 82004+82005 chia hÕt cho 9.
b) 87−218 chia hết cho 14.

2) Tìm chữ số tận cùng của sè A=3n+2−2n+2+3n−2n (víi n  N)
C©u 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y biết rằng 10x = 6y vµ

2x

−

y

=−28

b) Cho biÕt

a
b=

c

d . Chøng minh:

2004 a−2005 b
2004 a+2005b =

2004 c−2005 d
2004 c+2005 d
C©u 4: (2 điểm) Cho hình vẽ.

Cho biết Ax / / By. H·y tÝnh tỉng c¸c gãc
A + B + C = ?

C©u 5: (2 ®iĨm)
a) T×m x, y, z biÕt:

x

z+ y +1

=

y

x+z+1

=

z

x+ y−2

=

x+ y+ z

(x, y, z ¿0 )

b) Tìm số hữu tỉ x biết rằng tổng của số đó với số nghịch đảo của nó l mt s nguyờn.
 s 27

Câu 1: (2 điểm)

Thực hiện các phép tính bằng cách hợp lí:

3+1,8 :

(

3
4

)

5
b)

(

3
2+

2
3

)

8
7.

(

5
13

)

(

3
2

2
3

)

7
2

Câu 2: (2 điểm). Tìm x, y Z thoả mÃn:
a)

|

x2001|+|2002y|=1

3

x+1

.5

y

=45

x
Câu 3: (1,5 điểm)

Cho a, b, c là ba số khác 0 và a2 = bc. Chứng minh rằng:

a2+c2
b2+a2=

c
b

Câu 4: (1,5 điểm) Cho x, y  Z. Chøng minh:

NÕu 3x + 2y ⋮ 17 th× 10x + y 17 và ngợc lại.
Câu 5: (3 điểm)

Cho tam giác ABC (góc A = 900, AB = AC. Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB

lấy điểm D sao cho MB = MD. Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ là đờng thẳng BC
kẻ tia Cx  CB. Trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CB. Chứng minh:

a) CD = AB và CD // AB.
b) BD = AE.

Đề số 28
Câu 1: (4 ®iĨm) Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

A

B

C

x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

(

3
10+

4
15+

7
20

)

(

5
19

)

[

1
14+

1
7

(

)

]

(

1
1
3

)

: 5
24

b)
1
10

1
40

1
88

1
154

1
238

1
340
Câu 2: (4 điểm)

1) Tỡm s nguyờn m :

a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)

|2m−1|<5

2) Chøng minh r»ng: 3n+2−2n+2+3n−2n chia hÕt cho 10 víi n nguyªn dơng.
Câu 3: (4 điểm)

a) Tìm x, y biết:

x
3=

y

5 vµ

2x

−

y

=−28

b) Tính thời gian từ lúc kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ gặp nhau lần trớc đến
lúc chúng gặp nhau lần tiếp theo. Từ đó suy ra trong một ngày chúng gặp nhau bao nhiêu
lần ? Tạo với nhau góc vng bao nhiêu lần?

Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh AB. M là
trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy D sao cho ND =
NA. Chng minh:

a) Tam giác BCD vuông.
b) Tam giác ACD cân.
Câu 5: (2 điểm)

Cho C=75

(

42001+42000+41999+. ..+42+41+40

)

+25
a) Chøng minh r»ng C chia hÕt cho 42002.

b) Hái C chia cho 42003 d bao nhiêu ?

Đề số 29

(Đề thi HSG cấp tỉnh vòng I năm học 1999-2000)
Bài 1: (2 ®iĨm)

Cho A=(0,8.7−0,8

).(1,25 .7−1

5.0,7)+31,64
vµ B=

(11,81+8,19).0,02
9:11,25

Trong hai số a và b số nào nhỏ hơn và nhỏ hơn bao nhiêu lần ?
Bài 2: (2 điểm)

a) Chứng minh r»ng: 106−57 chia hÕt cho 59.

b) Cho x, y là các số nguyên. Chứng minh rằng 5x + 2y chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi 9x +
7y chia hÕt cho 17.

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Chøng minh r»ng nÕu:
u+2
u−2=

v+3

v−3 th× 
u
3=

v
2
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF. Trên tia đối của tia EB lấy điểm M
sao cho EM = EB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC. Chứng minh A l
trung im ca MN.

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các số nguyên nguyên dơng x, y, z biết rằng:

x

y

z

=3 xyz

vµ x2=2( y +z )

Đề số 30
Bài 1: (2 điểm)

a) Tính

1
1.2.3.4+

2.3. 4.5+...+

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

b) Chứng tỏ rằng:
11

2+
1
3

4+...+
1
199

1
200=

1
101+

102+...+
1
200
Bài 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 3232………32 chia hết cho 31.
b) Tìm n N* để

2

n

−1 7

Bài 3: (3 điểm)

a) HÃy tìm số

A=xyzt

biÕt

A−2 yzt=xz

b) T×m x, y biÕt r»ng:

x
2=

y

5 vµ

x

−

y

=4

c) T×m a, b biÕt r»ng:

1+2 a

15 =

7−3 a

20 =

3 b
23+7 a
Bài 4: (1 điểm)

Gạo chøa trong 3 kho theo tØ lÖ 1,3 : 2
1
2:1

2 . G¹o chøa trong kho thø hai nhiỊu hơn

kho thứ nhất 43,2 tấn. Sau 1 tháng ngời ta tiªu thơ hÕt ë kho thø nhÊt 40%, ë kho thø hai lµ
30%, kho thø 3 lµ 25% cđa số gạo trong mỗi kho. Hỏi 1 tháng tất cả ba kho tiêu thụ hết bao
nhiêu tấn gạo ?

Bài 5: (2 ®iĨm)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AC = AD. Trên tia đối của
tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE.

a) Nèi D, E . Chøng minh BC = DE.

b) Chứng minh đờng phân giác của góc BAE vng góc với CD.
Đề số 31

C©u 1: (2 điểm)

a) Tính một cách hợp lí:

A=2005

2006 :

(

0,42
9+

2
11
1,47

7
11

.
11

6+0 , 875−0,7
1

3−0 , 25+
1
5

)

b) Chøng minh r»ng:

3
12. 22+

5
22.32+

32. 42+.. . .+
4011

20052.20062<1
Câu 2: (2 điểm)

a) Biết 12+22+32+. ..+102=385

Tính nhanh: S=1002+2002+3002+. .. .+10002
b) Chøng minh r»ng:

81 −27

−9

⋮

225

Câu 3: (2 điểm) Hai ngời đĩ xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để
đến C (Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên một đờng thẳng). Vận tốc của ngời đi từ A là 20
km/h, của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quãng đờng của mỗi ngời đã đi, biết rằng họ đến C
cùng một lúc.

Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC với ^B<900 và

B=2 ^C

^

. Kẻ AH vng góc với BC
(H thuộc BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đờng thẳng HE cắt AC
tại D.

a) Chøng minh:
^
E=1

2 BAC.
b) Chøng minh DA = DH = DC.

c) LÊy ®iĨm B’ sao cho H là trung điểm của BB. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
d) Chứng minh: AE = HC.

Câu 5: (1 ®iĨm)

Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thoả mãn đẳng thức:

[

ab (ab−2cd )+c2d2

]

.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

§Ị số 32
Bài 1: (3 điểm)

a) Giải phơng trình:

|

x

+|3 x1||=x

+7

b) Tìm x, a, b nguyên dơng biết x + 3 = 2a vµ 3x + 1 = 4b.

c) T×m a, b, c biÕt 8a = 5b ; 7b = 12c ; a + b + c = -318.

d) T×m a, b, c biÕt:

ab+1

9 =

ac+2

15 =

bc +3

27 vµ ab + ac + bc =11
Bài 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c 1 tho¶ m·n:
ax = bc ; by = ac ; cz = ab

Chøng minh: xyz - x - y - z =2

b) Cho a, b, c kh¸c 0, 2 a+2 b−c≠0 , 2 b+2 c−a≠0 , 2 c+ 2a−b≠0

tho¶ m·n:

2 y +2 z−x

a =

2 z+2 x− y

b =

2 x+2 y−z
c
Chøng minh:

x

2 a+2c −a=
y

2 c+2 a−b=
z
2 a+2 b−c

Bµi 3: (2 điểm) Cho 23 số nguyên khác 0: a1 , a2, a3 , …., a23 cã tÝnh chất:

* a1 dơng.

* Tổng 3 số liên tiếp bất kì dơng.

* Tổng của cả 23 số là âm.
Chứng minh: a2 âm và a1 dơng.

Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và AB < AC. Vẽ đờng cao AH, trên đoạn HC lấy điểm M sao
cho BM = AB. Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N và AM tại E.

a) Chøng minh AM lµ tia phân giác của góc HAC.
b) Chứng minh MN vuông góc với AB.

Đề số 33
Bài 1: (2 điểm)

Tính giá trị của biểu thức:

(

3+3
1

)

(

4
1
6+3

1
7

)

2
b)

210.13+210.65
29.104
Bài 2: (2 điểm)

a) Chứng minh r»ng: 87−218 chia hÕt cho 14.

b) Cho x, y  Z. Chøng minh r»ng: (6x + 11y) chia hÕt cho 31 khi vµ chØ khi (x + 7y) chia
hết cho 31.

Bài 3: (2 điểm)

Chứng minh r»ng nÕu:
a
b=

c

d≠1 (a, b, c, d 0)

Thì
a+b
ab=

c+d
cd
Bài 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, các đờng cao BD, CE. Trên tia đối của tia BD lấy đoạn thẳng
BH bằng AC. Trên tia đối của tia CE lấy đoạn thẳng CK bằng AB. Chứng minh rằng:

a) BAH = CKA
b) AH  AK
Bµi 5: (1 ®iĨm)

Cho hai sè nguyên a và b chia cho 3 có cùng số d kh¸c 0.
 Chøng minh r»ng: (ab−1) chia hÕt cho 3.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

(1+2+3+.. .+90 )(12. 6−36 .2 ):

(

1
10+

1
11+

1
12

)

1+0,63
7
8

3+
8
5

8
7

3+0, 25
1

5+0 ,125
7

6+
7
80,7+

7
16
Bài 2: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: 106−57 chia hÕt cho 59.

b) Chøng minh r»ng nÕu (3a + 2b) chia hÕt cho 17 th× (10a + b) chia hết cho 17 và ngợc lại.
Bài 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z biết:
x
2=

y
3 ;

y
5=

z

7 vµ

2x+3 y+z=172

b) Cho tØ lÖ thøc:
a
b=

c

d . Chứng minh rằng:

ac
bd=

a2c2
b2d2
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam gi¸c ABC (gãc B = 900 ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ

tia Ax vuông góc với AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông
góc với AC. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE =
AC.

Chøng minh r»ng:
a) AD // BC.

b) DAC = BAE.
c) CD BE.
Bài 5: (1 điểm)

Cho p và 2 p + 1 là 2 số nguyên tố, p > 3. Chứng minh rằng 4p +1 là hợp số.
Đề số 35

Câu 1: (2 điểm)

a) Tỡm x sao cho biu thc A t giỏ tr nh nht:

A=|x2004|+|x2003|

b) Tìm các số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu a - b bằng thơng a : b và bằng 3 lần tổng a + b.
Câu 2: (2 điểm) Chứng minh r»ng:

a) Tån t¹i sè cã d¹ng 1997k (k  N) cã tËn cïng lµ 0001.

b) NÕu
a
b=

b

d thì

a2+b2
b2+d2=

a
d

Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số

y=m|x|+2

a) Xác định m ? Biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1; 1)
b) Vẽ đồ thị của hàm số đó và nhận xét về dạng của đồ thị ?
Câu 4: (2 điểm)

Trong ngày tết trồng cây nhà trờng dự định giao cho lớp 7A, 7B, 7C trồng số cây theo tỉ
lệ 5 : 4 : 3. Nhng do số học sinh các lớp đi trồng cây có thay đổi nên số cây đợc chia cho
các lớp tỉ lệ với 4 : 3 : 2. Nh vậy có một lớp trồng số cây ít hơn so với dự định là 2 cây và có
một lớp trồng số cây nhiều hơn so với dự định là 2 cây. Tính số cây mỗi lớp đã trồng đợc ?
Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ là đờng
thẳng AB ta dựng đoạn thẳng MB vng góc với AB và MB = AB. Trên nửa mặt phẳng
khơng chứa B có bờ là đờng thẳng AC ta dựng đờng thẳng NC vng góc với AC và NC =
AC. Đờng thẳng MN cắt AB tại E và cắt AC tại F.

a) Chøng minh: EF // BC.

b) Chứng minh rằng nếu thay đổi độ dài cạnh của tam giác ABC thì tỉ số giữa BE và NF vẫn
khơng thay đổi.

c) H·y chØ ra tÝnh chÊt chung nhÊt cña 3 đoạn thẳng MN, EF và BC.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Tính :

A=

(

1
2−1

)

(

1
3−1

)

(

4−1

)

...

(

2004−1

)

(

1
2005−1

)

B=

√

0 ,16−2
9+

√

121
1,4− 7

√

81+

√

49
11

−
1

3−0 , 25+
1

25
11

60 ,875+

0 , 49
Câu 2: (2 điểm)

a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố.
Chứng minh rằng: p + 1 chia hÕt cho 6.

b) Tìm một số có ba chữ số. Biết rằng số đó có tận cùng bằng chữ số 7 và nếu chuyển chữ số
7 lên vị trí đầu thì đợc một số mới. Số này khi chia cho số phải tìm thì đợc thơng là 2 v d
21.

Câu 3: (2 điểm)

Mét trêng cã ba líp 7. BiÕt r»ng sè häc sinh líp 7A b»ng
14

15 sè häc sinh líp 7B, sè
häc sinh líp 7B b»ng

10 sè häc sinh líp 7C. BiÕt r»ng tỉng hai lÇn sè häc sinh líp 7A víi
ba lÇn sè häc sinh líp 7B thì nhiều hơn bốn lần số học sinh lớp 7C là 19 bạn. Tính số học
sinh của mỗi lớp.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có

^A=75

, ^B=35

0 . Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Đờng
thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Gọi M là trung điểm cđa DE. Chøng
minh r»ng:

a) AM = DM.

b) Tam gi¸c ACM là tam giác cân.

c) Chu vi tam giỏc ABC bng độ dài đoạn thẳng BE.
Câu 5: (1 điểm)

Chøng minh r»ng:
1
53+

1
63+

1
73+.. .+

1
20043 <

1
40
Đề số 37
Câu 1: (2,25 điểm)

1) Tính:

A=

[

(

1
3

)

2
3.

(

3
4

)

]

B=

√

49−

√

(−5)

2−5

√

1,44 +3

√

4
9

2) So s¸nh:

M=

√

31−

√

13

vµ

N=6−

√

11

3) Xét biểu thức:

A=2006+

2007x

a) Với giá trị nào của x th× A cã nghÜa.

b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá tr nh nht ú ?
Cõu 2: (1,5 im)

1) Tìm phân sè cã mÉu b»ng 20. BiÕt nã lín h¬n

(

)

nhng nhỏ hơn

(

4
11

)

.
2) Tìm sè nguyªn n sao cho: (n2 + 2n - 7) chia hÕt cho (n + 2).

3) Cho p vµ 2p + 1 là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số.
Câu 3: (2,25 ®iĨm)

1) Cho tØ lƯ thøc
a
b=

c

d . Chøng minh r»ng:

a2. b2
c2. d2=

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2) Chứng minh rằng:

(

810−89−88

)

: 55 là số tự nhiên.
3) Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ các đồ thị hàm số

y=|x|

vµ y = 2. TÝnh diƯn tÝch h×nh tam

giác giới hạn bởi hai đồ thị đó ? Dùng đồ thị để tìm giá trị của x sao cho

|

x|<2

.
Câu 4: (1,5 điểm)

Tìm 3 phân sè, biÕt r»ng tỉng cđa chóng b»ng 3
3

70 c¸c tư cđa chóng tØ lƯ víi 3, 4, 5;
c¸c mÉu cđa chóng tØ lƯ víi 5, 1, 2.

C©u 5: (2,5 ®iĨm)

Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn AD bằng và vng góc với AB (D, C nằm khác phía đối
với AB) . Vẽ đoạn thẳng AE bằng và vng góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC) ;
vẽ đoạn AH vng góc với BC. Đờng thẳng HA cắt DE ở K.

Chøng minh r»ng DK = KE.

§Ị sè 38
Phần I: Trắc nghiệm khách quan (2 điểm)

Hóy chn chỉ một chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng:
a) So sánh: 330 và 245 .

A. 330 > 245 ; B. 330 = 245 ; C. 330 < 245
2) Tam gi¸c ABC cã

^A=70

; ^B− ^C=20

0 . TÝnh ^B vµ

^C

A. 700 vµ 500 ; B. 650 vµ 450 ; C. 600 vµ 400 ; D. 500 vµ 300

3) Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 1100 . Mỗi góc ở đáy sẽ có số đo là:

A. 700 ; B. 350 ; C. 400 ; D. 450

4) Nếu trong một tam giác vng có a, c là độ dài hai cạnh góc vng và b là độ dài cạnh
huyền thì:

A. a2+b2=c2 ; B. c2+b2=a2 ; C. a2+c2=b2
Phần 2: Tự luận (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm)

a) Cho Sn=1−2+3−4 +. ..+(−1 )n−1. n víi n =1, 2, 3,...

TÝnh S35 + S60 = ?

b) Tìm x biết:
x+7
2000+

x+6
2001=

x +5
2002+

x +4
2003
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm x biết: 3x3 3x 234
b) T×m x, y, z biÕt: 10 6 21

z
y
x




vµ 5xy 2z 28
Bài 3: (2 điểm)

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bi 4: (2 im) Cho ABC, góc BAC = 1200, kẻ đờng phân giác trong AD. Từ D hạ DE

vu«ng góc với AB và DF vuông góc với AC.

a) Qua C kẻ Cx // AD, Cx cắt AB tại M. ACM là tam giác gì ?
b) Tính AD biết CM = a vµ CF = b (a > b).

Đề số 39
Bài 1: (5 điểm)

Thực hiện phép tính:

93
14
:
1
.
3
1
5
12
6
1
6
5
4

19
2
.
3
1
6
5
,
1
7
3
4
.
31
11
1

Bài 2: (3 điểm)

a) Cho d
c
b
a

. Chứng minh rằng: 2

2
)

(
)
(
d
c
b
a
cd
ab




b) Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
Bài 3: (5 điểm)

a) Rót gän biĨu thøc: Ax 1 x 2

b) Tìm giá trị nguyên của y để biểu thức

B=42− y

y−15 có giá trị nguyên nhỏ nhất.

Bài 4: (5 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB
lần lợt tại E và D.

a) Chứng minh r»ng: BE = CD vµ AD = AE.

b) Gäi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC ë M. Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c MAB và
MAC là các tam giác cân.

c) T A v D vẽ các đờng thẳng vng góc BE, các đờng này cắt BC lần lợt ở K và H. Chứng
minh rằng: KH = KC.

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC có AB > AC và Aˆ . Đờng thẳng đi qua A vuông góc với phân
giác góc A cắt đờng thẳng BC tại M sao cho BM = BA + AC. Tính số o gúc B v gúc C ?

Đề số 40
Bài 1: (5 điểm)

Tìm x biết:

a)
1
4
1

x

; b)

12
10

8
3
3
5


 x
x

(

|

x|−

1

8 ) (

−

1

8 )

; d) a b
c
a
c
b
c
b
a
x

Bài 2: (3 điểm)

Tính:

a) A12 3 456 7 8...1999 200020012002 2003

1
121
1
...
1
25
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1

B

Bài 3: (4 điểm)

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

b) Tỡm hai số nguyên dơng sao cho: tổng, hiệu (số lớn trừ đi số nhỏ), thơng (số lớn chia cho
số nhỏ) của hai số đó cộng lại đợc 38.

Bµi 4: (6 ®iÓm)

Cho tam giác ABC vng cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kì thuộc
cạnh AC. Kẻ AH, CK vng góc với BD (H, K thuộc đờng thẳng BD). Chng minh:

a) BH = CK

b) Tam giác MHK vuông cân
Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn ti A, có ^A=200 , BC = 2 cm. Trên AB dựng điểm D sao cho ACD
= 100. Tính độ dài AD.

Đề số 1 (t0án 8)
Bài 1: (3 điểm)

Cho biểu thøc

A=

(

1
3+

3
x2−3 x

)

(

x2
27−3 x2+

1
x +3

)

a) Rót gän A.

b) Tìm x A < -1.

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)

Giải phơng tr×nh:

1
3 y2 +

x2−3 x

(

x2
27 −3 x

)

b) x
x
2

3+ x
4

2 =3

(

16 x
3

)

1
2
2
Bài 3: (2 điểm)

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lợt lúc 5 giờ, 6
giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách
đều xe đạp và xe đạp và xe máy.

Bµi 4: (2 ®iĨm)

Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN
( M  AB và N AD). Chứng minh:

a) BD // MN.

b) BD vµ MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)

Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).
Chøng minh r»ng: a + b + 1 là số chính phơng.

Đề số 2
Câu I: (2điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2+4 x5

b) ab ( a−b )−ac ( a+c )+ bc( 2 ab+ c )
2) Giải phơng trình

x2+ x +

x2+ 3 x + 2

Câu II: (2 điểm)

1) Xỏc nh a, b da thức f (x )=x3+2 x2+ax +b chia hết cho đa thức

g( x)=x2+x +1 .

2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x )=x161+x37+x13+x5+x+2006 cho ®a thøc

Q( x)=x2+1.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

1) Cho ba sè a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:

P= a2
a2−b2−c2+

b2
b2−c2−a2+

c2
c2−a2−b2

2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n

a≠−b , b≠−c , c≠−a

.
CMR:

a2−bc
(a+b )(a+c )+

b2−ac
(b+a )(b+c )+

c2ab
(c+a )(c +b )=0

Câu IV: (3điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các
hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB.

CMR:

a) KC = KP

b) A, D, K thẳng hàng.

c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.

2) Cho tamg gáic ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. CMR:
HA '

AA '+
HB'
BB '+

HC'

CC ' b»ng mét h»ng sè.
C©u V: (1 ®iÓm):

Cho hai số a, b khơng đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

Q=a2ab +b2
a2+ab+b2

Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a(b +c)2(b−c)+b(c +a)2(c−a )+c(a+b)2(ab)
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và

1
a+

1
b+

1
c=0
Rót gän biĨu thøc:

N= 1
a2+2 bc+

1
b2+2 ca+

1
c2+2 ab
Bµi 2: (2điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=x

+

y

xyx+ y+1

b) Giải phơng trình: (y4,5)4+(y5,5)41=0
Bài 3: (2điểm)

Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi đợc 15 phút, ngời đó

gặp một ơ tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp ngời
đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quóng ng AB.

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vng ABCD. M là một điểm trên đờng chéo BD. Kẻ ME và MF vng góc
với AB và AD.

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vng góc với nhau.
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF và CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

3 x

+5 y

=345

Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1

b) x4 + 4

c) x

√

x

- 3x + 4

√

x

-2 víi x 0
Bài 2 : (1,5điểm)

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

A =

a

ab + a +2

+

b

bc +b +1

+

2c

ac + 2c + 2

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b  0

TÝnh:

P = ab

4a2−b2

Bµi 4 : (3®iĨm)

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đờng
thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối
xứng của M qua E F.

a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm
b) Chøng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho

AEMF là hình vuụng.

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.

Đề số 5
Bài 1: (2điểm) Cho biÓu thøc:

M = 1
x2−5 x+6+

x2−7 x+12+

x2−9 x +20+

1
x2−11 x+30
1) Rót gän M.

2) Tìm giá trị x để M > 0.

Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể.
Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy n ớc. Cịn nếu đóng vịi chảy ra

mở vịi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vịi chảy ra.
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.

2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy ra n ỏy b l bao
nhiờu.

Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyªn sao cho:

x

+

2 xy+x+ y

+

4 y=0

Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên
đoạn CD (E khác D). Đờng thẳng AE cắt BC tại F, đờng thẳng vng góc với AE tại A cát
CD tại K.

1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK.

2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm cña AF. Chøng minh r»ng:
JA = JB = JF = JI.

3) Đặt DE = x (a ¿ x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.

4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.

Bµi 5: (1điểm) Cho x, y, z khác 0 thoả mÃn:

xy+

yz+

zx=0

TÝnh

N=

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

§Ị sè 6
Câu I: (5 điểm) Rút gọn các phân thức sau:

|x−1|+|x|+x
3 x2−4 x +1
2)

(a−1)4−11( a−1 )2+30
3(a−1 )4−18( a2−2 a)−3
C©u II: (4 điểm)

1) Cho a, b là các số nguyên, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì
a2+b2 chia hết cho 13.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

A= a
1+a+ac+

b
1+b+bc+

c
1+c +ac
3) Giải phơng trình:

x2+2 x +1
x2+2 x +2+

x2+2 x+2
x2+2 x+3=

7
6
Câu III: (4 ®iĨm)

Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai
tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng cơng việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn
thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công
việc. Nếu công việc trên đợc giao giêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian
hon thnh.

Câu IV: (3 điểm)

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K
lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh AC2=AB . AH+ AD . AK

Câu V: (2 điểm)

Giải phơng trình:

|

x2002|

2002

+|

x2003|

2003

=1

Đề số 7
Câu I: (2điểm)

1. Thc hin phép chia A=2 x4−x3−x2−x +2 cho B=x2+1 . Tìm x ¿ Z để A chia

hết cho B.

2. Phân tích đa thức thơng thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)

1. So sánh A và B biết:

A=5321 vµ B=6 (52+1)(54+1)(58+1)(516+1)
2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.

Câu III: (2điểm)

1. Cho mt tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: (a+b+c )2=3(ab+bc+ca) . Hỏi tam
giác đã cho là tam giác gì ?

2. Cho ®a thøc f(x) = x100+x99+. ..+ x2+x+1 . Tìm d của phép chia đa thøc f(x) cho ®a
thøc x2−1 .

Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình
chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao im ca BF v CE.

1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chứng minh AB. CF = AC. AE

3. So s¸nh diƯn tÝch tø gi¸c AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)

Chứng minh nghiệm của phơng trình sau là một số nguyên:

x−2
2005+

x−3
2004 +

x−4
2003=

x−2005

2 +

x−2004

3 +

x−2003
4
§Ị sè 8
Câu 1: (2điểm)

a) Cho

x

2 xy+2 y

2 x+6 y+13=0

Tính

N=

3 x

y−1

4 xy

b) Nếu a, b, c là các số dơng đơi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dơng.
A=a3+b3+c33 abc

Câu 2: (2 điểm)

Chứng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×:

A=

(

a−b
c +

b−c
a +

c−a
b

)(

c
a−b+

a
b−c+

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Một ô tô phải đi quãng đờng AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đờng
đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đờng sau đi với vận tốc
kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Tính thời gian ô tô đi trên quãng đờng AB biết ngời đó
đến B ỳng gi.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vng ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE
cắt đờng thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đờng
thẳng song song với CD cắt AI tại N.

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.

b) Chng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
Câu 5: (1 điểm)

T×m nghiệm nguyên của phơng trình:

x

+3 x

+1= y

Đề số 9
Bài 1: (2 điểm)

Cho

M =

(

x +1

x

)

−

(

x6+ 1
x6

)

−2

(

x +1
x

)

+x3+ 1
x3
a) Rót gän M.

b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm x biết : (2 x5 )3(x2 )3=(x−3)3

b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 và n - 65 là hai số chính phơng.
Bài 3: (2 im)

a) Cho x và y thoả mÃn:

4 x

+

17xy+9 y

=5 xy−4|y−2|

TÝnh

H=x

+

y

+

xy

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b +c=abc

Chøng minh: a(b2−1)(c2−1)+b( a2−1)(c2−1)+c(a2−1)(b2−1)=4 abc
Bµi 4: (4 ®iĨm)

Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I là giao điểm của AC và BD. Qua I vẽ đờng
thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N.

a) Chøng minh IM = IN.

b) Chøng minh:
1
AB+

1
CD=

2
MN

c) Gọi K là trung điểm của DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt
tại H và E. Chứng minh HM + HE = 2AK.

d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). Tính S(ABCD) theo a và b.

Đề số 10
C

âu 1 : (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)

x

x12

x

+

x +1

(

x

+3 x+2 )( x

+11 x+30)5

Câu 2: (2 điểm)

1) So sánh A và B biết:

A=5

32 vµ

B=24 (5

+1 )(5

+

1)(5

+

1)(5

+1)

2) Cho

3 a

+

2b

=7 ab

vµ

3 a>b>0

.
Tính giá trị của biểu thức:

P=

2005 a2006 b

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Câu 3: (2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 9 6 6 12 1974

2
2








 x y xy x y

A
2) Giải phơng trình:

y

+

4

x

+2 y−2

x +1

+2=0

3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax
vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đ ờng
thẳng kẻ qua E, song song với AB c¾t AI ë G.

a) Chøng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chøng minh AF2 = FK. FC.

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5: (1 điểm)

Cho ®a thøc f(x) cã các hệ số nguyên. Biết rằng f(1) và f(2) là các số lẻ. Chứng minh
rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.

Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị cđa biĨu thøc:

A=

(

14+1

)(

3
4+1

)

. ..

(

19
4+1

)

(

24+1
4

)(

4
+1

)

. . .

(

20
4

+1
4

)

b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 là một số chính phơng.
Câu 2: (2 điểm)

a) Cho xyz = 2006

Chøng minh r»ng:

2006 x

xy+2006 x +2006+

y

yz+ y+2006+
z

xz+z+1=1

b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.

(

3 x2+3

x3−1 −

x−1
x2+x +1−

1
x −1

)

x−1
2 x2−5 x+5
a) Rót gọn B.

b) Tìm giá trị lớn nhất của B.
Câu 4: (3 ®iĨm)

Cho M là một điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF.

a) Chứng minh: AE BC.

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng.

c) Chng minh rng đờng thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyn trờn
on thng AB.

Câu 5: (1 điểm)

a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 thì:
C=1+ 1

23+
1
33+

1
43+

1
53.. .+

1
n3<2
b) Giải phơng trình:

(x1)( x2 )( x3)( x4 )=( x+1 )(x +2 )( x+3)( x+4)
Đề số 12

Câu 1: (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2−7 x−6

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

c) x4+4
2) Rót gän:

A= 1

x2+5 x +6+

x2+7 x +12+

1
x2

+9 x +20+

1
x2

1) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x-2 thì d 2, f(x) chia cho x-3 thì d 7, f(x) chia cho
x2 - 5x + 6 thì đợc thơng là 1-x2 và cịn d.

2) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau l s nguyờn.
A=2 x

+x2+2 x+5
2 x+1
Câu 3: (2 điểm)

Giải phơng trình:

x1
99 +

x3
97 +

x5
95 =

x2
98 +

x4
96 +

x6
94
b) (x2+x+1)2+(x2+x+1 )12=0
Câu 4: (3 ®iĨm)

Một đờng thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt tại E, K,

G. Chứng minh rằng:

AE

2

=

EK . EG

1
AE=

1
AK+

1
AG

3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A. Chứng minh: BK. DG = const.
Câu 5: (1 điểm)

T×m giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau:
B=16 x

+4 x+1

2 x (víi x > 0)

§Ị số 13
Câu 1: (6 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử;

2x2 yx

+2xy y

2xy+2 x y

−

y

c) 2 3 3 10

2
2






 xy y x y

x

Câu 2: (4 điểm)

Cho a+b +c=0 và abc0 . Chứng minh rằng:
Câu 3: (4 điểm)

Cho biểu thøc

Q= x
4

+x

x2−x +1+1−

2 x2+3 x +1

x+1 ( x≠−1 )
a) Rót gän biĨu thøc Q.

b) T×m giá trị nhỏ nhất của Q.
Câu 4: (6 điểm)

Vẽ ra phía ngồi tam giác nhọn ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M, N lần lợt
là trung điểm của AD và CE. H là hình chiếu của N trên AC, từ H kẻ đ ờng thẳng song song
với AB cắt BC tại I.

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN.
b) Tính các góc của tam giác MNI.

c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.

Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành thõa sè: (a+b+c )3−a3−b3−c3
b) Rót gän:

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Câu 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng: A=n3(n27)236 n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n.
Câu 3: (2 điểm)

a) Cho ba mỏy bm A, B, C hút nớc trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết
n-ớc trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnn-ớc trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nn-ớc trong 20 giờ.
Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính
xem trong bao lõu thỡ ging s ht nc.

b) Giải phơng trình:

2|x+a|−|x−2a|=3a

(a lµ h»ng số).
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB có chứa điểm C ngời ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đờng thẳng vuông góc với
IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt tại các điểm M, N.

a) Chng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.

c) Chøng minh: gãc MIN = 900.

d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích tam giác IMN lớn gấp đơi diện tích tam giác ABC.
Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số:

22499...9

⏟

n-2 số 9

100...09

n số 0 là số chính phơng. ( n2 ).

Đề số 15
Câu 1: (2 điểm)

Cho

P= a

3−4 a2
−a+4
a3−7 a2+14 a−8
a) Rót gän P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (2 điểm)

a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng cđa
chóng chia hÕt cho 3.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

P=( x−1)( x +2)( x+3)( x+6 ) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giỏ tr nh nht ú.
Cõu 3: (2 im)

a) Giải phơng tr×nh:

x2+9 x +20+

x2+11 x+30+

x2+13 x+ 42=
1
18
b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng;

A= a
b+ca+

b
a+cb+

c

a+bc3
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh

®iĨm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E. Chứng minh:

a) BD .CE=
BC2

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện
tích bằng số đo chu vi.

Đề số 16
Bài 1: (2 điểm) Giải phơng tr×nh

a) (x2−6 x +9 )3+(1−x2)3+(6 x−10 )3=0

b) Cho x, y tho¶ m·n:

x

+2 y

+2 xy−6 x−2 y+13=0

.
TÝnh giá trị của biểu thức:

H=

x

7 xy+52

x y

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Cho

x2−3 y

x(1−3 y )=

y2−3x

y(1−3x ) víi

x, y≠0

; x, y≠

3 ; x≠y .

Chøng minh r»ng:

x+

y=x+ y+

3 .

Bài 3: Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên.
Với

y=4 x +3
x2+1
Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A (AB = AC > BC). Trên cạnh BC lấy M sao cho MB < MC.
Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB ở E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC
ở F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua đờng thẳng EF.

a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF.
b) Chøng minh tø giác ANEF là hình thang cân.
c) AN cắt BC tại H. Chøng minh HB. HC = HN. HA
Bµi 5: (1 ®iĨm)

Cho ®a thøc f (x )=x3+ax2+bx+c

T×m a, b, c biÕt f (1 )=5 ; f ( 2)=7 ; f (3 )=9
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)

1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x8+x7+1

b) ( 4 x +1)(12 x−1)(3 x +2)( x +1)−4

2) Cho a+b +c=0 vµ a2+b2+c2=1 . Tính giá trị của biểu thức:
M =a4+b4+c4

Bài 2: (2 điểm) Cho biÓu thøc:

M= x

(x+ y)(1− y )−

y2

(x+ y)(1+x)−

x2y2

(1+ x)(1− y )

a) Rót gän M.

b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.

Bài 3: (2điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể và một vòi nớc chảy ra ở lng chừng bể.
Khi bể cạn, nếu mở cả hai vịi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy n ớc. Còn nếu đóng vịi chảy ra
mở vịi chảy vào thì sau 1giờ rỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vịi chảy ra.
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra.

2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy ra đến ỏy b l bao
nhiờu.

Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C).
Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD
ở K. Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ë G.

a) Chøng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.

b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 = FK. FC

c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giỏc EKC khụng i.

Bài 5: (1 điểm) Cho a là một số gồm 2n chữ số 1, b là một số gồm n + 1 chữ số 1, c là một 
số gồm n chữ số 6 (n là số tự nhiên, n1 ).

Chứng minh rằng: a+b +c +8 là số chính phơng.
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm) Giải các phơng trình sau:

a) x4+4 x2=5

|

x1||2 x3|=5

Câu 2: (2 điểm)
Cho biểu thức:

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Câu 3: (2 điểm)

Hai anh em Trung vµ Thành cùng cuốc một mảnh vờn, và sẽ hoàn thành trong 5 giê 50
phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, một mình anh
thành phải làm tiếp trong 2 giờ nữa mới cuốc xong mảnh vờn. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi anh phải làm trong bao lâu?.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hỡnh thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC. Qua B
vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng:

a) EF song song với AB.
b) AB2 = CD. EF

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh r»ng biÓu thøc:

10n+18 n−1 chia hÕt cho 27 với n là số tự nhiên.

Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành nhân tử: x4 3x2 4x 12

b) Tính: 2003.2005

1
...

7
.
5

1
5
.
3

1
3
.
1

A
Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c là hai số khác nhau và khác 0 thoả mÃn: 3a2 b2 4ab.
Tính giá trị của biểu thức: A=

ab
a+b
b) Giải phơng trình: x2 1 3
Câu 3: (2 ®iÓm)

Cho An3 3n2 2n (n  N)
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15.
Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lợt là điểm đối xứng của
H qua AB, AC.

a) Chøng minh E, A, F thẳng hàng.
b) Chứng minh BEFC là hình thang.

c) Tìm vị trí của H trên BC để BEFC là hình thang vng, hình bình hành.
Câu 5: (1 điểm)

Cho 







13
3

14
3

2
3

b
a
b

ab
a

. Tính giá trị của : P=a2b2

Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)

a) Cho x > 0, y > 0 thoả mÃn: x2 2xy3y2
Tính giá trị của biểu thøc: x y

y
x
A





b) Víi

|

x|=1

. Rót gän biểu thức:

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì biÓu thøc 
P( x)=1985 .x

3 +1978 .
x2

2+5.
x

6 có giá trị nguyên.

Bi 3: (2 im) Mt ngi i xe đạp, một ngời đi xe máy, một ngời đi ô tô cùng đi từ A về B 
khởi hành lần lợt lúc 6 giờ, 7 giờ, 8 giờ với vận tốc thứ tự là 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hỏi
lúc mấy giờ ô tô cách đều ngời đi xe đạp và xe máy.

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB ¿ AC ) có O là giao điểm của ba đờng trung

trùc, vÏ ra phÝa ngoài tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH. Biết OE = OH. Tính số đo

góc BAC ?

Bài 5: (1 điểm) Giải phơng trình: (x26 x+11)( y2+2 y+4 )=z2+4 z+2

Đề số 21
Câu 1: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

A= a2+a2
an+13 an.

[

(a+2)2a2
4 a24

3
a2a

]

b) Tính giá trị của biÓu thøc:

B=x19−5 x18+5 x17−5 x16+. . .−5 x2+5 x+1886 với x = 4.
Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

x

+5 x12 y=4

.
b) Cho a, b, c là các số tự nhiên không nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng:
1
1+a2+

1+b2

2
1+ab
Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô vận tải đi từ A đến B với vận tốc 45 km/h. Sau đó một thời gian một ơ tơ con
cũng đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và nếu khơng có gì thay đổi thì đuổi kịp ơ tô tải tại
B. Nhng ngay sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB, xe tải giảm bớt 5 km/h nên hai xe gặp
nhau tại C cách B 30 km. Tính quãng đờng AB.

Câu 4 : (3 điểm) Một đờng thẳng d đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC,
DC theo thứ tự ở E, K, G.

Chøng minh r»ng:
a) AE2 = EK. EG

b)
1
AE=

1
AK+

1
AG

c) Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng vẫn đi qua A thì tích BK.DG = Const
Câu 5: (1 điểm) Tìm giá tr nh nht ca biu thc:

M=x22 x+2005
x2

Đề số 22
Câu 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng ta cã:
A= x

120 +
x4
12+

7 x3
24 +

5 x2
12 +

x

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b) Rót gän:

B=x24+x20+x16+.. ..+ x4+1
x26+x24+x22+. .. .+ x2+1
C©u 2: (2 điểm)

Bạn A hỏi bạn B: năm nay bố mẹ của anh bao nhiêu tuổi ? B trả lời: bố tôi hơn mẹ

tôi 4 tuổi. Trớc đây khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 tuổi thì tuổi của ba anh em chúng
tôi là 14; 10 và 6. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ tôi gấp 2 lần tỉng sè ti cđa ba anh em
t«i”. TÝnh xem ti của bố mẹ bạn B là bao nhiêu ?

Câu 3: (2 ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng nÕu: x+ y=z +t (x, y, z, t  Z ) thì số :

A=x

+

y

+

z

+

t

2 là tổng các bình phơng của ba số nguyên.

b) Tỡm s t nhiờn N từ ba điều kiện sau: Trong đó có 2 điều kiện đúng, 1 điều kiện sai:
1. N + 45 là bình phơng của một số tự nhiên.

2. N có chữ số tận cùng là 7.

3. N - 44 là bình phơng của một số tự nhiên.
Câu 4: (3 ®iÓm)

Hai đờng chéo AC và BD của hình thoi ABCD cắt nhau tại O. Đờng trung trực của AB
cắt BD và AC ti O1 v O2 .

Đặt O2A = a ; O1B = b . TÝnh diƯn tÝch ABCD theo a, b.

(

2x+5 y+1)(2

|x|

+

y+x

+

x )=105

Đề số 23
Câu 1: (2 điểm)

a) Cho

ak=3 k

+3 k +1

(k2+k )3 víi k  N*
TÝnh tæng S = a1+a2+a3+....+a2007

b) Chøng minh r»ng: A=n3(n2−7 )2−36 n chia hÕt cho 7 víi mọi n nguyên.
Câu 2: (3 điểm)

a) Cho ba s x, y, z thoả mãn đồng thời:

x

+2 y+1=0

;

y

+2 z+1=0

; z2+2 x+1=0
Tính giá trị của biểu thức:

A=x

2005

+

y

2006

+

z

2007

b) Chứng minh r»ng víi x, y  Z th×

P=( x+ y )( x+2 y)( x+3 y)( x+4 y)+ y4 là một số chính phơng.

c) Tìm số d trong phép chia:

(x+1 )( x+3 )( x+5)( x +7 )+2007 cho x2+8 x+1
Câu 3: ( 2 điểm)

Phơng và Hng có 110.000 đồng. Hai ngời cùng rủ nhau đi chợ. Phơng tiêu mất 1/5 số tiền
của mình. Hng tiêu mất 1/6 số tiền của mình. Số tiền còn lại của Hng nhiều hơn số tiền còn

lại của Phơng là 10.000 đồng. Hỏi mỗi ngời có bao nhiờu tin.

Câu 4: (3 điểm) Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của
B, D lên AC; H, K lần lợt là hình chiếu của C trên AB và AD.

1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?

2) Chng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh AC2=AB . AH+ AD . AK

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

(

12+
1
3+

1
4+.. .+

1
2005

)

. x
2004

1 +
2003

2 +
2002

3 +.. ..+

1
2004

=2005

|

x−1|+|x−3|=4

Tìm tỉ lệ ba đờng cao của một tam giác. Biết nếu cộng lần lợt độ dài từng cặp hai cạnh
của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5 : 7 : 8.

Câu 3: (2 điểm)

a) Tỡm tng cỏc h số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

P( x)=(2004−2005 x+x2)2004. (2004+2005 x+x2)2005

b) Tìm số tự nhiên n để n4+n2+1 là số nguyên tố.
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC. Kẻ đờng cao AH. Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB, B’ là điểm
đối xứng của H qua AC. Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K. Chứng minh IB,
CK là đờng cao của tam giác ABC.

Cho a, b, c

¿

[

0; 1

]

vµ a+b +c=2 . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c2

Đề số 25

Câu 1: ( 2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
x9x7x6x5+x4+x3+x21
b) Rút gọn biểu thức:

(

x21xy
3 y2
x4xy3

y

x3+x2y+xy2

)

(

y +
x2
x + y

)

Câu 2: (2 điểm)

a) Cú tn tại một cặp số tự nhiên (x, y) nào để số

4 x

+

y

4 là một số nguyên tố khơng.
b) Giải phơng trình:

y2−2 y +3= 6
x2+2 x +4

Câu 3: (2 điểm) Một ngời đi từ A đến B rồi đi tử B về A mất 3 giờ 17 phút, đoạn đờng AB
dài 8 km gồm một đoạn lên dốc, tiếp đó là một đoạn đờng bằng, cuối cùng là một đoạn
xuống dốc. Hỏi đoạn đờng bằng dài bao nhiêu km. Nếu vận tốc của ngời đó lúc lên dốc là
4km/h, lúc đi đoạn đờng bằng là 5 km/h, lúc xuống dc l 6 km/h.

Câu 4: (3 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đờng chéo BD. Kẻ ME vng góc với AB,
MF vng góc với AD.

a) Chøng minh: DE = CF vµ DE  CF.

b) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy.

c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 5: (1 im)

Cho a, b, c là ba số dơng. Chứng minh r»ng:
1< a

a+b+
b
b+c+

c
c +a<2

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Cho ph©n thøc:

A= x4+x3−x2−2 x−2
x4+2 x3−x2−4 x−2

(víi x  Z)
a) Rót gän A.

b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm)

a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0.

Chứng minh rằng nÕu:

x

−

yz=a

;

y

−

zx=b

;

z

−

xy=c

Th× tỉng

ax+by+cz

chia hÕt cho tæng a+b +c .

b) Cho đa thức f(x) khi chia cho x-2 thì d 5, khi chia cho x-3 thì d 7, cịn khi chia cho
x2−5 x +6 thì đợc thơng là 1−x2 và cịn d. Tìm đa thức f(x).

x2x=1
3
Câu 4: (3 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho

AF = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi N là giao điểm của FC
với AB và M là giao điểm của EC và AD.

a) Chøng minh MD = BN.

b) Kẻ BH AC, gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng
BH IK.

Câu 5: (1 điểm)

Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số
bằng 1.

§Ị số 27
Câu 1: (2 điểm)

a) Cho

y>x>0

và

x

+

y

xy

=

10

3

. Tính giá trị của biểu thøc

M=

x− y

x+ y

b) Rót gän biểu thức

A=

(

14+1

)(

3
4

)

. .. .

(

11
4

+1
4

)

(

24+1
4

)(

4+1

)

. . ..

(

12
4+1

)

Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phơng trình: x44 x319 x2+106 x120=0
b) Cho

x4
a +

y4
b =

a+b vµ

x

+

y

=1

Chøng minh r»ng:
x2004
a1002+

y2004
b1002=

2
(a+b )102

Câu 3: (2 điểm) Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà bình với vận tốc 4 km/h. Lúc 8
giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bình trên
đờng rồi cả hai cùng đi về nhà Bình. Khi trở về đến nhà mình An tính ra qng đờng mình
đi dài gấp bốn lần quãng đờng Bình đã đi. Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.

Câu 4: (3 điểm) Cho hình vng ABCD, một góc vng xAy qoay quanh đỉnh A của hình
vng, cạnh Ax cắt các đờng thẳng BC, CD lần lợt tại M, N; cạnh Ay cũng cắt các đờng
thẳng đó tại P và Q.

a) Chứng minh rằng ANP và AMQ vuông cân.

b) Biết QM cắt PN ở R; I, K theo thứ tự là trung điểm của PN, QM. Tứ giác AKRI là hình g×
?

c) Chứng minh 4 điểm: B, D, K, I cùng thuộc một đờng thẳng, từ đó suy ra đờng thẳng IK
cố định khi góc vng xAy quay quanh đỉnh A.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Cho

p

+

q

=2

. Chøng minh r»ng:

0< p+q2

Đề số 28
Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phơng trình:

(x24 x+4 )3+(2x2)3+(4 x6)3=0

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4+2004 x2+2003 x+2004

Câu 2: (2 điểm) Cho a+b +c=0 ;

x+ y+ z=0

;

a

x

+

b

y

+

c

z

=

0

Chøng minh:

ax

2

+

by

2

+

cz

2

=0

Câu 3: (2 điểm) Tìm số nguyên dơng A; Cho biết trong ba mệnh đề P, Q, R dới đây chỉ có
duy nhất một mệnh đề sai:

P = A+ 45 là bình phơng của một số tự nhiên.
Q = A tận cùng là chữ số 7.

R = A - 44 là bình phơng của một số tự nhiên.
Câu 4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD; M là một điểm tuỳ ý trên BD, ME AB; MF  AD (E  AB, F 
AD).

a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy.

b) Tìm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF là lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)

Tìm x ngun để y ngun:

y=2 x +3
x2+1

§Ị số 29
Câu 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức:

A=|x2|+|x|+x
3 x2−8 x+4
b)

B= 2
x2+2 x+

x2+7 x +10+

a) Cho 3 a2+b2=4 ab và b > a > 0. TÝnh P=
a−b
a+b
b) T×m x, y biết:

x

+

y

xy3 x+3=0

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 th×
a2+b2+ab chia hÕt cho 19.

b) Chøng minh r»ng tÝch cđa bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng 1 là số chính phơng.
Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn. Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt nhau tại H, gọi M là trung
điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia HG lấy điểm O sao cho OG =

3 OH; AO và HM cắt nhau tại D.
a) Chứng minh OM BC.

b) Tứ giác BHCD là hình gì ?

c) Gi A1 , B1 , C1 là các điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB. Tớnh

AA1
AA '+

BB1
BB '+

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Câu 5: (1 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=( x+8 )4+(x +6 )4
Đề số 30

Câu 1: (2 điểm)

Cho đa thức A=2a2b2+2b2c2+2 a2c2a4b4c4
a) Phân tích đa thức A thành nhân tử.

b) Chng minh rng nu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ A> 0.
Cõu 2: (2 im)

a) Giải phơng tr×nh:

(

x

−

y

)

=4 xy+1

b) Cho a, b, c đơi một khác nhau và
a
b−c+

b

c−a+

c

a−b=0 .
TÝnh

P= a
(b−c )2+

b
(c−a )2+

a) Cho m, n là các số thoả mÃn: 3 m2+n=4 m2+n .

Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phơng.

b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mÃn x+ y+ z=xyz vµ

1 x

+

1 y

+

1 z

=

m

.

TÝnh giá trị của biểu thức:

A= 1
x2+

y2+
1

z2

theo m.
Câu 4: (3 ®iĨm)

Cho ABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song CG
và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J.

a) Chøng minh: EI = IJ = JF

b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF.

c) Một đờng thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh của
tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến ng thng d.

Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các sè cã hai ch÷ sè

ab

sao cho:

ab

|

ab|

là số nguyên tố.

Đề số 31
Câu 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc:

M= x2

(x+ y)(1− y )−

y2

(x+ y)(1+x)−

x2y2

(1+ x)(1− y )

a) Rót gän M.

b) Tìm cặp số ngun (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
Câu 2: (3 điểm)

a) Chøng minh r»ng víi n lµ số tự nhiên chẵn thì biểu thức:
A=20n+16n3n1 chia hÕt cho 323

b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ

x+ y+ z≠0

. Chøng minh r»ng:

NÕu

1 x

+

1 y

+

1 z

=

1 x + y +z

th×

x2007+

y2007+

z2007=

x2007+y2007+z2007

Câu 3: (2 điểm) Trong một cuộc đua mơ tơ có ba xe cùng khởi hành một lúc. Một xe trong
một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm
hơn xe thứ nhất 12 phút và sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Khơng có sự dừng lại trên đờng đi.
Tìm vận tốc mỗi xe, quãng đờng đua và xem mỗi xe chạy mất bao nhiêu thời gian.

Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các
đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) :
S(ABCD).

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

TÝnh tæng

S= 1

1.2 .3+
1
2. 34+

3. 4.5+. ...+

n(n+1)(n+2)

Đề số 32
Câu 1: (2 điểm)

a) Phân tích a4+4 thành nhân tử.
b) Tính :

A=24+4
44+4.

64+4
84+4.

104+4
124+4 .

144+4
164+4 .

184+4
204+4
Câu 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:

A=x15−7 x14+7 x13−7 x2+. ..−7 x2+7 x−5 với x = 6
b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho n2−n+1

a) Cho ®a thøc f (x )=x100+x99+. . .+ x2+x+1
T×m d cđa phÐp chia f(x) cho x2−1

b) T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B=xy ( x2 )( y+6)+12 x224 x+3 y2+18 y+2004

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH. Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của H lên AB và
AC. Gọi M là giao điểm của BF v CE.

a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
b) Chøng minh AB. AE = AC. AF.

c) So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu 5: (1 điểm)

Cho

x

+

y

xy=x+ y

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=x

+

y

Đề số 33
Câu 1: (2 điểm)

1. Phân tích thành nhân tử:
a) x10+x2+1

b) (x2−3 x +2)( x2−7 x+12 )−15

2. Cho a, b là các số thoả mÃn a2+b2+ab=2005 . Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:

P=a
4

+b4+(a+b )4
a2+b2+(a+b)2
Câu 2: ( 2 điểm)

a) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 là số nguyên tố.

b) Tìm các số dơng x, y, z thoả mÃn: x+ y=xyz vµ

x+ y+ z=4

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận
thấy cứ 5 phút lại gặp một xe buýt đi từ B vể phía mình. Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe
đi từ A vợt qua ngời đó.

a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F
kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K. Chứng minh rằng
ba điểm I, K, E thẳng hàng.

b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía với
AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đờng thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nht.

Câu 5: (1 điểm) Giải phơng trình:

xa2x b2

b2x2+a=
x2
x2b2

Đề số 34
Câu 1: (2 điểm)

a) Cho x24 x +1=0
Tính giá trị của biểu thức:

A=x
4

+x2+1
x2
b) Tỡm s t nhiên x để

x2+8

x +8 lµ sè chÝnh phơng.
Câu 2: (2 điểm)

a) Giải phơng trình:

(

x

1 )

=4 x+1

b) Giải bất phơng trình:

x1
2x>1
Câu 3: ( 2 điểm)

Việt (hỏi): Bạn ở số nhà bao nhiêu ?

Nam (trả lời): Mình ở số nhà là một số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu cũng nh hai chữ số
cuối lập thành một số chính phơng và số này gÊp bèn lÇn sè kia ?

Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam.
Hỏi số nhà của Nam là bao nhiêu ?

1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đờng thẳng a. Hãy tìm trên đờng thẳng a một
điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất.

2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các
điểm tơng ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất.

Tìm các số x, y, z, t thỏa mÃn: x2+y2+z2+t2=x ( y +z+t )

Đề số 35
Câu 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tư: 
a) (a+b+c)3−(a+b−c )3−(b +c−a)3−(c+a−b )3
b) (x2+y2)3+(z2−x2)3−(y2+z2)3

a) Cho f(x) = ax2+bx +c

Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
b) Tìm các số x, y nguyên dơng thoả mÃn:

x

y

=2 y+13

Câu 3: ( 2 điểm)

a) Chøng minh r»ng n5−5 n3+4 n chia hÕt cho 120 với mọi n nguyên.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Câu 4: (3 ®iĨm)

a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đ ờng chéo
của ngũ giác đó.

b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh
còn lại lần lợt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)

T×m tÊt cả các số thực dơng x, y thoả mÃn: x
3

+y3=xy 1
27

Đề số 36
Câu 1: ( 2 điểm)

a) Chứng minh r»ng: n5−n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyên n.
b) Phân tích thành nhân tử:

x

+

y

6 xy+8

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:

1
x+

1
y+

1
z=2
2

xy−
1
z=4
¿

{¿ ¿ ¿
¿

b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

A=

√

(a−b )2+
1
(b−c )2+

(c−a)2 lµ mét sè hữu tỉ.

Câu 3: ( 2 điểm)

a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng:

(

x +

1 x

)

+

(

y +

1 y

)

≥

25

2

b) Chøng minh r»ng:
1
5+

13+. . ..+
1

n2+(n+1 )2<
1
2
Câu 4: (2 điểm)

Cho đa thức P(x) =x4+ax3+bx2+cx +d víi a, b, c , d lµ h»ng sè.
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8).

Tìm các số x, y nguyên thoả mÃn:

x

y

x

8 y

=2xy

Đề số 37
Bài 1: (4 điểm)

a) Phõn tớch đa thức thành nhân tử: A=x4+4
b) Tìm số nguyên a để biểu thức P=

a2+a+3

a+1 nhËn gi¸ trị nguyên.
Bài 2: (4 điểm)

Đa thức P(x) khi chia cho x -3 d 7, khi chia cho x + 5 d -9 cßn khi chi cho x2 - 5x + 6 thì

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Bài 3: (6 điểm)

a) Biết x là nghiệm của phơng trình:
xab

a+b +
xac

a+c +
xbc

b+c =a+b+c
Tìm x ë d¹ng thu gän.

b) Rót gän biĨu thøc:

M= (2

3+1)(33+1)(43+1). .. .(503+1)
(231)(331)(431). ...(5031 )
Bài 4: (6 điểm)

a) Trờn tia Ox của góc xOy cho trớc một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm
B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trớc.

b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyến kẻ từ B và C là BE và CF. Chứng minh rằng BE
vuông góc với CF khi và chỉ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .

Đề số 38
Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4+3 x22 x+3
b) Giải phơng trình: x3+3 x23 x +1=0

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thøc:

P=

(

a+2
a+1−

a−2
a−1

)

a+1
a
a) Rót gän P.

b) Tìm a để P nguyờn.
Bi 3: (3 im)

a) Tìm các số nguyên x, y, z biÕt r»ng:

y +z+1

x

=

x+z+2

y

=

x+ y−3

z

=

1 x+ y+z

b) Cho ®a thøc f(x) = ax2+bx +c víi a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có
giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

Bài 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC.

Chøng minh rằng:
HA '

AA '+
HB'
BB '+

HC'
CC '=1
Bài 5: (1 điểm)

Tìm các hằng số a và b sao chob ®a thøc x2+ax +b chia cho (x + 1) th× d 7, chia cho
(x-3) th× d -5.

Đề số 39
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biÓu thøc:

a) P=(a+b+c )2+(a−b+c )2+(a+b−c )2+(b+c−a )2
b)

Q= 1
x− y

x+ y

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Bài 2: ( 2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( a+b+ c )( ab+ bc+ ca)−abc

b) T×m x, y biÕt: x

+y2−x+ 3 y +5
2=0

c) Cho A=(n−1)(n2−3n+1) . Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố.
Bài 3: ( 2 điểm)

Giải phơng trình:
x13

117 +

x11
119 +

x 9
121 +

x7
123 +

x5
125 =

x117

13 +

x119

11 +

x 121

9 +

x123

7 +

x125
5

Bài 4: (2 điểm)

Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến C. Sau 3
2
5 giờ
tính từ khi ơ tơ thứ nhất lhởi hành thì hai ơ tơ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ơ tơ. Biết rằng
B nằm trên đờng từ A đến C và quãng đờng AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô đi từ A lớn
hơn vận tốc của ô tụ i t B l 5 km/h.

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC có ba phân giác trong là AD, BE và CF. Gọi M, N, P theo thứ tự là
các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF.
Chng minh MN // PQ.

Đề số 40
Bài 1: ( 2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x4+12 x3x2

b) a(b3c3)+b(c3a3)+c( a3b3)
Bài 2: (4 điểm)

a) Rót gän biĨu thøc sau: (a+b+1)3−(a+b−1)3−6( a+b)2

b) Xác định a, b để đa thức x3+ax2+2 x+ b chia hết cho đa thức x2−1

c) T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f (x )=2004 x2005−2005 x2004+x2002−1 cho đa thức x21
d) Tìm x nguyên thoả mÃn:

|

2 x1|<5

Bài 3: (2,5 điểm)

Cho tứ giác ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lần lợt là trung điểm của AB, CD, BD và
AC.

a) Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ.
b) Tìm điều kiên của tứ giác ABCD để MN = PQ.

c) Xác định vị trí của điểm I trên CD để AIB có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4: (1,5 điểm)

a) TÝnh nhanh: 9982+9992+10012+10022
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=x

+

xy+ y

3 x3 y+2004

Đề số 41
Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4+x32 x2+3 x1

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm thơng và phần d trong phép chia đa thức:

f (x )=1+x+ x2+x3+. ..+x1997 cho x2+1

b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì d 10, khi chia cho x+5 thì d 2 cịn khi chia cho (x-3)
(x+5) thì đợc thơng là x2+1 và cịn d. Tỡm a thc f(x).

Bài 3: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên x sao cho M=x1999+x1997+1 có giá trị là một số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD và một điểm M trên đờng chéo AC. Từ M hạ MH, MK thứ tự vng
góc với AB và BC.

a) Chứng minh rằng: AK, CH và DM đồng quy.

b) Tính các góc của tam giác DHK nếu biết diện tớch ca tam giỏc ú bng
1
4

(

HK

2

+KD2

)

Bài 5: (1 điểm)

Tỡm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

|

2 xa|+1=|x+3|

Đề số 42
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x52 x4+2 x34 x23 x +6

b) x3+x2+4

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức:
P=

(

m1+
m
m31.

m2

+m+1
m+1

)

2 m+1
m2+2 m+1

a) Rót gän P.

b) TÝnh P khi m=
2001
1999
Bài 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì phân số:

15 n2+8 n+6

30 n2+21 n+13 tối giản.
b) Tìm số nguyên n để n−7 chia hết cho n2−64
Bài 4: (3 điểm)

Cho hình vng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với
AE, cắt đờng thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng đờng
thẳng song song với CD cắt AI ti N.

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.

b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC.
Bài 5: (1 điểm)

Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên t.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Bài 1: ( 2điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x+ y)2(x+ y)6

b) (x2+x+1)( x2+3 x+1 )+x2
Bài 2: (2 điểm)

Cho đa thøc P( x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx +e vµ cho biÕt
P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8).

Bài 3: (2 điểm) Giải phơng trình: 
a)

x2+ 4 x
2

x24 x+ 4=5

b) x5=x4+x3+x2+2
Bài 4: (2 điểm)

Dựng hai can 4 lớt v 2,5 lít làm thế nào để đong đợc 3 lít rợu từ một can 6 lít đựng đầy rợu
(các can khụng cú vch chia ).

Bài 5: (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x10010 x10+10

Đề số 44
Bài 1: (2 điểm)

a) Phân tích thành nhân tử: x5x41

b) Tỡm cỏc cp s (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

P=−x

−

y

+

xy+2 x+2 y

Bµi 2: ( 2điểm) Giải phơng trình: 
a)

(

x+ 2

)

(

x +3

)

(

x + 4

)

4=2

|

x

1|+|x

4|=x

2x+4

Bài 3: ( 2 điểm)

Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức:

[

1+x2(1x)

]

Bài 4: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng cỏc ch s ca
nú.

Bài 5: (2 điểm) 
Chøng minh r»ng:

1
3≤

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Đề số 45
Câu 1: ( 2 điểm)

Phân tích thành nhân tư:
a)

x

y

+64

Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm:

|

x|+|x−2|−|x+1|=m

Câu 3: ( 2 điểm)

Cho x2−2006 x +1=0 . Tính giá trị của biểu thức:

P=x4+x2+1
x2

Câu 4: (2 điểm) 
Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 . Chøng minh r»ng:

x3+y3+1+
1

y3+z3+1+
1

z3+x3+11

Câu 5: ( 2 điểm) Cho a, b, c là ba số dơng thoả mÃn: a+b +c=1 . 
T×m GTNN cđa biÓu thøc:

P=

(

1+1
a

)(

1
b

)(

</div>

on hs gioi

<i>N=20 x 0 y04</i>

<i>A =</i>

7 . 9 + 14 . 27 + 21 .36

21.27 + 42.81 +63.108

<i>A =</i>

<i>n − 5</i>

<i>n +1</i>

(

<i>n∈ Z ; n ≠−1)</i>

(

)

(

)

(

)

222...222

⏟

00 333...333

<sub>⏟</sub>

<i>123a5</i>

<i>abccba=6b3</i>

<i>abc</i>

2004. 2004+3006

2005. 2005−1003

<i>a459b</i>

(

)

<sub>⏟</sub>

(

)

<i>A ⋮130</i>

<i>n</i>

+13n13n+3

<i>ab</i>

<i>ba</i>

<i>abba</i>

<i>59x+46 y=2004</i>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

<i>12+2x 3) 3</i>

<i>b2431</i>

(

)

<i>2x+3 y ⋮17</i>

<i>9 x+5 y 17</i>

<i>A=abc+bca+cab</i>

(

)

(

)

<i>ab</i>

<i>ba</i>

<i>abba</i>

<i>x7x8x9</i>

<i>A=19</i>

+

2

(

)

(

)

(

)

(

10

√

<i>1,21</i>

7

+

22